1.2 二次函数的图象2-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（浙教版）

29 y=1,∴ 选项C符合题意. 典例2 (1) ∵ 抛物线y=ax2 经过点A(-2,-8), ∴ a·(-2)2=-8,解得a=-2.∴ 此抛物线对应的函 数表达式为y=-2x2.(2) 此抛物线的顶点坐标为(0, 0),对称轴为y轴,开口向下,位于y轴的两侧,x轴的下 方.(3) 把x=-1代入y=-2x2,得y=-2×(-1)2= -2.∵ -2≠-4,∴ 点B(-1,-4)不在此抛物线上. (4) 把y=-6代入y=-2x2,得-6=-2x2,解得 x=± 3.∴ 此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标为 (3,-6)或(-3,-6). 预学训练 1. C 2. B 3. a>b>d>c 4. (1) 把A(3,18)代入y=ax2(a≠0),得18=a·32,解 得a=2.∴ y=2x2.把B(-1,k)代入,得k=2× (-1)2=2.(2) 函数图象的对称轴是y 轴,顶点坐标是 (0,0),开口向上.(3) 当x=-2时,y=2×(-2)2=8≠ 10,∴ 这个函数的图象不经过点(-2,10). 5. D 6. 0 解析:∵ 二次函数y=2023x2 的图象的对称轴为 y轴,且P,Q 两点的纵坐标相同,∴ 此两点关于y 轴对 称.∴ t1 与t2 互为相反数.∴ t1+t2=0. 7. ∵ 一次函数y=kx-2的图象过点A(-1,-1), ∴ -1=-k-2,解得k=-1.∴ 一次函数的表达式为 y=-x-2.令x=0,得y=-2,∴ 点G 的坐标为(0, -2).∴ OG=2.∵ 二次函数y=ax2 的图象过点 A(-1,-1),∴ -1=a×(-1)2,解得a=-1.∴ 二次 函数的表达式为y=-x2.联立一次函数的表达式与二次 函 数 的 表 达 式,可 得 y=-x-2, y=-x2, 解 得 x1=-1, y1=-1, x2=2, y2=-4. ∴ 点 B 的 坐 标 为 (2,-4).∴ S△OAB= 1 2OG ·|xA|+ 1 2OG ·xB= 1 2×2×|-1|+ 1 2×2× 2=1+2=3. 1.2 二次函数的图象2 知识梳理 1. 右 左 (m,0) 直线x=m 2. > < > < |k| (m,k) 直线x=m 典例演练 典例1 (1) 二次函数y=-2(x+3)2 的图象开口向下, 对称轴是直线x=-3,顶点坐标是(-3,0).(2) 它的图 象是由抛物线y=-2x2向左平移3个单位得到的. 典例2 (1) 将抛物线C1:y=(x-1)2-1先向左平移 2个单位,再向下平移3个单位得到新抛物线C2,其对应 的函数表达式为y=(x-1+2)2-1-3,即y=(x+ 1)2-4.(2) 由y=(x+1)2-4,可知新抛物线C2 的开口 向上,对称轴为直线x=-1,顶点坐标为(-1,-4). (3) 由平移的性质,知点A 与点A'的纵坐标相等.将y= 5代入y=(x+1)2-4,得(x+1)2-4=5,解得x1=-4, x2=2(不合题意,舍去).∴ 点A'的坐标为(-4,5). ∴ AA'=4.根据平移的性质,可知BB'=AA'=4,即点B 与其对应点B'的距离为4个单位. 预学训练 1. C 2. B 3. 2 -4 4. 答案不唯一,如3 5. (1) y=- 1 2 (x+1)2.(2) 把x=2代入y=- 1 2 (x+ 1)2,得y=- 1 2× (2+1)2=-92.∵ -92≠-2 ,∴ 点 B(2,-2)不在这个函数的图象上.(3) 能.设平移后的图 象对应的函数表达式为y=- 1 2 (x+1+n)2.把B(2, -2)代入,得-2=-12 (2+1+n)2,解得n1=-1, n2=-5.∴ 将该函数的图象向右平移1个单位或5个单 位,即可经过点B. 6. B 7. D 解析:选项A:平移后,得y=(x+1)2,当x=1时, y=4,∴ 图象经过点A,该选项不合题意.选项B:平移 后,得y=(x-3)2,当x=1时,y=4,∴ 图象经过点A, 该选项不合题意.选项C:平移后,得y=x2+3,当x= 1时,y=4,∴ 图象经过点A,该选项不合题意.选项D:平 移后,得y=x2-1,当x=1时,y=0≠4,∴ 图象不经过 点A,该选项符合题意. 8. (1) ∵ 直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于点A, B,∴ 令y=0,则x=1;令x=0,则y=3.∴ A(1,0), B(0,3).∵ 抛物线y=a(x-2)2+k 的对称轴是直线 x=2,∴ 点A 与点C 关于直线x=2对称.∴ 点C 的坐 标为(3,0).∵ 抛物线y=a(x-2)2+k经过点A(1,0), B(0,3),∴ a+k=0, 4a+k=3, 解得 a=1 , k=-1. (2) 设点Q 的坐标 为(2,m),对称轴直线x=2交x轴于点F,连结AQ, BQ,过点B 作BE⊥直线x=2于点E.在Rt△AQF 中, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 30 AQ2=AF2+QF2=1+m2;在Rt△BQE 中,BQ2= BE2+EQ2=4+(3-m)2.∵ △ABQ 是以AB 为底边的 等腰三角形,∴ AQ=BQ.∴ AQ2=BQ2,即1+m2=4+ (3-m)2.∴ m=2.∴ 点Q 的坐标为(2,2). 1.2 二次函数的图象3 知识梳理 1. 抛物线 x=-b2a - b 2a ,4ac-b 2 4a 上 低 下 高 2. 待定系数法 典例演练 典例1 (1) 配方,得y=(x-2)2-1.(2) 对称轴为直线 x=2,顶点坐标为(2,-1).(3) 取二次函数图象上的五个 特殊点:(0,3),(1,0),(2,-1),(3,0),(4,3),将上述五点 描出,并用光滑的曲线顺次连结,得到如图所示的函数 图象. 典例1图 典例2 (1) 把(-1,2)代入y=ax2-ax(a≠0),得a+ a=2,解得a=1.∴ 该抛物线对应的函数表达式为y= x2-x.∵ y=x2-x= x-12 2 -14 ,∴ 该抛物线的顶 点坐标是 1 2 ,-14 .(2) 能.∵ y=x2+3x+ 1 2= x+32 2 - 74 ,∴ 平 移 后 抛 物 线 的 顶 点 坐 标 是 -32 ,-74 .∵ 抛物线y=x2-x 的顶点坐标是 1 2 ,-14 ,∴ 将抛物线y=x2-x 先向左平移2个单 位,再向下平移3 2 个单位即可得到抛物线y=x2+ 3x+12. 典例3 (1) 由题意,得抛物线过原点,且点A(0,0), B(18,0),C(17,1.7).设大门所在抛物线对应的函数表达 式为y=ax2+bx(a≠0).把B(18,0),C(17,1.7)代入, 得 182a+18b=0, 172a+17b=1.7, 解得 a=-0.1 , b=1.8. ∴ 大门所在抛物 线对应的函数表达式为y=-0.1x2+1.8x.(2) ∵ y= -0.1x2+1.8x=-0.1(x-9)2+8.1,∴ 抛物线的顶点 坐标为(9,8.1).∴ 大门的高度h为8.1m. 预学训练 1. C 2. B 3. D 4. 4 5. -5 6. 14 7. (1) ∵ 抛物线y=2x2+bx+c经过A(-5,m),B(3, m),C(-2,5)三点,A,B 两点的纵坐标相同,∴ 抛物线 的对称轴为直线x=-5+32 =-1.∴ - b2×2=-1 ,解得 b=4.∴ y=2x2+4x+c.把C(-2,5)代入y=2x2+ 4x+c,得2×(-2)2+4×(-2)+c=5,解得c=5.∴ 抛 物线对应的函数表达式为y=2x2+4x+5.∵ y=2x2+ 4x+5=2(x+1)2+3,∴ 顶点坐标为(-1,3).(2) ∵ 抛 物线的顶点坐标为(-1,3),点C(-2,5),∴ 把抛物线先 向左平移1个单位,再向上平移2个单位后抛物线的顶点 落在点C 处,平移后抛物线对应的函数表达式为y= 2(x+2)2+5. 8. A 9. B 解析:∵ y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,∴ 抛 物线y=-x2-2x+3的顶点坐标为(-1,4).∴ 点 (-1,4)先向右平移1个单位,再向下平移2个单位得到 点(0,2).∵ a=-1不变,∴ 得到的抛物线对应的函数表 达式为y=-x2+2.∵ 当x=-2时,y=-(-2)2+ 2=-2≠2,∴ 点(-2,2)不在抛物线y=-x2+2上.故 选项A错误.同理,可得选项C,D错误.∵ 当x=-1时, y=-(-1)2+2=1,∴ 点(-1,1)在抛物线y=-x2+ 2上.故选项B正确. 10. A 解析:由抛物线y=x2-2x+c,可知对称轴为直 线x=1.∵ 抛物线y=x2-2x+c的顶点A 在直线y= x-5上,∴ 当x=1时,y=1-5=-4.∴ 顶点A 的坐标 为(1,-4).把(1,-4)代入y=x2-2x+c,得1-2+ c=-4,解得c=-3.∴ 抛物线对应的函数表达式为y= x2-2x-3. 11. (1) ∵ 正方形OABC的边长为2,∴ 点B,C 的坐标 分别为(2,2),(0,2).∵ 抛物线y=-x2+bx+c经过B, C两点,∴ 2=-4+2b+c, 2=c, 解得 b=2 , c=2. (2) 由(1),可知 抛物线对应的函数表达式为y=-x2+2x+2.∵ y= -x2+2x+2=-(x-1)2+3,∴ 抛物线的顶点坐标为 (1,3).∵ 正方形的边长为2,且将该抛物线向下平移 m 个单位,其顶点落在正方形OABC 内(不包括边上), ∴ m 的取值范围是1<m<3. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 55 1.2　二次函数的图象2 1. 一般地,函数y=a(x-m)2(a≠0)的图象 与函数y=ax2 的图象只是位置不同,它可 由y=ax2的图象向 (当m>0)或 向 (当m<0)平移|m|个单位得到. 函数y=a(x-m)2的顶点坐标是 , 对称轴是 . 2. 一般地,函数y=a(x-m)2+k(a≠0)的图 象,可以由函数y=ax2的图象先向右(当m 0)或向左(当m 0)平移|m|个 单位,再向上(当k 0)或向下(当k 0)平移 个单位得到,顶点 是 ,对称轴是 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 已知二次函数y=-2(x+3)2. (1) 写出其图象的开口方向,对称轴和顶点 坐标; (2) 说明它的图象是由抛物线y=-2x2 经过 怎样的平移得到的. 在y=-2(x+3)2 中,a=-2<0,m= -3<0,根据函数y=a(x-m)2的图象特征进 行判断. 解答: 解有所悟:二次函数y=a(x-m)2(a≠0)的图象 与二次函数y=ax2(a≠0)的图象的形状、开口方 向完全相同,只不过位置发生变化,顶点坐标由(0, 0)变成了(m,0). 典例2 在平面直角坐标系中,将抛物线C1:y= (x-1)2-1先向左平移2个单位,再向下平移 3个单位得到新抛物线C2. (1) 求新抛物线C2对应的函数表达式; (2) 写出新抛物线C2的开口方向、对称轴和顶 点坐标; (3) 如图,将△OAB 沿x 轴向左平移得到 △O'A'B',点A(0,5)的对应点A'落在平移后 的新抛物线C2 上,求点B 与其对应点B'的 距离. 典例2图 (1) 根据二次函数图象的平移规律解答. (2) 结合二次函数图象的特征写出即可.(3) 把 y=5代入新抛物线C2 对应的函数表达式求得 相应的x的值,即可求得点A'的坐标.根据平移 的性质,即可求出点B 与其对应点B'的距离. 解答: 解有所悟:解答与二次函数的图象平移相关的题目 时,首先应熟练掌握平移的规律:左加右减,上加下 减.二次函数图象的上下平移,只影响二次函数表 达式y=a(x-m)2+k(a≠0)中k 的值;左右平 移,只影响m 的值.在平移过程中,a 的值不变,即 二次函数的图象的形状、开口方向不变. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 56 [基础过关] 1. 对于二次函数y=3(x-6)2的图象,下列说 法正确的是 ( ) A. 开口向下 B. 对称轴是直线x=-6 C. 顶点坐标是(6,0) D. 与y轴没有交点 2. (徐州中考)在平面直角坐标系中,将抛物线 y=x2向左平移2个单位,再向上平移1个 单位后,所得新抛物线对应的函数表达式为 ( ) A. y=(x-2)2+1 B. y=(x+2)2+1 C. y=(x+2)2-1 D. y=(x-2)2-1 3. 已知抛物线y=a(x-h)2 向右平移3个单 位后得到抛物线y=2(x+1)2,则a= ,h= . 4. 如果抛物线y=2(x-m)2+6-3m 的顶点 在第四象限,那么m 的值可以是 (写出一个即可). 5. 已知二次函数y=a(x+m)2(a≠0)的图象 的顶点坐标为(-1,0),它的形状与抛物线 y= 1 2x 2相同,但开口方向相反. (1) 写出这个二次函数的表达式. (2) 点B(2,-2)在这个函数的图象上吗? (3) 你能通过左右平移该函数的图象,使它经 过点B(2,-2)吗? 若能,请写出平移方案. [综合提升] 6. 若二次函数y=a(x-m)2+n的图象如图 所示,则一次函数y=-mx-n的图象经过 ( ) 第6题 A. 一、二、三象限 B. 一、二、四象限 C. 二、三、四象限 D. 一、三、四象限 答案讲解 7. 将函数y=x2的图象用下列方法平 移后,所得的图象不经过点A(1,4) 的方法是 ( ) A. 向左平移1个单位 B. 向右平移3个单位 C. 向上平移3个单位 D. 向下平移1个单位 答案讲解 8. 如图,直线y=-3x+3与x 轴、 y轴分别交于点A,B,抛物线y= a(x-2)2+k 经过点A,B,并与 x轴交于另一点C,其顶点为P. (1) 求点C 的坐标及a,k的值; (2) 若抛物线的对称轴上有一点Q,使得以 A,B,Q 为顶点的三角形是以AB 为底边的 等腰三角形,求点Q 的坐标. 第8题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)八年级