第1章 二次根式-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（浙教版）

1 第1章　二次根式 (满分:100分 时间:90分钟) 一、 选择题(每小题3分,共30分) 1. (湘西中考)若要使二次根式 3x-6有意义, 则x的取值范围是 ( ) A. x>2 B. x<2 C. x≤2 D. x≥2 2. 若实数a在数轴上的对应点的位置如图所 示,则化简 (a-4)2- (a-11)2的结果是 ( ) 第2题 A. 7 B. -7 C. 2a-15 D. 15-2a 3. (泰州中考)下列各组二次根式中,化简后被 开方数相同的是 ( ) A. 8与3 B. 2与 12 C. 5与 15 D. 75与 27 4. 下列计算中,错误的是 ( ) A. 62×3=66 B. 27÷3=3 C. 32-2=32 D. (2-3)×(2+3)=1 5. 如图,河坝横断面迎水坡AB 的坡比为1∶ 3,坝高BC 为4m,则AB 的长为 ( ) 第5题 A. 43m B. 8m C. 83m D. 16m 6. (恩施中考)从2,-3,-2这三个数中任选 两个数相乘,所有乘积中小于2的有 ( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 7. 新情境 游戏活动 老师设计了接力游戏, 用合作的方式完成二次根式的运算,规则如 下:每人只能看到前一人给的式子,并进行 一步计算,再将结果传递给下一人,最后完 成化简,过程如图所示. 接力中,自己负责的 一步出现错误的是 ( ) 第7题 A. 只有乙 B. 甲和丁 C. 乙和丙 D. 乙和丁 8. 若要在(52- 2) 2的“ ”中填上一个 运算符号,使计算结果最大,则这个运算符 号是 ( ) A. + B. - C. × D. ÷ 答案讲解 9. 对于任意的正数m,n,定义运算 “※”:m※n= m-n(m≥n), m+n(m<n). 计算(3※2)×(8※12)的结果为 ( ) A. 2-46 B. 2 C. 25 D. 20 答案讲解 10. 在一个大正方形上,按如图所示的 方式粘贴面积分别为12,10的两 个小正方形,粘贴后,这两个小正 方形重合部分的面积为3,则空白部分的面 积为 ( ) 第10题 A. 8 B. 19 C. 67 D. 230-6 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋注:标“★”的题目设有 “方法点金”或“易错提 示”,详见“答案与解析”. 拍 照 批 改 2 二、 填空题(每小题3分,共24分) 11. (包头中考)若代数式 x+1+1x 在实数范 围内有意义,则x的取值范围是 . 12. (贺州中考)若实数m,n满足|m-n-5|+ 2m+n-4=0,则3m+n= . 13. (哈尔滨中考)计算 3+3 13 的结果是 . 14. 已知a=2+1,b= 2-1,则a3b-ab3= . 15. 在如图所示的网格中,若要使横、竖、斜对 角的3个实数相乘都得到同样的结果,则 2个空格处的实数之积为 . 第15题 答案讲解 16. 按如图所示的程序计算,若开始输 入n 的值为 2,则最后输出的结 果为 . 第16题 17. ★已知实数a满足|2020-a|+ a-2021= a,则a-20202+1的值是 . 18. ★在△ABC 中,AB=2AC.若边AB 上的 高线的长为 3,△ABC 的面积为23,则 边BC 的长为 . 三、 解答题(共46分) 19. (12分)计算: (1) 32÷2- 13× 18+ 54 ; (2) 5×(5- 15)+(15+2 3)× (15-23); (3) 2×6 3 +(3-2)2-2×(2-6). 20. (6分)已知x=1- 2,y=1+ 2,求x2+ y2-xy-2x+2y的值. 答案讲解 21. (8分)已知线段a,b,c满足|a- 18|+(b-42)2+ c- 50=0. (1) 求a,b,c的值. (2) 线段a,b,c能否围成三角形? 若能围 成三角形,求出该三角形的周长;若不能围 成三角形,请说明理由. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)八年级 3 答案讲解 22. (10分)某轮滑特色学校准备修建 一个训练轮滑技巧的场地,其侧面 示意图如图所示,其横截面为梯 形,高1米,AD 的长为2米,坡道AB 的坡 比为1∶1.5,DC 的坡比为1∶2. (1) 求从点C 滑到点B 的总长度; (2) 由于场地限制,起跑线到墙的距离为 7米,为了安全,起跑线到点C 以及点B 到 墙均需留出1米的距离,通过计算判断该 场地是否符合安全要求. 第22题 23. (10分)先阅读下列各式,再解决问题. 1 2+1 = 1× (2-1) (2+1)×(2-1) =2-1; 1 3+2 = 1× (3-2) (3+2)×(3-2) =3-2; 1 5+2 = 1× (5-2) (5+2)×(5-2) =5-2; … (1) 求 1 7+6 的值; (2) 求 1 n+1+ n (n为正整数)的值; (3) 求 1 1+2 + 1 2+3 + 1 3+4 +…+ 1 2021+ 2022 + 1 2022+ 2023 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 1 1 复习进阶 第1章　二次根式 一、 1. D 2. C 3. D 4. D 5. B 6. C 7. A 解析:∵ 6×23- 12÷ 6=2 18- 12÷ 6,∴ 甲负责的一步没有出现错误.∵ 2 18- 12÷ 6=6 2- 2,∴ 乙负责的一步出现错误.∵ (2- 1)18-12÷6=6÷6,∴ 丙负责的一步没有出现错 误.∵ 6÷6=1,∴ 丁负责的一步没有出现错误.综上 所述,只有乙负责的一步出现错误. 8. C 解析:(52-2)+ 2=52,(52- 2)- 2= 32,(52-2)×2=42×2=8,(52-2)÷2= 4.∵ (52)2=50,(32)2=18,82=64,42=16,64>50> 18>16,∴ 8>52>32>4.∴ 这个运算符号是×. 9. B 解析:∵ 3>2,∴ 3※2=3-2.∵ 8<12,∴ 8※ 12=8+ 12=22+23.∴ (3※2)×(8※12)= (3- 2)×(2 2+2 3)=(3- 2)×2×(2+ 3)=2. 10. D 解析:∵ 两个小正方形的面积分别为12,10, ∴ 两个小正方形的边长分别为23, 10.∴ 大正方形 的边长为23+ 10-3=3+ 10.∴ 空白部分的面 积为(3+ 10)2-(12+10-3)=2 30-6. 二、 11. x≥-1且x≠0 12. 7 13. 23 14. 42 15. 62 16. 8+52 解析:当n= 2时,n(n+1)= 2×(2+ 1)=2+2<15;当n=2+ 2时,n(n+1)=(2+ 2)× (3+2)=6+52+2=8+52>15.∴ 最后输出的结果 为8+52. 17. 2022 解析:由题意,得a-2021≥0,解得a≥ 2021.去掉绝对值符号,可得a-2020+ a-2021= a.整理,得 a-2021=2020.两边平方,得a-2021= 20202.∴ a-20202=2021.∴ 原式=2021+1=2022. 忽略二次根式中的隐含条件 二次根式的双重非负性:(1) 二次根式的被开方数 为非负数;(2) 二次根式本身是非负的.这两个条件通 常隐含在题目的结构特征中,需要在解题的过程中挖 掘出这些隐含条件,然后利用这些条件解题.例如本题 中必须先发现a的取值范围,即a≥2021,才能正确地 去掉绝对值符号,否则会出现错误. 18. 23或27 解析:如图,CD 是边AB 上的高线,则 CD⊥AB.由S△ABC= 1 2AB ·CD=23,CD= 3,得 AB=2×23 3 =4.∵ AB=2AC,∴ AC=12AB=2. 在 Rt△ADC 中,AD= AC2-CD2= 22-(3)2=1.分 情况讨论:① 如图①,BD=AB-AD=4-1=3.在 Rt△CDB 中,BC = CD2+BD2 = (3)2+32 = 23.② 如图②,BD=AB+AD=4+1=5.在Rt△CDB 中,BC= CD2+BD2= (3)2+52=27.综上所述, 边BC 的长为23或27. 第18题 突破定式,避免漏解 对于没有给出几何图形的题目,受思维定式的影 响,容易对符合题目条件的图形的形状缺乏全面的考 虑,从而出现漏解的情况.例如本题中△ABC 可能是 锐角三角形,也可能是钝角三角形,必须要分类讨论. 三、 19. (1) 原式=42÷ 2- 33×32+36=4- 6+36=4+26.(2) 原式=5-53+15-12=8- 53.(3) 原式=2+(3-43+4)-(2-23)=2+3- 43+4-2+23=7-23. 20. 原式=(x-y)2+xy-2(x-y).∵ x=1- 2,y= 1+2,∴ x-y=(1-2)-(1+2)=-22,xy=(1- 2)×(1+2)=-1.∴ 原式=(-22)2+(-1)-2× (-22)=7+42. 21. (1) ∵ |a- 18|+(b-42)2+ c- 50=0, ∴ a- 18=0,b-42=0,c- 50=0.∴ a=32,b= 42,c=52.(2) 线段a,b,c能围成三角形.∵ 32+ 42=72,72>52,即a+b>c,∴ 线段a,b,c能围 成三角形.该三角形的周长为32+42+52=122. 22. (1) 过点A 作AE⊥BC 于点E,过点D 作DF⊥BC 于点F,则易得四边形AEFD 是矩形.∴ AE=DF= 1米,EF=AD=2米.∵ 坡道AB 的坡比为1∶1.5,DC 的坡比为1∶2,∴ AE BE= 1 1.5= 2 3 ,DF CF= 1 2.∴ BE= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 3 2 米,CF = 2 米.∴ AB = AE2+BE2 = 12+ 32 2 = 132 (米),CD = DF2+CF2 = 12+22 = 5 (米 ).∴ CD + AD + AB = 5+2+ 132 米,即从点 C 滑到点B 的总长度为 5+2+ 132 米.(2) 由(1),可知BC=BE+EF+ CF=32+2+2= 11 2 (米).∵ 起跑线到点C以及点B 到墙 均需留出1米的距离,∴ 1+112+1=7.5 (米).∵ 起跑线 到墙的距离为7米,7<7.5,∴ 该场地不符合安全要求. 23. (1) 原 式 = 1× (7-6) (7+6)×(7-6) = 7- 6. (2) 原式= 1× (n+1- n) (n+1+ n)×(n+1- n) = n+1- n.(3) 原式= 2-1+ 3- 2+ 4- 3+…+ 2022- 2021+ 2023- 2022= 2023-1. 第2章　一元二次方程 一、 1. A 2. A 3. C 4. B 解析:∵ 3x2+6x-1=0,∴ x2+2x=13.∴ x2+ 2x+1=13+1 ,即(x+1)2=43.∴ a=1,b=43.∴ a+ b=73. 配方时易出现的错误 1. 移项时忘记变号. 2. 系数化为1时漏项. 3. 方程两边没有同时加上一次项系数一半的平方. 5. D 解析:设2x+5=z,则(2x+5)2-4(2x+5)+3= 0可化为z2-4z+3=0,解得z1=1,z2=3.当z=1时, 2x+5=1,解得x=-2;当z=3时,2x+5=3,解得 x=-1.∴ 方程(2x+5)2-4(2x+5)+3=0的解为 x1=-1,x2=-2. 6. B 解析:∵ 关于x 的方程x2-3kx-2=0的根的判 别式=(-3k)2-4×1×(-2)=9k2+8>0,∴ 关于x的 方程x2-3kx-2=0有两个不相等的实数根. 7. D 解析:∵ 方程的其中一根为x=1,∴ 3-2+m= 0,解得m=-1.∵ 两根之积为m 3 ,∴ 两根之积为-13. 8. A 解析:∵ m,n是一元二次方程x2+2x-5=0的 两个实数根,∴ mn=-5,m2+2m-5=0.∴ m2+2m= 5.∴ m2+mn+2m=m2+2m+mn=5-5=0. 9. D 解析:设丁的一条直角边的长为a,且a<2.∵ 甲 的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积,∴ 2a+2a= 1 2×2 2+12a 2,即4a=2+12a 2.整理,得a2-8a+4= 0.∴ a=8± (-8)2-4×1×4 2 = 8±43 2 =4±23. ∵ a<2,∴ a=4-23. 10. A 解析:设该产品的质量档次是第x档次,则每天的 产量为[95-5(x-1)]件,每件的利润是[6+2(x-1)]元. 根据题意,得[6+2(x-1)][95-5(x-1)]=1120.整理, 得x2-18x+72=0,解得x1=6,x2=12(不合题意,舍 去).∴ 该产品的质量档次是第6档次. 二、 11. x2-x-6=0 12. x1=2,x2= 1 4 13. x1= -1+5 2 ,x2= -1-5 2 14. m<3 15. 8或9 解析:当4为腰长时,将x=4代入x2-6x+ n=0,得42-6×4+n=0,解得n=8,此时原方程为x2- 6x+8=0,解得x=2或x=4.∵ 2+4>4,∴ n=8符合 题意.当4为底边长时,关于x 的方程x2-6x+n=0有 两个相等的实数根,∴ b2-4ac=(-6)2-4×1·n=0, 解得n=9,此时原方程为x2-6x+9=0,解得x1=x2= 3.∵ 3+3>4,∴ n=9符合题意.∴ n的值为8或9. 16. 20% 解析:设每次降价的百分率是x.依题意,得 200(1-x)-200(1-x)2=32.整理,得25x2-25x+4= 0,解得x1=0.2=20%,x2=0.8=80%.当x=20%时, 200(1-x)2=128(元),128>110,符合题意;当x=80% 时,200(1-x)2=8(元),8<110,不合题意,舍去.∴ 每次 降价的百分率是20%. 17. 10或15或30 解析:设出发后xs时两只蚂蚁与点 O 组成的三角形的面积为450cm2.分两种情况讨论: ① 当蚂蚁在AO上爬行时,0<2x<50,解得0<x<25.由 题意,得1 2×3x (50-2x)=450,解得x1=10,x2=15. ② 当蚂蚁在OB上爬行时,50<2x<50+50,解得25<x< 50.由题意,得12×3x (2x-50)=450,解得x3=30, x4=-5(不合题意,舍去).综上所述,出发后10s或15s或 30s时两只蚂蚁与点O 组成的三角形的面积为450cm2. 18. ①③ 解析:将x=2分别代入方程,得22+2a+b= 0,22+2c+d=0,∴ 2a+b=-4,2c+d=-4.两式相 减,得2(c-a)+d-b=0.∴ c-a b-d= 1 2. 故①正确.由方 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈