2025年九年级数学秋季开学摸底考（人教版）

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025年秋季九年级开学摸底考试模拟卷 数 学·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、选择题（每小题3分，共30分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题：（每题3分，共18分） 11．_________ 12．__________ 13．_________ 14．___________ 15．_________ 16．_________ 三、计算题（本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸） 17.（8分） （1） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ （2） 18．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.（8分） （1） 20. （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.（10分） 22.（10分） （1） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数 学 第 1 页（共 6 页） 数 学 第 2 页（共 6 页） 数 学 第 3 页（共 6 页） 学科网（北京）股份有限公司 数 学 第 4 页（共 6 页） 数 学 第 5 页（共 6 页） 数 学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年秋季九年级开学摸底考试模拟卷 数 学 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：八年级下册全部 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．众多选手在参加“中国诗词大会第四季”的比赛过程中，有7个选手的得分如下：126，110，132，91，92，86，91，这组数据的中位数和众数分别是 A．91，92 B．92，86 C．92，91 D．91，104 3．点在一次函数的图象上，那么点的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 4．如图，平行四边形中，若，则的度数为（         ） A． B． C． D． 5．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D．＝±15 6．下列曲线（图象），y不是x的函数是（    ） A． B． C． D． 7．如图,菱形ABCD的周长为40cm,对角线AC与BD相交于点O,点E是BC的中点,则OE的长为(　　) A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 8．如图，点E是正方形ABCD内一点，．若，则正方形ABCD的面积为（    ） A．10 B．13 C．36 D．169 9．一次函数y＝kx﹣b，当k＜0，b＜0时的图象大致位置是(　　) A．B． C． D． 10．如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则EF的长是（　　） A．3 B． C．5 D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 12．已知A，B，C三地的位置及两两之间的距离如图所示．若D地位于A，C两地的中点处，则B，D两地之间的距离是 ． 13．某中学科技节的作品得分包括三部分，专家评委给出的专业得分，宣传展示得分以及通过同学们投票得到的支持得分．按专业得分占、展示得分占、支持得分占，计算该作品的综合成绩．已知某个作品各项得分如下表所示（各项得分均按百分制计），则该作品的最后得分为 ． 项目 专业得分 展示得分 支持得分 成绩（分） 96 98 96 14．如图，函数（）的图象经过点（），与函数的图象交于点A，则不等式的解集为 ． 15．在中，，D为中点，，，，则    16．如图，已知点，直线与轴，轴分别交于点，点分别是直线轴上的动点，则的最小值是 ．    三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）计算： (1)； (2)． 18．（8分）如图，已知三个顶点的坐标分别为、、． (1)直接写出的面积为 ；并画出关于轴的对称图形； (2)画出沿轴向下平移个单位得到； (3)在轴上求作一点，使的周长最小，并直接写出点P的坐标． 19．（8分）数学运算是数学核心素养的重要部分，为了了解九年级学生的数学运算能力，某校对全体九年级同学进行了数学运算水平测试，并随机抽取50名学生的测试成绩进行整理和分析（成绩共分成六组：A．，B．，C．，D．，E．，F．） 等级 A B C D E F 分数 人数 9 11 8 5 请根据以上信息，解答下列问题： (1)_____，_____，_____． (2)在扇形统计图中，求组对应扇形圆心角的度数，并补全频数分布直方图； (3)若该校约有1000名学生，请估计该次数学水平测试成绩超过100分的学生有多少人． 20．（8分）如图，在四边形中，，，对角线，交于点，若四边形是矩形，交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 21．（10分）为加强体育课教学质量保障，南宁市某学校决定购买一批篮球和足球． 已知篮球的单价比足球的单价贵20元，用3000元购买篮球的数量与用2400元购买足球的数量相等． (1)求篮球和足球的单价分别是多少元； (2)某学校计划购买篮球和足球共 90个，购买足球的数量不多于篮球的2 倍，设购买篮球和足球的总费用为w元，购买篮球个，求w与m的函数关系式，并求出最少购买费用． 22．（10分）综合与实践 (1)【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在我们学过的：①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，能称为垂美四边形是______（只填序号）； (2)【概念理解】如图2，在四边形中，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由； (3)【性质探究】如图1，垂美四边形的两对角线交于点O，试探究之间有怎样的数量关系？写出你的猜想 ； (4)【性质应用】如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接已知，则长为 ． 23．（10分）综合与实践： 问题背景：在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的三角形纸片为操作对象，进行相关问题的研究，下面是创新小组在操作纸片过程中研究的问题，请你解决这些问题，如图，，其中，，，． 操作与发现： （1）如图，创新小组将两张三角形纸片按如图所示的方式放置后，经过观察发现四边形是矩形，请你证明这个结论． 操作与探究： （2）创新小组在图的基础上，将纸片沿方向平移至如图的位置，其中点与的中点重合，连接，，经过探究后发现四边形是菱形，请你证明这个结论． （3）创新小组在图的基础上又进行了探究，将纸片绕点逆时针旋转至与平行的位置，如图所示，连接，，创新小组经过观与推理后发现四边形是矩形，请你证明这个结论． 提出问题： （4）请你参照以上操作，在图的基础上，通过平移或旋转构造出的图形，在图中画出这个图形，标明字母，说明构图方法，写出你发现的结论，不必证明． 24．（10分）如图1，经过点A（-6，0）的直线AB与y轴交于点B，与直线交于点C，点C的横坐标为-2，点P是直线AB上的一个动点（点P与A，B不重合），过点P作 y轴的平行线，分别交直线和x轴于点D，E，设动点P的横坐标为t． （1）求直线AB所对应的函数表达式； （2）当DP=6时，求t的值； （3）如图2，作PF∥ x轴，交直线于点F． 在点P运动过程中，是否存在某一时刻，使得A，E，F，P四点构成的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季九年级开学摸底考试模拟卷 数 学 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：八年级下册全部 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．众多选手在参加“中国诗词大会第四季”的比赛过程中，有7个选手的得分如下：126，110，132，91，92，86，91，这组数据的中位数和众数分别是 A．91，92 B．92，86 C．92，91 D．91，104 3．点在一次函数的图象上，那么点的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 4．如图，平行四边形中，若，则的度数为（         ） A． B． C． D． 5．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D．＝±15 6．下列曲线（图象），y不是x的函数是（    ） A． B． C． D． 7．如图,菱形ABCD的周长为40cm,对角线AC与BD相交于点O,点E是BC的中点,则OE的长为(　　) A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 8．如图，点E是正方形ABCD内一点，．若，则正方形ABCD的面积为（    ） A．10 B．13 C．36 D．169 9．一次函数y＝kx﹣b，当k＜0，b＜0时的图象大致位置是(　　) A．B． C． D． 10．如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则EF的长是（　　） A．3 B． C．5 D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 12．已知A，B，C三地的位置及两两之间的距离如图所示．若D地位于A，C两地的中点处，则B，D两地之间的距离是 ． 13．某中学科技节的作品得分包括三部分，专家评委给出的专业得分，宣传展示得分以及通过同学们投票得到的支持得分．按专业得分占、展示得分占、支持得分占，计算该作品的综合成绩．已知某个作品各项得分如下表所示（各项得分均按百分制计），则该作品的最后得分为 ． 项目 专业得分 展示得分 支持得分 成绩（分） 96 98 96 14．如图，函数（）的图象经过点（），与函数的图象交于点A，则不等式的解集为 ． 15．在中，，D为中点，，，，则    16．如图，已知点，直线与轴，轴分别交于点，点分别是直线轴上的动点，则的最小值是 ．    三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）计算： (1)； (2)． 18．（8分）如图，已知三个顶点的坐标分别为、、． (1)直接写出的面积为 ；并画出关于轴的对称图形； (2)画出沿轴向下平移个单位得到； (3)在轴上求作一点，使的周长最小，并直接写出点P的坐标． 19．（8分）数学运算是数学核心素养的重要部分，为了了解九年级学生的数学运算能力，某校对全体九年级同学进行了数学运算水平测试，并随机抽取50名学生的测试成绩进行整理和分析（成绩共分成六组：A．，B．，C．，D．，E．，F．） 等级 A B C D E F 分数 人数 9 11 8 5 请根据以上信息，解答下列问题： (1)_____，_____，_____． (2)在扇形统计图中，求组对应扇形圆心角的度数，并补全频数分布直方图； (3)若该校约有1000名学生，请估计该次数学水平测试成绩超过100分的学生有多少人． 20．（8分）如图，在四边形中，，，对角线，交于点，若四边形是矩形，交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 21．（10分）为加强体育课教学质量保障，南宁市某学校决定购买一批篮球和足球． 已知篮球的单价比足球的单价贵20元，用3000元购买篮球的数量与用2400元购买足球的数量相等． (1)求篮球和足球的单价分别是多少元； (2)某学校计划购买篮球和足球共 90个，购买足球的数量不多于篮球的2 倍，设购买篮球和足球的总费用为w元，购买篮球个，求w与m的函数关系式，并求出最少购买费用． 22．（10分）综合与实践 (1)【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在我们学过的：①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，能称为垂美四边形是______（只填序号）； (2)【概念理解】如图2，在四边形中，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由； (3)【性质探究】如图1，垂美四边形的两对角线交于点O，试探究之间有怎样的数量关系？写出你的猜想 ； (4)【性质应用】如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接已知，则长为 ． 23．（10分）综合与实践： 问题背景：在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的三角形纸片为操作对象，进行相关问题的研究，下面是创新小组在操作纸片过程中研究的问题，请你解决这些问题，如图，，其中，，，． 操作与发现： （1）如图，创新小组将两张三角形纸片按如图所示的方式放置后，经过观察发现四边形是矩形，请你证明这个结论． 操作与探究： （2）创新小组在图的基础上，将纸片沿方向平移至如图的位置，其中点与的中点重合，连接，，经过探究后发现四边形是菱形，请你证明这个结论． （3）创新小组在图的基础上又进行了探究，将纸片绕点逆时针旋转至与平行的位置，如图所示，连接，，创新小组经过观与推理后发现四边形是矩形，请你证明这个结论． 提出问题： （4）请你参照以上操作，在图的基础上，通过平移或旋转构造出的图形，在图中画出这个图形，标明字母，说明构图方法，写出你发现的结论，不必证明． 24．（10分）如图1，经过点A（-6，0）的直线AB与y轴交于点B，与直线交于点C，点C的横坐标为-2，点P是直线AB上的一个动点（点P与A，B不重合），过点P作 y轴的平行线，分别交直线和x轴于点D，E，设动点P的横坐标为t． （1）求直线AB所对应的函数表达式； （2）当DP=6时，求t的值； （3）如图2，作PF∥ x轴，交直线于点F． 在点P运动过程中，是否存在某一时刻，使得A，E，F，P四点构成的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$项学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025年秋季九年级开学摸底考试模拟卷 数学答案及评分参考 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合 题目要求的，将唯一正确的答案填涂在答题卡上) 2 4 5 0 7 8 9 10 C C A D B D B B A A 二、填空题（本题共6小题，每题3分，共18分） 11.x≥3. 12.号13.96.8分14，x≥115x≥116.22 三、解答题（本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17(8分) 【详解】(1)解：原式=(3)+3-1… 2分 =-1 4分 (2)解：=-4+(2-5)-(1-5) 1分 =-4+2-V5-1+V3 3分 -3.4分 18.(8分) 【详解】(1)解：△ABC的面积为=3×3-专×3×1-青×3×2-寺×1×2=3.5，…1分 △AB1C生，如图示；2分 5 3 B 54-3-2-10 故答案为：3.5： (2)∯解：△A2B2C2,如图示；5分 (3)解：连接AC1,交y轴于点P,此时△PAC的周长最小，如图： 设直线AC1的解析式为y=kx+b, 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A(1,1),C1(3,4), (k+b=1 k=~ {3k十b=4,解得b=子· :直线AC的解析式为y=-x+子， 令x=0,则y=子， 。P(0,f）.8分 19.(8分) 【详解】(1)解：a=50×30%=15, b=50-9-15-11-8-5=2, A组的占比为9÷50=18%， 因此m=18 故答案为：15,2,18： 3分 (2)解：360°×高=36°， 则E组对应扇形圆心角的度数为36·， 4分 补全频数分布直方图如下：… 5分 人数/个 15 14 12 8 6 A B CD E F组别 (3)解：(9十15)÷50=48%，1000×18%=480（人），7分 因此，估计该次数学水平测试成绩超过100分的学生有480人。…8分 20.(8分) 【详解】(1)证明：DAIBC,ABICD :四边形ABCD是平行四边形， :四边形DOCE是矩形， ÷∠D0C=90°， ÷AC⊥BD, 四边形ABCD是菱形； 3分 2 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：：四边形DOCE是矩形， 0E=CD=4 :四边形ABCD是菱形，∠BCD=60°， ÷AB=CD=4,∠BAD=60°， AB=AD. 二△ABD是等边三角形， 5分 .0B=3×4=2, ÷0A=YAB2-0B=2W3, AC=45,BD=4, 6分 四边形ABCD的面积=AC·BD=支×4V5×4=8V5 …8分 21.(10分) 【详解】(1)解：设篮球的单价是x元，则足球的单价是(x-20)元，由题意得： 9-8, 2分 解得：X=100,3分 经检验，X=100是原方程的解，且符合愿意，……4分 ,x-20=80, 答：篮球的单价是100元，足球的单价是80元：… 5分 (2)解：设学校购买m个篮球，则可购买(90-m)个足球，则 w=100m+80(90-m)=20m+7200, 7分 :90-m≤2m,且m<90, 30≤m<90, 8分 20>0, 当m=30时，w最小，最小值为7200，… 9分 w与m的函数关系式的关系式为w=20m+7200,最少购买费用为7200元.10分 22.(10分) 【详解】(1)解：：菱形和正方形的对角线均互相垂直， ,菱形和正方形是垂美四边形 故答案为：③④1分 (2)解：四边形ABCD是垂美四边形，理由如下： 连接AC,BD,如图所示： 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B AB=AD,CB=CD 点A在线段BD的垂直平分线上，点C在线段BD的垂直平分线上，… 2分 :直线AC是线段BD的垂直平分线， AC⊥BD 即：四边形ABCD是垂美四边形： 4分 (3)解：AD2=A02+D02BC2=B02+C02AB2=A02+B02CD2=C02+D02 :AD2+BC2=A02+B02+C02+D02=AB2+CD2 故答案为：AD2+BC2=AB2+CD2:… 5分 (4)解：如图3，连接BE、CG,设AB与CE交于点M, B D G 图3 由题意得：AB=AE,AG=AC,∠BAE=∠GAC=90° ∠BAE+∠CAB=∠GAC+∠CAB 即：∠CAE=∠GAB △CAE≌△GAB …7分 ∠ABG=∠AEC :∠AEC+∠AME=90°，∠AME=∠CMB, ∠ABG+∠CMB=90° CE⊥BG 由(3)可得：GE2+BC2=CG2+BE2 AC=AG=4,AB=AE=5 BC=AB2-AC2=3 CG=VAC2+AG2=4V2,BE=AB2+BE2=52 9分 .GE2+9=32+50 ∴GE=V73 …10分 故答案为：√3 金学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 23.(10分) 【详解】(1)证明：：△ABC兰△DEF, ÷AC=DF=BF,BC=EF=AF, 在四边形ACBF中，AC=BF,BC=AF, :四边形ACBF是平行四边形， '∠ACB=90°， 平行四边形ACBF是矩形；… 42分 (2)证明：在Rt△ABC中，∠ABC=60°， ÷∠A=30°， :△ABC兰△DEF与平移可知，BC=EF,BCIEF, ·四边形BCEF是平行四边形， :∠ACB=90°，∠A=30°， .BC=克AB, ·点E与AB的中点重合，∠ACB=90°， .CE=AB, BC=CE=AB, 在平行四边形BCEF中，BC=CE, 。平行四边形BCEF是菱形：5分 (3)证明：在Rt△ABC中，∠ABC=60°， :△ABC≌△DEF,点E是AB中点，∠BAC=30°， ·EF=AE=BC,∠DEF=60°， DE BC. ÷∠BED=∠ABC=60o, ÷∠AEF=180°-∠DEF-∠BED=60°， :△AEF是等边三角形， ÷∠EAF=60°，AF=AE, AE=BC.AF=BC, :∠EAF=∠ABC=60o, ÷AFI‖BC 在四边形ACBF中，AF=BC,AF‖BC, ÷四边形ACBF是平行四边形， :∠ACB=90°， 平行四边形ACBF是矩形：8分 (4)解：构图方法： 5 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图所示，将△DEF向下平移DF的长度，得到四边形ACDB为平行四边形.理由如下， (E)C B(F) 由平移可得：AC=BD,AB=CD, 。四边形ACDB为平行四边形.10分 24.(10分) 【详解】解：(1)设直线AB的解析式为y=kx+b, :C的横坐标为-2，且C在y=-x上， C(-2,2), (-2k+b=2 -6k+b=0,2分 ∫k=克 解得b=3 :直线AB的解析式为：y=x+3: 3分 (2)动点P的横坐标为， ∴P(,t+3),D(,t), PD=|-t-t-3=6,… .4分 :号t+3=±6 解得仁2或仁-66分 (3)由(2)得P(t,号t+3), :PFlx轴，且F在直线y=x上， 点P和F的纵坐标相同， F(-it-3,at十3)，7分 :A,E,F,P四点构成的四边形是平行四边形， ..AE=PF, E(t,0) “1t+6|=|t+t+3 解得t=6或t=.号 9分 P(6,6)或(-号，号) 10分 试题 第 1 页（共 8 页） 试题 第 2 页（共 8 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2025 年秋季九年级开学摸底考试模拟卷 数 学 （考试时间：90 分钟 试卷满分：100 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：八年级下册全部 第一部分（选择题 共 30 分） 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A． B．√24 C．√13 D．√0.2 2．众多选手在参加“中国诗词大会第四季”的比赛过程中，有 7 个选手的得分如下：126，110，132，91， 92，86，91，这组数据的中位数和众数分别是 A．91，92 B．92，86 C．92，91 D．91，104 3．点𝑀在一次函数𝑦 = −2𝑥 + 1的图象上，那么点𝑀的坐标可能是（ ） A．(2,−3) B．(1,3) C．(−2,3) D．(−1,−3) 4．如图，平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，若∠𝐵 = 2∠𝐴，则∠𝐶的度数为（ ） A．30° B．40° C．50° D．60° 5．下列计算正确的是（ ） A．√7 − √2 = √5 B．√18 ÷ √3 = √6 C．√4 × √6 = 4√6 D． (−15) ＝±15 6．下列曲线（图象），y不是 x的函数是（ ） A． B． C． D． 7．如图,菱形 ABCD 的周长为 40cm,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,点 E 是 BC 的中点,则 OE 的长为( ) A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 8．如图，点 E是正方形 ABCD内一点，∠𝐴𝐸𝐵 = 90°．若𝐴𝐸 = 2，𝐵𝐸 = 3，则正方形 ABCD的面积为（ ） A．10 B．13 C．36 D．169 9．一次函数 y＝kx﹣b，当 k＜0，b＜0 时的图象大致位置是( ) A． B． C． D． 10．如图，在矩形 ABCD中，BC＝8，CD＝6，将△ABE沿 BE折叠，使点 A恰好落在对角线 BD上 F处， 则 EF的长是（ ） A．3 B． C．5 D． 试题 第 3 页（共 8 页） 试题 第 4 页（共 8 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 第二部分（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分。 11．若二次根式√𝑥 − 3在实数范围内有意义，则 x的取值范围为 ． 12．已知 A，B，C三地的位置及两两之间的距离如图所示．若 D地位于 A，C两地的中点处，则 B，D两 地之间的距离是 km． 13．某中学科技节的作品得分包括三部分，专家评委给出的专业得分，宣传展示得分以及通过同学们投票 得到的支持得分．按专业得分占50%、展示得分占40%、支持得分占10%，计算该作品的综合成绩．已 知某个作品各项得分如下表所示（各项得分均按百分制计），则该作品的最后得分为 ． 项目 专业得 分 展示得 分 支持得 分 成绩（分） 96 98 96 14．如图，函数𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏（𝑘 ≠ 0）的图象经过点𝐵 𝑚，0 （𝑚>1），与函数𝑦 = 2𝑥的图象交于点 A，则不 等式𝑘𝑥 + 𝑏 ≤ 2𝑥的解集为 ． 15．在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵 = 𝐴𝐶,∠𝐵𝐴𝐶 = 90°，D为𝐵𝐶中点，𝐵𝐸 = 3，𝐷𝐸 ⊥ 𝐷𝐹，𝐶𝐹 = √7，则𝐸𝐹 = 16．如图，已知点𝑃(−1,0)，直线𝑦 = 𝑥 + 3与𝑥轴，𝑦轴分别交于点𝐴,𝐵，点𝑀,𝑁分别是直线𝐴𝐵, 𝑦轴上的动 点，则𝑀𝑁 +𝑁𝑃的最小值是 ． 三、解答题：本题共 8 小题，共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8 分）计算： (1)√−27 + √9 − (−1) ； (2)−√16+ √3 − 2 − (1 − √3)． 18．（8 分）如图，已知△𝐴𝐵𝐶三个顶点的坐标分别为𝐴(1,1)、𝐵(4,2)、𝐶(3,4)． (1)直接写出△ 𝐴𝐵𝐶的面积为 ；并画出△ 𝐴𝐵𝐶关于𝑦轴的对称图形△ 𝐴 𝐵 𝐶 ； (2)画出△ 𝐴𝐵𝐶沿𝑦轴向下平移3个单位得到△𝐴 𝐵 𝐶 ； (3)在𝑦轴上求作一点𝑃，使△ 𝑃𝐴𝐶的周长最小，并直接写出点 P的坐标． 19．（8 分）数学运算是数学核心素养的重要部分，为了了解九年级学生的数学运算能力，某校对全体九年 级同学进行了数学运算水平测试，并随机抽取 50 名学生的测试成绩进行整理和分析（成绩共分成六组： A．110 < 𝑥 ≤ 120，B．100 < 𝑥 ≤ 110，C．90 < 𝑥 ≤ 100，D．80 < 𝑥 ≤ 90，E．70 < 𝑥 ≤ 80，F．60 < 𝑥 ≤ 70） 等级 A B C D E F 分数 110 < 𝑥 ≤ 120 100 < 𝑥 ≤ 110 90 < 𝑥 ≤ 100 80 < 𝑥 ≤ 90 70 < 𝑥 ≤ 80 60 < 𝑥 ≤ 70 人数 9 𝑎 11 8 5 𝑏 试题 第 5 页（共 8 页） 试题 第 6 页（共 8 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 请根据以上信息，解答下列问题： (1)𝑎 =_____，𝑏 =_____，𝑚 =_____． (2)在扇形统计图中，求𝐸组对应扇形圆心角的度数，并补全频数分布直方图； (3)若该校约有 1000 名学生，请估计该次数学水平测试成绩超过 100 分的学生有多少人． 20．（8 分）如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷∥𝐵𝐶，𝐴𝐵∥𝐷𝐶，对角线𝐴𝐶，𝐵𝐷交于点𝑂，若四边形𝐷𝑂𝐶𝐸是矩 形，𝑂𝐸交𝐶𝐷于点𝐹． (1)求证：四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形； (2)若𝑂𝐸 = 4，∠𝐵𝐶𝐷 = 60°，求菱形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积． 21．（10 分）为加强体育课教学质量保障，南宁市某学校决定购买一批篮球和足球． 已知篮球的单价比足 球的单价贵 20 元，用 3000 元购买篮球的数量与用 2400 元购买足球的数量相等． (1)求篮球和足球的单价分别是多少元； (2)某学校计划购买篮球和足球共 90 个，购买足球的数量不多于篮球的 2 倍，设购买篮球和足球的总 费用为 w元，购买篮球𝑚(𝑚 < 90)个，求 w与 m的函数关系式，并求出最少购买费用． 22．（10 分）综合与实践 (1)【知识感知】如图 1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在我们学过的：①平行四 边形②矩形③菱形④正方形中，能称为垂美四边形是______（只填序号）； (2)【概念理解】如图 2，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵 = 𝐴𝐷，𝐶𝐵 = 𝐶𝐷，问四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是垂美四边形吗？ 请说明理由； (3)【性质探究】如图 1，垂美四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的两对角线交于点 O，试探究𝐴𝐵，𝐶𝐷，𝐵𝐶，𝐴𝐷之间有怎 样的数量关系？写出你的猜想 ； (4)【性质应用】如图 3，分别以Rt △𝐴𝐵𝐶的直角边𝐴𝐶和斜边𝐴𝐵为边向外作正方形𝐴𝐶𝐹𝐺和正方形𝐴𝐵𝐷𝐸， 连接𝐶𝐸，𝐵𝐺，𝐺𝐸已知𝐴𝐶 = 4，𝐴𝐵 = 5，则𝐺𝐸长为 ． 23．（10 分）综合与实践： 问题背景：在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的三角形纸片为操作对象，进行相关问 题的研究，下面是创新小组在操作纸片过程中研究的问题，请你解决这些问题，如图1，△ 𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹， 其中∠𝐴𝐶𝐵 = 90°，∠𝐴𝐵𝐶 = 60°，𝐵𝐶 = 2，𝐴𝐵 = 2𝐵𝐶． 操作与发现： （1）如图2，创新小组将两张三角形纸片按如图所示的方式放置后，经过观察发现四边形𝐴𝐶𝐵𝐹是矩 形，请你证明这个结论． 操作与探究： （2）创新小组在图2的基础上，将△𝐷𝐸𝐹纸片沿𝐴𝐵方向平移至如图3的位置，其中点𝐸与𝐴𝐵的中点重 合，连接𝐶𝐸，𝐵𝐹，经过探究后发现四边形𝐵𝐶𝐸𝐹是菱形，请你证明这个结论． （3）创新小组在图3的基础上又进行了探究，将△𝐷𝐸𝐹纸片绕点𝐸逆时针旋转至𝐷𝐸与𝐵𝐶平行的位置， 如图4所示，连接𝐴𝐹，𝐵𝐹，创新小组经过观与推理后发现四边形𝐴𝐶𝐵𝐹是矩形，请你证明这个结论． 提出问题： （4）请你参照以上操作，在图2的基础上，通过平移或旋转△𝐷𝐸𝐹构造出的图形，在图5中画出这个 图形，标明字母，说明构图方法，写出你发现的结论，不必证明． 24．（10 分）如图 1，经过点 A（-6，0）的直线 AB与 y轴交于点 B，与直线𝑦 = −𝑥交于点 C，点 C的横坐 标为-2，点 P是直线 AB上的一个动点（点 P与 A，B不重合），过点 P作 y轴的平行线，分别交直线 𝑦 = −𝑥和 x轴于点 D，E，设动点 P的横坐标为 t． （1）求直线 AB所对应的函数表达式； （2）当 DP=6 时，求 t的值； （3）如图 2，作 PF∥ x轴，交直线𝑦 = −𝑥于点 F． 在点 P运动过程中，是否存在某一时刻，使得 A， E，F，P四点构成的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 P的坐标；若不存在，说明理由． 2025年秋季九年级开学摸底考试模拟卷 数 学 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：八年级下册全部 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的定义逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A．，所以不是最简二次根式，故该选项不符合题意； B． ，所以不是最简二次根式，故该选项不符合题意； C． 是最简二次根式，故该选项符合题意； D． ，所以不是最简二次根式，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2．众多选手在参加“中国诗词大会第四季”的比赛过程中，有7个选手的得分如下：126，110，132，91，92，86，91，这组数据的中位数和众数分别是 A．91，92 B．92，86 C．92，91 D．91，104 【答案】C 【分析】根据众数、中位数的定义求解即可 【详解】这组数据按顺序排列为：86，91，91，92，110，126，132， 故众数为：91， 中位数为：92. 故选C. 【点睛】此题考查众数、中位数，难度不大 3．点在一次函数的图象上，那么点的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上点的坐标一定适合此一次函数的解析式．将四个点分别代入函数的解析式进行验证即可． 【详解】解：A、把代入得，，故本选项符合题意； B、把代入得，，故本选项不符合题意； C、把代入得，，故本选项不符合题意； D、把代入得，，故本选项不符合题意； 故选：A． 4．如图，平行四边形中，若，则的度数为（         ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质结合已知条件即可求解． 【详解】解∶∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又， ∴． 故选：D． 5．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D．＝±15 【答案】B 【分析】根据二次根式的减法、乘法、除法以及二次根式的性质逐项进行计算即可得. 【详解】A. 与不能合并，故A选项错误； B. ，正确； C. ，故C选项错误； D. ，故D选项错误， 故选B. 【点睛】本题考查了二次根式的减法、乘法、除法以及二次根式的化简，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键. 6．下列曲线（图象），y不是x的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查函数图象的识别，解题的关键是熟知函数的定义．根据函数的定义即可判断． 【详解】解：根据函数定义，在一个变化过程中，有两个变量x、y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数．而选项D中的y的值不具有唯一性，所以不是函数图象． 故选：D． 7．如图,菱形ABCD的周长为40cm,对角线AC与BD相交于点O,点E是BC的中点,则OE的长为(　　) A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 【答案】B 【分析】先根据菱形的性质得到BC=10cm，AC⊥BD，然后根据直角三角形斜边上的中线性质求解． 【详解】∵四边形ABCD为菱形周长=40cm， ∴BC=10cm，AC⊥BD， ∵E为BC的中点， ∴OE=BC=5cm． 故选B． 【点睛】考查了菱形的性质：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．熟练掌握菱形的性质（菱形具有平行四边形的一切性质； 菱形的四条边都相等； 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角）． 8．如图，点E是正方形ABCD内一点，．若，则正方形ABCD的面积为（    ） A．10 B．13 C．36 D．169 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴正方形ABCD的面积＝， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，即在直角三角形中，两个直角边边长的平方和等于斜边长的平方． 9．一次函数y＝kx﹣b，当k＜0，b＜0时的图象大致位置是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据k＜0，b＜0判断出一次函数y=kx-b的图象经过的象限，进而可得出结论． 【详解】解：∵一次函数y=kx-b，k＜0，b＜0， ∴-b＞0， ∴函数图象经过一二四象限， 故选A． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＞0时的图象在一、二、四象限是解答此题的关键． 10．如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则EF的长是（　　） A．3 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】根据矩形ABCD,得到∠BCD=90°，根据勾股定理，得到BD==10，根据折叠的性质，得到AE=EF，BA=BF=CD=6，则DF=4，设AE=EF=x，则ED=8-x，在直角三角形EDF中，根据勾股定理，得到，求得x即可． 【详解】因为矩形ABCD， 所以∠BCD=∠A= 90°，AB=CD=6，AD=BC=8， 所以BD==10， 根据折叠的性质，得到AE=EF，BA=BF=CD=6，∠BFE=∠A= 90°， 所以DF=4， 设AE=EF=x，则ED=8-x， 在直角三角形EDF中，根据勾股定理，得到， 解得x=3， 故选A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，勾股定理是解题的关键． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数为非负数是解题关键．先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得． 故答案为：． 12．已知A，B，C三地的位置及两两之间的距离如图所示．若D地位于A，C两地的中点处，则B，D两地之间的距离是 ． 【答案】// 【分析】此题考查勾股定理的逆定理的应用，首先根据勾股定理逆定理证明出，然后利用直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ∴ ∵地位于，两地的中点处 ∴． 故答案为：． 13．某中学科技节的作品得分包括三部分，专家评委给出的专业得分，宣传展示得分以及通过同学们投票得到的支持得分．按专业得分占、展示得分占、支持得分占，计算该作品的综合成绩．已知某个作品各项得分如下表所示（各项得分均按百分制计），则该作品的最后得分为 ． 项目 专业得分 展示得分 支持得分 成绩（分） 96 98 96 【答案】96.8分 【分析】此题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．根据加权平均数的定义列式计算即可． 【详解】解：根据题意得： （分， 该作品的最后得分是96.8分． 故答案为：96.8分． 14．如图，函数（）的图象经过点（），与函数的图象交于点A，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】先确定直线的解析式，再解不等式组求解集即可． 本题考查了待定系数法，解不等式组，熟练掌握待定系数法，灵活解不等式组是解题的关键． 【详解】解：在中，令时，则， ∴， ∴， 由图可得：不等式的解集为． 故答案为：． 15．在中，，D为中点，，，，则    【答案】4 【分析】连接，分别证明，得到，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：在中，， ∴， 连接，    ∵D为中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同法可证：， ∴， 在中，， 故答案为：4． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 16．如图，已知点，直线与轴，轴分别交于点，点分别是直线轴上的动点，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】可得点关于轴对称的点的坐标为, 过点作于, 交轴于点，根据轴对称以及垂线段最短的性质可得此时的值最小, 根据等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】作点关于轴对称的点，则点Q坐标为, 过点作于, 交轴于点，    ∴， 此时的值最小， ∵直线与轴,轴分别交于点， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 或（舍去）， ∴的最小值为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征.等腰直角三角形的性质，轴对称求最小值，根据题意找出点的位置是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是算术平方根，立方根，化简绝对值． （1）分别计算算术平方根，立方根，再合并即可； （2）分别计算算术平方根，化简绝对值，再合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ． 18．如图，已知三个顶点的坐标分别为、、． (1)直接写出的面积为 ；并画出关于轴的对称图形； (2)画出沿轴向下平移个单位得到； (3)在轴上求作一点，使的周长最小，并直接写出点P的坐标． 【答案】(1)；图见解析 (2)见解析 (3)见解析，． 【分析】本题考查了坐标系中的点对称，点的平移，动点到两个定点距离之和最小． （1）利用割补法可求得的面积；根据轴对称的特点，确定对应的对称点，顺次连接三个对称点即得对称图形； （2）根据平移的特点，确定对应的点，依次连接三个点即得到平移后的三角形； （3）连接，与轴的交点就是点，此时的周长最小，再利用待定系数法即可求得点P的坐标． 【详解】（1）解：的面积为， ，如图示； 故答案为：； （2）解：，如图示； （3）解：连接，交轴于点，此时的周长最小，如图； 设直线的解析式为， ∵，， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴． 19．数学运算是数学核心素养的重要部分，为了了解九年级学生的数学运算能力，某校对全体九年级同学进行了数学运算水平测试，并随机抽取50名学生的测试成绩进行整理和分析（成绩共分成六组：A．，B．，C．，D．，E．，F．） 等级 A B C D E F 分数 人数 9 11 8 5 请根据以上信息，解答下列问题： (1)_____，_____，_____． (2)在扇形统计图中，求组对应扇形圆心角的度数，并补全频数分布直方图； (3)若该校约有1000名学生，请估计该次数学水平测试成绩超过100分的学生有多少人． 【答案】(1)15，2，18 (2)，补全频数分布直方图见解析 (3)估计该次数学水平测试成绩超过100分的学生有480人． 【分析】本题考查频数分布直方图，扇形统计图，用样本估计总体，能从统计图中获取有用信息，熟悉样本估计总体的方法是解题的关键． （1）根据B组的占比可求得的值，利用总数减至其余各组的人数可求得的值，利用A组所占百分比，即可求解； （2）求出组所占百分比，再乘以360度即可得到扇形统计图中组所对应的扇形圆心角的度数；根据（1）的结果，再补全频数分布直方图； （3）利用样本估计总体即可求解． 【详解】（1）解：， ， A组的占比为， 因此． 故答案为：15，2，18； （2）解：， 则组对应扇形圆心角的度数为． 补全频数分布直方图如下： ； （3）解：，（人）， 因此，估计该次数学水平测试成绩超过100分的学生有480人． 20．如图，在四边形中，，，对角线，交于点，若四边形是矩形，交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明过程见解答 (2) 【分析】（1）先判断出四边形是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直可得，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明； （2）根据菱形性质求出，判断出是等边三角形，然后根据等边三角形的性质求出、，再根据菱形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ， ， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ， ∵四边形是菱形，， ，， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ∴四边形的面积． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定，熟练掌握矩形，菱形与平行四边形的关系是解题的关键． 21．为加强体育课教学质量保障，南宁市某学校决定购买一批篮球和足球． 已知篮球的单价比足球的单价贵20元，用3000元购买篮球的数量与用2400元购买足球的数量相等． (1)求篮球和足球的单价分别是多少元； (2)某学校计划购买篮球和足球共 90个，购买足球的数量不多于篮球的2 倍，设购买篮球和足球的总费用为w元，购买篮球个，求w与m的函数关系式，并求出最少购买费用． 【答案】(1)篮球的单价是100元，足球的单价是80元 (2)w与m的函数关系式的关系式为，最少购买费用为7200元 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出函数解析式： （1）设篮球的单价是x元，则足球的单价是元，根据用3000元购买篮球的数量与用2400元购买足球的数量相等，列出分式方程，解方程即可； （2）设学校可购买m个篮球，则可购买个足球，根据总费用=购买篮球的费用+购买足球的费用列出函数解析式，再根据m的取值范围和函数的性质求函数的最值． 【详解】（1）解：设篮球的单价是x元，则足球的单价是元，由题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：篮球的单价是100元，足球的单价是80元； （2）解：设学校购买m个篮球，则可购买个足球，则 ， ∵，且， ∴， ∵， ∴当时，w最小，最小值为7200， ∴w与m的函数关系式的关系式为，最少购买费用为7200元． 22．综合与实践 (1)【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在我们学过的：①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，能称为垂美四边形是______（只填序号）； (2)【概念理解】如图2，在四边形中，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由； (3)【性质探究】如图1，垂美四边形的两对角线交于点O，试探究之间有怎样的数量关系？写出你的猜想 ； (4)【性质应用】如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接已知，则长为 ． 【答案】(1)③④ (2)四边形是垂美四边形，理由见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据各几何图形的性质即可求解； （2）连接，由题意得点A在线段的垂直平分线上，点C在线段的垂直平分线上，据此即可求解； （3）根据即可求解； （4）连接，设与交于点M，证得，可得，结合（3）的结论即可求解． 【详解】（1）解：∵菱形和正方形的对角线均互相垂直， ∴菱形和正方形是垂美四边形 故答案为：③④ （2）解：四边形是垂美四边形，理由如下： 连接，如图所示： ∵ ∴点A在线段的垂直平分线上，点C在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴ 即：四边形是垂美四边形； （3）解：∵ ∴ 故答案为：； （4）解：如图3，连接，设与交于点M， 由题意得： ∴ 即： ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ 由（3）可得： ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：. 【点睛】本题考查了特殊平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质等知识点，熟记相关结论即可. 23．综合与实践： 问题背景：在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的三角形纸片为操作对象，进行相关问题的研究，下面是创新小组在操作纸片过程中研究的问题，请你解决这些问题，如图，，其中，，，． 操作与发现： （1）如图，创新小组将两张三角形纸片按如图所示的方式放置后，经过观察发现四边形是矩形，请你证明这个结论． 操作与探究： （2）创新小组在图的基础上，将纸片沿方向平移至如图的位置，其中点与的中点重合，连接，，经过探究后发现四边形是菱形，请你证明这个结论． （3）创新小组在图的基础上又进行了探究，将纸片绕点逆时针旋转至与平行的位置，如图所示，连接，，创新小组经过观与推理后发现四边形是矩形，请你证明这个结论． 提出问题： （4）请你参照以上操作，在图的基础上，通过平移或旋转构造出的图形，在图中画出这个图形，标明字母，说明构图方法，写出你发现的结论，不必证明． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、菱形的知识、矩形的知识，解（1）的关键是判断四边形是平行四边形；解（2）的关键是判断出；解（3）的关键是判断出是等边三角形；（4）画出图形是解答关键． （1）利用平行四边形的判断方法先判断出四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）先求出，再判断出四边形是平行四边形，进而判断出，即可得出结论； （3）先求出，进而判断出是等边三角形，即可判断出四边形是平行四边形，即可得出结论； （4）把平移的长度可得到四边形为平行四边形． 【详解】（1）证明：， ，， 在四边形中，，， 四边形是平行四边形， ， ∴平行四边形是矩形； （2）证明：在中，， ， 与平移可知，，， 四边形是平行四边形， ，， ， 点与的中点重合，， ， ， 在平行四边形中，， 平行四边形是菱形； （3）证明：在中，， ，点是中点，， ，， ， ， ， 是等边三角形， ，， ，， ， ， 在四边形中，，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形； （4）解：构图方法： 如图所示，将向下平移的长度，得到四边形为平行四边形．理由如下， 由平移可得：，， 四边形为平行四边形． 24．如图1，经过点A（-6，0）的直线AB与y轴交于点B，与直线交于点C，点C的横坐标为-2，点P是直线AB上的一个动点（点P与A，B不重合），过点P作 y轴的平行线，分别交直线和x轴于点D，E，设动点P的横坐标为t． （1）求直线AB所对应的函数表达式； （2）当DP=6时，求t的值； （3）如图2，作PF∥ x轴，交直线于点F． 在点P运动过程中，是否存在某一时刻，使得A，E，F，P四点构成的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）t=2或t=-6；（3） P（6，6）或（，） 【分析】（1）设直线AB的解析式为，先求出C的坐标，然后用待定系数法求出AB的解析式即可； （2）由题意可得P（t,），D（t，-t），则，由此求解即可； （3）先求出F的坐标，E点的坐标，根据AE=PF，求解即可． 【详解】解：（1）设直线AB的解析式为， ∵C的横坐标为-2，且C在上， ∴C（-2，2）， ∴， 解得 ∴直线AB的解析式为：； （2）∵动点P的横坐标为t， ∴P（t,），D（t，-t）， ∴， ∴ 解得t=2或t=-6   （3）由（2）得P（t,）， ∵PF∥x轴，且F在直线y=-x上， ∴点P和F的纵坐标相同， ∴F（，）， ∵A，E，F，P四点构成的四边形是平行四边形， ∴AE=PF， ∵E（t，0） ∴ 解得或 ∴ P（6，6）或（，）． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，平行线的性质，绝对值等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$