专题8 函数与几何图形的综合-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（浙教版）

23 8 2n5 ,∴ d2 d1= 8 2n5 8 n5 = 2n5 ·5 n = 2.∴ 他看到的 最远水平距离是原来的2倍. 20. (1) 如图,分别过点E,D 作EG⊥AB,DH⊥AB,垂 足分别为G,H.∴ EG∥DH.∵ CD∥AB,∴ 易得四边形 DEGH 是矩形.∴ EG=DH=10m,ED=GH=3m, ∠DHA=∠EGF=90°.∵ ∠DAH=45°,∴ ∠ADH= 45°=∠DAH.∴ AH=DH=10m.在Rt△EFG 中,i= 1∶ 3=EG∶FG,∴ FG= 3EG=103m.∴ AF= FG+GH-AH=103+3-10=(103-7)m.∴ 加固 后堤坝下底增加的宽度AF 为(103-7)m.(2) 加固部 分主体的体积=S梯形AFED×500= 1 2× (3+103-7)× 10×500=(25 0003-10 000)m3.∴ 完成这项工程需要 土石(25 0003-10 000)m3. 第20题 专题八　函数与几何图形的综合 1. D 解析:∵ 一次函数y= 3 4x+6 的图象与x 轴、 y轴分别交于点A,B,令y=0,得x=-8,令x=0,得 y=6,∴ A(-8,0),B(0,6).∵ 过点B 的直线l平分 △ABO 的面积,∴ AC=OC.∴ C(-4,0).设直线l对应 的函数表达式为y=kx+6.把C(-4,0)代入,得-4k+ 6=0,解得k=32.∴ 直线l对应的函数表达式为y= 3 2x+6. 2. 答案不唯一,如1 3. 4 解析:把x=2分别代入y=x和y=3x,可得点B 的坐标是(2,2),点C 的坐标是(2,6),∴ BC=6-2= 4.∵ 点 A 的坐标是(2,0),∴ OA=2.∴ S△OCB = 1 2BC ·OA=12×4×2=4. 4. 4 5. (1) 将(0,4)代入y=- 4 3x+b ,得b=4,∴ 直线l对 应的函数表达式为y=- 4 3x+4. 令y=0,得0= -43x+4 ,解得x=3.∴ 点A 的坐标是(3,0).(2) 当 △ABC为轴对称图形时,△ABC为等腰三角形.∵ A(3, 0),B(0,4),∴ OA=3,OB=4.∴ AB= 32+42=5.分 情况讨论:当AB=BC=5时,若点C 在点B 的上方,则 OC=OB+BC=9,此时点C运动的时间为(10-9)÷1= 1(秒);若点C在点B 的下方,则OC=BC-OB=1,点C 的坐标为(0,-1),此时点C 运动的时间为(10+1)÷1= 11(秒).当AB=AC=5时,易得点C 的坐标为(0,-4), 此时点C 运动的时间为[10-(-4)]÷1=14(秒).当 AC=BC 时,点C 在点O,B 之间,设AC=BC=a,则 OC=4-a.在Rt△ACO 中,OA2+OC2=AC2,即32+ (4-a)2=a2,解得a=258.∴ OC=4-258= 7 8.∴ 点C 的坐标为 0,78 ,此时点C 运动的时间为 10-78 ÷ 1=738 (秒).综上所述,当△ABC 为轴对称图形时,点C 运动的时间为1秒或11秒或14秒或738 秒. 6. C 解析:∵ 菱形ABCD 的顶点C 的坐标为(-1,0), 点B 的坐标为(0,2),AC⊥x 轴,∴ 易得点D 的坐标为 (-2,2).∴ 菱形ABCD 沿x轴向右平移2个单位时,点 D 在OM 上.在y=- 1 2x+5 中,令y=2,则- 1 2x+ 5=2,解得x=6.∴ 菱形ABCD 沿x轴向右平移2+6= 8(个)单位时,点D 在MN 上.∵ 点D 落在△MON 的内 部(不包括三角形的边),∴ 2<m<8.∴ m 的值可能 是4. 7. A 解析:∵ 点B1 的坐标为(1,1),点B2 的坐标为 (3,2),∴ 正 方 形 A1B1C1O 的 边 长 为 1,正 方 形 A2B2C2C1 的边长为2.∴ 点 A1 的坐标为(0,1),点 A2 的坐标为(1,2).把(0,1),(1,2)代入y=kx+b(k> 0),得 b=1, k+b=2, 解得 k=1 , b=1. ∴ 直线A1A2 对应的函数表 达式为y=x+1.∵ 点B2 的坐标为(3,2),∴ 点A3 的坐 标为(3,4).∴ 易得点B3 的坐标为(7,4).依此规律,点 Bn 的横坐标为2n-1,纵坐标为2n-1.∴ 点Bn 的坐标为 (2n-1,2n-1). 8. (1) 2 3. 解析:∵ 正 方 形 ABCD 的 边 长 为2, ∴ AB=CD=AD=2.∴ 点B 的纵坐标为2.在y=2x 中,令y=2,得x=1,∴ B(1,2).∴ OA=1.∴ OD=1+ 2=3.∴ 点C 的坐标为(3,2).将(3,2)代入y=kx,得 2=3k,解得k=23. (2) k的值不会发生变化.理由:∵ 正方形ABCD 的边长 为a,∴ AB=CD=AD=a.∴ 点B 的纵坐标为a.在 y=2x 中,令y=a,得x= a 2 ,∴ B a2 ,a .∴ OA= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 24 a 2.∴ OD=a2+a= 3 2a.∴ 点C的坐标为 32a ,a .将 3 2a ,a 代入y=kx,得a=k·32a,∴ k=23.∴ k的 值不会发生变化. 9. D 10. 6 11. 5 解析:如图,过点 A 作AH⊥x 轴于点 H,则 S△AOH= 1 2|k|.∵ BC⊥x 轴,∴ S△OBC= 1 2|k|=6. ∴ S△AOH= 1 2AH ·OH=6.∵ OA=AB,AH⊥OB, OB=6,∴ OH=HB=3.∴ 1 2AH ·3=6.∴ AH= 4.∴ AB= AH2+HB2= 42+32=5. 第11题 12. (1) 过点A 作AD⊥x轴于点D,过点B 作BE⊥x轴 于点E,则∠ADO=∠OEB=90°.∵ 点A 在反比例函数 y=- 8 x (x<0)的图象上,∴ S△AOD= 1 2×|-8|=4. ∵ OB⊥OA,∴ ∠AOB=90°.∴ ∠AOD+∠BOE= 90°.∵ ∠OEB =90°,∴ ∠BOE + ∠OBE =90°. ∴ ∠AOD = ∠OBE.在 △AOD 和 △OBE 中, ∵ ∠AOD=∠OBE, ∠ADO=∠OEB, OA=BO, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AOD≌△OBE.∴ S△AOD= S△OBE=4.∵ 反比例函数y= k x (x>0)的图象经过点B, ∴ S△OBE= 1 2|k|.∴ 1 2|k|=4.∴ |k|=8.∵ 点B 在第 一象限,∴ k>0.∴ k=8.(2) ∵ 点A 的横坐标为-4, ∴ 把x=-4代入y=- 8 x ,得y=2.∴ 点A 的坐标为 (-4,2).∴ AD=2,OD=4.∵ △AOD≌△OBE, ∴ AD=OE=2,OD=BE=4.∴ 点B 的坐标为(2, 4).∵ S△POB=S△AOB,∴ AB=PB.∵ xB-xA=2- (-4)=6,∴ xP=xB+6=8.∵ yB-yA=4-2=2, ∴ yP=yB+2=6.∴ 点P 的坐标为(8,6). 巧作垂直,事半功倍 解反比例函数与几何图形的综合题,尤其是涉及 图形面积的有关问题时,要充分利用反比例函数表达 式中k的几何意义去简化计算或着手构造辅助线,即 过反比例函数图象上的点向坐标轴作垂线,该点与坐 标原点、两个垂足构成的矩形的面积为|k|,与坐标原 点、一个垂足构成的直角三角形的面积为1 2|k|. 13. D 14. B 解析:如图,连结AC,交BD 于点E.∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AE=BE=CE=DE.设AE=BE= CE=DE=m,D(3,a).∵ BD∥y 轴,∴ B(3,a+2m), A(3+m,a+m).∵ 点A,B 都在反比例函数y= k1 x (x> 0)的图象上,∴ (3+m)(a+m)=3(a+2m).∵ m≠0, ∴ m=3-a.∴ B(3,6-a).∵ 点B(3,6-a)在反比例 函数y= k1 x (x>0)的图象上,点D(3,a)在反比例函数 y= k2 x (x>0)的图象上,∴ k1=3(6-a)=18-3a,k2= 3a.∴ k1+k2=18-3a+3a=18. 第14题 15. (1) ∵ 四边形OFBE 是菱形,四边形OABC是矩形, ∴ OE=BE,AB=OC=2 3,∠BAO=90°.设菱形 OFBE 的边长为x,则OE=BE=x.∵ OA=6,∴ AE= 6-x.在 Rt△ABE 中,由勾股定理,得BE2=AE2+ AB2,即x2=(6-x)2+(23)2,解得x=4,即菱形 OFBE 的边长为4.(2) ∵ 四边形OFBE 是菱形,四边形 OABC是矩形,∴ OE=BF,OA=CB.∴ CB-BF= OA-OE,即CF=AE=6-4=2.∴ 点F 的坐标为 (2,23).将(2,23)代入y= k x ,得23=k2 ,解得k= 43.∴ 反比例函数的表达式为y= 43 x . 当x=6时,y= 23 3 ,∴ 点D 的坐标为 6,233 .∴ AD=233 .∴ BD= AB-AD=23-233 = 43 3 .∴ △BDF 的面积= 1 2BD ·BF=12× 43 3 ×4= 83 3 . 整合提优自主检测 一、 1. C 解析:如图,在AC 上截取AE=AB,连结 DE.∵ AD 平分∠BAC,∴ ∠BAD=∠EAD.在△ABD 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 44 专题八　函数与几何图形的综合 一次函数的图象是一条直线.反比例函数的图象是双曲线.一次函数的图象与坐标轴或其他 直线可构成三角形.双曲线不能与坐标轴相交,但可与其他直线或三角形、四边形等构成较复杂 的图形,这就是函数与几何图形的综合问题,解决这类综合问题时要注意数形结合思想及转化思 想的应用,要借助交点和关键点的坐标及图形的几何特征求解. 类型一 一次函数图象与三角形的综合 1. 如图,一次函数y= 3 4x+6 的图象与x 轴、 y轴分别交于点A,B,过点B 的直线l平分 △ABO 的面积,交x 轴于点C,则直线l对 应的函数表达式为 ( ) A. y= 1 2x+6 B. y=2x+6 C. y= 2 3x+6 D. y= 3 2x+6 第1题 第2题 2. 如图,直线y=- 3 2x+3 与x 轴、y 轴分别 交于点A,B,点P(m,1)在△AOB 的内部 (不含边界),则m 的值可能是 (写 出一个即可). 3. 如图,过点A(2,0)作x轴的垂线,与正比例 函数y=x 和y=3x 的图象分别交于点B, C,则△OCB 的面积为 . 第3题 第4题 4. 如图,直线y=k1x+b1与y=k2x+b2相交 答案讲解 于点A(-2,0),与y轴分别交于点 B,C,且与y轴围成的△ABC 的面 积为4,则b1-b2的值为 . 5. 如图,直线l对应的函数表达式为y=- 4 3x+ b,它与两坐标轴分别交于A,B 两点,其中 点B 的坐标为(0,4). (1) 求点A 的坐标. (2) 动点C 从y轴上的点(0,10)出发,以每 秒1个单位的速度向y轴的负半轴运动,连 结AC.当△ABC 为轴对称图形时,求点C 运动的时间. 第5题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)八年级 拍 照 批 改 45 类型二 一次函数图象与四边形的综合 6. 如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD 的 顶点C 的坐标为(-1,0),点B 的坐标为(0, 2),AC⊥x 轴,点A 在第二象限.直线y= -12x+5 与x轴、y轴分别交于点N,M.将 菱形ABCD 沿x 轴向右平移m 个单位,当 点D 落在△MON 的内部(不包括三角形的 边)时,m 的值可能是 ( ) 第6题 A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 答案讲解 7. 正 方 形 A1B1C1O,A2B2C2C1, A3B3C3C2,…按如图所示的方式 放置,点A1,A2,A3,…和点C1, C2,C3,…分别在直线y=kx+b(k>0)和 x轴上.已知点B1(1,1),B2(3,2),则点Bn 的坐标为 ( ) 第7题 A. (2n-1,2n-1) B. (2n-1+1,2n-1) C. (2n-1,2n-1) D. (2n-1,n) 8. 如图,四边形ABCD 是正方形,点B,C 分别 在正比例函数y=2x 和y=kx 的图象上, A,D 是x轴上的两点. (1) 若此正方形的边长为2,则k 的值为 . (2) 若此正方形的边长为a,则k的值是否 会发生变化? 若不会发生变化,请说明理 由;若会发生变化,请求出k的值. 第8题 类型三 反比例函数图象与三角形的综合 9. (怀化中考)如图,直线AB 交x轴于点C,交 反比例函数y= a-1 x (a>1)的图象于A,B 两点,过点B 作BD⊥y 轴,垂足为D,连结 CD.若S△BCD=5,则a的值为 ( ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 第9题 第10题 答案讲解 10. (烟台中考)如图,A,B 是反比例 函数y= k x (x>0)的图象上的两 点,连结OA,OB.过点A 作AC⊥x 轴于 点C,交OB 于点D.若D 为AC 的中点, △AOD 的面积为3,点B 的坐标为(m,2), 则m 的值为 . 第11题 11. 如图,点A 在反比例函 数y= k x (x>0)的图象 上,点B 在x轴的正半 轴 上,OB =6.连 结 OA,AB,且OA=AB. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 46 过点B 作BC⊥OB,交反比例函数y= k x (x>0)的图象于点C,连结OC 交AB 于点 D.若S△OBC=6,则AB 的长为 . 12. ★如图,点A 在反比例函数y=- 8 x (x<0) 的图象上,点B 在第一象限,OB⊥OA,且 OB=OA. (1) 若反比例函数y= k x (x>0)的图象经 过点B,求k的值; (2) 若点A 的横坐标为-4,点P 在第一象 限,且在直线 AB 上(不与点 B 重合), S△POB=S△AOB,求点P 的坐标. 第12题 类型四 反比例函数图象与四边形的综合 13. (龙东地区中考)如图,在平面直角坐标系 中,O 为坐标原点,▱OBAD 的顶点B 在反 比例函数y= 3 x (x>0)的图象上,顶点A 在反比例函数y= k x (x<0)的图象上,顶点 D 在x轴的负半轴上.若▱OBAD 的面积 是5,则k的值是 ( ) A. 2 B. 1 C. -1 D. -2 第13题 第14题 14. (十堰中考)如图,正方形ABCD 的顶点分 别在反比例函数y= k1 x (x>0)和y= k2 x (x>0)的图象上.若BD∥y 轴,点D 的横 坐标为3,则k1+k2的值为 ( ) A. 36 B. 18 C. 12 D. 9 答案讲解 15. 如图,在平面直角坐标系中,矩形 OABC的两边分别在x轴、y轴的 正半轴上,OA=6,OC=23,点 E,F 分 别 在 边OA,CB 上,且 四 边 形 OFBE 是菱形. (1) 求菱形OFBE 的边长; (2) 若反比例函数y= k x (x>0)的图象过 点F,交边AB 于点D,连结DF,求△BDF 的面积. 第15题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)八年级