专题1 添加辅助线构造全等三角形的方法-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（浙教版）

23 专题一　添加辅助线构造全等三角形的方法 进行几何题的证明或计算,有时需要在图形中添加一些辅助线.辅助线能使题目中的条件比 较集中,进而比较容易找到一些量之间的关系,较轻松地解决数学问题.常见的辅助线的作法:构 造法、翻折法、旋转法、倍长中线法和截长补短法.这些方法的目的都是构造全等三角形. 类型一 构造法 1. 如图,若AB=AC,BD=CD,∠A=80°, ∠BDC=120°,求∠B 的度数. 第1题 答案讲解 2. 如图,D 为锐角∠ABC 内一点,点 M 在边BA 上,点N 在边BC 上, DM=DN,∠BMD+∠BND= 180°.求证:BD 平分∠ABC. 第2题 3. 如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC= CB,D 为BC 的中点,CE⊥AD 于点E,其 延长 线 交 AB 于 点F,连 结 DF.求 证: ∠ADC=∠BDF. 第3题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 拍 照 批 改 24 类型二 翻折法 4. 如图,在△ABC 中,BE 是∠ABC 的平分 线,AD ⊥BE,垂 足 为 D.求 证:∠2= ∠1+∠C. 第4题 类型三 旋转法 答案讲解 5. 如图,在四边形ABCD 中,∠ABC= ∠C=∠D=90°,AB=AD,E 为 BC 上的一点,F 为CD 上的一点, BE+DF=EF,求∠EAF 的度数. 第5题 类型四 倍长中线法 答案讲解 6. 如图,在△ABC 中,D 是AB 的中 点,E 是边DC 上的一点,且AE= BC.求证:∠DEA=∠BCD. 第6题 7. ★如图,AB=AE,AB⊥AE,AD=AC,AD⊥ AC,M 为BC的中点.求证:DE=2AM. 第7题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)八年级 25 类型五 截长补短法 8. 如图,AD 是△ABC 的外角平分线.下列结 第8题 论中,一定正确的是 ( ) A. AD+BC=AB+CD B. AB+AC=DB+DC C. AD+BC<AB+CD D. DB+DC>AB+AC 9. 如图,AB∥CD,BE 平分∠ABC,CE 平分 ∠BCD,点E在AD上.求证:BC=AB+CD. 第9题 答案讲解 10. 如图,在△ABC中,AB>AC,∠1= ∠2,P 为AD 上任意一点.求证: AB-AC>PB-PC. 第10题 11. 如图,在Rt△ABC 中,∠BAC=90°,∠B= 60°,AD,CE 分别平分∠BAC,∠ACB,且 相交于点O. (1) 求∠AOE 的度数; (2) 求证:AC=AE+CD. 第11题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 11 20. (1) 设家庭轿车保有量的年增长率为x.由题意,得 81(1+x)2=144,解得x1= 1 3 ,x2=- 7 3 (不合题意,舍 去).∴ 144× 1+13 =192(辆).∴ 该小区居民到 2023年年底家庭轿车的保有量将达到192辆.(2) 设应将 每个停车位的月租金定为y 元,则可出租50+5× 300-y 10 = 200-y2 个停车位.由题意,得y 200- y 2 =19200.整理,得y2-400y+38400=0,解得y1= 160,y2=240.当y=160时,200-y2=120>100 ,不合题 意,舍去;当y=240时,200-y2=80<100 ,符合题意. ∴ 应将每个停车位的月租金定为240元. 21. (1) 6;7.2. 解析:将甲组成绩(单位:分)从低到高排 列为3,6,6,6,6,6,7,9,9,10,∴ 甲组成绩的中位数为 6分,即a=6.乙组成绩的平均数为(5×2+6×1+7×2+ 8×3+9×2)÷(2+1+2+3+2)=7.2(分),即b=7.2. (2) 甲.(3) 理由不唯一,如① ∵ 乙组的平均分高于甲 组,∴ 乙组的总体平均水平高.② ∵ 乙组的方差比甲组 小,∴ 乙组的成绩比甲组的成绩稳定. 22. (1) ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ OB= OD.∵ OE=OF,∴ 四边形 DEBF 是平行四边形. ∴ DE∥FB,且 DE=FB.又∵ DE=ME,∴ ME= BF.∵ ME∥BF,∴ 四边形EMBF 是平行四边形.∵ 四 边形DEBF 是平行四边形,∴ DF=EB.∵ DF=MF, ∴ MF=EB.∴ 四边形EMBF 是矩形.(2) 当△DMF 满足DF=MF,且∠DFM=90°时,四边形EMBF 是正方 形.理由:由(1),可知当DF=MF 时,四边形EMBF 是 矩形.在△DMF 中,当∠DFM=90°时,∵ E 是斜边DM 的中点,∴ EF=12DM=EM ,即EF=EM.∴ 四边 形EMBF 是正方形.∴ 当△DMF 满足DF=MF,且 ∠DFM=90°时,四边形EMBF 是正方形. 23. (1) ∵ 点A 的横坐标为m,且AC∥y轴,∴ 点C 的 坐标为 m,1m ,点E 的坐标为 m,3m .∴ CE=3m- 1 m.∴ S△OCE = 1 2CE ·OA= 12 3 m- 1 m ·m=1. (2) ∵ 四边形ABFC是矩形,∴ AC=BF.∵ AB=1,点 A 的横坐标为m,∴ 点B 的横坐标为m+1.∴ 点C的坐 标为 m,1m ,点F 的坐标为 m+1,3m+1 .∴ AC= 1 m ,BF= 3m+1.∴ 1 m= 3 m+1 ,解得m=12. 经检验,m= 1 2 是原分式方程的解,且符合题意.∴ m=12. (3) 不 能.理由:由题意,得点C 的坐标为 m,1m ,点E 的坐标 为 m,3m ,点D 的坐标为 m+1,1m+1 ,点F 的坐标 为 m+1,3m+1 .∴ CE=3m- 1 m= 2 m ,DF= 3m+1- 1 m+1= 2 m+1.∵ 2 m ≠ 2 m+1 ,∴ CE≠DF.∴ 四边形 CDFE 不能是平行四边形.(4) ∵ 点G 的坐标为(0,4), ∴ 设直线BG 对应的函数表达式为y=kx+4(k≠0).将 B(m+1,0)代入y=kx+4,得k(m+1)+4=0,∴ k= - 4m+1.∴ 直 线 BG 对 应 的 函 数 表 达 式 为 y= - 4m+1x+4. 将x=m 代入y=- 4 m+1x+4 ,得y= -4mm+1+4= 4 m+1 ,∴ 点 H 的 坐 标 为 m,4m+1 . ∵ m>0,∴ m+1>1.∵ 点H 的纵坐标为正整数,m 为 整数,∴ m+1=2或m+1=4.∴ m=1或3. 2 整合提优 专题一　添加辅助线构造 全等三角形的方法 1. 如图,连结AD 并延长至点F.在△ABD 和△ACD 中,∵ AB=AC, AD=AD, BD=CD, ∴ △ABD≌△ACD.∴ ∠BAD= ∠CAD,∠B = ∠C.∵ ∠BDF = ∠B + ∠BAD, ∠CDF=∠C+∠CAD,∴ ∠BDF+∠CDF=∠B+ ∠BAD+∠C+∠CAD.∴ ∠BDC= ∠B+ ∠C+ ∠BAC.∵ ∠BAC=80°,∠BDC=120°,∴ ∠B=20°. 第1题 2. 如图,过点D 分别作DE⊥BA,DF⊥BC,垂足分别为 E,F.∵ ∠BMD+∠BND=180°,∠BMD+∠EMD= 180°,∴ ∠EMD = ∠BND,即 ∠EMD = ∠FND. ∵ DE⊥BA,DF⊥BC,∴ ∠DEM=∠DFN=90°.又 ∵ DM=DN,∴ △DEM≌△DFN.∴ DE=DF.又 ∵ DE⊥BA,DF⊥BC,∴ BD 平分∠ABC. 第2题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 12 3. 如图,过点B 作BG⊥BC,交CF 的延长线于点G. ∵ ∠ACB=90°,∴ ∠2+∠ACF=90°.∵ CE⊥AD, ∴ ∠AEC=90°.∴ ∠1+∠ACF=180°-∠AEC= 90°.∴ ∠1 = ∠2. 在 △ACD 和 △CBG 中, ∵ ∠1=∠2, AC=CB, ∠ACD=∠CBG=90°, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACD ≌ △CBG. ∴ ∠ADC=∠G,CD =BG.∵ D 为 BC 的 中 点, ∴ CD=BD.∴ BD=BG.∵ ∠ACB=90°,AC=CB, ∴ ∠ABC=45°,即∠DBF=45°.又∵ ∠DBG=90°, ∴ ∠GBF = ∠DBG - ∠DBF =90°-45°=45°. ∴ ∠DBF= ∠GBF. 在 △BDF 和 △BGF 中, ∵ BD=BG, ∠DBF=∠GBF, BF=BF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BDF≌△BGF.∴ ∠BDF= ∠G.∴ ∠ADC=∠BDF. 第3题 第4题 4. 如图,延长AD 交BC 于点F.∵ BE 平分∠ABC, ∴ ∠ABD = ∠FBD.∵ BD ⊥AD,∴ ∠ADB = ∠FDB = 90°. 在 △ABD 和 △FBD 中, ∵ ∠ABD=∠FBD, BD=BD, ∠ADB=∠FDB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABD≌△FBD.∴ ∠2= ∠DFB.∵ ∠DFB=∠1+∠C,∴ ∠2=∠1+∠C. 5. ∵ ∠ABC=∠C=∠D=90°,∴ ∠BAD=90°.如图, 延长CB 到点H,使得BH=DF,连结AH.∵ ∠ABE= 90°,∴ ∠ABH=∠D=90°.在△ABH 和△ADF 中, ∵ AB=AD, ∠ABH=∠D, BH=DF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABH≌△ADF.∴ AH=AF, ∠BAH=∠DAF.∴ ∠BAH +∠BAF=∠DAF+ ∠BAF,即∠HAF=∠BAD=90°.∵ BE+DF=EF, ∴ BE+BH=EF,即EH=EF.在△AEH 和△AEF 中,∵ AH=AF, AE=AE, EH=EF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEH≌△AEF.∴ ∠EAH= ∠EAF.∴ ∠EAF=12∠HAF=45°. 第5题 第6题 6. 如图,延长CD 至点F,使DF=DC,连结AF.∵ D 是 AB 的 中 点,∴ DA=DB.在△DAF 和△DBC 中, ∵ DF=DC, ∠ADF=∠BDC, DA=DB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DAF≌△DBC.∴ ∠F= ∠BCD,AF=BC.∵ AE=BC,∴ AE=AF.∴ ∠F= ∠DEA.∴ ∠DEA=∠BCD. 7. 如图,延长AM 至点N,使NM=AM,连结BN. ∵ M 为BC的中点,∴ BM=CM.在△AMC 和△NMB 中, ∵ AM = NM,∠AMC = ∠NMB,CM = BM, ∴ △AMC≌△NMB.∴ AC=NB,∠C= ∠NBM. ∴ ∠ABN=∠ABC+∠NBM=∠ABC+∠C=180°- ∠BAC.∵ AB⊥AE,AD⊥AC,∴ ∠BAE=∠CAD= 90°.∴ ∠EAD=360°-∠BAE-∠CAD-∠BAC= 180°- ∠BAC.∴ ∠ABN = ∠EAD.∵ AD =AC, ∴ AD=BN.在△ABN 和△EAD 中,∵ BN=AD, ∠ABN= ∠EAD,AB =EA,∴ △ABN ≌ △EAD. ∴ NA=DE.∴ DE=2AM. 第7题 运用倍长中线法解决与中线有关的问题 如果图中给出的已知条件中的线段或角的位置相 对比较分散,而三角形又给出了中线,我们可以倍长这 条中线,使得分散的条件在图形中能够相对集中,再运 用其中的线段、角之间隐含的关系解决问题. 8. D 解析:在AP 上截取AF=AC,连结DF.∵ AD 是 ∠FAC 的平分线,∴ ∠DAF=∠DAC.又∵ AF=AC, AD=AD,∴ △DAF≌△DAC.∴ DF=DC.∵ DB+ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 13 DF>BF,BF=AB+AF,∴ DB+DC>AB+AC. 9. 如图,在BC 上截取FB=AB,连结EF.∵ BE 平分 ∠ABC,CE 平分∠BCD,∴ ∠ABE=∠FBE,∠FCE= ∠DCE.在△ABE 和△FBE 中,∵ AB=FB, ∠ABE=∠FBE, BE=BE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌△FBE.∴ ∠A=∠BFE.∵ AB∥CD, ∴ ∠A + ∠D =180°.∴ ∠BFE + ∠D =180°. ∵ ∠BFE+∠CFE=180°,∴ ∠CFE=∠D.在△FCE 和△DCE 中,∵ ∠CFE=∠D, ∠FCE=∠DCE, CE=CE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △FCE≌△DCE. ∴ CF=CD.∴ BC=FB+CF=AB+CD. 第9题 10. 如图,延长AC 至点M,使AM=AB,连结PM.在 △ABP 和△AMP 中,∵ AB=AM,∠1=∠2,AP=AP, ∴ △ABP≌△AMP.∴ PB=PM.在△PCM 中,根据三 角形的三边关系,得CM>PM-PC,∴ AM-AC> PB-PC.∴ AB-AC>PB-PC. 第10题 第11题 11. (1) ∵ ∠BAC=90°,∠B=60°,∴ ∠ACB=180°- 90°-60°=30°.∵ AD,CE 分别平分∠BAC,∠ACB, ∴ ∠CAO= 12 ∠BAC=45° ,∠ACO = 12∠ACB= 15°.∴ ∠AOE=∠CAO+∠ACO=45°+15°=60°. (2) 如图,在AC上截取AF=AE,连结OF.∵ AD 平分 ∠BAC,∴ ∠EAO=∠FAO.在△AOE 和△AOF 中, ∵ AE=AF, ∠EAO=∠FAO, AO=AO, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AOE≌△AOF.∴ ∠AOE= ∠AOF.由 (1),知 ∠AOE =60°,∴ ∠AOF=60°, ∠COD=60°.∴ ∠COF=180°-∠AOF-∠COD= 60°.∴ ∠COF=∠COD.∵ CE 平分∠ACB,∴ ∠FCO= ∠DCO.在△COF 和△COD 中,∵ ∠COF=∠COD, CO=CO, ∠FCO=∠DCO, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △COF≌△COD.∴ CF=CD.∴ AC=AF+CF= AE+CD. 专题二　特殊三角形中的分类讨论 1. C 求等腰三角形的顶角或底角的度数的分类策略 已知等腰三角形的一个角为α,确定顶角或底角的 度数时,分三种情况讨论:① 若α为钝角,则α为顶角, 底角的度数为1 2 (180°-α).② 若α为直角,则α为顶 角,该三角形为等腰直角三角形,底角为45°.③ 若α为 锐角,当α为顶角时,底角的度数为12 (180°-α);当α 为底角时,顶角的度数为180°-2α. 2. A 解析:设β=x,则α=2x-20°.分情况讨论:① 当 β是顶角,α是底角时,x+2(2x-20°)=180°,解得x= 44°.∴ 顶角的度数是44°.② 当β是底角,α是顶角时, 2x+2x-20°=180°,解得x=50°.∴ 顶角的度数是2× 50°-20°=80°.③ 当β与α都是底角时,x=2x-20°,解 得x=20°.∴ 顶角的度数是180°-20°×2=140°.综上所 述,这个等腰三角形的顶角的度数是44°或80°或140°. 3. 设腰长为xcm,底边长为ycm.分两种情况讨论: ① 若x+12x=12 ,则y+ 1 2x=15. 由x+12x=12 ,得 x=8.把x=8代入y+ 1 2x=15 ,得y=11.∵ 8+8>11, ∴ 长度分别为8cm,8cm,11cm的三条线段能构成三角 形.② 若x+12x=15 ,则y+ 1 2x=12. 由x+12x=15 , 得x=10.把x=10代入y+ 1 2x=12 ,得y=7.∵ 10+ 7>10,∴ 长度分别为7cm,10cm,10cm的三条线段能构 成三角形.综上所述,这个等腰三角形的各边的长分别为 8cm,8cm,11cm或7cm,10cm,10cm. 4. 设等腰三角形 ABC 中,AB=AC,BD⊥AC 于点 D.① 如图①,当高线在△ABC 的内部,且与底边的夹角 的度数为25°时,∠DBC=25°,∴ ∠C=90°-∠DBC= 65°.又∵ AB=AC,∴ ∠ABC=∠C=65°.∴ ∠A= 180°-2×65°=50°.② 如图②,当高线在△ABC 的内部, 且与另 一 腰 的 夹 角 的 度 数 为25°时,∠ABD=25°, ∴ ∠A=90°-∠ABD=65°.又∵ AB=AC,∴ ∠C= ∠ABC=(180°-∠A)÷2=57.5°.③ 如图③,当高线在 △ABC 的 外 部 时,∠BAC 是 钝 角,∠ABD =25°, ∴ ∠BAD=90°-∠ABD =65°.∴ ∠BAC=180°- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈