专题4 配方法的应用-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（浙教版）

32 专题四　配方法的应用 先运用配方法将一个代数式或一个代数式的某一部分通过恒等变形,构造出一个或几个完 全平方式的和,再利用完全平方式的非负性或其他条件解决问题,这种解题方法叫做配方法.这 种变化的手段在解决初中数学问题时有着广泛的应用.配方法的实质在于改变式子的原有结构, 因此配方法是变形求解的一种手段.配方法的作用在于揭示代数式的非负性,因此配方法是挖掘 隐含条件的有力工具.运用配方法解题的关键在于“配凑”“拆项”和“添项”.在初中数学中,配方 法有以下几种常见应用:(1) 解一元二次方程;(2) 求字母的值;(3) 比较大小;(4) 证明代数式非 负;(5) 求代数式的最值. 类型一 利用配方法解一元二次方程 1. 在解方程2x2+4x+1=0时,对方程进行配 方,甲的做法如图①所示,乙的做法如图② 所示.对于两人的做法,下列说法正确的是 ( ) 2x2+4x=-1, 4x2+8x=-2, 4x2+8x+4=2, (2x+2)2=2. ① 2x2+4x=-1, x2+2x=-12 , x2+2x+1=-12+1 , (x+1)2=12. ② 第1题 A. 两人都不正确 B. 甲正确,乙不正确 C. 甲不正确,乙正确 D. 两人都正确 2. 已知方程x2-6x+q=0可以配方成(x- p)2=7的形式,则p+q的值为 . 3. 对于任意实数a,b定义:a*b=2a(a+b)+ b.若x*4=46,则实数x的值是 . 4. 大家知道在用配方法解一般形式的一元二 次方程时,都要先把二次项系数化为1,再 进行配方,现请你阅读如下解方程2x2- 22x-3=0的过程: 解:2x2-22x-3=0,则(2x)2-22x+ 1=3+1.∴ (2x-1)2=4.直接开平方,得 2x-1=±2.∴ x1=- 2 2 ,x2= 32 2 . 按照上面的方法,解方程:3x2-26x=2. 类型二 利用配方法求代数式中字母的值 5. 若实数a,b满足a2+4b2-a+4b+54=0 , 则a-b的值为 ( ) A. 0 B. 1 C. -1 D. -12 答案讲解 6. 若1 4m 2+14n 2=n-m-2,则2m- 2 n 的值为 ( ) A. -2 B. 0 C. -1 D. -14 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)八年级 拍 照 批 改 33 7. 已知△ABC 的三边的长分别为a,b,c,它们 都是正整数,且a,b满足2a2+b2-4a-6b+ 11=0,则△ABC 的周长是 . 8. 若△ABC 的三边长a,b,c满足a2+b2+ c2=6a+8b+10c-50,利用所学知识判定 △ABC 的形状. 答案讲解 9. 设a,b,c 是实数,若a+b+c= 2a+1+4b+1+6c-2-14, 求a-2b+c的值. 类型三 利用配方法比较大小 10. 若代数式 M=3x2+8,N=2x2+4x,则 M,N 的大小关系是 ( ) A. M≥N B. M≤N C. M>N D. M<N 答案讲解 11. 已知a,b满足等式x=a2-6ab+ 9b2,y=4a-12b-4,则x,y的大 小关系是 ( ) A. x=y B. x>y C. x<y D. x≥y 12. ★(1) 如图①所示为边长是a的正方形,保 持正方形的一边不变,将另一边增加4,得 到如图②所示的矩形,此矩形的面积为S1; 将图①中的正方形的边长增加2,得到如图 ③所示的新正方形,此正方形的面积为S2. 用含a的代数式分别表示S1,S2,然后请用 作差法比较S1与S2的大小. (2) 已知A=2a2-6a+1,B=a2-4a-1, 请用作差法比较A 与B 的大小. 第12题 类型四 利用配方法验证代数式的值的符号 13. 对于任意实数x,多项式x2-5x+7的 值是 ( ) A. 负数 B. 非正数 C. 正数 D. 无法确定正负的数 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 34 14. 求证:无论x,y为何值,4x2+12x+9y2+ 30y+35的值恒为正. 类型五 利用配方法求代数式的最值 15. 先阅读材料,再解决问题: 通过对实数的学习,我们知道x2≥0,由此 可以得出完全平方公式(a±b)2=a2± 2ab+b2的值为非负数,这一性质在数学中 有着广泛的应用.如求多项式2x2+8x-3 的最小值时,我们可以这样处理: 解:原式=2(x2+4x)-3=2(x2+2x· 2+22-22)-3=2(x+2)2-11.∵ (x+ 2)2≥0,∴ 2(x+2)2-11≥-11.∴ 当x= -2时,2(x+2)2-11的值最小,为-11. (1) 求多项式3x2-6x+2的最小值,并写 出对应的x的值; (2) 求多项式8-2x2+4x的最大值. 答案讲解 16. 若代数式2x2-2kx+7的最小值 为4,求k的值. 17. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC= 6cm,BC=4cm,点P 在边AC 上,从点A 出发,向点C以2cm/s的速度移动,点Q 在 边CB上,从点C出发,向点B以3cm/s的 速度移动.点P,Q同时出发,且当一点移动 到终点时,另一点也随之停止移动.设 △PCQ 的面积为Scm2,运动时间为ts,求 S的最大值. 第17题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)八年级 17 2m.由题意,得n2≤m<n ,∴ 10-m≤m<20-2m,解得 5≤m<203.∵ m 是整数,∴ m=5或6.当m=5时,n= 20-10=10,t=40-5-10=25;当m=6时,n=20- 12=8,t=40-6-8=26.∴ A,B,C 三种绳子分别裁了 5根、10根、25根或6根、8根、26根. 专题四　配方法的应用 1. D 2. 5 解析:∵ x2-6x+q=0,∴ x2-6x=-q.∴ x2- 6x+9=9-q,即(x-3)2=9-q.由题意,得p=3,9- q=7,即q=2,∴ p+q=3+2=5. 3. 3或-7 解析:∵ x*4=46,∴ 2x(x+4)+4= 46.∴ 2x2+8x+4=46,即(x+2)2=25.∴ x=3或 x=-7. 4. 3x2-26x=2,则(3x)2-2× 2× 3x+(2)2= 2+(2)2.∴ (3x- 2)2=4.直接开平方,得 3x- 2=±2.∴ x1= 6+23 3 ,x2= 6-23 3 . 5. B 解析:∵ a2+4b2-a+4b+54=0 ,∴ a2-a+ 1 4 +(4b2+4b+1)=0,即 a-12 2 +(2b+1)2=0. ∴ a-12=0 ,2b+1=0.∴ a=12 ,b=-12.∴ a-b= 1 2- - 1 2 =1. 6. A 解析:∵ 1 4m 2+14n 2=n-m-2,∴ m2+n2= 4n-4m-8.∴ (m2+4m+4)+(n2-4n+4)=0. ∴ (m+2)2+(n-2)2=0.∴ m+2=0,n-2=0,解得 m=-2,n=2.∴ 2 m- 2 n=-1-1=-2. 7. 7 解析:∵ 2a2+b2-4a-6b+11=0,∴ 2a2-4a+ 2+b2-6b+9=0.∴ 2(a-1)2+(b-3)2=0.∴ a-1= 0,b-3=0,解得a=1,b=3.∴ 3-1<c<3+1,即2< c<4.∵ c是正整数,∴ c=3.∴ △ABC 的周长=1+3+ 3=7. 8. ∵ a2+b2+c2=6a+8b+10c-50,∴ a2-6a+9+ b2-8b+16+c2-10c+25=0.∴ (a-3)2+(b-4)2+ (c-5)2=0.∴ a=3,b=4,c=5.∴ a2+b2=25=c2. ∴ △ABC是直角三角形. 9. ∵ a+b+c=2 a+1+4 b+1+6 c-2-14, ∴ a+b+c-2 a+1-4 b+1-6 c-2+14=0. ∴ (a+1)-2 a+1+1+(b+1)-4 b+1+4+(c- 2)-6 c-2+9=0.∴ (a+1-1)2+(b+1- 2)2+(c-2-3)2=0.∴ a+1-1=0,b+1-2= 0,c-2-3=0.∴ a=0,b=3,c=11.∴ a-2b+c= 0-2×3+11=5. 10. C 解析:∵ M=3x2+8,N=2x2+4x,∴ M-N= 3x2+8-(2x2+4x)=x2-4x+8=(x-2)2+4. ∵ (x-2)2≥0,∴ (x-2)2+4≥4>0.∴ M-N>0. ∴ M>N. 11. D 解析:由题意,得x-y=a2-6ab+9b2-(4a- 12b-4)=(a-3b)2-4(a-3b)+4=[(a-3b)-2]2. ∵ [(a-3b)-2]2≥0,∴ x≥y. 12. (1) 根据题意,得S1=a(a+4)=a2+4a,S2=(a+ 2)2=a2+4a+4.∵ S1-S2=(a2+4a)-(a2+4a+ 4)=-4<0,∴ S1<S2.(2) ∵ A=2a2-6a+1,B= a2-4a-1,∴ A-B=2a2-6a+1-a2+4a+1=a2- 2a+2=a2-2a+1+1=(a-1)2+1≥1>0.∴ A>B. 用作差法比较代数式的大小 我们通常用作差法比较代数式的大小,如比较 M 和N 的大小:先求M-N,若M-N>0,则M>N;若 M-N<0,则M<N;若M-N=0,则M=N.反之亦 成立.利用配方法比较代数式的大小,通常情况下需要 先作差,然后配成“完全平方式+常数”的形式,利用完 全平方式的非负性比较大小. 13. C 解析:x2-5x+7=x2-5x+254+ 3 4= x- 5 2 2 +34.∵ 不论x 为何实数,x-52 2 ≥0,∴ x- 5 2 2 +34>0.∴ 多项式x2-5x+7的值是正数. 14. 4x2+12x+9y2+30y+35=4x2+12x+9+9y2+ 30y+25-9-25+35=(2x+3)2+(3y+5)2+1. ∵ (2x+3)2≥0,(3y+5)2≥0,∴ 4x2+12x+9y2+ 30y+35≥1.∴ 无论x,y 为何值,4x2+12x+9y2+ 30y+35的值恒为正. 15. (1) 3x2-6x+2=3(x2-2x)+2=3(x2-2x+1- 1)+2=3(x-1)2-1.∵ (x-1)2≥0,∴ 3(x-1)2≥ 0.∴ 3(x-1)2-1≥-1.∴ 当x=1时,3(x-1)2-1的 值最小,为-1.∴ 当x=1时,原多项式的值最小,为 -1.(2) 8-2x2+4x=-2(x2-2x)+8=-2(x-1)2+ 10.∵ (x-1)2≥0,∴ -2(x-1)2≤0.∴ -2(x-1)2+ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 18 10≤10.∴ 当x=1时,-2(x-1)2+10的值最大,为 10.∴ 当x=1时,原多项式的值最大,为10. 16. 2x2-2kx+7=(2x)2-2×2x· 22k+ 2 2k 2 - 2 2k 2 +7= 2x- 22k 2 - 2 2k 2 +7= 2x- 2 2k 2 -12k 2+7.∵ 2x- 22k 2 ≥0,∴ 2x- 2 2k 2 -12k 2+7的最小值是-12k 2+7.∵ 代数式 2x2-2kx+7的最小值为4,∴ 7-k 2 2=4.∴ k2=6. ∴ k=±6. 17. 由题意,得AP=2tcm,CQ= 3tcm,PC=(6- 2t)cm 0<t≤433 .∴ S=12 (6-2t)3t=- 3t2+ 33t= - 3(t2 -3t)= - 3 t-32 2 +934 . ∵ t-32 2 ≥0,∴ -3t-32 2 ≤0.∴ 当t=32 时,S 的最大值为93 4 . 专题五　四边形中常添的辅助线 1. 连结BD,交AC于点O.∵ 四边形ABCD 是平行四边 形,∴ OB=OD,OA=OC.∵ AE=CF,∴ OA-AE= OC-CF,即OE=OF.∴ 四边形BFDE 是平行四边 形.∵ AE=CF,OE=OF,EF=2AE=2,∴ AE=CF= OE=OF=1.∴ AC=4,CE=3.∵ ∠ACB=45°,BE⊥ AC,∴ ∠CBE=∠ACB=45°.∴ BE=CE=3.∵ 四边 形ABCD 是平行四边形,∴ S▱ABCD =2S△ABC =2× 1 2AC ·BE=2×12×4×3=12. 2. (1) 如图,延长AO 到点E.∵ OA=OB,∴ ∠ABO= ∠BAO.又∵ ∠BOE=∠ABO+∠BAO,∴ ∠BOE= 2∠BAO.同理,可得∠DOE=2∠DAO.∴ ∠BOE+ ∠DOE=2∠BAO+2∠DAO=2(∠BAO+∠DAO),即 ∠BOD = 2∠BAD.又 ∵ ∠BCD = 2 ∠BAD, ∴ ∠BOD=∠BCD.(2) 如图,连结OC.∵ OB=OD, CB=CD,OC=OC,∴ △OBC≌△ODC.∴ ∠BOC= ∠DOC,∠BCO = ∠DCO.∵ ∠BOD = ∠BOC + ∠DOC,∠BCD = ∠BCO + ∠DCO,∴ ∠BOC = 1 2∠BOD ,∠BCO=12∠BCD. 又∵ ∠BOD=∠BCD, ∴ ∠BOC=∠BCO.∴ BO=BC.又∵ OB=OD,BC= CD,∴ OB=BC=CD=DO.∴ 四边形OBCD 是菱形. 第2题 3. 如图,延长DC至点G,使CG=AE,连结BG.∵ 四边 形ABCD 为 正 方 形,∴ AB=BC,∠A=∠BCD= ∠ABC=90°.∴ ∠BCG=90°.∴ ∠A=∠BCG.在 △ABE 和△CBG 中,∵ AB=CB, ∠A=∠BCG, AE=CG, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌ △CBG.∴ BE=BG,∠EBA=∠GBC.∴ ∠EBA+ ∠EBC = ∠GBC + ∠EBC,即 ∠ABC = ∠EBG. ∵ ∠ABC=90°,∴ ∠EBG=90°.∵ ∠EBF=45°, ∴ ∠GBF= ∠EBG - ∠EBF =45°.∴ ∠GBF = ∠EBF.在△FBG 和△FBE 中,∵ BF=BF, ∠GBF=∠EBF, BG=BE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △FBG≌△FBE.∴ FG=FE.又∵ FG=CF+CG= CF+AE,∴ EF=CF+AE.∴ △EDF 的周长为DF+ DE+EF=DF+DE+CF+AE=CD+AD=2+2=4. 第3题 正方形中添加辅助线的方法 在正方形中,当出现以正方形的一边为直角边的 直角三角形时,我们经常通过延长该直角边作辅助线, 目的是通过证明三角形全等得到需要的边角关系. 4. 38 5. (1) 如图,延长AD 至点K,使DK=AD,连结BK, CK.∵ D 是BC 的中点,∴ BD=CD.又∵ AD=DK, ∴ 四边形ABKC是平行四边形.∴ CK=AB,∠BAC+ ∠KCA=180°.∵ 四边形ABEF,ACNM 都是正方形, ∴ AF=AB,AM=AC,∠BAF=∠CAM=90°.∴ AF= CK,∠BAC+ ∠FAM =360°- ∠BAF- ∠CAM = 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈