专题7 二次根式的性质与计算-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（浙教版）

22 专题七　二次根式的性质与计算 1. A 2. A 解析:∵ a+b+5≥0,|2a-b+1|≥0,且 a+b+5+|2a-b+1|=0,∴ a+b+5=0,|2a- b+1|=0.∴ a+b+5=0, 2a-b+1=0, 解得 a=-2 , b=-3. ∴ (b- a)2023=(-1)2023=-1. 3. 2<x≤3且x≠2.5 解析:根据题意,得3-x≥0, x-2>0,x-2.5≠0,解得2<x≤3且x≠2.5. 4. 10 解析:由题意,得3a-6≥0,2-a≥0,∴ a=2. ∴ b=4.分情况讨论:① 当2为腰长时,三条边的长分别为 2,2,4.∵ 2+2=4,∴ 不能组成三角形.② 当2为底边长 时,三条边的长分别为2,4,4.∵ 2+4>4,∴ 能组成三角 形.∴ 周长为2+4+4=10.综上所述,此等腰三角形的周 长为10. 5. D 解析:由数轴,易知m-n<0,2m+n<0,m<0, ∴ 原式=2|m-n|-|2m+n|-|m|=-2m+2n+ 2m+n+m=3n+m. 6. C 解析:原式= (2x-1)2-(1-3x)=|2x-1|- 1+3x.由 1-3x有意义,可知1-3x≥0,∴ x≤13. ∴ 2x-1≤-13<0.∴ 原式=|2x-1|-1+3x=1- 2x-1+3x=x. 易忽视题目中的隐含条件 给出算式要求化简,则说明原式一定有意义,这是 题目的隐含条件,在求解时若忽视这一条件,容易造成 化简失误,故本题的解题关键是确定x的取值范围. 7. ∵ x2-4x+m= (x-2)2+m-4,且无论x 取 何实数,代数式 x2-4x+m 都有意义,∴ m-4≥0. ∴ m≥4.当m≥4时, (m-3)2+ (4-m)2=(m- 3)+(m-4)=2m-7. 8. (1) (x+1)2=|x+1|, (x-2)2=|x-2|.令 x+1=0,得 x= -1;令 x-2=0,得 x=2. ∴ (x+1)2的零点值为-1, (x-2)2 的零点值为 2.(2) 原式= (x+3)2+ (x-1)2- (x-2)2= |x+3|+|x-1|-|x-2|.令x+3=0,得x=-3;令 x-1=0,得x=1;令x-2=0,得x=2.当x<-3时,原 式=-(x+3)-(x-1)+(x-2)=-x-4;当-3≤x< 1时,原式=(x+3)-(x-1)+(x-2)=x+2;当1≤ x<2时,原式=(x+3)+(x-1)+(x-2)=3x;当x≥ 2时,原式=(x+3)+(x-1)-(x-2)=x+4. 9. C 10. C 11. 5+2 解析:(5+2)2 023×(5-2)2 022=[(5+ 2)2 022×(5-2)2 022]×(5+2)=[(5+2)×(5- 2)]2 022×(5+2)=[(5)2-22]2 022×(5+2)=12 022× (5+2)=5+2. 12. ∵ (6+ 11)2=17+2 66,( 14+ 3)2=17+ 2 42,17+2 66>17+2 42,∴ (6+ 11)2> (14+3)2.又∵ 6+ 11>0,14+3>0,∴ 6+ 11> 14+3. 13. (1) 原式=23+2+3-(4+43+3)=33+2- 7-43=-3-5.(2) 原式=12-6+2-332 =8- 33 2 . 14. D 15. A 解析:∵ x= 5+12 ,∴ x2-x=x(x-1)= 5+1 2 × 5+1 2 -1 = 5+12 × 5-12 = 1. ∴ x2-x+1+23 (x2-x)2+2+3 = 1+1+23 12+2+3 = 2+23 3+3 = (2+23)×(3-3) (3+3)×(3-3) =233 . 16. 原式=2(a2-3)-a2+2a+7=2a2-6-a2+2a+ 7=a2+2a+1=(a+1)2.当a= 2-1时,原式=(2- 1+1)2=2. 17. ∵ 3+ 12+ 34 =m+n 3 ,3+ 12+ 3 4=3+23+ 3 2= 73 2 ,∴ m=0,n=72.∴ (m- n)2+2n= 0-72 2 +2×72= 49 4+7= 77 4. 18. 原 式 = x-y(x+y)(x-y)+ x+y(x+y)(x-y) ÷ 1 y(x+y)= 2x (x+y)(x-y) ·y(x+y)= 2xy x-y.∵ x= 5+3,y=5-3,∴ xy=(5+3)×(5-3)=2, x-y =(5+3)-(5- 3)=23.∴ 原式=2xyx-y= 2×2 23 =233 . 19. 设该登山者站在竖直高度为nm的山底,看到的最远 水平距离为d1m;在竖直高度为2nm的山顶,看到的最 远水平距离为d2 m.由题意,得d1=8 n 5 ,d2= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 23 8 2n5 ,∴ d2 d1= 8 2n5 8 n5 = 2n5 ·5 n = 2.∴ 他看到的 最远水平距离是原来的2倍. 20. (1) 如图,分别过点E,D 作EG⊥AB,DH⊥AB,垂 足分别为G,H.∴ EG∥DH.∵ CD∥AB,∴ 易得四边形 DEGH 是矩形.∴ EG=DH=10m,ED=GH=3m, ∠DHA=∠EGF=90°.∵ ∠DAH=45°,∴ ∠ADH= 45°=∠DAH.∴ AH=DH=10m.在Rt△EFG 中,i= 1∶ 3=EG∶FG,∴ FG= 3EG=103m.∴ AF= FG+GH-AH=103+3-10=(103-7)m.∴ 加固 后堤坝下底增加的宽度AF 为(103-7)m.(2) 加固部 分主体的体积=S梯形AFED×500= 1 2× (3+103-7)× 10×500=(25 0003-10 000)m3.∴ 完成这项工程需要 土石(25 0003-10 000)m3. 第20题 专题八　函数与几何图形的综合 1. D 解析:∵ 一次函数y= 3 4x+6 的图象与x 轴、 y轴分别交于点A,B,令y=0,得x=-8,令x=0,得 y=6,∴ A(-8,0),B(0,6).∵ 过点B 的直线l平分 △ABO 的面积,∴ AC=OC.∴ C(-4,0).设直线l对应 的函数表达式为y=kx+6.把C(-4,0)代入,得-4k+ 6=0,解得k=32.∴ 直线l对应的函数表达式为y= 3 2x+6. 2. 答案不唯一,如1 3. 4 解析:把x=2分别代入y=x和y=3x,可得点B 的坐标是(2,2),点C 的坐标是(2,6),∴ BC=6-2= 4.∵ 点 A 的坐标是(2,0),∴ OA=2.∴ S△OCB = 1 2BC ·OA=12×4×2=4. 4. 4 5. (1) 将(0,4)代入y=- 4 3x+b ,得b=4,∴ 直线l对 应的函数表达式为y=- 4 3x+4. 令y=0,得0= -43x+4 ,解得x=3.∴ 点A 的坐标是(3,0).(2) 当 △ABC为轴对称图形时,△ABC为等腰三角形.∵ A(3, 0),B(0,4),∴ OA=3,OB=4.∴ AB= 32+42=5.分 情况讨论:当AB=BC=5时,若点C 在点B 的上方,则 OC=OB+BC=9,此时点C运动的时间为(10-9)÷1= 1(秒);若点C在点B 的下方,则OC=BC-OB=1,点C 的坐标为(0,-1),此时点C 运动的时间为(10+1)÷1= 11(秒).当AB=AC=5时,易得点C 的坐标为(0,-4), 此时点C 运动的时间为[10-(-4)]÷1=14(秒).当 AC=BC 时,点C 在点O,B 之间,设AC=BC=a,则 OC=4-a.在Rt△ACO 中,OA2+OC2=AC2,即32+ (4-a)2=a2,解得a=258.∴ OC=4-258= 7 8.∴ 点C 的坐标为 0,78 ,此时点C 运动的时间为 10-78 ÷ 1=738 (秒).综上所述,当△ABC 为轴对称图形时,点C 运动的时间为1秒或11秒或14秒或738 秒. 6. C 解析:∵ 菱形ABCD 的顶点C 的坐标为(-1,0), 点B 的坐标为(0,2),AC⊥x 轴,∴ 易得点D 的坐标为 (-2,2).∴ 菱形ABCD 沿x轴向右平移2个单位时,点 D 在OM 上.在y=- 1 2x+5 中,令y=2,则- 1 2x+ 5=2,解得x=6.∴ 菱形ABCD 沿x轴向右平移2+6= 8(个)单位时,点D 在MN 上.∵ 点D 落在△MON 的内 部(不包括三角形的边),∴ 2<m<8.∴ m 的值可能 是4. 7. A 解析:∵ 点B1 的坐标为(1,1),点B2 的坐标为 (3,2),∴ 正 方 形 A1B1C1O 的 边 长 为 1,正 方 形 A2B2C2C1 的边长为2.∴ 点 A1 的坐标为(0,1),点 A2 的坐标为(1,2).把(0,1),(1,2)代入y=kx+b(k> 0),得 b=1, k+b=2, 解得 k=1 , b=1. ∴ 直线A1A2 对应的函数表 达式为y=x+1.∵ 点B2 的坐标为(3,2),∴ 点A3 的坐 标为(3,4).∴ 易得点B3 的坐标为(7,4).依此规律,点 Bn 的横坐标为2n-1,纵坐标为2n-1.∴ 点Bn 的坐标为 (2n-1,2n-1). 8. (1) 2 3. 解析:∵ 正 方 形 ABCD 的 边 长 为2, ∴ AB=CD=AD=2.∴ 点B 的纵坐标为2.在y=2x 中,令y=2,得x=1,∴ B(1,2).∴ OA=1.∴ OD=1+ 2=3.∴ 点C 的坐标为(3,2).将(3,2)代入y=kx,得 2=3k,解得k=23. (2) k的值不会发生变化.理由:∵ 正方形ABCD 的边长 为a,∴ AB=CD=AD=a.∴ 点B 的纵坐标为a.在 y=2x 中,令y=a,得x= a 2 ,∴ B a2 ,a .∴ OA= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 41 专题七　二次根式的性质与计算 二次根式是一种重要的代数式,运用二次根式的性质既可以求有关字母的值或取值范围,也 可以化简二次根式.在有理数、整式中学习的法则、性质、运算律、公式等在二次根式内仍然适用. 注意最后的结果要化到最简形式.另外,进行化简时,一定还要注意给出的条件或题中的隐含条 件,进而求解出准确的结果. 类型一 运用二次根式的性质求字母的值或 取值范围 1. 若代数式 x+ 1 xy 有意义,则在平面直角坐 标系中,点(x,y)在 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 若 a+b+5+|2a-b+1|=0,则(b- a)2023的值为 ( ) A. -1 B. 1 C. 52023 D. -52023 3. 若 3-x+ (x-2.5)0 x-2 有意义,则x 的取值 范围是 . 4. 已知a,b分别为等腰三角形的两条边的长, 且a,b满足b=4+ 3a-6+3 2-a,则此 等腰三角形的周长为 . 类型二 根据二次根式的性质化简二次根式 5. 已知m,n 在数轴上的位置如图所示,化简 2 (m-n)2- (2m+n)2- m2的结果是 ( ) 第5题 A. -3n+3m B. 3n-m C. -n+3m D. 3n+m 6. ★化简 4x2-4x+1-(1-3x)2的结果为 ( ) A. 2 B. -4x+4 C. x D. 5x-2 答案讲解 7. 无论x取何实数,代数式 x2-4x+m 都有意义,化简式子 (m-3)2+ (4-m)2. 8. 先阅读下面的材料,再回答问题. 化简:x2-6x+9+ x2+4x+4. 由于题中没有给出x 的取值范围,因此要分 类 讨 论. x2-6x+9 + x2+4x+4 = (x-3)2+ (x+2)2=|x-3|+|x+2|. 令x-3=0,x+2=0,分别求出x=3,x= -2[称3,-2分别为 (x-3)2,(x+2)2 的零点值].然后在数轴上标出表示3和-2 的点.如图,数轴被分成三段,即x<-2, -2≤x<3,x≥3.当x<-2时,原式= -(x-3)-(x+2)=-x+3-x-2= -2x+1;当-2≤x<3时,原式=-(x- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 拍 照 批 改 42 3)+(x+2)=-x+3+x+2=5;当x≥3 时,原式=(x-3)+(x+2)=x-3+x+ 2=2x-1. 第8题 (1) 分别求出 (x+1)2 和 (x-2)2 的零 点值; (2) 化简:x2+6x+9+ x2-2x+1- x2-4x+4. 类型三 二次根式的计算与比较 9. (嘉峪关中考)下列运算中,正确的是 ( ) A. 3+3=3 B. 45-5=4 C. 3×2=6 D. 32÷8=4 10. 计算5×1 5 - 20-2 45 ÷(- 5)的结 果为 ( ) A. -5 B. 5 答案讲解 C. 7 D. -7 11. 化简(5+2)2 023×(5-2)2 022的 结果是 . 12. 比较6+ 11与 14+3的大小. 13. 计算: (1) 12+ 1 2-3 -(2+3)2; (2) (23+ 6)×(23- 6)+(42- 36)÷22. 类型四 与二次根式有关的求值问题 14. 若 b a- a b= 32 2 ,则b a+ a b 的值为( ) A. 5 2 B. 7 2 C. 9 2 D. 13 2 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)八年级 43 15. 若x= 5+12 ,则x 2-x+1+23 (x2-x)2+2+3 的值为 ( ) A. 23 3 B. 3 3 C. 3 D. 3或 33 16. 已知a= 2-1,求代数式2(a+ 3)(a- 3)-a(a-2)+7的值. 答案讲解 17. 若m,n均为有理数,且3+ 12+ 3 4=m+n 3 ,求(m-n)2+2n 的值. 18. 先化简,再求值: 1 x+y+ 1 x-y ÷ 1xy+y2, 其中x=5+3,y=5-3. 类型五 二次根式的应用 19. 站在竖直高度为hm的地方,看到的最远 水平距离是dm,它们近似地符合公式d= 8 h5. 若某一登山者从海拔nm处的山底 登上海拔2nm的山顶,则他看到的最远水 平距离是原来的多少倍? 20. 如图,某防洪指挥部发现某江边一处长 500m、高10m、背水坡的坡角为45°的防洪 大堤坝(CD∥AB)急需加固.经调查论证, 防洪指挥部专家组制定的加固方案是沿背 水坡面用土石进行加固,并使上底加宽 3m,加固后背水坡EF 的坡比i=1∶3. (1) 求加固后堤坝下底增加的宽度AF; (2) 完成这项工程需要土石多少立方米(结 果保留根号)? 第20题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优