专题2 特殊三角形中的分类讨论-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（浙教版）

13 DF>BF,BF=AB+AF,∴ DB+DC>AB+AC. 9. 如图,在BC 上截取FB=AB,连结EF.∵ BE 平分 ∠ABC,CE 平分∠BCD,∴ ∠ABE=∠FBE,∠FCE= ∠DCE.在△ABE 和△FBE 中,∵ AB=FB, ∠ABE=∠FBE, BE=BE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌△FBE.∴ ∠A=∠BFE.∵ AB∥CD, ∴ ∠A + ∠D =180°.∴ ∠BFE + ∠D =180°. ∵ ∠BFE+∠CFE=180°,∴ ∠CFE=∠D.在△FCE 和△DCE 中,∵ ∠CFE=∠D, ∠FCE=∠DCE, CE=CE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △FCE≌△DCE. ∴ CF=CD.∴ BC=FB+CF=AB+CD. 第9题 10. 如图,延长AC 至点M,使AM=AB,连结PM.在 △ABP 和△AMP 中,∵ AB=AM,∠1=∠2,AP=AP, ∴ △ABP≌△AMP.∴ PB=PM.在△PCM 中,根据三 角形的三边关系,得CM>PM-PC,∴ AM-AC> PB-PC.∴ AB-AC>PB-PC. 第10题 第11题 11. (1) ∵ ∠BAC=90°,∠B=60°,∴ ∠ACB=180°- 90°-60°=30°.∵ AD,CE 分别平分∠BAC,∠ACB, ∴ ∠CAO= 12 ∠BAC=45° ,∠ACO = 12∠ACB= 15°.∴ ∠AOE=∠CAO+∠ACO=45°+15°=60°. (2) 如图,在AC上截取AF=AE,连结OF.∵ AD 平分 ∠BAC,∴ ∠EAO=∠FAO.在△AOE 和△AOF 中, ∵ AE=AF, ∠EAO=∠FAO, AO=AO, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AOE≌△AOF.∴ ∠AOE= ∠AOF.由 (1),知 ∠AOE =60°,∴ ∠AOF=60°, ∠COD=60°.∴ ∠COF=180°-∠AOF-∠COD= 60°.∴ ∠COF=∠COD.∵ CE 平分∠ACB,∴ ∠FCO= ∠DCO.在△COF 和△COD 中,∵ ∠COF=∠COD, CO=CO, ∠FCO=∠DCO, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △COF≌△COD.∴ CF=CD.∴ AC=AF+CF= AE+CD. 专题二　特殊三角形中的分类讨论 1. C 求等腰三角形的顶角或底角的度数的分类策略 已知等腰三角形的一个角为α,确定顶角或底角的 度数时,分三种情况讨论:① 若α为钝角,则α为顶角, 底角的度数为1 2 (180°-α).② 若α为直角,则α为顶 角,该三角形为等腰直角三角形,底角为45°.③ 若α为 锐角,当α为顶角时,底角的度数为12 (180°-α);当α 为底角时,顶角的度数为180°-2α. 2. A 解析:设β=x,则α=2x-20°.分情况讨论:① 当 β是顶角,α是底角时,x+2(2x-20°)=180°,解得x= 44°.∴ 顶角的度数是44°.② 当β是底角,α是顶角时, 2x+2x-20°=180°,解得x=50°.∴ 顶角的度数是2× 50°-20°=80°.③ 当β与α都是底角时,x=2x-20°,解 得x=20°.∴ 顶角的度数是180°-20°×2=140°.综上所 述,这个等腰三角形的顶角的度数是44°或80°或140°. 3. 设腰长为xcm,底边长为ycm.分两种情况讨论: ① 若x+12x=12 ,则y+ 1 2x=15. 由x+12x=12 ,得 x=8.把x=8代入y+ 1 2x=15 ,得y=11.∵ 8+8>11, ∴ 长度分别为8cm,8cm,11cm的三条线段能构成三角 形.② 若x+12x=15 ,则y+ 1 2x=12. 由x+12x=15 , 得x=10.把x=10代入y+ 1 2x=12 ,得y=7.∵ 10+ 7>10,∴ 长度分别为7cm,10cm,10cm的三条线段能构 成三角形.综上所述,这个等腰三角形的各边的长分别为 8cm,8cm,11cm或7cm,10cm,10cm. 4. 设等腰三角形 ABC 中,AB=AC,BD⊥AC 于点 D.① 如图①,当高线在△ABC 的内部,且与底边的夹角 的度数为25°时,∠DBC=25°,∴ ∠C=90°-∠DBC= 65°.又∵ AB=AC,∴ ∠ABC=∠C=65°.∴ ∠A= 180°-2×65°=50°.② 如图②,当高线在△ABC 的内部, 且与另 一 腰 的 夹 角 的 度 数 为25°时,∠ABD=25°, ∴ ∠A=90°-∠ABD=65°.又∵ AB=AC,∴ ∠C= ∠ABC=(180°-∠A)÷2=57.5°.③ 如图③,当高线在 △ABC 的 外 部 时,∠BAC 是 钝 角,∠ABD =25°, ∴ ∠BAD=90°-∠ABD =65°.∴ ∠BAC=180°- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 14 65°=115°.又∵ AB=AC,∴ ∠ABC=∠C=(180°- 115°)÷2=32.5°.综上所述,这个等腰三角形的各个内角 的度数分别为65°,65°,50°或65°,57.5°,57.5°或115°, 32.5°,32.5°. 第4题 5. 分两种情况讨论:① 如图①,边AB 的垂直平分线与 AB,AC 交于点E,D,∠ADE=40°,则易得∠A=50°. ∵ AB=AC,∴ ∠B=(180°-50°)÷2=65°.② 如图②, 边AB 的垂直平分线与AB,CA 的延长线交于点E,D, ∠ADE=40°,则易得∠DAE=50°.∴ ∠BAC=130°. ∵ AB=AC,∴ ∠B=(180°-130°)÷2=25°.综上所述, ∠B 的度数为65°或25°. 第5题 6. D 7. D 8. B 9. 分情况讨论:① 如图①,AD=BD,DC=AD,则易得 △ADB 和△ADC 是全等三角形.∴ ∠ADB=∠ADC= 1 2×180°=90°.∴ 易得∠C=45°.② 如图②,AB=BD, CD=AD,则∠B=∠C=∠DAC,∠BAD=∠BDA= 2∠C.∵ ∠B+∠C+∠BAC=180°,∴ 5∠C=180°. ∴ ∠C=36°.综上所述,∠C的度数是45°或36°. 第9题 10. (1) ∵ [-(3k+1)]2-4(2k2+2k)=9k2+6k+1- 8k2-8k=k2-2k+1=(k-1)2≥0,∴ 无论k取何值,方 程总有实数根.(2) 分情况讨论:① 若a=6为底边长,则 b,c为腰长,即b=c.∴ (k-1)2=0,解得k1=k2=1.此 时原方程为x2-4x+4=0,解得x1=x2=2,即b=c= 2.此时三边长为6,2,2,不能构成三角形.∴ 不合题意,舍 去.② 若b,c中只有一个为腰长,则不妨设b=a=6.将 x=6代入方程,得62-6(3k+1)+2k2+2k=0,解得 k1=3,k2=5.当k=3时,原方程为x2-10x+24=0,解 得x1=4,x2=6.此时三边长为6,6,4,能构成三角形.当 k=5时,原方程为x2-16x+60=0,解得x3=6,x4= 10.此时三边长为6,6,10,能构成三角形.综上所述,此等 腰三角形的周长为6+6+4=16或6+6+10=22. 解决一元二次方程与等腰三角形结合的问题的一般步骤 往往先根据一元二次方程根的判别式与0的大小 关系,确定“无论k取何值,方程总有实数根”,再根据 三角形的形状和已知边长分情况讨论方程根的情况, 求得方程中的待定系数及其解,并结合三角形三边关 系确定三角形的边长和周长;也可以根据一元二次方 程根的判别式为完全平方式,直接运用公式法求得方 程的根,再分类讨论求得符合条件的三角形的边长和 周长. 11. (1) ∵ AB=AC,∠BAC=100°,∴ ∠B=∠C= 40°.∵ △ABD,△AFD 关于AD 所在的直线 对 称, ∴ △ABD≌△AFD.∴ ∠B= ∠AFD =40°,AB = AF.∴ AF=AC.∵ AG 平 分∠FAC,∴ ∠FAG= ∠CAG.在△AGF 和△AGC 中,∵ AF=AC, ∠FAG=∠CAG, AG=AG, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AGF≌ △AGC.∴ ∠AFG= ∠C.∵ ∠DFG= ∠AFD+∠AFG,∴ ∠DFG=∠B+∠C=40°+40°= 80°.(2) 由(1),知∠AFD=40°,△AFD≌△ABD, ∴ ∠FAD=∠BAD=θ.分三种情况讨论:① 当GD= GF 时,∠GDF = ∠GFD = 80°.在 △ADF 中, ∵ ∠AFD+ ∠GDF + ∠ADG + ∠DAF = 180°, ∠ADG=∠B+∠BAD=40°+θ,∴ 40°+80°+40°+θ+ θ=180°.∴ θ=10°.② 当 DF=GF 时,∠FDG= ∠FGD.∵ ∠DFG=80°,∴ ∠FDG=∠FGD=50°.在 △ADF 中,∵ ∠AFD+∠GDF+∠ADG+∠DAF= 180°,∠ADG=40°+θ,∴ 40°+50°+40°+θ+θ=180°. ∴ θ=25°.③ 当DF=DG 时,∠DFG=∠DGF=80°. ∴ ∠GDF=20°.在△ADF 中,∵ ∠AFD+∠GDF+ ∠ADG+∠DAF=180°,∠ADG=40°+θ,∴ 40°+20°+ 40°+θ+θ=180°.∴ θ=40°.综上所述,当θ=10°或25°或 40°时,△DFG 为等腰三角形. 12. A 解析:根据题意,得|m-3|=0, n-4=0, ∴ m=3,n=4.当4是直角边长时,斜边长= 32+42= 5.∴ △ABC 的周长=3+4+5=12.当4是斜边长时,另 一条直角边长= 42-32= 7.∴ △ABC 的周长=3+ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 15 4+7=7+7.综上所述,△ABC 的周长是12或7+7. 13. C 解析:∵ AB=2,O 是线段AB 的中点,∴ OA= OB=1.分三种情况讨论:① 如图①,当点P 在CO 的延 长线上,且∠APB=90°时,由直角三角形斜边上的中线等 于斜边的一半,可得 OP=12AB=OB.∵ ∠AOC= ∠BOP=60°,∴ △OBP 为等边三角形.∴ BP=OB= 1.在Rt△ABP 中,由勾股定理,得AP= AB2-BP2= 3.② 如图②,当∠ABP=90°时,∵ ∠AOC=∠BOP= 60°,∴ ∠OPB=30°.∴ 易得OP=2OB=2.在Rt△OBP 中,由勾股定理,得BP= OP2-OB2=3.在Rt△ABP 中,由勾股定理,得AP= AB2+BP2= 7.③ 如图③, 当点P 在线段OC 上,且∠APB=90°时,OP=12AB= OA.∵ ∠AOC=60°,∴ △AOP 是等边三角形.∴ AP= OA=1.综上所述,AP 的长为3或7或1. 第13题 14. 90°或40° 15. 由题意,得CD=2t.∵ ∠ABC=90°,AB=20,BC= 15,∴ AC= AB2+BC2=25.∴ AD=AC-CD=25- 2t.分两种情况讨论:① 当∠CDB=90°时,S△ABC = 1 2AC ·BD=12AB ·BC,即12×25BD= 1 2×20×15 , 解得BD=12.∴ CD= BC2-BD2=9.∴ t=9÷2= 4.5.② 当∠CBD=90°时,点D 和点A 重合,t=25÷2= 12.5.综上所述,t=4.5或12.5. 16. (1) 设直线AC 对应的函数表达式为y=kx+b.将 A(3,0),C(9,8)代入,得 3k+b=0, 9k+b=8, 解得 k= 4 3 , b=-4. ∴ 直 线AC对应的函数表达式为y= 4 3x-4. (2) ∵ 点C 的 坐标为(9,8),CD∥x轴,∴ D(0,8),CD=9.∵ E 是OD 的中点,∴ DE=OE.∵ CD∥x轴,∴ ∠DCE=∠OFE, ∠CDE=∠FOE.∴ △EDC≌△EOF.∴ CD=FO= 9.∵ 点A 的坐标为(3,0),∴ OA=3.∴ AG=AF= OF+OA=12.过点C 作CH⊥x 轴于点H,则CH= 8.∴ S△ACG= 1 2AG ·CH=12×12×8=48. (3) 存在.分 情况讨论:① 当∠FCG=90°时,∵ AG=AF,∴ AC 是 Rt△FCG 的斜边FG 上的中线.∴ AF=12FG=AC. 过 点C作CM⊥x轴于点M.∴ ∠CMA=90°.由(1),易得 在Rt△ACM 中,CM=8,AM=9-3=6,∴ AF=AC= 62+82=10.∵ 点A 的坐标为(3,0),∴ 点F 的坐标为 (-7,0).设直线CF 对应的函数表达式为y=mx+n.将 (9,8),(-7,0)代入,得 9m+n=8, -7m+n=0, 解得 m=12 , n=72. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ 直 线CF 对应的函数表达式为y= 1 2x+ 7 2. 令x=0,则 y= 7 2.∴ 点 E 的坐标为 0,72 .∴ t= 72.② 当 ∠CGF=90°时,易得点G 的坐标为(9,0).∵ 点A 的坐 标为(3,0),∴ AF=AG=9-3=6.∴ 点F 的坐标为 (-3,0).同理,易得直线CF 对应的函数表达式为y= 2 3x+2. 令x=0,则y=2.∴ 点E 的坐标为(0,2). ∴ t=2.综上所述,t的值为72 或2. 专题三　不等式（组）的解集 及特殊解的应用 1. C 2. A 3. 3 解析:把x=-3代入方程x=m+1,得-3=m+ 1,解得 m=-4.把 m=-4代入不等式,得2(1- 2y)≥-6-4,解得y≤3.∴ 所求最大整数解为3. 4. 8,9,10,11 解析:根据“程序操作”仅进行了两次就停 止,即 可 得 出 关 于 x 的 一 元 一 次 不 等 式 组 2x-3≤19, 2(2x-3)-3>19, 解得7<x≤11.又∵ x为整数,∴ x 的值可能是8,9,10,11. 5. 解不等式①,得x<3;解不等式②,得x≥-1.∴ 该不 等式组的解集为-1≤x<3.∴ 该不等式组的最小整数解 为-1.把x=-1代入方程mx+6=x-2m,得-m+ 6=-1-2m,解得m=-7. 6. B 7. C 解析:记 x+7>3x-3①, x-1<m②. 解不等式①,得x<5; 解不等式②,得x<m+1.又∵ 不等式组的解集为x<5, ∴ m+1≥5,解得m≥4. 8. D 解析:解不等式-2x-3≥1,得x≤-2.解不等式 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 26 专题二　特殊三角形中的分类讨论 分类讨论是解题的一种常用方法.对于等腰三角形,我们常需讨论三角形的边是腰还是底 边,角是顶角还是底角,高线在三角形内还是在三角形外.对于直角三角形,我们常需讨论边是直 角边还是斜边,哪个角是直角,这时就往往会出现条件或结论不唯一的情况,此时就需要分类讨 论.通过正确地分类讨论,可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答.解题策略为先分类,再 画图,最后计算. 类型一 因等腰三角形的顶角和底角的不确定 而产生的分类讨论 1. ★若已知等腰三角形的一个外角是150°,则 其顶角是 ( ) A. 30° B. 75°或120° C. 30°或120° D. 75° 2. 若某等腰三角形的一个角α比另一个角β的 2倍少20°,则这个等腰三角形的顶角的度 数是 ( ) A. 44°或80°或140° B. 20°或80° C. 44°或80° D. 140° 类型二 因等腰三角形的腰上的中线引起的 分类讨论 3. 在等腰三角形中,一腰上的中线把它的周长 分为15cm和12cm两部分,求这个等腰三 角形的各边的长. 类型三 因等腰三角形的腰上的高线或垂直 平分线的位置的不确定而产生的分类 讨论 4. 等腰三角形一腰上的高线与另一边的夹角 的度数为25°,求这个等腰三角形的各个内 角的度数. 答案讲解 5. 在△ABC 中,AB=AC,边AB 的 垂直平分线与边AC 所在的直线相 交所得的锐角的度数为40°,求∠B 的度数. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)八年级 拍 照 批 改 27 类型四 因等腰三角形的腰和底边的不确定 而产生的分类讨论 6. (宿迁中考)若某等腰三角形的两边长分别是 3cm和5cm,则这个等腰三角形的周长是 ( ) A. 8cm B. 13cm C. 8cm或13cm D. 11cm或13cm 7. 如图,在平面直角坐标系中,存在点A(3, 2),B(1,0),以线段AB 为边作等腰三角形 ABP,使得点P 在坐标轴上,则这样的点P 共有 ( ) A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 第7题 第8题 8. 如图,在矩形ABCD 中,AB=4,AD=6,E 是线段AD 上的一个动点,P 是点A 关于直 线BE 的对称点,连结BP,CP.在点E 运动 的过程中,使△PBC为等腰三角形的点E有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个 答案讲解 9. 在等腰三角形ABC 中,AB=AC, D 是边BC 上一点,连结 AD.若 △ACD 和△ABD 都是等腰三角 形,求∠C 的度数. 10. ★已知关于x 的方程x2-(3k+1)x+ 2k2+2k=0. (1) 求证:无论k取何值,方程总有实数根; (2) 若等腰三角形ABC 的一边长a为6, 另两边长b,c恰好是这个方程的两个根, 求此等腰三角形的周长. 11. 如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC= 100°,点D 在边BC 上,△ABD,△AFD 关 于AD 所在的直线对称,∠FAC 的平分线 交边BC 于点G,连结FG. (1) 求∠DFG 的度数; (2) 设∠BAD=θ,当θ为何值时,△DFG 为等腰三角形? 第11题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 28 类型五 因直角三角形中的直角顶点的不确定 而产生的分类讨论 12. 若实数m,n满足|m-3|+ n-4=0,且 m,n 恰好是 Rt△ABC 的两条边长,则 △ABC 的周长是 ( ) A. 12或7+7 B. 5 C. 12 D. 5或7 13. 在△ABC 中,AB=BC=2,O 是线段AB 的中点,P 是射线CO 上的一个动点, ∠AOC=60°.当△PAB 为直角三角形时, AP 的长为 ( ) A. 1或3或7 B. 1或5或7 C. 1或3或7 D. 1或3或7 第14题 14. 如图,∠AOB=50°,P 是 边OB 上的一个动点(不 与点O 重合),当∠A 的 度数为 时,△AOP 为直角三 角形. 15. 如图,在Rt△ABC 中,∠ABC=90°,AB= 20,BC=15,D 为边AC 上的动点,点D 从 点C 出发,以每秒2个单位的速度沿边CA 往点A 运动,当运动到点A 时停止运动. 设点D 运动的时间为t秒.若△CBD 是直 角三角形,求t的值. 第15题 答案讲解 16. 如图,在平面直角坐标系中,过点 A(3,0),C(9,8)的直线 AC 交 y轴于点B,过点C 作平行于x轴 的直线CD 交y 轴于点D,点E(0,t)在线 段OD 上,连结CE 并延长,交x轴于点F, 点G 在x 轴的正半轴上,且AG=AF,连 结CG. (1) 求直线AC 对应的函数表达式. (2) 当E 恰好是OD 的中点时,求△ACG 的面积. (3) 是否存在t,使得△FCG 是直角三角 形? 若存在,请写出t的值;若不存在,请说 明理由. 第16题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)八年级