整合提优自主检测-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（浙教版）

24 a 2.∴ OD=a2+a= 3 2a.∴ 点C的坐标为 32a ,a .将 3 2a ,a 代入y=kx,得a=k·32a,∴ k=23.∴ k的 值不会发生变化. 9. D 10. 6 11. 5 解析:如图,过点 A 作AH⊥x 轴于点 H,则 S△AOH= 1 2|k|.∵ BC⊥x 轴,∴ S△OBC= 1 2|k|=6. ∴ S△AOH= 1 2AH ·OH=6.∵ OA=AB,AH⊥OB, OB=6,∴ OH=HB=3.∴ 1 2AH ·3=6.∴ AH= 4.∴ AB= AH2+HB2= 42+32=5. 第11题 12. (1) 过点A 作AD⊥x轴于点D,过点B 作BE⊥x轴 于点E,则∠ADO=∠OEB=90°.∵ 点A 在反比例函数 y=- 8 x (x<0)的图象上,∴ S△AOD= 1 2×|-8|=4. ∵ OB⊥OA,∴ ∠AOB=90°.∴ ∠AOD+∠BOE= 90°.∵ ∠OEB =90°,∴ ∠BOE + ∠OBE =90°. ∴ ∠AOD = ∠OBE.在 △AOD 和 △OBE 中, ∵ ∠AOD=∠OBE, ∠ADO=∠OEB, OA=BO, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AOD≌△OBE.∴ S△AOD= S△OBE=4.∵ 反比例函数y= k x (x>0)的图象经过点B, ∴ S△OBE= 1 2|k|.∴ 1 2|k|=4.∴ |k|=8.∵ 点B 在第 一象限,∴ k>0.∴ k=8.(2) ∵ 点A 的横坐标为-4, ∴ 把x=-4代入y=- 8 x ,得y=2.∴ 点A 的坐标为 (-4,2).∴ AD=2,OD=4.∵ △AOD≌△OBE, ∴ AD=OE=2,OD=BE=4.∴ 点B 的坐标为(2, 4).∵ S△POB=S△AOB,∴ AB=PB.∵ xB-xA=2- (-4)=6,∴ xP=xB+6=8.∵ yB-yA=4-2=2, ∴ yP=yB+2=6.∴ 点P 的坐标为(8,6). 巧作垂直,事半功倍 解反比例函数与几何图形的综合题,尤其是涉及 图形面积的有关问题时,要充分利用反比例函数表达 式中k的几何意义去简化计算或着手构造辅助线,即 过反比例函数图象上的点向坐标轴作垂线,该点与坐 标原点、两个垂足构成的矩形的面积为|k|,与坐标原 点、一个垂足构成的直角三角形的面积为1 2|k|. 13. D 14. B 解析:如图,连结AC,交BD 于点E.∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AE=BE=CE=DE.设AE=BE= CE=DE=m,D(3,a).∵ BD∥y 轴,∴ B(3,a+2m), A(3+m,a+m).∵ 点A,B 都在反比例函数y= k1 x (x> 0)的图象上,∴ (3+m)(a+m)=3(a+2m).∵ m≠0, ∴ m=3-a.∴ B(3,6-a).∵ 点B(3,6-a)在反比例 函数y= k1 x (x>0)的图象上,点D(3,a)在反比例函数 y= k2 x (x>0)的图象上,∴ k1=3(6-a)=18-3a,k2= 3a.∴ k1+k2=18-3a+3a=18. 第14题 15. (1) ∵ 四边形OFBE 是菱形,四边形OABC是矩形, ∴ OE=BE,AB=OC=2 3,∠BAO=90°.设菱形 OFBE 的边长为x,则OE=BE=x.∵ OA=6,∴ AE= 6-x.在 Rt△ABE 中,由勾股定理,得BE2=AE2+ AB2,即x2=(6-x)2+(23)2,解得x=4,即菱形 OFBE 的边长为4.(2) ∵ 四边形OFBE 是菱形,四边形 OABC是矩形,∴ OE=BF,OA=CB.∴ CB-BF= OA-OE,即CF=AE=6-4=2.∴ 点F 的坐标为 (2,23).将(2,23)代入y= k x ,得23=k2 ,解得k= 43.∴ 反比例函数的表达式为y= 43 x . 当x=6时,y= 23 3 ,∴ 点D 的坐标为 6,233 .∴ AD=233 .∴ BD= AB-AD=23-233 = 43 3 .∴ △BDF 的面积= 1 2BD ·BF=12× 43 3 ×4= 83 3 . 整合提优自主检测 一、 1. C 解析:如图,在AC 上截取AE=AB,连结 DE.∵ AD 平分∠BAC,∴ ∠BAD=∠EAD.在△ABD 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 25 和 △AED 中,∵ AB=AE, ∠BAD=∠EAD AD=AD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,∴ △ABD ≌ △AED.∴ ∠B = ∠AED,BD =ED,∠ADB = ∠ADE.∵ ∠B=2∠ADB,∴ ∠AED=2∠ADB= ∠BDE.∵ ∠CED=180°-∠AED,∠CDE=180°- ∠BDE,∴ ∠CED=∠CDE.∴ CD=CE.∴ AC= AE+CE=AB+CD=3+5=8. 第1题 2. C 解析:∵ AB=AC,∠B=35°,∴ ∠B=∠C= 35°.∴ ∠BAC=110°.当∠BAD=90°时,∠DAC= 110°-90°=20°;当 ∠ADB=90°,即 AD ⊥BC 时, ∠ADC=90°.∴ ∠DAC=180°-∠ADC-∠C=55°.综 上所述,∠DAC 的度数为20°或55°. 3. C 解析:解不等式2x+53 -1≤2-x ,得x≤45. 解不 等式3(x-1)+5>5x+2(m+x),得x<1-m2 .∵ 不等 式2x+5 3 -1≤2-x 的解集中x的每一个值,都能使关于 x的不 等 式3(x-1)+5>5x+2(m+x)成 立, ∴ 1-m 2 > 4 5 ,解得m<-35. 4. B 解析:∵ x2+y2+13=4y-6x,∴ x2+6x+9+ y2-4y+4=0.∴ (x+3)2+(y-2)2=0.∴ x+3=0, y-2=0.∴ x = -3,y =2.∴ 6y-4x = 6×2-4×(-3)=26. 5. B 解析:由题意,得中间的小正方形的边长为33- (75-33)=33-(53-33)= 3.∴ 这个小正方 形的周长为4×3=43. 6. C 解析:连结DN.∵ E,F 分别为DM,MN 的中点, ∴ ED=EM,MF=FN,EF=12DN.∴ 当DN 的长最 大时,EF 的长最大,当 DN 的长最小时,EF 的长最 小.∵ 当点N 与点B 重合时,DN 的长最大,此时DN= DB= AD2+AB2= 52+122=13.∴ EF 长的最大 值为1 2×13=6.5.∵ ∠A=90°,AD=5,∴ 当点N 与点 A 重合时,DN 的长最小,此时DN=AD=5.∴ EF 长的 最小值为1 2×5=2.5.∴ 2.5≤EF≤6.∴ EF 的长可能 为4. 7. A 解析:∵ 四边形ABCD 是菱形,AC=4,BD= 43,∴ AB=BC=CD=AD,AC⊥BD,AO=CO=2, BO=DO=23.∴ ∠AOB=90°.∴ 在Rt△AOB 中, AB= AO2+BO2=4.∴ AB=BC=CD=AD=4.由 折叠,可知BF=OF,∴ ∠FOB=∠FBO.∵ AC⊥BD, ∴ ∠BOC=90°.∴ 易 得∠FCO=∠FOC.∴ OF= CF.∴ OF=CF=BF=12BC=2. 同理,可得BE= OE=AE= 12AB=2.∴ EF 是△ABC 的中位线. ∴ EF=12AC=2.∴ 五边形AEFCD 的周长=4+4+ 2+2+2=14. 8. D 解析:∵ 四边形ABCD 是正方形,∴ AD=CD, ∠A=∠C=∠ABC=∠ADC=90°.由折叠,可知EC= EF,DF=DC,∠DFE=∠C=90°,∴ ∠DFG=90°= ∠A,DF = DA.在 Rt△ADG 和 Rt△FDG 中, ∵ DG=DG, DA=DF, ∴ Rt△ADG ≌ Rt△FDG.∴ AG= FG.∴ AG+EC=FG+EF=GE.故①正确.∵ 正方形 ABCD 的边长是12,∴ AB=BC=12.∵ BE=EC, ∴ BE=EC=EF=6.设AG=FG=x,则GE=x+6, BG=12-x.在 Rt△BGE 中,由勾股定理,得GE2= BE2+BG2,即(x+6)2=62+(12-x)2,解得x=4. ∴ AG=FG=4,BG=8,GE=10.∴ △BGE 的周长为 6+8+10=24,是一个定值.故②正确.∵ Rt△ADG≌ Rt△FDG,∴ ∠ADG=∠FDG.由折叠,可得∠CDE= ∠FDE,∴ ∠GDE=∠FDG+∠FDE= 12 ∠ADC= 45°.故③正确.如图,连结FC 交DE 于点H.根据折叠, 可知DE 是CF 的垂直平分线,∴ FH=CH,∠CHE= 90°.又∵ BE=EC,∴ EH 是△CBF 的中位线.∴ EH∥ BF.∴ ∠BFC=∠CHE=90°.∴ △BFC 的面积等于 1 2BF ·FC.故④正确.综上所述,正确的个数是4. 第8题 9. C 解析:∵ 直线y=- 1 2x+2 与x 轴交于点B,与 y轴交于点A,∴ 易得A(0,2),B(4,0).∴ OA=2,OB= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 26 4.∴ △AOB 的面积为12×2×4=4. 易知OB1=B1B= 1 2OB=2 ,A1B1= 1 2OA=1 ,∴ △A1B1O 的面积为 1 2×2×1=1. 同理,可得△A2B2B1 的 面 积 为 1 4 , △A3B3B2 的面积为 1 16 ……∴ △AnBnBn-1(n≥2)的面 积为 1 4n-1. 10. D 解析:∵ 菱形ABCD 与菱形GFED 关于点D 成 中心对称,∠APO=120°,∴ AP∥CE∥FG,AG∥BC, ∠APG=60°,DC=DG.∴ ∠APG=∠DCG=∠DGC= 60°.∴ ∠BCP=∠DGC=60°.∴ 易得△BPC,△APG 和△CDG 都是等边三角形.∴ BP=BC=PC=CD= CG.如图,过点F 作FH⊥x 轴于点H,连结AC,BF,则 易得AC⊥x轴,BF∥x 轴.设菱形ABCD 和菱形GFED 的边长为a(a>0),则AP=2a,PC=CG=a.∴ AC= AP2-PC2=3a.∵ AP∥FG,∴ ∠FGH=∠APG= 60°.∴ 在Rt△FGH 中,∠GFH=90°-∠FGH=30°. ∴ 易得GH=12a ,FH= 32a.∵ 点P 的坐标为(1,0), ∴ 点 A 的 坐 标 为 (a+1,3a),点 F 的 坐 标 为 1+a+a+12a ,3 2a .∵ 点A,F 在反比例函数y= k x (k>0,x>0)的图象上,∴ 3a(a+1)= 32a1+ 5 2a , 解得a1=0,a2=2.∵ a>0,∴ a=2.∴ 点A 的坐标为 (3,23).∴ k=3×23=63. 第10题 二、 11. 12 解析:延长BE 交AD 于点F.∵ E 是CD 的 中点,∴ DE=CE.∵ AB⊥BC,AB⊥AD,∴ AD∥ BC.∴ ∠D=∠C.又∵ ∠FED=∠BEC,∴ △FDE≌ △BCE.∴ DF=CB=5,FE=BE.∴ BF=2BE=13, AF=AD-DF=5.在Rt△ABF 中,由勾股定理,可得 AB= BF2-AF2=12. 12. 17 解析:将等式变形为(a2-6a+9)+(b2-14b+ 49)=0,即(a-3)2+(b-7)2=0.∵ (a-3)2≥0,(b- 7)2≥0,∴ a-3=0,b-7=0,解得a=3,b=7.当3是腰 长时,三边长分别为3,3,7,3+3<7,不符合三角形的三 边关系,舍去;当3是底边长时,三边长分别为3,7,7,3+ 7>7,符合三角形的三边关系,周长为3+7+7=17.∴ 这 个等腰三角形的周长为17. 13. 2≤a<3 解析:记 -x+a<2①, 3x-1 2 ≤x+1②. 解不等式①,得 x>a-2;解不等式②,得x≤3.∴ 不等式组的解集为 a-2<x≤3.∵ 不等式组恰有3个整数解,∴ 整数解为 1,2,3.∴ 0≤a-2<1.∴ 2≤a<3. 14. 7 8 或4 3 解析:设BE=x,则EC=4-x.由翻折,得 EC'=EC=4-x.分情况讨论:① 当AE=EC'时,AE= 4-x.∵ 在矩形ABCD 中,∠B=90°,∴ 由勾股定理,得 AB2+BE2=AE2,即32+x2=(4-x)2,解得x=78. ∴ BE=78.② 当AE=AC'时,过点A 作AH⊥EC'于点 H,则∠AHE=90°.∵ EF⊥AE,∴ ∠AEF=∠AEC'+ ∠FEC'=90°.∴ ∠AEB+∠FEC=90°.∵ △ECF 沿 EF 翻折得到△EC'F,∴ ∠FEC'=∠FEC.∴ ∠AEC'= ∠AEB,即∠AEH=∠AEB.∵ ∠AHE=∠B=90°, AE=AE,∴ △AHE≌△ABE.∴ HE=BE=x. ∵ AE=AC',AH⊥EC',∴ EC'=2HE,即4-x=2x, 解得x=43.∴ BE=43. 综上所述,当BE=78 或4 3 时, △AEC'是以AE 为腰的等腰三角形. 15. 2 解析:当x=0时,y=2×0+4=4,∴ 点B 的坐标 为(0,4).∴ OB=4.∵ D 为OB 的中点,∴ OD= 1 2OB= 1 2×4=2.∵ 四边形OCDE 为平行四边形,点C 在x轴上,∴ DE∥x 轴,DE=OC.当y=2时,2x+4= 2,解得x=-1,∴ 点E 的坐标为(-1,2).∴ DE=1. ∴ OC=1.∴ ▱OCDE 的面积为OC·OD=1×2=2. 16. ②③ 解析:令AB 与x轴交于点D.在y=mx-2b 中,当x=0时,y=-2b,∴ C(0,-2b).∴ OC=2b. ∵ 四边形AOCB 是菱形,∴ AB=OC=OA=2b.∵ 点 A,B 关 于x 轴 对 称,∴ AB⊥OD,AD =BD =b. ∴ OD= (2b)2-b2= 3b.∴ A(3b,b).故①不正 确.当b=2时,点A 的坐标为(23,2),∴ k=23×2= 43.故②正确.∵ A(3b,b),点A,B 关于x 轴对称, ∴ B(3b,-b).∵ 点B 在直线l:y=mx-2b(m>0, b>0)上,∴ 3bm-2b=-b.∴ m= 33. 故③正确.菱形 AOCB 的面积=AB·OD=2b· 3b=23b2,故④不正 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 27 确.综上所述,正确的是②③. 三、 17. (1) 22. 解析:∵ a与 2是关于4的“共轭二 次根式”,∴ 2a=4.∴ a=4 2 =22. (2) 由 题 意,得 m -2≥0,m4 -2≥0 ,∴ m ≥8. ∵ m-2与 m4-2 是关于2的“共轭二次根式”, ∴ m-2· m4-2=2.∴ (m-2)(m-8)=16. ∴ m2-10m=0,解得m=10或m=0(不舍题意,舍 去).∴ m 的值为10. 18. (1) ∵ C是△ABE 关于点A 的“勾股点”,∴ CA2= CB2+CE2.∵ 四边形ABCD 是矩形,∴ ∠ABC=90°, AB=CD.∴ CA2=CB2+AB2=CB2+CD2.∴ CE= CD.(2) 如图,作△ECD 的高线CF,EG 和△AED 的高 线EH.由题意,得 CE=CD=AB=5,DA=DE=BC= 6.∵ CE=CD,CF⊥DE,∴ EF=DF=12DE=3. 在 Rt△CEF 中,由 勾 股 定 理,得 CF= 52-32 =4. ∵ S△ECD = 1 2DE ·CF = 12CD ·EG,∴ EG = DE·CF CD = 6×4 5 = 24 5.∵ 易 得∠EGD =∠HDG= ∠DHE=90°,∴ 四边形HEGD 是矩形.∴ DH=EG= 24 5.∴ AH=6-245= 6 5. 在Rt△AHE 中,由勾股定理, 得EH2=AE2-AH2;在Rt△DHE 中,由勾股定理,得 EH2=DE2-DH2,∴ AE2-AH2=DE2-DH2,即 AE2- 65 2 =62- 245 2 .∴ AE=6 105 . 第18题 几何新定义问题的解题策略 对于此类题目,解题时首先需要结合图形理解定 义,挖掘其中的关键条件;其次是数形结合,利用新定 义得到图形中相关量之间的关系,再建立合适的模型 解决问题.例如本题中必须先理解“勾股点”的定义, 然后根据“C 是△ABE 关于点A 的‘勾股点’”数形结 合得到CA2=CB2+CE2 这一隐含条件,为顺利解题 奠定基础. 19. (1) 设参加此次劳动实践活动的老师有x名,则学生 有(30x+7)名.根据题意,得30x+7=31x-1,解得x= 8.∴ 30x+7=30×8+7=247.∴ 参加此次劳动实践活 动的老师有8名,学生有247名.(2) ∵ 每名老师负责 1辆车的组织工作,∴ 一共租8辆客车.设租甲型客车 m 辆,则 租 乙 型 客 车 (8-m)辆.根 据 题 意,得 35m+30(8-m)≥247+8, 400m+320(8-m)≤3000, 解得3≤m≤5.5.∵ m 为 整数,∴ m 可取3,4,5.∴ 一共有3种租车方案:租甲型 客车3辆,租乙型客车5辆;租甲型客车4辆,租乙型客车 4辆;租甲型客车5辆,租乙型客车3辆.(3) 设租甲型客 车n辆,则租乙型客车(8-n)辆,该中学的租车总费用是 w 元,则w=400n+320(8-n)=80n+2 560.∵ 80>0, ∴ w 随n的增大而增大.由(2),知3≤n≤5.5,∴ 当n= 3时,w 取最小值,此时w=80×3+2 560=2 800.∴ 该 中学的租车总费用最少是2 800元. 20. (1) 如图,过点A 作AH⊥BO 于点H.∵ △ABO 为 等腰直角三角形,点A 的坐标为(m,2),∴ AH=BH= OH=2.∴ 点A 的坐标为(-2,2),即m=-2.由平移的 性质,可得yD=yA=2.∵ 点D 在反比例函数y= 8 x (x>0)的图象上,∴ xD= 8 2=4.∴ 点D 的坐标为(4, 2).(2) ∵ 点A 的坐标为(-2,2),点D 的坐标为(4,2), ∴ 等腰直角三角形ABO 向右平移了6个单位.∴ 易得 点F 的坐标为(6,0).设DF 所在的直线对应的函数表达 式为 y=kx+b.把 D (4,2),F (6,0)代 入,得 4k+b=2, 6k+b=0, 解得 k=-1 , b=6. ∴ DF 所在的直线对应的函数 表达式为y=-x+6.(3) 如图,延长FD,交反比例函数 的 图 象 于 点 G,连 结 EG.联 立 y=-x+6, y= 8 x , 解 得 x=2, y=4 或 x=4 , y=2. ∴ 点G 的坐标为(2,4).∵ 易得EF= BO=4,∴ S△EFG= 1 2EF ·yG= 1 2×4×4=8. 第20题 21. (1) ∵ (a-4)2+ b-2=0,∴ a=4,b=2.∴ 点 A,B 的坐标分别为(4,0),(0,2).把A(4,0),B(0,2)代入 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 28 y1=kx+b,得 4k+b=0, b=2, 解得 k=- 1 2 , b=2. ∴ 直线l1 对 应的函数表达式为y1=- 1 2x+2. (2) 存在.∵ B(0,2), BP∥x轴,∴ 点P 的纵坐标为2.∵ 点P 在直线l2:y2= x上,∴ P(2,2).∴ BP=2.∴ S△BPA= 1 2×2×2=2. ∵ S△BPQ=S△BPA,∴ 易得点Q 的纵坐标为0或4.∵ 点 Q 在直线l2:y2=x 上,∴ 点Q 的坐标为(0,0)或(4, 4).(3) 由题意,可知点M,N 分别在直线l1,l2上,点M, N 的横坐标都为n,∴ M n,-12n+2 ,N(n,n). ∴ MN= -12n+2-n = - 3 2n+2 . 分情况讨论: ① 当∠MDN=90°时,根据直角三角形斜边上的中线等 于斜边的一半,可得1 2 - 3 2n+2 =|n| ,解得n=47 或-4.② 当∠DNM=90°(或∠DMN=90°)时,可得 -32n+2 =|n| ,解得n=45 或4.综上所述,符合条件 的n的值为47 或-4或45 或4. 3 预学储备 第1章　二次函数 1.1 二次函数 知识梳理 ax2+bx+c 二次项系数 一次项系数 常数项 典例演练 典例1 ∵ y=3x2+(2-3x)(2x+1)=-3x2+x+2, ∴ 该函数是二次函数,二次项系数为-3,一次项系数为 1,常数项为2. 典例2 (1) ∵ 花圃垂直于墙的一边的长AB 为x 米, ∴ 花圃平行于墙的一边的长为(24-3x)米.∴ y= x(24-3x)=-3x2+24x.又∵ 0<24-3x≤10,∴ 14 3≤ x<8.∴ y 与x 之间的函数表达式为y=-3x2+24x 14 3≤x<8 .(2) 填表如下: x(米) 5 6 7 y(平方米) 45 36 21 典例3 根 据 题 意,得 3×(-2)2-2b+c=0, 3×12+b+c=6, 解 得 b=5, c=-2. ∴ 这个二次函数的表达式为y=3x2+5x-2. 预学训练 1. D 2. C 3. 3 2 23 4. 根据题意,可知六块草坪可合成长为(40-2x)m、宽为 (26-x)m的矩形.∴ 6y=(40-2x)(26-x).∴ y= 1 3x 2-463x+ 520 3 . 又∵ x>0,40-2x>0,26-x>0, ∴ 0<x<20.∴ y与x之间的函数表达式为y= 1 3x 2- 46 3x+ 520 3 (0<x<20). 5. B 解析:由题意,可知m2-2m+2=2,且m-2≠0, 解得m=0. 利用二次函数的定义求字母的值时,易忽略 二次项系数不为0 根据二次函数自变量的最高次数是2,二次项系数 不为0,列出关于所求字母的方程或不等式(组),解方 程或不等式(组),即可确定二次函数中待定字母的值. 6. (1) 把 x=-1, y=-5, x=1 , y=9 分别代入y=ax2+bx,得 -5=a-b, 9=a+b, 解得 a=2 , b=7. (2) 由(1),知二次函数y= ax2+bx为y=2x2+7x.把x=2代入y=2x2+7x,得 y=22. 7. (1) ∵ △ABC是等腰直角三角形,∴ 易得重叠部分也 是等腰直角三角形.由题意,得AN=2tcm,∴ AM= MN-AN =(20-2t)cm.∴ MH =AM =(20- 2t)cm.∴ y= 1 2 (20-2t)2=2t2-40t+200.∵ 0≤2t≤ 20,∴ 0≤t≤10.∴ y=2t2-40t+200(0≤t≤10).(2) 当 t=1时,y=162;当t=2时,y=128.∴ 当t=1时,重叠 部分的面积为162cm2;当t=2时,重叠部分的面积为 128cm2. 1.2 二次函数的图象1 知识梳理 1. 抛物线 顶点 2. 抛物线 y 坐标原点 上 低 下 高 典例演练 典例1 C 解析:由题意,可知另一条直角边的长为 2xcm,则y= 1 2x ·2x=x2.又∵ x>0,且当x=1时, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 47 整合提优自主检测 (满分:120分 时间:120分钟) 一、 选择题(每小题4分,共40分) 1. 如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,∠B= 2∠ADB,AB=3,CD=5,则AC 的长为 ( ) 第1题 A. 15 B. 11 C. 8 D. 6 2. 如图,在△ABC 中,AB=AC,∠B=35°,D 是边BC 上的动点,连结AD.若△ABD 为 直角三角形,则∠DAC 的度数为 ( ) A. 20° B. 35° C. 20°或55° D. 20°或35° 第2题 第5题 答案讲解 3. 若不等式2x+5 3 -1≤2-x 的解集 中x的每一个值,都能使关于x 的 不等式3(x-1)+5>5x+2(m+x)成立, 则m 的取值范围是 ( ) A. m>-35 B. m<-15 C. m<-35 D. m>-15 4. 已 知 x2+y2+13=4y-6x,则 化 简 6y-4x的结果是 ( ) A. 0 B. 26 C. 46 D. 12 5. 如图,用四张大小一样的矩形纸片拼成一个 正方形ABCD,它的面积是75,AE=33, 图中空白的地方是一个小正方形,那么这个 小正方形的周长为 ( ) A. 23 B. 43 C. 53 D. 63 6. 如图,在四边形ABCD 中,∠A=90°,AB= 12,AD=5,M,N 分别为线段BC,AB 上的 动点,E,F 分别为DM,MN 的中点,则EF 的长可能为 ( ) A. 2 B. 2.3 C. 4 D. 7 第6题 第7题 7. 菱形ABCD 的对角线相交于点O,AC=4, BD=43.将菱形ABCD 按如图所示的方 式折叠,使点B 与点O 重合,折痕为EF,则 五边形AEFCD 的周长是 ( ) A. 14 B. 16 C. 4+43 D. 8+83 答案讲解 8. 如图,正方形ABCD 的边长为12, BE=EC,将正方形 ABCD 的边 DC 沿DE 折叠到DF,延长EF 交 AB 于点G,连结 DG,BF.有下列结论: ① AG+EC=GE;② △BGE 的周长是一 个定值;③ ∠GDE=45°;④ 若连结FC,则 △BFC 的面积等于12BF ·FC.其中,正确 的个数是 ( ) 第8题 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 拍 照 批 改 48 9. 如图,直线y=- 1 2x+2 与x 轴交于点B, 与y轴交于点A.过线段AB 的中点A1 作 A1B1⊥x 轴于点B1,连结 OA1;过线段 A1B 的中点A2 作A2B2⊥x 轴于点B2,连 结B1A2;过线段A2B 的中点A3作A3B3⊥ x 轴于点B3,连结 B2A3……依此类推, △AnBnBn-1(n≥2)的面积为 ( ) A. 1 2n-1 B. 1 2n C. 1 4n-1 D. 1 4n 第9题 第10题 10. 如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD 与 菱形GFED 关于点D 成中心对称,点C,G 在x轴的正半轴上,点A,F 在反比例函数 y= k x (k>0,x>0)的图象上,延长AB 交 x轴于点P(1,0).若∠APO=120°,则k的 值是 ( ) A. 3 B. 33 C. 6 D. 63 二、 填空题(每小题4分,共24分) 第11题 11. (鄂尔多斯中考)如图,AB⊥ BC 于点B,AB⊥AD 于点 A,E是CD 的中点.若BC= 5,AD=10,BE=132 ,则AB 的长是 . 12. 若某等腰三角形的两边长a,b满足a2+ b2-6a-14b+58=0,则这个等腰三角形 的周长为 . 13. (达州 中 考)已 知 关 于 x 的 不 等 式 组 -x+a<2, 3x-1 2 ≤x+1 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 恰有3个整数解,则a的取 值范围是 . 14. (盐城中考)如图,在矩形ABCD 中,AB= 3,AD=4,E,F 分别是边BC,CD 上的点, EF⊥AE,将 △ECF 沿 EF 翻 折 得 到 △EC'F,连结AC'.当BE= 时, △AEC'是以AE 为腰的等腰三角形. 第14题 第15题 15. (葫芦岛中考)如图,直线y=2x+4与x轴 交于点A,与y轴交于点B,D 为OB 的中 点,▱OCDE 的顶点C 在x 轴上,顶点E 在 直 线 AB 上,则 ▱OCDE 的 面 积 为 . 答案讲解 16. (玉林中考)如图,点A 在反比例 函数y= k x (k>0,x>0)的图象 上,点B 在直线l:y=mx-2b(m>0,b> 0)上,点A,B 关于x 轴对称,直线l与 y轴交于点C.当四边形AOCB 是菱形时, 有下列结论:① A(b,3b);② 当b=2时, k=43;③ m= 33 ;④ S四边形AOCB=2b2.其 中,正确的是 (填序号). 第16题 三、 解答题(共56分) 17. (8分)定义:若两个二次根式a,b满足ab= c,且c是有理数,则称a 与b是关于c的 “共轭二次根式”. (1) 若a与2是关于4的“共轭二次根式”, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)八年级 49 则a= ; (2) 若 m-2与 m4-2 是关于2的“共轭 二次根式”,求m 的值. 18. ★(10分)如图①,平面内有一点 P 到 △ABC 的三个顶点的距离分别为PA, PB,PC 的长.若满足PA2=PB2+PC2, 则称P 为△ABC 关于点A 的“勾股点”. 如图②,E 是矩形ABCD 内一点,且C 是 △ABE 关于点A 的“勾股点”,连结DE. (1) 求证:CE=CD; (2) 若AB=5,BC=6,DA=DE,求AE 的长. 第18题 答案讲解 19. (10分)(内江中考)某中学组织全 体学生前往某劳动实践基地开展 劳动实践活动.在此次活动中,若 每名老师带30名学生,则还剩7名学生没 老师带;若每名老师带31名学生,就有1名 老师少带1名学生.现有甲、乙两种型号的 客车,它们的载客量和租金如下表: 客 车 甲型 乙型 载客量(人/辆) 35 30 租金(元/辆) 400 320 该中学计划此次劳动实践活动的租车总费 用不超过3 000元. (1) 参加此次劳动实践活动的老师和学生 各有多少名? (2) 若每名老师负责1辆车的组织工作, 问:有哪几种租车方案? (3) 该中学的租车总费用最少是多少元? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 50 20. (14分)(雅安中考)如图,在平面直角坐标 系中,等腰直角三角形ABO 的直角顶点A 的坐标为(m,2),点B 在x轴上,将△ABO 向右平移得到△DEF,使点D 恰好在反比 例函数y= 8 x (x>0)的图象上. (1) 求m 的值和点D 的坐标; (2) 求DF 所在的直线对应的函数表达式; (3) 若该反比例函数的图象与DF 所在的 直线的另一个交点为G,求S△EFG. 第20题 答案讲解 21. (14分)如图,在平面直角坐标系 中,直线l1:y1=kx+b经过A(a, 0),B(0,b)两点,且a,b满足(a- 4)2+ b-2=0,过点B 作BP∥x轴,交直 线l2:y2=x于点P,连结PA. (1) 求直线l1对应的函数表达式. (2) 在直线l2 上是否存在一点Q,使得 S△BPQ=S△BPA? 若存在,求出点Q 的坐 标;若不存在,请说明理由. (3) C(n,0)是x 轴上的一个动点,D 是 y轴上的一个动点,过点C 作x 轴的垂线 交直线l1,l2 于点M,N.若△MND 是等 腰直角三角形,请求出符合条件的n的值. 第21题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)八年级