1.2 二次函数的图象3-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（浙教版）

30 AQ2=AF2+QF2=1+m2;在Rt△BQE 中,BQ2= BE2+EQ2=4+(3-m)2.∵ △ABQ 是以AB 为底边的 等腰三角形,∴ AQ=BQ.∴ AQ2=BQ2,即1+m2=4+ (3-m)2.∴ m=2.∴ 点Q 的坐标为(2,2). 1.2 二次函数的图象3 知识梳理 1. 抛物线 x=-b2a - b 2a ,4ac-b 2 4a 上 低 下 高 2. 待定系数法 典例演练 典例1 (1) 配方,得y=(x-2)2-1.(2) 对称轴为直线 x=2,顶点坐标为(2,-1).(3) 取二次函数图象上的五个 特殊点:(0,3),(1,0),(2,-1),(3,0),(4,3),将上述五点 描出,并用光滑的曲线顺次连结,得到如图所示的函数 图象. 典例1图 典例2 (1) 把(-1,2)代入y=ax2-ax(a≠0),得a+ a=2,解得a=1.∴ 该抛物线对应的函数表达式为y= x2-x.∵ y=x2-x= x-12 2 -14 ,∴ 该抛物线的顶 点坐标是 1 2 ,-14 .(2) 能.∵ y=x2+3x+ 1 2= x+32 2 - 74 ,∴ 平 移 后 抛 物 线 的 顶 点 坐 标 是 -32 ,-74 .∵ 抛物线y=x2-x 的顶点坐标是 1 2 ,-14 ,∴ 将抛物线y=x2-x 先向左平移2个单 位,再向下平移3 2 个单位即可得到抛物线y=x2+ 3x+12. 典例3 (1) 由题意,得抛物线过原点,且点A(0,0), B(18,0),C(17,1.7).设大门所在抛物线对应的函数表达 式为y=ax2+bx(a≠0).把B(18,0),C(17,1.7)代入, 得 182a+18b=0, 172a+17b=1.7, 解得 a=-0.1 , b=1.8. ∴ 大门所在抛物 线对应的函数表达式为y=-0.1x2+1.8x.(2) ∵ y= -0.1x2+1.8x=-0.1(x-9)2+8.1,∴ 抛物线的顶点 坐标为(9,8.1).∴ 大门的高度h为8.1m. 预学训练 1. C 2. B 3. D 4. 4 5. -5 6. 14 7. (1) ∵ 抛物线y=2x2+bx+c经过A(-5,m),B(3, m),C(-2,5)三点,A,B 两点的纵坐标相同,∴ 抛物线 的对称轴为直线x=-5+32 =-1.∴ - b2×2=-1 ,解得 b=4.∴ y=2x2+4x+c.把C(-2,5)代入y=2x2+ 4x+c,得2×(-2)2+4×(-2)+c=5,解得c=5.∴ 抛 物线对应的函数表达式为y=2x2+4x+5.∵ y=2x2+ 4x+5=2(x+1)2+3,∴ 顶点坐标为(-1,3).(2) ∵ 抛 物线的顶点坐标为(-1,3),点C(-2,5),∴ 把抛物线先 向左平移1个单位,再向上平移2个单位后抛物线的顶点 落在点C 处,平移后抛物线对应的函数表达式为y= 2(x+2)2+5. 8. A 9. B 解析:∵ y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,∴ 抛 物线y=-x2-2x+3的顶点坐标为(-1,4).∴ 点 (-1,4)先向右平移1个单位,再向下平移2个单位得到 点(0,2).∵ a=-1不变,∴ 得到的抛物线对应的函数表 达式为y=-x2+2.∵ 当x=-2时,y=-(-2)2+ 2=-2≠2,∴ 点(-2,2)不在抛物线y=-x2+2上.故 选项A错误.同理,可得选项C,D错误.∵ 当x=-1时, y=-(-1)2+2=1,∴ 点(-1,1)在抛物线y=-x2+ 2上.故选项B正确. 10. A 解析:由抛物线y=x2-2x+c,可知对称轴为直 线x=1.∵ 抛物线y=x2-2x+c的顶点A 在直线y= x-5上,∴ 当x=1时,y=1-5=-4.∴ 顶点A 的坐标 为(1,-4).把(1,-4)代入y=x2-2x+c,得1-2+ c=-4,解得c=-3.∴ 抛物线对应的函数表达式为y= x2-2x-3. 11. (1) ∵ 正方形OABC的边长为2,∴ 点B,C 的坐标 分别为(2,2),(0,2).∵ 抛物线y=-x2+bx+c经过B, C两点,∴ 2=-4+2b+c, 2=c, 解得 b=2 , c=2. (2) 由(1),可知 抛物线对应的函数表达式为y=-x2+2x+2.∵ y= -x2+2x+2=-(x-1)2+3,∴ 抛物线的顶点坐标为 (1,3).∵ 正方形的边长为2,且将该抛物线向下平移 m 个单位,其顶点落在正方形OABC 内(不包括边上), ∴ m 的取值范围是1<m<3. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 57 1.2　二次函数的图象3 1. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一 条 ,它的对称轴是直线 , 顶点坐标是 .当a>0时,抛 物线的开口向 ,顶点是抛物线上的 最 点;当a<0时,抛物线的开口向 ,顶点是抛物线上的最 点. 2. 对于生活中的抛物线形的实际问题,建立平 面直角坐标系可确定其图象上几个关键点 的坐标,运用 可求出抛物线对 应的函数表达式,由此解决实际问题. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 已知二次函数y=x2-4x+3. (1) 用配方法将y=x2-4x+3化成y=a(x- h)2+k的形式; (2) 写出该二次函数的图象的对称轴与顶点 坐标; (3) 在如图所示的平面直角坐标系中,画出这 个二次函数的图象. 典例1图 通过配方将二次函数的一般式化为顶点 式,然后写出图象的对称轴和顶点坐标;画二次 函数的图象时,可以采用“五点法”描点、连线 画出. 解答: 解有所悟:用“五点法”画二次函数的图象时通常在 下面的点中取“五点”:(1) 二次函数图象的顶点; (2) 二次函数图象与坐标轴(x 轴、y 轴)的交点; (3) 从二次函数图象上任取一点,任取一个x的值代 入函数表达式求出y的值.将上述五点在平面直角 坐标系中画出,然后用光滑的曲线顺次连结即可. 典例2 已知抛物线y=ax2-ax(a≠0)经过点 (-1,2). (1) 求该抛物线对应的函数表达式和顶点 坐标. (2) 能否通过平移上面的抛物线得到抛物线 y=x2+3x+ 1 2 ? 如果能,请说明平移方式;如 果不能,请说明理由. (1) 利用待定系数法将(-1,2)代入函数 表达式求出a 的值,然后通过配方将表达式转 化为顶点式,写出顶点坐标.(2) 分别求出两抛 物线的顶点坐标,根据抛物线顶点坐标的变化 规律解答. 解答: 解有所悟:解决这类问题的关键是确定平移前、后 抛物线的顶点坐标,再由平移规律得到所求的平移 方式. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 58 典例3 已知一抛物线形大门,其地面宽度 AB=18m.一名同学站在大门内,在离点B 处 1m远的点D 处,垂直地面立起一根1.7m长 的木杆,其顶端恰好顶在抛物线形大门上的点 C 处.建立如图所示的平面直角坐标系.求: (1) 大门所在抛物线对应的函数表达式; (2) 大门的高度h. 典例3图 (1) 设大门所在抛物线对应的函数表达式 为y=ax2+bx(a≠0),依题意把B,C 两点的 坐标代入,就可以求出a,b的值,从而求得抛物 线对应的函数表达式.(2) 把函数表达式进行 配方,可得顶点坐标,根据顶点坐标可得大门的 高度h. 解答: 解有所悟:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 过原点,说明c=0,再知其图象上任意两点的坐标, 运用待定系数法可求得其函数表达式.对于实际问 题,要能将问题中的有关数据转化为图象上点的坐 标,这是解题的关键. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. 对于二次函数y=x2-2x+3的图象,下列 说法正确的是 ( ) A. 开口向下 B. 对称轴是直线x=-1 C. 顶点坐标是(1,2) D. 经过坐标原点 2. 已知二次函数y=ax2+bx+c,且a-b+ c=0,则二次函数的图象一定经过点 ( ) A. (1,0) B. (-1,0) C. (0,-1) D. (0,1) 3. 将二次函数y=x2+2x-1的图象沿x轴向 右平移2个单位,得到的图象对应的函数表 达式为 ( ) A. y=(x+3)2-2 B. y=(x+3)2+2 C. y=(x-1)2+2 D. y=(x-1)2-2 4. 若抛物线y=2x2-bx+3的对称轴是直线 x=1,则b的值为 . 5. (广州中考)抛物线y=ax2+bx+c经过点 (-1,0),(3,0),且与y 轴交于点(0,-5), 则当x=2时,y的值为 . 答案讲解 6. 如图所示为足球守门员在点O 处 扔出一记手抛高球后,足球在空中 运动至落地的过程,它是经过A, M,C 三点的抛物线的一部分.其中点A 离 地面1.4m,M 是足球运动过程中的最高 点,离地面3.2m,离守门员的水平距离为 6m,C 是足球落地时的第一点,则点C 与守 门员的水平距离为 m. 第6题 7. 已知抛物线y=2x2+bx+c经过A(-5, m),B(3,m),C(-2,5)三点. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)八年级 59 (1) 求抛物线对应的函数表达式和顶点 坐标; (2) 将抛物线平移,使顶点落在点C 处,请 写出平移方式及平移后抛物线对应的函数 表达式. [综合提升] 8. (深圳中考)二次函数y=ax2+bx+1与一 次函数y=2ax+b在同一平面直角坐标系 中的图象可能是 ( ) A. B. C. D. 9. (泰安中考)将抛物线y=-x2-2x+3先向 右平移1个单位,再向下平移2个单位得到 的抛物线必定经过点 ( ) A. (-2,2) B. (-1,1) C. (0,6) D. (1,-3) 10. 已知抛物线y=x2-2x+c的顶点A 在直 线y=x-5上,则该抛物线对应的函数表 达式为 ( ) A. y=x2-2x-3 B. y=x2+2x+3 C. y=x2-2x-4 D. y=x2+6x+4 答案讲解 11. 如图,边长为2的正方形OABC 的顶点A,C 分别在x 轴、y 轴的 正半轴上,抛物线y=-x2+bx+ c经过B,C 两点. (1) 求b,c的值; (2) 若将该抛物线向下平移m 个单位,使 其顶点落在正方形OABC 内(不包括边 上),求m 的取值范围. 第11题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备