1.1 二次函数-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（浙教版）

51 第1章　二次函数 1.1　二次函数 我们把形如y= (其中a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数,称a为 ,b为 ,c为 . 典例1 函数y=3x2+(2-3x)(2x+1)是二次 函数吗? 若是二次函数,请指出二次项系数、一 次项系数和常数项. 先把给出的函数表达式通过去括号、合并 同类项等方式进行变形整理,根据整理后的表 达式的形式进行判断. 解答: 解有所悟:确定一个函数是否为二次函数,关键是看 它经过变形整理后是否符合二次函数的一般形式. 典例2 如图,有长24米的篱笆,一边利用墙(墙 的最大可用长度为10米)围成中间隔有一道篱 笆的矩形花圃(篱笆全部用完).设花圃垂直于 墙的一边的长AB 为x米,面积为y平方米. 典例2图 (1) 求y与x 之间的函数表达式,并写出自变 量的取值范围; (2) 根据列出的函数表达式,将下表补充完整. x(米) 5 6 7 y(平方米) (1) 由于这个篱笆围成的花圃是矩形,因 此,根据矩形的面积等于长乘宽,即可用含x 的 代数式表示花圃平行于墙的一边的长,从而求 得y与x之间的函数表达式,再根据实际问题 的意义确定其中自变量x 的取值范围.(2) 根 据列出的函数表达式,已知自变量的值即可求 得相应的函数值. 解答: 解有所悟:解答这类关于确定y与x之间的函数表 达式的问题的关键是找出问题中隐含的等量关系, 再用含x,y的代数式分别表示其中的量,特别要注 意其中自变量的取值范围的确定. 典例3 已知二次函数y=3x2+bx+c,当x= -2时,函数值是0;当x=1时,函数值是6.求 这个二次函数的表达式. 将x=-2,y=0;x=1,y=6分别代入二 次函数的表达式,列出关于b,c的方程组,通过 解方程组求得b,c的值,然后将其代入二次函 数的表达式即可. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 52 解答: 解有所悟:将给出的自变量和相应的函数值代入函 数表达式,即可构建以表达式中未知系数为未知数 的方程(组),通过解方程(组)即可确定未知系数 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. 下列函数中,一定属于二次函数的是 ( ) A. y=x+1 B. y=x2+ 2 x C. y=ax2+bx+c D. y=x2 2. 关于函数 y=(500-10x)(40+x),下列说 法不正确的是 ( ) A. y是x的二次函数B. 二次项系数是-10 C. 一次项是100 D. 常数项是20 000 3. 已知二次函数y=ax2-2b(a≠0),当x=2 时,y=8;当x=-1时,y=-1,则a 的值 为 ,b的值为 .当x=-3 时,y的值为 . 4. 如图,某小区计划在一块长为40m、宽为 26m的矩形空地ABCD 上修建三条宽度为 xm的通道,使其中两条与AD 平行,另一 条与AB 平行,其余部分种草.若每块草坪 的面积都为ym2,求y与x之间的函数表达 式,并写出自变量的取值范围. 第4题 [综合提升] 5. ★已知y=(m-2)xm 2-2m+2+2x-1是关于 x的二次函数,则m 的值为 ( ) A. -2 B. 0 C. 2 D. 0或2 6. 已知二次函数y=ax2+bx,当x=-1时, y=-5;当x=1时,y=9. (1) 求a,b的值; (2) 当x=2时,求二次函数y=ax2+bx 的值. 答案讲解 7. 如图,等腰直角三角形ABC 的直角 边长与正方形MNPQ 的边长均为 20cm,AC 与MN 在同一条直线 上,开始时点A 与点N 重合,让△ABC 以 2cm/s的速度向左运动,最终点A 与点M 重合. (1) 求重叠部分的面积y(cm2)与时间t(s) 之间的函数表达式和自变量的取值范围; (2) 当t=1,t=2时,分别求重叠部分的面积. 第7题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)八年级 28 y1=kx+b,得 4k+b=0, b=2, 解得 k=- 1 2 , b=2. ∴ 直线l1 对 应的函数表达式为y1=- 1 2x+2. (2) 存在.∵ B(0,2), BP∥x轴,∴ 点P 的纵坐标为2.∵ 点P 在直线l2:y2= x上,∴ P(2,2).∴ BP=2.∴ S△BPA= 1 2×2×2=2. ∵ S△BPQ=S△BPA,∴ 易得点Q 的纵坐标为0或4.∵ 点 Q 在直线l2:y2=x 上,∴ 点Q 的坐标为(0,0)或(4, 4).(3) 由题意,可知点M,N 分别在直线l1,l2上,点M, N 的横坐标都为n,∴ M n,-12n+2 ,N(n,n). ∴ MN= -12n+2-n = - 3 2n+2 . 分情况讨论: ① 当∠MDN=90°时,根据直角三角形斜边上的中线等 于斜边的一半,可得1 2 - 3 2n+2 =|n| ,解得n=47 或-4.② 当∠DNM=90°(或∠DMN=90°)时,可得 -32n+2 =|n| ,解得n=45 或4.综上所述,符合条件 的n的值为47 或-4或45 或4. 3 预学储备 第1章　二次函数 1.1 二次函数 知识梳理 ax2+bx+c 二次项系数 一次项系数 常数项 典例演练 典例1 ∵ y=3x2+(2-3x)(2x+1)=-3x2+x+2, ∴ 该函数是二次函数,二次项系数为-3,一次项系数为 1,常数项为2. 典例2 (1) ∵ 花圃垂直于墙的一边的长AB 为x 米, ∴ 花圃平行于墙的一边的长为(24-3x)米.∴ y= x(24-3x)=-3x2+24x.又∵ 0<24-3x≤10,∴ 14 3≤ x<8.∴ y 与x 之间的函数表达式为y=-3x2+24x 14 3≤x<8 .(2) 填表如下: x(米) 5 6 7 y(平方米) 45 36 21 典例3 根 据 题 意,得 3×(-2)2-2b+c=0, 3×12+b+c=6, 解 得 b=5, c=-2. ∴ 这个二次函数的表达式为y=3x2+5x-2. 预学训练 1. D 2. C 3. 3 2 23 4. 根据题意,可知六块草坪可合成长为(40-2x)m、宽为 (26-x)m的矩形.∴ 6y=(40-2x)(26-x).∴ y= 1 3x 2-463x+ 520 3 . 又∵ x>0,40-2x>0,26-x>0, ∴ 0<x<20.∴ y与x之间的函数表达式为y= 1 3x 2- 46 3x+ 520 3 (0<x<20). 5. B 解析:由题意,可知m2-2m+2=2,且m-2≠0, 解得m=0. 利用二次函数的定义求字母的值时,易忽略 二次项系数不为0 根据二次函数自变量的最高次数是2,二次项系数 不为0,列出关于所求字母的方程或不等式(组),解方 程或不等式(组),即可确定二次函数中待定字母的值. 6. (1) 把 x=-1, y=-5, x=1 , y=9 分别代入y=ax2+bx,得 -5=a-b, 9=a+b, 解得 a=2 , b=7. (2) 由(1),知二次函数y= ax2+bx为y=2x2+7x.把x=2代入y=2x2+7x,得 y=22. 7. (1) ∵ △ABC是等腰直角三角形,∴ 易得重叠部分也 是等腰直角三角形.由题意,得AN=2tcm,∴ AM= MN-AN =(20-2t)cm.∴ MH =AM =(20- 2t)cm.∴ y= 1 2 (20-2t)2=2t2-40t+200.∵ 0≤2t≤ 20,∴ 0≤t≤10.∴ y=2t2-40t+200(0≤t≤10).(2) 当 t=1时,y=162;当t=2时,y=128.∴ 当t=1时,重叠 部分的面积为162cm2;当t=2时,重叠部分的面积为 128cm2. 1.2 二次函数的图象1 知识梳理 1. 抛物线 顶点 2. 抛物线 y 坐标原点 上 低 下 高 典例演练 典例1 C 解析:由题意,可知另一条直角边的长为 2xcm,则y= 1 2x ·2x=x2.又∵ x>0,且当x=1时, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈