第2章 一元二次方程-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（浙教版）

4 第2章　一元二次方程 (满分:100分 时间:90分钟) 一、 选择题(每小题3分,共30分) 1. 下列方程中,一定属于一元二次方程的是( ) A. x2-2=0 B. ax2-2x-3=0 C. x2+y=1 D. x2-1x-1=0 2. 在一次同学聚会上,参加的每人都与其他人 握手1次,他们共握手105次.设参加这次同 学聚会的有x人,则可列方程为 ( ) A. x(x-1)=210 B. x(x-1)=420 C. x(x-1)=105 D. (x-1)2=420 3. 关于x 的一元二次方程(a-2)x2+x+ a2-4=0的一个根是0,则a的值是 ( ) A. 0 B. 2 C. -2 D. 2或-2 4. ★(聊城中考)用配方法解一元二次方程 3x2+6x-1=0时,将它化为(x+a)2=b 的形式,则a+b的值为 ( ) A. 10 3 B. 7 3 C. 2 D. 4 3 5. 整体思想 解方程(x-1)2-5(x-1)+4= 0时,我们可以将x-1看成一个整体,设 x-1=y,则原方程可化为y2-5y+4=0, 解得y1=1,y2=4.当y=1时,x-1=1,解 得x=2;当y=4时,x-1=4,解得x=5.故 原方程的解为x1=2,x2=5.利用这种方法可 求得方程(2x+5)2-4(2x+5)+3=0的解为 ( ) A. x1=1,x2=3 B. x1=-3,x2=-1 C. x1=-2,x2=3 D. x1=-1,x2=-2 6. (荆州中考)关于x 的方程x2-3kx-2=0 的实数根的情况,下列判断正确的是 ( ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有一个实数根 7. (乐山中考)关于x 的一元二次方程3x2- 2x+m=0有两个实数根,其中一根为x= 1,则这两根之积为 ( ) A. 1 3 B. 2 3 C. 1 D. -13 答案讲解 8. (宜宾中考)已知m,n 是一元二次 方程x2+2x-5=0的两个实数 根,则m2+mn+2m 的值为( ) A. 0 B. -10 C. 3 D. 10 9. 如图所示的六边形是由甲、乙两个矩形和 丙、丁两个等腰直角三角形组成的,其中甲、 乙的面积之和等于丙、丁的面积之和.若丙 的一条直角边的长为2,且丁的面积比丙的 面积小,则丁的一条直角边的长为 ( ) 第9题 A. 1 2 B. 3 5 C. 2-3 D. 4-23 10. 某工厂生产的某种产品按质量分为10个档 次,第1档次(最低档次)的产品一天能生产 95件,每件的利润为6元,每提高1个档 次,每件的利润增加2元,但一天的产量减 少5件.若生产的产品一天的总利润为 1120元,且同一天所生产的产品为同一档 次,则该产品的质量档次是 ( ) A. 第6档次 B. 第8档次 C. 第10档次 D. 第4档次 二、 填空题(每小题3分,共24分) 11. 以3,-2为两根,且二次项系数为1的一元 二次方程的一般式为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)八年级 拍 照 批 改 5 12. 一元二次方程4x(x-2)=x-2的解为 . 13. 若在实数范围内定义一种运算“ * ”,使 a * b=(a+1)2-ab,则方程(x+2) * 5=0 的解为 . 14. (上海中考)已知x2-23x+m=0有两个 不相等的实数根,则 m 的取值范围是 . 15. (枣庄中考)若等腰三角形的一边长是4,另 两边的长是关于x 的方程x2-6x+n=0 的两个根,则n的值为 . 答案讲解 16. 某种服装的原价为200元/件,现 连续两次降价,每次降价的百分率 相同.已知降价后的价格不能低于 进价,即110元/件,且第一次降价后的价 格比第二次降价后的价格贵32元/件,则每 次降价的百分率是 . 17. 如图,AO=BO=50cm,OC 是一条射线, OC⊥AB.若一只蚂蚁从点 A 出发,以 2cm/s的速度向点B 爬行,同时另一只蚂 蚁从点O 出发,以3cm/s的速度沿OC 方 向爬行,则出发后 s时两只蚂蚁与 点O 组成的三角形的面积为450cm2. 第17题 18. 已知两个关于x 的一元二次方程x2+ ax+b=0,x2+cx+d=0有一个公共根 2,且a≠c,b≠d,b≠0,d≠0.有下列结论: ① c-a b-d 有唯一对应的值1 2 ;② a2+c2 4 ≤ b+d;③ x=12 是一元二次方程(b+d)x2+ (a+c)x+2=0的一个根.其中,正确的是 (填序号). 三、 解答题(共46分) 19. (12分)解下列方程: (1) 2x2+4x+1=0(用配方法); (2) (y+2)(2y+3)=6; (3) 3x2-(x+2)2+2x=3x-6. 答案讲解 20. (8分)(南充中考)已知关于x 的 一元二次方程x2+3x+k-2=0 有实数根. (1) 求实数k的取值范围. (2) 设方程的两个实数根分别为x1,x2.若 (x1+1)(x2+1)=-1,求k的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 6 21. (8分)新考法 新定义题 如果关于x 的 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两 个实数根,且其中一个根比另一个根大1, 那么称这样的方程为“邻根方程”.例如,一 元二次方程x2+x=0的两个根是x1=0, x2=-1,则方程x2+x=0是“邻根方程”. (1) 通过计算,判断方程x2-5x+6=0是 否为“邻根方程”; (2) 已知关于x 的方程x2-(m-1)x- m=0(m 是常数)是“邻根方程”,求 m 的值. 答案讲解 22. (8分)学校“对话太空”兴趣小组 举行了航天科普知识有奖竞答活 动,并购买“神舟载人飞船”模型作 为奖品.学校在商店里了解到的信息如下: 若一次性购买数量不超过10个,则每个模 型的价格为40元;若一次性购买数量超过 10个,则每多购买1个,每个模型的价格降 低0.5元,但每个模型的价格不低于30元. 若学校为购买“神舟载人飞船”模型一次性 付给商店900元,求学校购买“神舟载人飞 船”模型的数量. 23. ★(10分)如图,某农场要建一个饲养场(矩 形ABCD),饲养场两面靠墙(AD 位置的 墙最大可用长度为27米,AB 位置的墙最 大可用长度为15米),另两边用木栏围成, 中间也用木栏隔开,分成两个场地及一处 通道,并在图中标有虚线的三处各留一个 1米宽的门(不用木栏),建成后木栏的总长 为45米. (1) 若饲养场(矩形ABCD)的一边CD 的 长为8米,则另一边BC= 米. (2) 若饲养场(矩形 ABCD)的面积为 180平方米,求边CD 的长. (3) 饲养场(矩形ABCD)的面积能达到 210平方米吗? 若能达到,求出边CD 的 长;若不能达到,请说明理由. 第23题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)八年级 2 3 2 米,CF = 2 米.∴ AB = AE2+BE2 = 12+ 32 2 = 132 (米),CD = DF2+CF2 = 12+22 = 5 (米 ).∴ CD + AD + AB = 5+2+ 132 米,即从点 C 滑到点B 的总长度为 5+2+ 132 米.(2) 由(1),可知BC=BE+EF+ CF=32+2+2= 11 2 (米).∵ 起跑线到点C以及点B 到墙 均需留出1米的距离,∴ 1+112+1=7.5 (米).∵ 起跑线 到墙的距离为7米,7<7.5,∴ 该场地不符合安全要求. 23. (1) 原 式 = 1× (7-6) (7+6)×(7-6) = 7- 6. (2) 原式= 1× (n+1- n) (n+1+ n)×(n+1- n) = n+1- n.(3) 原式= 2-1+ 3- 2+ 4- 3+…+ 2022- 2021+ 2023- 2022= 2023-1. 第2章　一元二次方程 一、 1. A 2. A 3. C 4. B 解析:∵ 3x2+6x-1=0,∴ x2+2x=13.∴ x2+ 2x+1=13+1 ,即(x+1)2=43.∴ a=1,b=43.∴ a+ b=73. 配方时易出现的错误 1. 移项时忘记变号. 2. 系数化为1时漏项. 3. 方程两边没有同时加上一次项系数一半的平方. 5. D 解析:设2x+5=z,则(2x+5)2-4(2x+5)+3= 0可化为z2-4z+3=0,解得z1=1,z2=3.当z=1时, 2x+5=1,解得x=-2;当z=3时,2x+5=3,解得 x=-1.∴ 方程(2x+5)2-4(2x+5)+3=0的解为 x1=-1,x2=-2. 6. B 解析:∵ 关于x 的方程x2-3kx-2=0的根的判 别式=(-3k)2-4×1×(-2)=9k2+8>0,∴ 关于x的 方程x2-3kx-2=0有两个不相等的实数根. 7. D 解析:∵ 方程的其中一根为x=1,∴ 3-2+m= 0,解得m=-1.∵ 两根之积为m 3 ,∴ 两根之积为-13. 8. A 解析:∵ m,n是一元二次方程x2+2x-5=0的 两个实数根,∴ mn=-5,m2+2m-5=0.∴ m2+2m= 5.∴ m2+mn+2m=m2+2m+mn=5-5=0. 9. D 解析:设丁的一条直角边的长为a,且a<2.∵ 甲 的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积,∴ 2a+2a= 1 2×2 2+12a 2,即4a=2+12a 2.整理,得a2-8a+4= 0.∴ a=8± (-8)2-4×1×4 2 = 8±43 2 =4±23. ∵ a<2,∴ a=4-23. 10. A 解析:设该产品的质量档次是第x档次,则每天的 产量为[95-5(x-1)]件,每件的利润是[6+2(x-1)]元. 根据题意,得[6+2(x-1)][95-5(x-1)]=1120.整理, 得x2-18x+72=0,解得x1=6,x2=12(不合题意,舍 去).∴ 该产品的质量档次是第6档次. 二、 11. x2-x-6=0 12. x1=2,x2= 1 4 13. x1= -1+5 2 ,x2= -1-5 2 14. m<3 15. 8或9 解析:当4为腰长时,将x=4代入x2-6x+ n=0,得42-6×4+n=0,解得n=8,此时原方程为x2- 6x+8=0,解得x=2或x=4.∵ 2+4>4,∴ n=8符合 题意.当4为底边长时,关于x 的方程x2-6x+n=0有 两个相等的实数根,∴ b2-4ac=(-6)2-4×1·n=0, 解得n=9,此时原方程为x2-6x+9=0,解得x1=x2= 3.∵ 3+3>4,∴ n=9符合题意.∴ n的值为8或9. 16. 20% 解析:设每次降价的百分率是x.依题意,得 200(1-x)-200(1-x)2=32.整理,得25x2-25x+4= 0,解得x1=0.2=20%,x2=0.8=80%.当x=20%时, 200(1-x)2=128(元),128>110,符合题意;当x=80% 时,200(1-x)2=8(元),8<110,不合题意,舍去.∴ 每次 降价的百分率是20%. 17. 10或15或30 解析:设出发后xs时两只蚂蚁与点 O 组成的三角形的面积为450cm2.分两种情况讨论: ① 当蚂蚁在AO上爬行时,0<2x<50,解得0<x<25.由 题意,得1 2×3x (50-2x)=450,解得x1=10,x2=15. ② 当蚂蚁在OB上爬行时,50<2x<50+50,解得25<x< 50.由题意,得12×3x (2x-50)=450,解得x3=30, x4=-5(不合题意,舍去).综上所述,出发后10s或15s或 30s时两只蚂蚁与点O 组成的三角形的面积为450cm2. 18. ①③ 解析:将x=2分别代入方程,得22+2a+b= 0,22+2c+d=0,∴ 2a+b=-4,2c+d=-4.两式相 减,得2(c-a)+d-b=0.∴ c-a b-d= 1 2. 故①正确.由方 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3 程有根,得a2-4b≥0,c2-4d≥0.两式相加,得a2-4b+ c2-4d≥0.∴ a2+c2 4 ≥b+d. 故②错误.将x=12 代入 (b+d)x2+(a+c)x+2=0,得b+d4 + a+c 2 +2=0. 方程 两边同时乘4,得b+d+2(a+c)+8=0,即2a+b+2c+ d+8=0.将2a+b=-4,2c+d=-4代入上式,等式成 立,故③正确.综上所述,正确的是①③. 三、 19. (1) ∵ 2x2+4x+1=0,∴ 2x2+4x=-1. ∴ x2+2x=-12.∴ x2+2x+1=-12+1 ,即(x+ 1)2=12.∴ x+1=± 12.∴ x=-1± 22 ,即x1= -1+ 22 ,x2=-1- 2 2. (2) 原方程可化为2y2+7y =0, 即y(2y+7)=0.∴ y=0或2y+7=0.∴ y1=0,y2= -72. (3) 原方程可化为2x2-5x+2=0,∴ a=2,b= -5,c=2.∴ b2-4ac=(-5)2-4×2×2=9.∴ x= 5±9 2×2= 5±3 4 .∴ x1= 1 2 ,x2=2. 20. (1) ∵ 关于x的一元二次方程x2+3x+k-2=0有 实数根,∴ 32-4(k-2)≥0,解得k≤174. (2) ∵ 方程的 两个实数根分别为x1,x2,∴ x1+x2=-3,x1x2=k- 2.∵ (x1+1)(x2+1)=-1,∴ x1x2+x1+x2+1= -1.∴ k-2-3+1=-1,解得k=3. 21. (1) 解方程x2-5x+6=0,得x1=3,x2=2.∵ 3比 2大1,∴ 该方程是“邻根方程”.(2) ∵ x2-(m-1)x- m=0,∴ (x-m)(x+1)=0.∴ x1=m,x2=-1.∵ 方 程x2-(m-1)x-m=0(m 是常数)是“邻根方程”, ∴ m-(-1)=1或-1-m=1.∴ m=0或m=-2. 22. ∵ 40×10=400(元),400<900,∴ 学校购买“神舟载 人飞船”模型的数量超过10个.设学校购买“神舟载人飞 船”模型的数量为x个,则每个“神舟载人飞船”模型的价 格为40-0.5(x-10)=(45-0.5x)元.依题意,得(45- 0.5x)x=900.整理,得x2-90x+1 800=0,解得x1= 30,x2=60.当x=30时,45-0.5x=45-0.5×30=30, 符合题意;当x=60时,45-0.5x=45-0.5×60=15< 30,不合题意,舍去.∴ 学校购买“神舟载人飞船”模型的 数量为30个. 23. (1) 24.(2) 设CD=x(0<x≤15)米,则BC=45- x-2(x-1)+1=(48-3x)米.由题意,得x(48-3x)= 180.整理,得x2-16x+60=0,解得x1=6,x2=10.当 x=6时,BC=48-3×6=30(米),30>27,不合题意,舍 去;当x=10时,BC=48-3×10=18(米),18<27,符合 题意.∴ 边CD 的长为10米.(3) 不能.理由:设CD= y(0<y≤15)米,则BC=45-y-2(y-1)+1=(48- 3y)米.由题意,得y(48-3y)=210.整理,得y2-16y+ 70=0.∵ b2-4ac=(-16)2-4×1×70=-24<0,∴ 该 方程没有实数根.∴ 饲养场(矩形ABCD)的面积不能达 到210平方米. 解决与方程有关的实际问题时应注意根的取舍 利用一元二次方程解决实际问题时,对所列方程 求解所得的两个根,应注意取舍,取舍时主要有以下两 种情况:(1) 根必须符合应用题的实际意义;(2) 根必 须满足题目中的限制条件.例如本题中AD 位置的墙最大 可用长度为27米,AB位置的墙最大可用长度为15米. 第3章　数据分析初步 一、 1. C 2. B 3. B 4. C 5. B 6. C 7. B 8. C 解析:由表,可知甲、乙两组的总人数都为50. ∵ x甲=150× (50×2+60×5+70×10+80×13+90× 14+100×6)=80(分),x乙=150× (50×4+60×4+70× 16+80×2+90×12+100×12)=80(分),80=80,∴ 两 组学生的平均成绩相同.故①正确.∵ S2甲 =172分2, S2乙=256分2,172<256,∴ 甲组学生的成绩比乙组学生 的成绩稳定.故②正确.∵ 甲组学生的成绩的众数是 90分,乙组学生的成绩的众数是70分,90>70,∴ 甲组学 生的成绩的众数大于乙组学生的成绩的众数.故③正确.由 中位数的定义可得两组学生的成绩的中位数均为80分,从 中位数来看,甲组学生的成绩与乙组学生的成绩一样好.故 ④错误.乙组学生的成绩高于或等于90分的人数是24,甲 组的人数是20,∴ 乙组比甲组多,高分段乙组学生的成绩 比甲组好.故⑤正确.综上所述,正确的有①②③⑤,共 4个. 二、 9. 2.5 10. -12 11. 10 8 12. 中位数 13. 1 解析:原来五个数的中位数是6,若再加入一个数, 变成了偶数个,则中位数是中间两个数的平均数,由此可 知加入的一个数是6.由这六个数的平均数与原来五个数 的平均数相等,可列方程为1 5 (x+3+6+8+12)= 1 6 (x+3+6+6+8+12),解得x=1. 理解中位数的定义避免出错 理解中位数的定义必须注意两个方面:(1) 顺序性: 中位数是先将一组数据按照从小到大(或从大到小)的 顺序排列后再确定的.(2) 与数据的个数相关:中位数是先 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈