1.2 二次函数的图象1-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（浙教版）

28 y1=kx+b,得 4k+b=0, b=2, 解得 k=- 1 2 , b=2. ∴ 直线l1 对 应的函数表达式为y1=- 1 2x+2. (2) 存在.∵ B(0,2), BP∥x轴,∴ 点P 的纵坐标为2.∵ 点P 在直线l2:y2= x上,∴ P(2,2).∴ BP=2.∴ S△BPA= 1 2×2×2=2. ∵ S△BPQ=S△BPA,∴ 易得点Q 的纵坐标为0或4.∵ 点 Q 在直线l2:y2=x 上,∴ 点Q 的坐标为(0,0)或(4, 4).(3) 由题意,可知点M,N 分别在直线l1,l2上,点M, N 的横坐标都为n,∴ M n,-12n+2 ,N(n,n). ∴ MN= -12n+2-n = - 3 2n+2 . 分情况讨论: ① 当∠MDN=90°时,根据直角三角形斜边上的中线等 于斜边的一半,可得1 2 - 3 2n+2 =|n| ,解得n=47 或-4.② 当∠DNM=90°(或∠DMN=90°)时,可得 -32n+2 =|n| ,解得n=45 或4.综上所述,符合条件 的n的值为47 或-4或45 或4. 3 预学储备 第1章　二次函数 1.1 二次函数 知识梳理 ax2+bx+c 二次项系数 一次项系数 常数项 典例演练 典例1 ∵ y=3x2+(2-3x)(2x+1)=-3x2+x+2, ∴ 该函数是二次函数,二次项系数为-3,一次项系数为 1,常数项为2. 典例2 (1) ∵ 花圃垂直于墙的一边的长AB 为x 米, ∴ 花圃平行于墙的一边的长为(24-3x)米.∴ y= x(24-3x)=-3x2+24x.又∵ 0<24-3x≤10,∴ 14 3≤ x<8.∴ y 与x 之间的函数表达式为y=-3x2+24x 14 3≤x<8 .(2) 填表如下: x(米) 5 6 7 y(平方米) 45 36 21 典例3 根 据 题 意,得 3×(-2)2-2b+c=0, 3×12+b+c=6, 解 得 b=5, c=-2. ∴ 这个二次函数的表达式为y=3x2+5x-2. 预学训练 1. D 2. C 3. 3 2 23 4. 根据题意,可知六块草坪可合成长为(40-2x)m、宽为 (26-x)m的矩形.∴ 6y=(40-2x)(26-x).∴ y= 1 3x 2-463x+ 520 3 . 又∵ x>0,40-2x>0,26-x>0, ∴ 0<x<20.∴ y与x之间的函数表达式为y= 1 3x 2- 46 3x+ 520 3 (0<x<20). 5. B 解析:由题意,可知m2-2m+2=2,且m-2≠0, 解得m=0. 利用二次函数的定义求字母的值时,易忽略 二次项系数不为0 根据二次函数自变量的最高次数是2,二次项系数 不为0,列出关于所求字母的方程或不等式(组),解方 程或不等式(组),即可确定二次函数中待定字母的值. 6. (1) 把 x=-1, y=-5, x=1 , y=9 分别代入y=ax2+bx,得 -5=a-b, 9=a+b, 解得 a=2 , b=7. (2) 由(1),知二次函数y= ax2+bx为y=2x2+7x.把x=2代入y=2x2+7x,得 y=22. 7. (1) ∵ △ABC是等腰直角三角形,∴ 易得重叠部分也 是等腰直角三角形.由题意,得AN=2tcm,∴ AM= MN-AN =(20-2t)cm.∴ MH =AM =(20- 2t)cm.∴ y= 1 2 (20-2t)2=2t2-40t+200.∵ 0≤2t≤ 20,∴ 0≤t≤10.∴ y=2t2-40t+200(0≤t≤10).(2) 当 t=1时,y=162;当t=2时,y=128.∴ 当t=1时,重叠 部分的面积为162cm2;当t=2时,重叠部分的面积为 128cm2. 1.2 二次函数的图象1 知识梳理 1. 抛物线 顶点 2. 抛物线 y 坐标原点 上 低 下 高 典例演练 典例1 C 解析:由题意,可知另一条直角边的长为 2xcm,则y= 1 2x ·2x=x2.又∵ x>0,且当x=1时, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 29 y=1,∴ 选项C符合题意. 典例2 (1) ∵ 抛物线y=ax2 经过点A(-2,-8), ∴ a·(-2)2=-8,解得a=-2.∴ 此抛物线对应的函 数表达式为y=-2x2.(2) 此抛物线的顶点坐标为(0, 0),对称轴为y轴,开口向下,位于y轴的两侧,x轴的下 方.(3) 把x=-1代入y=-2x2,得y=-2×(-1)2= -2.∵ -2≠-4,∴ 点B(-1,-4)不在此抛物线上. (4) 把y=-6代入y=-2x2,得-6=-2x2,解得 x=± 3.∴ 此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标为 (3,-6)或(-3,-6). 预学训练 1. C 2. B 3. a>b>d>c 4. (1) 把A(3,18)代入y=ax2(a≠0),得18=a·32,解 得a=2.∴ y=2x2.把B(-1,k)代入,得k=2× (-1)2=2.(2) 函数图象的对称轴是y 轴,顶点坐标是 (0,0),开口向上.(3) 当x=-2时,y=2×(-2)2=8≠ 10,∴ 这个函数的图象不经过点(-2,10). 5. D 6. 0 解析:∵ 二次函数y=2023x2 的图象的对称轴为 y轴,且P,Q 两点的纵坐标相同,∴ 此两点关于y 轴对 称.∴ t1 与t2 互为相反数.∴ t1+t2=0. 7. ∵ 一次函数y=kx-2的图象过点A(-1,-1), ∴ -1=-k-2,解得k=-1.∴ 一次函数的表达式为 y=-x-2.令x=0,得y=-2,∴ 点G 的坐标为(0, -2).∴ OG=2.∵ 二次函数y=ax2 的图象过点 A(-1,-1),∴ -1=a×(-1)2,解得a=-1.∴ 二次 函数的表达式为y=-x2.联立一次函数的表达式与二次 函 数 的 表 达 式,可 得 y=-x-2, y=-x2, 解 得 x1=-1, y1=-1, x2=2, y2=-4. ∴ 点 B 的 坐 标 为 (2,-4).∴ S△OAB= 1 2OG ·|xA|+ 1 2OG ·xB= 1 2×2×|-1|+ 1 2×2× 2=1+2=3. 1.2 二次函数的图象2 知识梳理 1. 右 左 (m,0) 直线x=m 2. > < > < |k| (m,k) 直线x=m 典例演练 典例1 (1) 二次函数y=-2(x+3)2 的图象开口向下, 对称轴是直线x=-3,顶点坐标是(-3,0).(2) 它的图 象是由抛物线y=-2x2向左平移3个单位得到的. 典例2 (1) 将抛物线C1:y=(x-1)2-1先向左平移 2个单位,再向下平移3个单位得到新抛物线C2,其对应 的函数表达式为y=(x-1+2)2-1-3,即y=(x+ 1)2-4.(2) 由y=(x+1)2-4,可知新抛物线C2 的开口 向上,对称轴为直线x=-1,顶点坐标为(-1,-4). (3) 由平移的性质,知点A 与点A'的纵坐标相等.将y= 5代入y=(x+1)2-4,得(x+1)2-4=5,解得x1=-4, x2=2(不合题意,舍去).∴ 点A'的坐标为(-4,5). ∴ AA'=4.根据平移的性质,可知BB'=AA'=4,即点B 与其对应点B'的距离为4个单位. 预学训练 1. C 2. B 3. 2 -4 4. 答案不唯一,如3 5. (1) y=- 1 2 (x+1)2.(2) 把x=2代入y=- 1 2 (x+ 1)2,得y=- 1 2× (2+1)2=-92.∵ -92≠-2 ,∴ 点 B(2,-2)不在这个函数的图象上.(3) 能.设平移后的图 象对应的函数表达式为y=- 1 2 (x+1+n)2.把B(2, -2)代入,得-2=-12 (2+1+n)2,解得n1=-1, n2=-5.∴ 将该函数的图象向右平移1个单位或5个单 位,即可经过点B. 6. B 7. D 解析:选项A:平移后,得y=(x+1)2,当x=1时, y=4,∴ 图象经过点A,该选项不合题意.选项B:平移 后,得y=(x-3)2,当x=1时,y=4,∴ 图象经过点A, 该选项不合题意.选项C:平移后,得y=x2+3,当x= 1时,y=4,∴ 图象经过点A,该选项不合题意.选项D:平 移后,得y=x2-1,当x=1时,y=0≠4,∴ 图象不经过 点A,该选项符合题意. 8. (1) ∵ 直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于点A, B,∴ 令y=0,则x=1;令x=0,则y=3.∴ A(1,0), B(0,3).∵ 抛物线y=a(x-2)2+k 的对称轴是直线 x=2,∴ 点A 与点C 关于直线x=2对称.∴ 点C 的坐 标为(3,0).∵ 抛物线y=a(x-2)2+k经过点A(1,0), B(0,3),∴ a+k=0, 4a+k=3, 解得 a=1 , k=-1. (2) 设点Q 的坐标 为(2,m),对称轴直线x=2交x轴于点F,连结AQ, BQ,过点B 作BE⊥直线x=2于点E.在Rt△AQF 中, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 53 1.2　二次函数的图象1 1. 抛物线的相关概念 二次函数y=x2 的图象是一条关于y 轴对 称、过坐标原点并向上伸展的曲线,像这样 的曲线叫做 .抛物线与它的对称轴 的交点叫做抛物线的 . 2. 二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质 二次函数y=ax2(a≠0)的图象是一条 ,它关于 轴对称,顶点 是 .当a>0时,抛物线的开口向 ,顶点是抛物线的最 点; 当a<0时,抛物线的开口向 ,顶点 是抛物线的最 点. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 已知一个直角三角形的一条直角边的长 为xcm,另一条直角边的长是这条直角边的长 的2倍,则这个直角三角形的面积y(cm2)与 x(cm)之间的函数关系可以用图象大致表示为 ( ) A. B. C. D. 根据直角三角形的面积的计算公式可确 定y与x之间的函数表达式,结合自变量的取 值范围可判断相应的函数图象. 解答: 解有所悟:确定实际问题的函数图象时,要先列出 函数表达式,相应的图象应该是在对应的自变量的 取值范围内的部分. 典例2 已知抛物线y=ax2经过点A(-2,-8). (1) 求此抛物线对应的函数表达式; (2) 写出这个抛物线的顶点坐标、对称轴、开口 方向和位置; (3) 判断点B(-1,-4)是否在此抛物线上; (4) 求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标. (1) 根据抛物线上点的坐标满足其对应的 函数表达式,将点A 的坐标代入函数表达式得 到关于a的方程,然后解方程即可.(2) 根据函 数图象和性质直接写出顶点坐标、对称轴、开口 方向及图象所处的位置即可.(3) 把点B 的横 坐标代入函数表达式,即可判断.(4) 把y=-6 代入函数表达式,即可求得. 解答: 解有所悟:二次函数的表达式与其图象上的点之间 的关系如下:点在函数图象上,则点的横、纵坐标满 足二次函数表达式;反之,满足二次函数表达式的 点必定在该二次函数的图象上. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 54 [基础过关] 1. 有下列关于函数y=5x2的图象和性质的说 法:① 开口向上;② 对称轴是y轴;③ 顶点 是坐标原点;④ 有最高点.其中,正确的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 若二次函数 y=ax2的图象经过点P(2,4), 则该图象必经过点 ( ) A. (-2,-4) B. (-2,4) C. (-4,2) D. (4,-2) 3. 如图所示的四个二次函数图象分别对应 ① y=ax2,② y=bx2,③ y=cx2,④ y= dx2,则a,b,c,d 的大小关系为 (用“>”连接). 第3题 4. 已知点A(3,18)与点B(-1,k)都在二次函 数y=ax2(a≠0)的图象上. (1) 求a和k的值; (2) 写出函数图象的对称轴、顶点坐标及开 口方向; (3) 试判断这个函数的图象是否经过点 (-2,10). [综合提升] 答案讲解 5. 当ab>0时,y=ax2 与y=ax+b 在平面直角坐标系中的图象大致是 ( ) A. B. C. D. 答案讲解 6. 已知二次函数y=2023x2 的图象 经过原点,且其图象上有两个不同 的点Pt1, 1 4 ,Qt2,14 ,则t1+ t2= . 7. 如图,二次函数y=ax2(a≠0)与一次函数 y=kx-2的图象相交于A(-1,-1),B 两 点,且直线y=kx-2交y 轴于点G,求 △OAB 的面积. 第7题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)八年级