专题5 四边形中常添的辅助线-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（浙教版）

35 专题五　四边形中常添的辅助线 四边形中添加辅助线的目的一般都是造就线段平行或垂直,添加辅助线后,可构造全等三角 形、直角三角形、平行四边形等图形,将难以解决的问题转化成常见的三角形、平行四边形等问题 进行处理.其常用方法有以下几种:(1) 连结对角线或平移对角线;(2) 通过连结或延长构造全等 三角形;(3) 已有一组平行线或涉及线段中点的,常构造平行四边形;(4) 过顶点作对边的垂线构 造直角三角形;(5) 涉及线段中点或平行四边形的对角线交点的,常构造三角形的中位线. 类型一 连结对角线 1. 如图,在▱ABCD 中,E,F 是对角线AC 上 的两点,且 AE=CF.若 EF=2AE=2, ∠ACB=45°,且BE⊥AC,求▱ABCD 的 面积. 第1题 类型二 构造全等三角形 答案讲解 2. 如图,在四边形ABCD 中,∠BCD= 2∠BAD,O 是四边形ABCD 内一 点,且OA=OB=OD. (1) 求证:∠BOD=∠BCD; (2) 若BC=CD,求证:四边形OBCD 是 菱形. 第2题 3. ★如图,正方形ABCD 的边长为2,点E,F 分别在边AD,CD 上.若∠EBF=45°,求 △EDF 的周长. 第3题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 拍 照 批 改 36 类型三 构造平行四边形 第4题 4. 如图,在等边三角形ABC 中, P 为边AB 上的一点,Q 为边 AC 上的一点,且AP=CQ,M 是 线 段 PQ 的 中 点,连 结 AM,PC.若AM=19cm,则 PC= cm. 答案讲解 5. 如图,分别以△ABC 的边AB,AC 为边向△ABC 外作正方形ABEF 和正方形ACNM,D 是BC 的中 点,连结AD,FM. (1) 求证:FM=2AD; (2) 若AB=6,AC=8,∠BAC=60°,求多 边形BCNMFE 的面积. 第5题 类型四 构造直角三角形 6. 如图,P 为矩形ABCD 内一点,且PA=4, PB=1,PC=5,求PD 的长. 第6题 答案讲解 7. 如图,在四边形ABCD 中,∠ABC= ∠ADC=90°,AD=CD.求证:AB+ BC=2BD. 第7题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)八年级 37 8. 已知四边形ABCD 是菱形,对角线AC,BD 交于点O. (1) 如图①,若AC=8,BD=6,DM⊥AB 于点M,求DM 的长. (2) 如图②,F 是AC 上一点,连结BF,过点 F 作GF⊥BF,过点D 作DE⊥GF 于点E. 若DE=4,EF=3,求BD 的长. 第8题 类型五 构造中位线 9. 如图,在△ABC 中,延长BC 至点D,使得 CD=12BC ,过AC 的中点E,作EF∥CD (点F 在点E 的右侧),且EF=BC,连结 DF.若AB=4,则DF 的长为 ( ) 第9题 A. 3 B. 2 C. 22 D. 3 答案讲解 10. 如图,在四边形ABCD 中,AD 与 BC 不平行,F 为CD 的中点,E 为 AB 的中点,则 ( ) 第10题 A. AD+BC<2EF B. AD+BC>2EF C. AD+BC=2EF D. 无法确定AD+BC 与 2EF 的大小关系 11. ★如图,BD,AC 是四边形ABCD 的对角 线,E,F,G,H 分别是线段AD,DB,BC, AC 的中点. (1) 求证:线段EG,FH 互相平分. (2) 当四边形ABCD 满足什么条件时,EG⊥ FH? 请说明理由. 第11题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 18 10≤10.∴ 当x=1时,-2(x-1)2+10的值最大,为 10.∴ 当x=1时,原多项式的值最大,为10. 16. 2x2-2kx+7=(2x)2-2×2x· 22k+ 2 2k 2 - 2 2k 2 +7= 2x- 22k 2 - 2 2k 2 +7= 2x- 2 2k 2 -12k 2+7.∵ 2x- 22k 2 ≥0,∴ 2x- 2 2k 2 -12k 2+7的最小值是-12k 2+7.∵ 代数式 2x2-2kx+7的最小值为4,∴ 7-k 2 2=4.∴ k2=6. ∴ k=±6. 17. 由题意,得AP=2tcm,CQ= 3tcm,PC=(6- 2t)cm 0<t≤433 .∴ S=12 (6-2t)3t=- 3t2+ 33t= - 3(t2 -3t)= - 3 t-32 2 +934 . ∵ t-32 2 ≥0,∴ -3t-32 2 ≤0.∴ 当t=32 时,S 的最大值为93 4 . 专题五　四边形中常添的辅助线 1. 连结BD,交AC于点O.∵ 四边形ABCD 是平行四边 形,∴ OB=OD,OA=OC.∵ AE=CF,∴ OA-AE= OC-CF,即OE=OF.∴ 四边形BFDE 是平行四边 形.∵ AE=CF,OE=OF,EF=2AE=2,∴ AE=CF= OE=OF=1.∴ AC=4,CE=3.∵ ∠ACB=45°,BE⊥ AC,∴ ∠CBE=∠ACB=45°.∴ BE=CE=3.∵ 四边 形ABCD 是平行四边形,∴ S▱ABCD =2S△ABC =2× 1 2AC ·BE=2×12×4×3=12. 2. (1) 如图,延长AO 到点E.∵ OA=OB,∴ ∠ABO= ∠BAO.又∵ ∠BOE=∠ABO+∠BAO,∴ ∠BOE= 2∠BAO.同理,可得∠DOE=2∠DAO.∴ ∠BOE+ ∠DOE=2∠BAO+2∠DAO=2(∠BAO+∠DAO),即 ∠BOD = 2∠BAD.又 ∵ ∠BCD = 2 ∠BAD, ∴ ∠BOD=∠BCD.(2) 如图,连结OC.∵ OB=OD, CB=CD,OC=OC,∴ △OBC≌△ODC.∴ ∠BOC= ∠DOC,∠BCO = ∠DCO.∵ ∠BOD = ∠BOC + ∠DOC,∠BCD = ∠BCO + ∠DCO,∴ ∠BOC = 1 2∠BOD ,∠BCO=12∠BCD. 又∵ ∠BOD=∠BCD, ∴ ∠BOC=∠BCO.∴ BO=BC.又∵ OB=OD,BC= CD,∴ OB=BC=CD=DO.∴ 四边形OBCD 是菱形. 第2题 3. 如图,延长DC至点G,使CG=AE,连结BG.∵ 四边 形ABCD 为 正 方 形,∴ AB=BC,∠A=∠BCD= ∠ABC=90°.∴ ∠BCG=90°.∴ ∠A=∠BCG.在 △ABE 和△CBG 中,∵ AB=CB, ∠A=∠BCG, AE=CG, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌ △CBG.∴ BE=BG,∠EBA=∠GBC.∴ ∠EBA+ ∠EBC = ∠GBC + ∠EBC,即 ∠ABC = ∠EBG. ∵ ∠ABC=90°,∴ ∠EBG=90°.∵ ∠EBF=45°, ∴ ∠GBF= ∠EBG - ∠EBF =45°.∴ ∠GBF = ∠EBF.在△FBG 和△FBE 中,∵ BF=BF, ∠GBF=∠EBF, BG=BE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △FBG≌△FBE.∴ FG=FE.又∵ FG=CF+CG= CF+AE,∴ EF=CF+AE.∴ △EDF 的周长为DF+ DE+EF=DF+DE+CF+AE=CD+AD=2+2=4. 第3题 正方形中添加辅助线的方法 在正方形中,当出现以正方形的一边为直角边的 直角三角形时,我们经常通过延长该直角边作辅助线, 目的是通过证明三角形全等得到需要的边角关系. 4. 38 5. (1) 如图,延长AD 至点K,使DK=AD,连结BK, CK.∵ D 是BC 的中点,∴ BD=CD.又∵ AD=DK, ∴ 四边形ABKC是平行四边形.∴ CK=AB,∠BAC+ ∠KCA=180°.∵ 四边形ABEF,ACNM 都是正方形, ∴ AF=AB,AM=AC,∠BAF=∠CAM=90°.∴ AF= CK,∠BAC+ ∠FAM =360°- ∠BAF- ∠CAM = 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 19 180°.∴ ∠FAM= ∠KCA.在 △MAF 和 △ACK 中, ∵ AF=CK, ∠FAM=∠KCA, AM=CA, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △MAF≌△ACK.∴ FM= KA.∵ KA=AD+DK=2AD,∴ FM=2AD.(2) 如图, 过 点 B 作 BH ⊥AC 于 点 H.在 Rt△ABH 中, ∵ ∠BAH=60°,∴ ∠ABH =30°.∴ 易 得 AH = 1 2AB=3. 由 勾 股 定 理,得 BH = AB2-AH2 = 62-32=33.∴ S△ABC= 1 2AC ·BH=12×8× 33=123.由(1),知△MAF≌△ACK,∴ S△MAF = S△ACK= 1 2S▱ABKC=S△ABC=123.∴ 多边形BCNMFE 的面 积=S△ABC +S正方形ABEF +S△MAF +S正方形ACNM = 123+6×6+123+8×8=243+100. 第5题 6. 过点P 作PE⊥AD 于点E,延长EP 交BC 于点 F.∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠BAD=∠ADC= ∠BCD=∠ABC=90°.又∵ PE⊥AD,∴ ∠AEF= ∠DEF=90°.∴ 四边形ABFE 和四边形EFCD 都是矩 形.∴ AE=BF,DE=FC.∵ AE2+PE2=PA2,PE2+ DE2=PD2,BF2+PF2=PB2,FC2+PF2=PC2,∴ PA2+ PC2=AE2+PE2+PF2+FC2=BF2+PE2+PF2+DE2= PB2+PD2.∴ 42+52=1+PD2.∴ PD=2 10. 7. 过点D 作DE⊥BA,交BA 的延长线于点E,过点D 作DF⊥BC,交BC 于点F.易知∠DAB+∠ABC+ ∠BCD+∠ADC=360°.∵ ∠ABC=∠ADC=90°, ∴ ∠DAB+∠BCD=180°.又∵ ∠DAB+∠DAE= 180°,∴ ∠DAE=∠BCD,即∠DAE=∠DCF.∵ DE⊥ AB,DF⊥BC,∴ ∠DEB=∠DFC=90°.又∵ AD= CD,∴ △DEA ≌ △DFC.∴ EA =FC,ED =FD. ∵ DE⊥AB,DF⊥BC,∴ ∠DEB=∠DFB=90°. ∵ ∠ABC=90°,∴ 四边形EBFD 是矩形.又∵ ED= DF,∴ 四边形EBFD 是正方形.∴ ED=BF=FD= EB,EB2+ED2=BD2.∴ 2EB2=BD2.∴ EB = 2 2BD.∴ BF=EB= 22BD.∴ EB+BF= 2BD. ∵ EB=AB+EA,BF=BC-FC,∴ AB+EA+BC- FC=2BD.∵ EA=FC,∴ AB+BC=2BD. 8. (1) ∵ 四边形 ABCD 是菱形,AC=8,BD=6, ∴ OA=OC=4,OD=OB=3,AC⊥BD.∴ ∠AOB= 90°.∴ AB= 32+42=5.∵ S菱形ABCD= 1 2AC ·BD= AB·DM,∴ 1 2×8×6=5DM.∴ DM=245. (2) 过点B 作BH⊥DE,交DE 的延长线于点H,连结DF,则易得 四边形EFBH 是矩形.∴ EH=BF,BH=EF=3.在 Rt△EDF 中,DF= DE2+EF2=5.由菱形的对称性, 可知BF=DF=5,∴ EH=BF=5.∴ DH=DE+ EH=4+5=9.在Rt△BDH 中,BD= DH2+BH2= 92+32=3 10. 9. B 解析:如图,取AB 的中点H,连结EH.∴ BH= 1 2AB= 1 2×4=2.∵ E 为AC 的中点,∴ EH∥BC, EH=12BC.∵ EF∥CD,∴ 点 H,E,F 在同一条直线 上.∴ FH∥BD.∵ CD=12BC ,EF=BC,EH=12BC , ∴ FH=BD.∴ 四边形BHFD 是平行四边形.∴ DF= BH=2. 第9题 10. B 解析:连结BD,取BD 的中点 M,连结 ME, MF.∴ BM=MD.∵ E 为AB 的中点,∴ 易得 ME∥ AD,ME=12AD. 同理,可得 MF∥BC,MF=12BC. ∵ AD 与BC 不平行,∴ 点F,M,E 不在同一条直线 上.在△MEF 中,ME+MF>EF,∴ 1 2AD+ 1 2BC> EF.∴ AD+BC>2EF. 11. (1) 如图,连结EF,GF,GH,HE.∵ E,F 分别是线 段AD,DB 的中点,∴ EF∥AB,EF=12AB.∵ G,H 分 别是线段BC,AC 的中点,∴ GH∥AB,GH=12AB. ∴ EF∥GH,EF=GH.∴ 四边形EFGH 为平行四边 形.∴ 线段EG,FH 互相平分.(2) 当四边形ABCD 满足 AB=CD 时,EG⊥FH.理由:∵ G,F 分别是线段BC, DB 的中点,∴ GF= 12CD.∵ AB=CD,∴ GF= 1 2AB. 由(1),得EF=12AB ,∴ EF=GF.∵ 四边形 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 20 EFGH 是 平 行 四 边 形,∴ 四 边 形 EFGH 是 菱 形. ∴ EG⊥FH. 第11题 构造三角形的中位线解题 当题目中出现两条或多条线段的中点时,常构造 三角形的中位线解题.若两个中点是三角形两边的中 点,则直接连结这两点得三角形的中位线;若两个中点 是四边形对边的中点,则往往需要先连结对角线,取对 角线的中点,再分别连结原对边的两个中点,得到两个 三角形的中位线.最后运用中位线的性质解题. 专题六　特殊四边形中的图形变换 1. 20 解析:连结AC,DE,AC 交BD 于点O.∵ 四边形 ABCD 和四边形DCEF 是菱形,BD=24,∴ OA=OC, OB=OD=12BD=12 ,AC⊥BD,AB∥CD∥EF,AB= AD=CD =FD =CE =13,AD ∥CE.∴ OA = AB2-OB2= 132-122=5,∠GAD=∠F,四边形 ACED 是平行四边形.∴ DE=AC=2OA=10.在 △ADG 和 △FDH 中, ∵ ∠ADG=∠FDH, AD=FD, ∠GAD=∠F, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADG≌△FDH.∴ DG=DH.∵ EG⊥AB,AB∥ EF,∴ ∠BGE=∠GEF=90°.∴ DE=DG=DH. ∴ GH=2DE=20. 2. 四边形A'FCE 是菱形.理由:∵ 四边形ABCD 是菱 形,∴ AD =CD,AD∥BC,AB∥CD,则 ∠DAC= ∠DCA.∵ 菱 形 ABCD 沿 AC 方 向 平 移 至 四 边 形 A'B'C'D'的位置,∴ AD∥A'D',DC∥D'C',A'B'= D'C'.∴ ∠DAC=∠D'A'C,A'E∥BC,CE∥A'B'.∴ 四 边形 A'FCE 是 平 行 四 边 形.∵ ∠D'A'C=∠DCA, ∴ EA'=EC.∴ 四边形A'FCE 是菱形. 3. 四边形ACC'A'可能是菱形.∵ 四边形ABCD 是矩 形,∴ ∠ABC=90°.在Rt△ABC 中,AB=6cm,BC= 8cm,∴ 由勾股定理,得AC2=AB2+BC2=36+64= 100(cm2).∴ AC=10cm.∵ 矩形ABCD 沿BD 方向平 移得到矩形A'B'C'D',∴ AB∥A'B',AB=A'B',AA'∥ CC',AA'=CC'.∴ 四边形ABB'A'和四边形ACC'A'都 是平行四边形.∴ BB'=AA'.若四边形ACC'A'是菱形, 则AA'=AC=10cm.∴ BB'=10cm,即x的值为10. 4. B 5. C 6. D 解析:∵ 四边形ABCD 是矩形,∴ AD=BC=5, ∠A=90°.根据勾股定理,得BD= 52+122=13.由折 叠的性质,得A'D=AD=5,AE=A'E,∠DA'E=∠A= 90°.∴ ∠EA'B=90°,A'B=BD-A'D=8.设AE= A'E=x,则 BE=12-x.在 Rt△A'BE 中,A'E2+ A'B2=BE2,即x2+82=(12-x)2.∴ x=103.∴ AE 的 长为10 3. 7. C 解析:∵ 四边形ABCD 是菱形,∠BAD=120°, ∴ AB=BC=CD=AD=2,AD∥BC,∠B=∠D= 60°.∴ △ACD 是等边三角形.∴ ∠CAD=60°.∵ EG⊥ AC,∴ ∠GOH=90°.由折叠,得∠EGF=∠B=60°, ∴ ∠OHG=30°.∴ ∠AGH=180°-∠OHG-∠CAD= 90°.∴ FG⊥AD.过点A 作AM⊥BC 于点M,则易得 AM=FG,BM=MC=12BC=1. 在Rt△ABM 中,由勾 股 定 理,得 AM = AB2-BM2 = 22-1= 3, ∴ FG=3. 8. B 解析:如图,连结AP.∵ 四边形ABCD 为正方形, ∴ AB=BC=CD=AD=8,∠B=∠C=∠D=90°.∵ E 是BC 的中点,∴ BE=CE=12BC=4. 由折叠,可知 AF=AB,EF=BE=4,∠AFE=∠B=90°,∴ AD= AF,∠AFP=∠D=90°.在Rt△AFP 和Rt△ADP 中, ∵ AP=AP, AF=AD, ∴ Rt△AFP≌Rt△ADP.∴ PF=PD.设 PF=PD=x,则CP=CD-PD=8-x,EP=EF+ PF=4+x.在Rt△PEC 中,根据勾股定理,得EP2= CE2+CP2,∴ (4+x)2=42+(8-x)2,解得x=83. ∴ PD 的长为83. 第8题 9. 102 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈