专题6 特殊四边形中的图形变换-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（浙教版）

20 EFGH 是 平 行 四 边 形,∴ 四 边 形 EFGH 是 菱 形. ∴ EG⊥FH. 第11题 构造三角形的中位线解题 当题目中出现两条或多条线段的中点时,常构造 三角形的中位线解题.若两个中点是三角形两边的中 点,则直接连结这两点得三角形的中位线;若两个中点 是四边形对边的中点,则往往需要先连结对角线,取对 角线的中点,再分别连结原对边的两个中点,得到两个 三角形的中位线.最后运用中位线的性质解题. 专题六　特殊四边形中的图形变换 1. 20 解析:连结AC,DE,AC 交BD 于点O.∵ 四边形 ABCD 和四边形DCEF 是菱形,BD=24,∴ OA=OC, OB=OD=12BD=12 ,AC⊥BD,AB∥CD∥EF,AB= AD=CD =FD =CE =13,AD ∥CE.∴ OA = AB2-OB2= 132-122=5,∠GAD=∠F,四边形 ACED 是平行四边形.∴ DE=AC=2OA=10.在 △ADG 和 △FDH 中, ∵ ∠ADG=∠FDH, AD=FD, ∠GAD=∠F, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADG≌△FDH.∴ DG=DH.∵ EG⊥AB,AB∥ EF,∴ ∠BGE=∠GEF=90°.∴ DE=DG=DH. ∴ GH=2DE=20. 2. 四边形A'FCE 是菱形.理由:∵ 四边形ABCD 是菱 形,∴ AD =CD,AD∥BC,AB∥CD,则 ∠DAC= ∠DCA.∵ 菱 形 ABCD 沿 AC 方 向 平 移 至 四 边 形 A'B'C'D'的位置,∴ AD∥A'D',DC∥D'C',A'B'= D'C'.∴ ∠DAC=∠D'A'C,A'E∥BC,CE∥A'B'.∴ 四 边形 A'FCE 是 平 行 四 边 形.∵ ∠D'A'C=∠DCA, ∴ EA'=EC.∴ 四边形A'FCE 是菱形. 3. 四边形ACC'A'可能是菱形.∵ 四边形ABCD 是矩 形,∴ ∠ABC=90°.在Rt△ABC 中,AB=6cm,BC= 8cm,∴ 由勾股定理,得AC2=AB2+BC2=36+64= 100(cm2).∴ AC=10cm.∵ 矩形ABCD 沿BD 方向平 移得到矩形A'B'C'D',∴ AB∥A'B',AB=A'B',AA'∥ CC',AA'=CC'.∴ 四边形ABB'A'和四边形ACC'A'都 是平行四边形.∴ BB'=AA'.若四边形ACC'A'是菱形, 则AA'=AC=10cm.∴ BB'=10cm,即x的值为10. 4. B 5. C 6. D 解析:∵ 四边形ABCD 是矩形,∴ AD=BC=5, ∠A=90°.根据勾股定理,得BD= 52+122=13.由折 叠的性质,得A'D=AD=5,AE=A'E,∠DA'E=∠A= 90°.∴ ∠EA'B=90°,A'B=BD-A'D=8.设AE= A'E=x,则 BE=12-x.在 Rt△A'BE 中,A'E2+ A'B2=BE2,即x2+82=(12-x)2.∴ x=103.∴ AE 的 长为10 3. 7. C 解析:∵ 四边形ABCD 是菱形,∠BAD=120°, ∴ AB=BC=CD=AD=2,AD∥BC,∠B=∠D= 60°.∴ △ACD 是等边三角形.∴ ∠CAD=60°.∵ EG⊥ AC,∴ ∠GOH=90°.由折叠,得∠EGF=∠B=60°, ∴ ∠OHG=30°.∴ ∠AGH=180°-∠OHG-∠CAD= 90°.∴ FG⊥AD.过点A 作AM⊥BC 于点M,则易得 AM=FG,BM=MC=12BC=1. 在Rt△ABM 中,由勾 股 定 理,得 AM = AB2-BM2 = 22-1= 3, ∴ FG=3. 8. B 解析:如图,连结AP.∵ 四边形ABCD 为正方形, ∴ AB=BC=CD=AD=8,∠B=∠C=∠D=90°.∵ E 是BC 的中点,∴ BE=CE=12BC=4. 由折叠,可知 AF=AB,EF=BE=4,∠AFE=∠B=90°,∴ AD= AF,∠AFP=∠D=90°.在Rt△AFP 和Rt△ADP 中, ∵ AP=AP, AF=AD, ∴ Rt△AFP≌Rt△ADP.∴ PF=PD.设 PF=PD=x,则CP=CD-PD=8-x,EP=EF+ PF=4+x.在Rt△PEC 中,根据勾股定理,得EP2= CE2+CP2,∴ (4+x)2=42+(8-x)2,解得x=83. ∴ PD 的长为83. 第8题 9. 102 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 21 10. ∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ AD∥BC,AD= BC.∴ ∠DAP= ∠BPA.由 翻 折,可 知 PQ=PB, ∠BPA=∠DPA,∴ ∠DAP=∠DPA.∴ AD=PD. ∴ PD=BC.∴ PD-PQ=BC-PB,即DQ=CP. 11. (1) ∵ 四边形ABCD 是矩形,∴ ∠A=∠ADC= ∠B=∠C=90°,AB=CD.由折叠,得AB=PD,∠A= ∠P=90°,∠B=∠PDF=90°,∴ PD=CD,∠P=∠C= ∠PDF=∠ADC=90°.∴ ∠PDF-∠EDF=∠ADC- ∠EDF,即∠PDE=∠CDF.在△PDE 和△CDF 中, ∵ ∠P=∠C, PD=CD, ∠PDE=∠CDF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △PDE≌△CDF.(2) 如图,过 点E 作EG⊥BC 于点G,则∠EGF=90°.易得EG= CD=4cm.在 Rt△EGF 中,由勾股定理,得 FG= EF2-EG2= 52-42=3(cm).易得四边形ABGE 是矩形,∴ AE=BG.设CF=xcm.由(1),知△PDE≌ △CDF,∴ PE=CF=xcm.由折叠,得 AE=PE, ∴ PE=AE=BG=xcm.∴ AD=BC=(2x+3)cm. ∵ AD∥BC,∴ ∠DEF=∠BFE.由折叠,得∠BFE= ∠DFE,BF=DF,∴ ∠DEF=∠DFE,DE=DF= BF=(x+3)cm.在Rt△CDF 中,由勾股定理,得DF2= CF2+CD2,∴ (x+3)2=x2+42.∴ x=76.∴ BC=2× 7 6+3= 16 3 (cm). 第11题 解决矩形折叠问题的方法 1. 由折叠的性质,知折叠前、后的对应线段相等、 对应角相等. 2. 这类问题往往可以通过折叠的性质将对应线段 或对应角转换到同一个直角三角形中,利用勾股定理 来求解. 12. 连结EE',交AD 于点G.由翻折,可知EE'⊥AD, E'G=EG.∴ ∠DGE=90°.∵ 四边形ABCD 是正方形, ∴ ∠ADE=45°.∴ △DGE 是等腰直角三角形.∵ DE= 22,∴ 易得EG=DG=2.∴ E'G=2.∴ EE'=4. ∵ DE=2EO,∴ EO= 2.∴ DO=DE+EO=32. ∵ 四边形ABCD 是正方形,∴ AO=DO=32,AC⊥ BD.∴ ∠AOD=90°.在Rt△ADO 中,由勾股定理,得 AD= AO2+DO2= (32)2+(32)2=6.∴ AG= AD-DG=4.∴ △AEE'的面积=12EE' ·AG=12× 4×4=8.∵ F 是AE 的中点,∴ AF=12AE.∴ △AFE' 的面积=12×△AEE' 的面积=4. 13. 连结DE.∵ 沿过点A 的直线折叠,使得点B 落在边 AD 上的点F 处,∴ 易得∠EAD=45°.∵ 第二次折叠后, 点M 正好在∠NDG 的平分线上,∴ 易得点E 在∠CDG 的平分线上,即DE 平分∠CDG.∴ ∠GDE=∠CDE. ∵ DG 为折痕,∴ ∠DGE=∠DGA=90°.∵ 四边形 ABCD 是 矩 形,∴ ∠C=90°.∴ ∠DGE = ∠C.又 ∵ DE=DE,∴ △DGE ≌ △DCE.∴ DG =DC. ∵ ∠EAD=45°,∠DGA=90°,∴ 易得△AGD 为等腰直 角三角形.由勾股定理,易得 AD= 2DG,∴ AD= 2DC,即AD∶DC= 2.∴ 矩形ABCD 的长边长与短 边长的比值为2. 14. (1) 由折叠,可知PE=BE=3.∵ AE=AB-BE, AB=4,∴ AE=1.∵ 四边形ABCD 是正方形,∴ ∠A= 90°.在 Rt△AEP 中,由 勾 股 定 理,得 AP = EP2-AE2= 32-12=22.(2) 过点P 作PN⊥BC 于点N.∴ ∠PNB=90°.∵ 四边形ABCD 是正方形, ∴ ∠A=∠ABC=90°.∴ 四 边 形 ABNP 是 矩 形. ∴ AP=BN=22,AB=PN=4.由折叠,可知∠ABC= ∠EPK=90°,EP=BE,∴ ∠EPB=∠EBP.∴ ∠EPK- ∠EPB=∠ABC-∠EBP,即∠BPK=∠PBK.∴ BK= PK.在Rt△PNK 中,NK=BK-BN=BK-22,由勾 股定理,得 PK2=PN2+NK2,∴ BK2=42+(BK- 22)2.∴ BK=32.(3) 是定值.过点B 作BM⊥PG 于 点M.∵ 四边形ABCD 是正方形,∴ AD∥BC,AB= BC.∴ ∠APB= ∠PBK. ∵ ∠BPK = ∠PBK, ∴ ∠APB=∠BPK.又∵ ∠A=∠BMP=90°,BP= BP,∴ △ABP≌ △MBP.∴ AP=MP,AB = MB. ∵ AB=BC,∴ BM=BC.在Rt△BCH 和 Rt△BMH 中,∵ BH=BH, BC=BM, ∴ Rt△BCH ≌Rt△BMH.∴ CH= MH.∴ △PDH 的周长=PD+PH+DH=PD+PM+ MH+DH=PD+AP+CH+DH=AD+CD=4+4= 8.∴ △PDH 的周长为定值,定值为8. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 38 专题六　特殊四边形中的图形变换 将一个图形沿某个方向平移或沿某条直线折叠是两种常见的图形变换,这类问题既是平移、 轴对称性质的应用,也是图形本身性质的应用.解决与特殊四边形相关的平移、折叠问题时,既要 用到平移、轴对称的性质,又要用到特殊四边形自身所具有的性质,有时还需要借助勾股定理和 三角形全等等知识建立有关线段、角之间的联系.解决此类题目常用的数学思想是方程思想、数 形结合思想及转化思想. 类型一 特殊四边形中的平移变换 答案讲解 1. 如图,将边长为13的菱形ABCD 沿AD 方向平移至四边形DCEF 的位置,作EG⊥AB,交BA 的延长 线于点G,连结GD 并延长,交EF 于点H, 连结BD.已知BD=24,则GH= . 第1题 2. 如图,将菱形ABCD 沿AC 方向平移至四边 形A'B'C'D'的位置,A'D'交CD 于点E, A'B'交BC 于点F,判断四边形A'FCE 是 不是菱形,并说明理由. 第2题 3. 新考法 探究题 如图,在矩形ABCD 中, AB=6cm,BC=8cm,连结BD,将矩形 ABCD 沿BD 方向平移得到矩形A'B'C'D', 设BB'=xcm.依次连结A'A,AC,CC', C'A',四边形ACC'A'可能是菱形吗? 若可能 是,求出x的值;若不可能是,请说明理由. 第3题 类型二 特殊四边形中的折叠问题 4. 如图,把菱形ABCD 沿AH 折叠,点B 落在 边BC 上的点E 处.若∠BAE=40°,则 ∠EDC 的度数为 ( ) A. 10° B. 15° C. 18° D. 20° 第4题 第5题 5. 如图,在正方形纸片ABCD 中,M,N 分别 是AD,BC 的中点,连结MN,把BC 向上翻 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)八年级 拍 照 批 改 39 折,使点C 恰好落在MN 上的点P 处,BQ 为折痕,则∠PBQ 的度数为 ( ) A. 15° B. 20° C. 30° D. 45° 6. 如图,在矩形纸片ABCD 中,AB=12,BC= 5,点E 在AB 上,将△DAE 沿DE 所在的 直线折叠,点A 落在对角线BD 上的点A' 处,则AE 的长为 ( ) A. 7 3 B. 8 3 C. 3 D. 10 3 第6题 第7题 答案讲解 7. 如图,四边形ABCD 是边长为2的 菱形,且∠BAD=120°,点E,F 分 别在边AB,BC 上,将菱形ABCD 沿EF 折叠,点B 正好落在边AD 上的点G 处,FG 交AC 于点H.若EG⊥AC 于点O, 则FG 的长为 ( ) A. 6 B. 2 C. 3 D. 2 8. 如图,四边形ABCD 为正方形,E 是BC 的 中点,将正方形ABCD 沿AE 折叠,点B 的 对应点为F,延长EF 交线段DC 于点P.若 AB=8,则PD 的长为 ( ) A. 16 3 B. 8 3 C. 4 D. 5 第8题 第9题 9. 如图,将菱形纸片ABCD 折叠,使点C,D 的 对应点C',D'都落在直线AB 上,折痕为 EF.若EF=6,AC'=8,则涂色部分的面积 为 . 10. 如图,在▱ABCD 中,P 为边BC 上的一 点,连结AP,DP,将△ABP 沿AP 翻折得 到△AQP,点Q 落在线段DP 上.求证: DQ=CP. 第10题 答案讲解 11. ★(丽水中考)如图,将矩形纸片 ABCD 折叠,使点B 与点D 重合, 点A 落在点P 处,折痕为EF. (1) 求证:△PDE≌△CDF; (2) 若CD=4cm,EF=5cm,求BC 的长. 第11题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 40 12. 如图,在正方形ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O,点E 在DO 上,DE=2EO,连 结AE.将△ADE 沿AD 翻折,得△ADE', F 是AE 的中点,连结E'F.若DE=22, 求△AFE'的面积. 第12题 13. 小明尝试着将矩形纸片ABCD(AD>CD) 先沿过点A 的直线折叠,使得点B 落在边 AD 上的点F 处,折痕为AE(如图①);再 沿过点D 的直线折叠,使得点C 落在边 DA 上的点N 处,点E 落在边AE 上的点 M 处,折痕为DG(如图②).如果第二次折 叠后,点 M 正好在∠NDG 的平分线DM 上,求矩形ABCD 的长边长与短边长的 比值. 第13题 答案讲解 14. 如图,正方形ABCD 的边长为4, P 为边AD 上的一点(不与点A, D 重合).将正方形ABCD 折叠, 使点B 落在点P 处,点C 落在点G 处,PG 交DC 于点H,折痕为EF,延长BC,PG 相交于点K,连结BP,BH. (1) 若BE=3,求AP 的长. (2) 在(1)的条件下,求BK 的长. (3) 当点P 在边AD 上移动时,△PDH 的 周长是定值吗? 如果是,请求出该定值;如 果不是,请说明理由. 第14题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)八年级