第12讲 相似三角形的性质 （知识清单+9大题型+好题必刷） 核心知识点与常见题型通关讲解练【暑假预习】2025-2026学年九年级上册数学（北师大版）

第12讲 相似三角形的性质 （知识清单+9大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 证明三角形的对应线段成比例 题型二 利用相似三角形的性质求解 题型三 相似三角形的判定与性质综合 题型四 利用相似求坐标 题型五 在网格中画与已知三角形相似的三角形 题型六 相似三角形——动点问题 题型七 重心的有关性质 题型八 相似三角形实际应用 题型九 相似三角形的综合问题 知识清单 知识点1．相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 知识点2．相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 知识点3．作图-相似变换 （1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到． （2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示： （3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形． 题型练习 【题型一】证明三角形的对应线段成比例 【例1】（23-24九年级上·四川眉山·期中）如图，则下列式子中不成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】证明三角形的对应线段成比例 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质得出，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴，故A，B，C正确,D错误 故选：D． 【举一反三】 1．（九年级上·浙江·期末）两个相似三角形的周长比为1：4，那么它们的对应边上的高的比为（    ） A．1：4 B．1：2 C．1：16 D．不同的对应边上的高的比不同 【答案】A 【知识点】证明三角形的对应线段成比例 【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为1：4， ∴它们的对应边上的高比为1：4． 故选：A． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形对应高的比等于相似比是解答此题的关键． 2．（九年级上·全国·课后作业）如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，D为AB边上一点，且△ABC∽△ACD，则AD＝ ． 【答案】4． 【知识点】证明三角形的对应线段成比例 【分析】根据相似三角形性的性质得到对应边成比例，列式求出AD的长． 【详解】∵△ABC∽△ACD，∴， ∵AB＝9，AC＝6，∴，解得：AD＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质． 3．（九年级·全国·专题练习）如图，中，，在上分别截取的延长线相交于点F，证明：． 【答案】见解析 【知识点】相似三角形的判定综合、证明三角形的对应线段成比例 【分析】过点E作 交BC于点M，可得到 ，，进而有 ，，根据，可得到，即证． 【详解】如图，过点E作 交BC于点M， ∵， ∴ ，， ∴ ， ∴ , 即 ， ∵ ∴ ， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法和性质． 【题型二】利用相似三角形的性质求解 【例2】（24-25九年级上·重庆·期中）两个相似三角形的周长比为，那么这两个三角形的面积比为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为， ∴两个三角形的面积比为； 故选C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知，相似比为，那么和的周长比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的周长之比等于相似比，是解题的关键．根据相似三角形的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵，相似比为， ∴和的周长比为． 故选：A． 2．（24-25九年级上·广东河源·阶段练习）已知与的相似比为，则这两个三角形的面积比为 ． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的面积之比等于相似比的平方，据此可得答案． 【详解】解：∵与的相似比为， ∴这两个三角形的面积比为， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，点，分别在边，上，连接，且，相似比是，若的面积是2，求的面积． 【答案】18 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【详解】解：，相似比是，， ， ， 的面积是18． 【题型三】相似三角形的判定与性质综合 【例3】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，线段，连接交于点，若，则下列选项中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，根据，得到，根据相似三角形的性质，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，； 故只有选项B错误； 故选B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，，连接，交于点O，点E、F分别在、，，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握“”字相似三角形模型和 “8”字相似三角形模型是解题关键． 根据，证明，根据相似三角形的性质和题干条件即可解答． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，故A、B、D正确，C不能证明，故C错误，符合题意． 故选：C． 2．（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）如图，在平行四边形中，E是边的中点，连接交于点F，若，则的长是 ． 【答案】4 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，证明是解题的关键； 根据平行四边形的性质可得，再利用相似三角形的性质求解即可. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵E是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：4. 3．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中，过点作，使边交于点． (1)求证：． (2)若， ，求线段的长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握其判定方法和性质的运用是关键． （1）根据两个角对应相等，两三角形相似即可求证； （2）根据相似三角形的性质得到，即，由即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【题型四】利用相似求坐标 【例4】（九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，已知两点A（2，0）B（0，4），∠1=∠2，则点C的坐标为（    ） A．（0，1） B．（0，） C．（0，2） D．（0，3） 【答案】A 【知识点】利用相似求坐标 【分析】根据已知条件，易证△AOC∽△BOA．运用相似三角形的性质求OC即得解 【详解】解：∵∠1=∠2，∠BOA=∠AOC ∴△AOC∽△BOA 即 ∴OC=1 ∴点C的坐标是（0，1）． 故选A 【点睛】求点的坐标的问题可以转化为求线段的长度的问题，本题利用了三角形的相似的性质． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【知识点】利用相似求坐标 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断． 【详解】解：在中，，，则是等腰直角三角形， ， ①、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ②、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ③、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ④、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； 故选：D．    2．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为 ．    【答案】 【知识点】利用相似求坐标 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；由题意易得，点B到x轴的距离为2，即为边上的高，然后可得相似比为，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵点A，的坐标分别为，，的坐标为， ∴，点B到x轴的距离为2，即为边上的高， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 故答案为． 3．（22-23九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标为，点B的坐标为．若a，b的值是关于x的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出___________，___________ (2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标． 【答案】(1)2，3 (2) 【知识点】因式分解法解一元二次方程、利用相似求坐标 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得； （2）先求出的长，再根据相似三角形的性质即可得． 【详解】（1）解：， 因式分解，得， 解得或， 的值是关于的一元二次方程的两个根，且， ， 故答案为：2，3． （2）解：由（1）可知，， ， ， ，， ， 解得， 又，且点在轴上， ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程、相似三角形的性质、点坐标，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【题型五】在网格中画与已知三角形相似的三角形 【例5】（24-25九年级上·四川眉山·期中）如图，在的正方形网格中，画个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】在网格中画与已知三角形相似的三角形 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握三角形相似的判定并根据网格结构判断出三角形的三边的比例是解题的关键． 根据相似三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：第1个网格中两个三角形对应边的比例，所以这两个三角形相似； 第2个网格中两个三角形对应边的比例，所以这两个三角形相似； 第3个网格中两个三角形对应边的比例满足，所以这两个三角形相似； 第4个网格中两个三角形对应边的比例满足，所以这两个三角形相似； 综上所述， 故选：D．正确的画法有4个． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在边长为1的正方形网格中，所有三角形的顶点都在格点上，下列选项中的三角形与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】在网格中画与已知三角形相似的三角形 【分析】本题考查相似三角形的判定．由相似三角形的判定，三角形的三边对应成比例，两三角形相似即可判断． 【详解】根据勾股定理可知： ， 三边比为： 根据格点图及勾股定理知 A．三角形的三边比为：，故本选项不符合题意； B．三角形的三边比为：，故本选项不符合题意； C．三角形的三边比为：，故本选项符合题意； D．三角形的三边比为：，故本选项不符合题意； 故选择：C 2．（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图所示的网格中每个小正方形的边长都是，，，，的顶点都在小正方形的顶点，其中与相似的三角形是 ． 【答案】 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中画与已知三角形相似的三角形 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．先分别求出各个三角形的三边长，再求出每个三角形的三边之比，若其它三个三角形中某个三角形的三边之比与的三边之比相等，则该三角形与相似． 【详解】解：在中，，，， 的三边之比为：； 在中，，，， 的三边之比为：， 与相似； 在中，，，， 的三边之比为：， 与不相似； 在中，，，， 的三边之比为：， 与不相似； 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江·期中）正方形网格中，三个顶点都在网格格点上的三角形叫做格点三角形．请分别在图2，图3中画一个大小不一样的格点三角形，且与图1中的格点三角形相似（不包括全等）． 【答案】见解析 【知识点】在网格中画与已知三角形相似的三角形 【分析】本题考查网格中作已知三角形的相似三角形，已知的三角形是直角三角形，两直角边长比值为，据此作图即可． 【详解】解：与图1中的格点三角形相似的格点三角形如图所示： 【题型六】相似三角形——动点问题 【例6】（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，中，，，，一动点从出发沿着方向以的速度运动，另一动点从出发沿着方向以的速度运动，、两点同时出发，运动时间为；当与相似时，运动时间的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】相似三角形——动点问题 【分析】本题考查相似三角形判定与性质的应用，运动时间为，则得到，，当与相似时，有或，列方程即可得到结论．利用分类讨论及方程的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：∵运动时间为，则，， ∵，，， ∴当与相似时，有或， 当时，则有， ∴， 解得：； 当时，则有， ∴， 解得：； 综上所述，当点、同时运动秒或秒后，与相似． 故选：D． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，，，点P从C点出发沿对角线以1cm/s的速度向点A作匀速运动，点Q从A点出发沿以的速度向点B作匀速运动，若假设运动时间为t，则当时，t的值为（　　） A．2s B．s C．s D．s 【答案】B 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用矩形的性质求角度、相似三角形——动点问题 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，矩形及三角形的综合，解题的关键是三角形的全等和相似的综合运用． 先根据勾股定理求出，过点P作于点M，证明，推出，分别表示和的长，根据，进而，求出t的值，进而作答即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，， 在中， ， 过点P作于点M，如图， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：B． 2．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在中，，，动点从点出发沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为；．如果，两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，那么经过 秒时，以点，，为顶点的三角形与相似． 【答案】2或0.8 【知识点】相似三角形——动点问题 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利用时间表示相应线段长和利用相似比列方程是解决此题的关键．分两种情况，利用相似三角形的判定建立方程求解即可． 【详解】解：设经过t秒时，以与相似，，， ， ∴当时，，即； 解得：， 当时，，即； 解得：， 即经过2秒或秒时，与相似． 故答案为：2或． 3．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，在中，动点P从点B出发以速度向点C移动，同时动点Q从点C出发以的速度向点A移动，设它们的运动时间为t秒． (1)根据题意知： （用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，的面积等于面积的？ (3)当运动几秒时，与相似？ 【答案】(1) (2)或秒 (3)或秒 【知识点】相似三角形——动点问题、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的实际运用，动点问题，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，掌握相似三角形的性质是解决问题的关键；特别是（3）注意分类讨论． （1）结合题意，直接得出答案即可； （2）根据三角形的面积列方程即可求出结果； （3）设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解：①若，②若，然后列方程求解． 【详解】（1）解：根据题意得：经过t秒后，； （2）解：根据题意得：经过t秒后，，则； 当的面积等于面积的时， 即， 解得；或； 答：经过或秒后，的面积等于面积的； （3）解：设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解， ①若则，即，解得； ②若则，即，解得； 由P点在BC边上的运动速度为，Q点在边上的速度为，可求出t的取值范围应该为， 验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件． 答：当运动的时间为或秒时，与相似． 【题型七】重心的有关性质 【例7】（24-25九年级上·河南开封·期末）如图，点G为的重心，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】重心的有关性质 【分析】本题考查三角形的重心，三角形的重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等，然后根据求出的值即可，掌握重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为是解题的关键. 【详解】解：为的重心， ， ，， ，即， ， ． 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，AE经过△ABC的重心P，如果，那么PE的长为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【知识点】重心的有关性质 【分析】本题考查的考点是三角形重心的性质．解题的关键是理解并运用三角形重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍这一性质． 【详解】三角形的重心是三角形三条中线的交点， 且重心到顶点的距离是它到对边中点距离的 2 倍． 设，则， 因为， 即， 解得， 所以． 故答案选：B． 2．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在中，点是的重心，连结并延长交于点，过点作交于点，如果，那么 ． 【答案】6 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、重心的有关性质 【分析】本题主要考查了三角形的重心及平行线分线段成比例，熟知三角形重心的性质及平行线分线段成比例是解题的关键． 根据三角形重心的性质得出，再结合平行线分线段成比例及的长，可求出的长，据此求出的长即可． 【详解】∵点是的重心， 又 故答案为：6． 3．（2024·黑龙江绥化·中考真题）已知：． (1)尺规作图：画出的重心．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） (2)在（1）的条件下，连接，．已知的面积等于，则的面积是______． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据三角形中线求面积、重心的有关性质、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查了三角形重心的性质，尺规画垂线； （1）分别作的中线，交点即为所求； （2）根据三角形重心的性质可得，根据三角形中线的性质可得 【详解】（1）解：如图所示 作法：①作的垂直平分线交 于点 ②作的垂直平分线交于点 ③连接、相交于点 ④标出点 ，点 即为所求 （2）解：∵是的重心， ∴ ∴ ∵的面积等于， ∴ 又∵是的中点， ∴ 故答案为：． 【题型八】相似三角形实际应用 【例8】（24-25九年级上·福建莆田·期末）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔O到的距离为，则小孔O到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 过点作于点，延长交于点，则，，由题意得，则，于是可得，即，由此即可求出，进而可得小孔O到的距离． 【详解】解：如图，过点作于点，延长交于点， ，， 由题意得：， ， ， ， ， ， 即：， ， 即小孔O到的距离为， 故选：． 【举一反三】 1．（2024·甘肃天水·一模）如图是小明实验小组成员在小孔成像实验中的影像，蜡烛在刻度尺处，遮光板在刻度尺处，光屏在刻度尺处，量得像高，则蜡烛的长为（    ） A．5cm B．4cm C．6cm D．4.5cm 【答案】C 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题主要考查相似三角形的实际应用，根据题意，运用相似三角形的性质可得结论． 【详解】解：如图， ∵ ∴， ∴ ， ∴， ∴ 故选：C． 2．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，小孔成像实验如图，抽象为数学问题如图，与交于点，，若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是 ．    【答案】 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由可得，即得，据此解答即可求解，掌握相似三角形的对应高之比等于相似比是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·广东河源·阶段练习）某天早上李伟在家里发现阳光通过窗口照射到室内，会在地面上留下亮区．李伟想通过已经掌握的知识求出家里窗户的高度．于是李伟利用家里的工具测得：此时阳光通过窗口照射到地面上留下宽的亮区，测得亮区到窗口下的墙脚距离，整个窗口高度，请你帮求李伟通过已学知识求出窗口底边离地面的高的长度． 【答案】 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用，需要注意太阳光是平行光线． 根据题意易证，利用相似三角形的性质，对应线段成比例求解即可． 【详解】解：光线是平行的，即， ∴， ∴， ∴ ∴． 【题型九】相似三角形的综合问题 【例9】（22-23九年级上·四川成都·期中）如图，与是位似图形，相似比为1：3，已知，则AD的长为（    ） A．4 B．6 C．9 D．15 【答案】B 【知识点】相似三角形的综合问题 【详解】∵与是位似图形，相似比为1：3， ∴，且， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，平行线分线段成比例等知识，掌握位似图形的性质是解答本题的关键． 【举一反三】 1．（九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在正方形中，，，分别是，，上的动点，且，连接，，，连接分别交，于点，．有以下结论：①；②；③点，，在同一条直线上；④若，则．其中正确的结论有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】相似三角形的综合问题 【分析】结论①，利用正方形的性质及题目给定条件证明得到，利用边角边的全等三角形判定即可得出结论； 结论②，在结论①的基础上得到，再通过直角三角形的性质求出为直角， 利用等腰直角三角形的性质即可得到； 结论③，先证明为中点，根据正方形的对角线的性质即可得到点，，在同一条直线上； 结论④，先证明利用相似三角形的性质得到，进而求出. 【详解】解：①∵是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 在和中 ∴ 故①正确； ②∵ ∴,， ∵ ∴ ∴ ∴为等腰直角三角形 ∴， 故②正确； ③如图连接对角线， ∵ ∴ ∵ ∴ 在和中 ∴ ∴， ∴为中点， ∵和为正方形的对角线且在，为中点上 ∴点为正方形的对角线交点 ∴三点共线， 故③正确； ④若，设,则, ∵， ∴ ∴ ∵为中点， ∴， , ∴， ∴ ∴. 故④错误. 综上正确的结论由①②③三个， 故选C. 【点睛】本题主要考查三角形的全等的判定和性质以及相似三角形判定和性质，利用全等三角形的性质判断结论①②③，再利用三角形的相似来判断结论④，关键注意等腰直角三角形的边长关系. 2．（九年级·全国·专题练习）如图，E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC、GA、GF，已知AG⊥GF，AC＝2，则AB的长为 ． 【答案】 【知识点】中点四边形、相似三角形的综合问题 【分析】如图，连接BD．由△ADG∽△GCF，设CF＝BF＝a，CG＝DG＝b，可得＝，推出，可得b＝a，在Rt△GCF中，利用勾股定理求出b，即可解决问题； 【详解】如图，连接BD． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝∠DCB＝90°，AC＝BD＝2， ∵CG＝DG，CF＝FB， ∴GF＝BD＝， ∵AG⊥FG， ∴∠AGF＝90°， ∴∠DAG+∠AGD＝90°，∠AGD+∠CGF＝90°， ∴∠DAG＝∠CGF， ∴△ADG∽△GCF， 设CF＝BF＝a，CG＝DG＝b， ∴＝， ∴， ∴b2＝2a2， ∵a＞0．b＞0， ∴b＝a， 在Rt△GCF中，3a2＝3， ∴a＝1， ∴AB＝2b＝2． 故答案为2． 【点睛】本题考查三角形中位线定理、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 3．（九年级上·全国·专题练习）如图，D、E分别AB、AC上的点 （1）如果DE∥BC，那么ADE和ABC是位似图形吗？为什么？ （2）如果ADE和ABC是位似图形，那么DE∥BC吗？为什么？ 【答案】（1）是位似图形，见解析；（2）平行，见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用相似三角形的性质求解、相似三角形的综合问题 【分析】（1）根据DE∥BC，可得，则有，根据点A是△ADE和△ABC的公共点，点D和点B是对应点，点E和点C是对应点，直线BD与CE交于点A，可得和是位似图形； (2) 根据和是位似图形，可得，则有∠ADE=∠B，可得． 【详解】解：(1)和是位似图形． 理由是：, ∴，， ∴， ∴． 又∵点A是和的公共点，点和点是对应点，点和点是对应点，直线与交于点， ∴和是位似图形． (2) ． 理由是：∵和是位似图形， ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了位似图形的判定和平行线的判定与性质，熟悉相关性质是解题的关键． 好题必刷 一、单选题 1．已知，顶点、、分别与、、对应，若和的周长分别为、，又∵，则下列判断正确的（ ） A．DE=12 B．EF=12 C．DE=18 D．EF=18 【答案】B 【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比求出与的相似比，然后根据相似三角形对应边成比例列式即可求出的长，从而选择答案即可． 【详解】∵△ABC和△DEF的周长分别为24、36， ∴△ABC和△DEF的相似比为 ∴ ∵BC=8， ∴ 解得EF=12， ∵AB的边长不知道， ∴DE的长度无法求出. 故选B. 【点睛】考查相似三角形的性质，掌握相似三角形周长比等于相似比是解决问题的关键. 2．图，为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，E，使得A，B与C共线，A，D与E共线，且直线AC与河岸垂直，直线BD，CE均与直线AC垂直．经测量，得到BC，CE，BD的长度，设AB的长为x，则下列等式成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的判定定理确定，再根据相似三角形的判定定理和性质求解即可． 【详解】解：∵直线BD，CE均与直线AC垂直， ∴． ∴． ∴． ∵AB的长为x， ∴AC=AB+BC=x+BC． ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查平行线的判定定理，相似三角形的判定定理和性质，熟练掌握这些知识点是解题关键． 3．若△ABC∽△DEF，AB：DE＝9：4，则△ABC与△DEF的面积之比为（　　） A．3：2 B．9：4 C．4：9 D．81：16 【答案】D 【分析】根据相似三角形的性质计算即可； 【详解】∵△ABC∽△DEF，且相似比为9：4， ∴其面积之比为81：16． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，准确计算是解题的关键． 4．已知的三边长分别为，，，现在有长度分别为和的木条各一根，要做一个三角形木架与已知三角形相似，那么第三根木条的长度应为（ ） A．20cm B．25cm C．30cm D．35cm 【答案】B 【分析】先判断出第三根木条与50cm的边长是对应边，再根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解． 【详解】∵ ∴第三根木条与50cm的边长是对应边，设为xcm， ∴ 解得x=25cm. 故选B. 【点睛】考查相似三角形的性质，掌握相似三角形对应角相等,对应边的比相等是解题的关键. 5．如图，在正方形ABCD中，P是BC上一点（点P不与点B，C重合），连接AP．作PE⊥AP，PE交CD于点E．若AB＝6，点P为BC的中点，则DE＝（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的性质，余角，可证明出△ABP∽△PCE，再根据相似三角形的性质即可求出CE的值，最后根据线段的和差关系即可求解． 【详解】解：在正方形ABCD中，AB=BC=CD=6，∠B=∠C=90°， ∵P为BC中点， ∴BP=PC=AB=3， ∵AP⊥PE， ∴∠APE=90°=∠APB+∠EPC， ∵∠B=90°， ∴∠APB+∠BAP=90°， ∴∠BAP=∠EPC， ∵∠B=∠C=90°， ∴△ABP∽△PCE， ∴，即， ∴， ∴DE=CD-CE=， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，证得△ABP∽△PCE是解答本题的关键． 6．图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出两个高脚杯液体的高度，再通过三角形相似，建立其对应边的比与对应高的比相等的关系，即可求出AB． 【详解】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15-7=8（cm）， 第二个高脚杯盛液体的高度为：11-7=4（cm）， 因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯， 所以图1和图2中的两个三角形相似， ∴， ∴（cm）， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是读懂题意，与图形建立关联，能灵活运用相似三角形的判定得到相似三角形，并能运用其性质得到相应线段之间的关系等，本题对学生的观察分析的能力有一定的要求． 7．如图，ABC中，DE∥BC，AD:BD=1:3，则OE：OB=（　  ） A．1:3 B．1:4 C．1:5 D．1:6 【答案】B 【分析】先根据DE∥BC，得出ADE∽ABC，进而得出 ，再根据DE∥BC，得到ODE∽OCB，进而得到． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴ADE∽ABC， ∴， 又∵， ∴， ∵DE∥BC， ∴ODE∽OCB， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． 8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BD是AC边上的高线，DC＝1，则BD的长等于(  ) A．2 B．3 C．4 D． 【答案】B 【分析】根据已知AC=5=AB和CD=1可求得AD=4然后根据勾股定理求得BD=3，勾股定理的内容是在直角三角形中有两条直角边的平方和等于斜边的平方即可. 【详解】解：∵BD⊥AC ∴∠ADB=90° ∵AC=5， CD=1 ∴AD=4 ∵AB=5 ∴BD= =3. 故答案选：B. 【点睛】本题考查了勾股定理的知识，勾股定理是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方即可解答，本题根据AC=5，CD=1可求出AD=4，然后根据勾股定理求BD的值. 9．如图，E是的边延长线上一点，连接，交于点F，连接，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先由，得，再根据相似三角形的性质，可得，，可得，据此即可求解． 【详解】解：是的边延长线上一点， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，利用高相等的两个三角形面积之比等于底之比是解题的关键． 10．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠DBC=45°，点E在BC上，点F在AB上，将梯形ABCD沿直线EF翻折，使得点B与点D重合．如果，那么的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵EF是点B、D的对称轴， ∴△BFE≌△DFE， ∴DE=BE． ∵在△BDE中，DE=BE，∠DBE=45°， ∴∠BDE=∠DBE=45°， ∴∠DEB=90°， ∴DE⊥BC． 在等腰梯形ABCD中， ∵=， ∴设AD=1，BC=4，过A作AG⊥BC于G， ∴四边形AGED是矩形， ∴GE=AD=1， ∵Rt△ABG≌Rt△DCE， ∴BG=EC=1.5， ∴AG=DE=BE=2.5， ∴AB=CD==， ∵∠ABC=∠C=∠FDE，∠CDE+∠C=90°， ∴∠FDE+∠CDE=90°， ∴∠FDB+∠BDC+∠FDB=∠FDB+∠DFE=90°， ∴∠BDC=∠DFE， ∵∠DEF=∠DBC=45°， ∴△BDC∽△DEF， ∴， ∴DF=， ∴BF=， ∴AF=AB﹣BF=， ∴=． 故选B． 二、填空题 11．已知与相似，且与的相似比为，如果的面积为18，那么的面积等于 ． 【答案】8 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可找到和的面积之比从而解决此题． 【详解】且相似比为 和的面积比为 故答案为：8 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的性质是解决本题关键． 12．如图，D、E分别是ABC的AC，AB边上的点，BD，CE相交于点O，若，那么S四边形ADOE＝ ． 【答案】 【分析】连接DE，利用“等高的两个三角形的面积的比等于对应的底的比”性质，代入已知数据可求得S△DOE，然后设S△ADE＝x，得方程：＝，即可求得四边形ADOE的面积． 【详解】连接DE， 因为＝，＝，将已知数据代入可得S△DOE＝， 设S△ADE＝x，则由＝＝，＝＝， 得方程＝， 解得：x＝， 所以四边形ADOE的面积＝x+＝． 故四边形ADOE的面积是． 故答案为：． 【点睛】考查了三角形面积的理解和掌握，解题关键是利用“等高的两个三角形的面积的比等于对应的底的比”性质． 13．如图，已知，、交于点，若，则 ． 【答案】 【分析】由AE∥BC可知△AED∽△CBD，从而可求得＝，然后即可求得的值． 【详解】解：∵AE∥BC， ∴△AED∽△CBD， ∴， ∴＝， ∴＝， 故答案为 【点睛】本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 14．如图，在中，，，．将线段绕点B顺时针旋转得到线段，过点D作交的延长线于点E，连接交于点N，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质． 作交CE于点M，易得，根据“ASA”证得，再证明，即可解得． 【详解】解：如图，作交CE于点M， 易得． 是由BC绕点B顺时针旋转得到的， ，， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 在和中， ， ， ，，， ， ， ，即， ． ， ， ． 15．如图，矩形中，，，为边上的动点，当与相似时， ． 【答案】1或4或2.5 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，需要分类讨论：和，根据该相似三角形的对应边成比例求得的长度． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴． ①当时， ， 即， 解得：，或； ②当时， ， 即， 解得：． 综上所述，的长度是1或4或2.5． 故答案为：1或4或2.5． 16．两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角是40°、60°．那么另一个三角形的最大角是 度，最小角是 度． 【答案】 80 40 【详解】∵一个三角形的两个内角是40°、60°， ∴另一个内角为：180°-40°-60°=80°， ∵两个三角形相似， ∴另一个三角形的最大角是80°，最小角是40°， 故答案为80，40． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，解答此题的关键是熟记相似三角形的对应角相等． 17．如图，正方形ABCD中，，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作，交CD于点Q，则CQ的最大值为 ． 【答案】4 【分析】先证明，得到与CQ有关的比例式，设，则，代入解析式，得到y与x的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值． 【详解】解： 又 设，则． ，化简得， 整理得， 所以当时，y有最大值为4． 故答案为4． 【点睛】考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，以及二次函数最值问题，几何最值用二次函数最值求解考查了树形结合思想． 18．在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．如图，请你在4×4的方格纸中，画一个格点三角形A1B1C1，使△A1B1C1与格点三角形ABC相似(相似比不为1)． 【答案】见解析 【分析】将原图分别缩小或放大倍，即可． 【详解】本题答案不唯一，如图所示： 【点睛】本题考查了作图—相似变换，相似三角形的画法，根据的主要是相似三角形的性质．注意本题中的要求在4×4的方格纸中，所以只能是缩小． 三、解答题 19．某同学的座位到黑板的距离是，老师在黑板上要写多大的字，才能使这名同学看黑板上的字时，与他看相距的教科书上的字的感觉相同（教科书上的小四号字大小约为）？ 【答案】要写大约为大小的字 【分析】设老师在黑板上要写的字大小为xcm×xcm，利用相似三角形的性质列出方程求解即可． 【详解】解：设老师在黑板上要写的字大小为xcm×xcm时，才能使这名同学看黑板上的字时，与他看相距30cm的教科书上的字的感觉相同， 根据题意得， 解得x=8.4． 答：老师在黑板上要写8.4cm×8.4cm的字，才能使这名同学看黑板上的字时，与他看相距30cm的教科书上的字的感觉相同． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例． 20．如图，在中，是高，，分别是，的角平分线，它们相交于点，，，求和的度数.    【答案】， 【分析】因为AD是高，所以∠ADC=90°，又因为∠C=∠BAC+20°= 70°，所以∠DAC度数可求；因为∠BAC=50°，∠C=70°，所以∠BAO=25°，∠ABC=60°，BF是∠ABC的角平分线，则∠ABO=30°，故∠BOA的度数可求． 【详解】解：    ∵， ∴， ∴， ∵在中，是高， ∴在中，， ∵，分别是，的角平分线， ∴，， ∴, 所以，，. 故答案为 ； . 【点睛】本题考查三角形的内角和定理，高线、角平分线的定义，熟记定义并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 21．如图，在方格纸上有和，这两个三角形是否相似？如果相似，与的周长比和面积比分别是多少？ 【答案】相似，与的周长比是2∶1，面积比是4∶1． 【分析】根据三角形在坐标系方格图中的位置，将三角形各边长放入相应的直角三角中应用勾股定理得出边长，然后利用对应边成比例可得三角形相似，相似比即为对应边比例，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，即可得出答案． 【详解】解：根据三角形在坐标系方格图中的位置，将三角形各边长放入相应的直角三角中可得： ， ， ， ， ， ， ∴， ∴； ∴， ． 三角形的周长比为：2:1，面积比为：4:1． 【点睛】题目主要考查三角形相似的判定定理及性质，熟练掌握三角形的相似比与周长比、面积比的关系是解题关键． 22．小军想出了一个测量建筑物高度的方法：在地面上点C处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后向后退去，直至站在点D处恰好看到建筑物AB的顶端A在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图）．设小军的眼睛距地面1.65m，BC、CD的长分别为60m、3m，求这座建筑物的高度． 【答案】33米 【分析】利用相似三角形的判定与性质得出，进而得出AB的长． 【详解】解：由题意可得：∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD， ∴△ABC∽△EDC， ， ∵小军的眼睛距地面1.65m，BC、CD的长分别为60m、3m， ∴， 解得：AB＝33， 答：这座建筑物的高度为33m． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质的应用．结合平面镜成像的特点证明两个三角形相似是解题的关键． 23．已知ABC∽DEF，∠A＝30°，∠B＝70°，∴AB＝3cm，DE＝6cm，EF＝9cm，求∠F的度数和BC的长． 【答案】； 【分析】本题根据相似三角形对应角相等，对应边成比例，列式求解即可． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，能熟练运用对应角相等以及对应边成比例解题即可． 24．利用三角形的中线，你能否将图中的三角形的面积分成相等的四部分(给出3种方法)? 【答案】详见解析 【分析】（1）如图1,可取各边的中点顺次连接; （2）如图2,把BC四等分,让BC的四等分点分别与A连接. （3）如图3,先把分成面积相等的两部分,进而再做分得两个三角形的中线即可把分成面积相等的四部分. 【详解】解：如图 【点睛】本题考查了学生应用知识的能力,三角形的一条中位线把三角形分成2个相似三角形,其中小三角形的面积为大三角形面积的;等底同高的三角形的面积相等. 25．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，CD上的点，AE＝ED，DF＝DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G. (1)求证：△ABE∽△DEF； (2)若正方形的边长为8，求BG的长．    【答案】（1）证明见解析（2）20 【分析】（1）由＝＝，∠D＝∠A＝90°，可证△ABE∽△DEF； (2)由DE∥CG，得△DEF∽△CGF，又DF＝DC，即DF＝FC，可得＝＝，故CG＝3ED＝12，所以BG＝BC+CG. 【详解】证明：(1)由题意得＝＝，又∠D＝∠A＝90°， ∴△ABE∽△DEF，　 (2)∵DE∥CG， ∴△DEF∽△CGF， 又∵DF＝DC，即DF＝FC， ∴＝＝， ∴CG＝3ED＝12， ∴BG＝8＋12＝20 【点睛】本题考核知识点：相似三角形的判定和性质. 解题关键点：熟记相似三角形的判定和性质. 26．如图，以的两边分别向外作等边和等边，与交于点P，已知．    (1)求证：； (2)求的度数及的长； (3)若点Q、R分别是等边和等边的重心（三边中线的交点），连接，作出图象，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）证即可求证； （2）利用全等三角形的性质可得的度数；在上取点F，使，根据（1）中证明过程可证，即可求解； （3）过点Q作于G，设，根据重心的性质可得，进一步可证，即可求解． 【详解】（1）证明：∵和都为等边三角形， ∴ ∴， 即， ∴ （2）解：∵； ∴， 设交于O， ∵， ∴； 如图①在上取点F，使，    同（1）可得 ∴为等边三角形， ∴； （3）解：    如图②，过点Q作于G，设， ∵点Q、R分别是等边和等边的重心， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题以“手拉手”全等三角形模型为背景，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质．熟记相关结论进行几何推理是解题关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 相似三角形的性质 （知识清单+9大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 证明三角形的对应线段成比例 题型二 利用相似三角形的性质求解 题型三 相似三角形的判定与性质综合 题型四 利用相似求坐标 题型五 在网格中画与已知三角形相似的三角形 题型六 相似三角形——动点问题 题型七 重心的有关性质 题型八 相似三角形实际应用 题型九 相似三角形的综合问题 知识清单 知识点1．相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 知识点2．相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 知识点3．作图-相似变换 （1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到． （2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示： （3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形． 题型练习 【题型一】证明三角形的对应线段成比例 【例1】（23-24九年级上·四川眉山·期中）如图，则下列式子中不成立的是（    ）    A． B． C． D． 【举一反三】 1．（九年级上·浙江·期末）两个相似三角形的周长比为1：4，那么它们的对应边上的高的比为（    ） A．1：4 B．1：2 C．1：16 D．不同的对应边上的高的比不同 2．（九年级上·全国·课后作业）如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，D为AB边上一点，且△ABC∽△ACD，则AD＝ ． 3．（九年级·全国·专题练习）如图，中，，在上分别截取的延长线相交于点F，证明：． 【题型二】利用相似三角形的性质求解 【例2】（24-25九年级上·重庆·期中）两个相似三角形的周长比为，那么这两个三角形的面积比为（  ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知，相似比为，那么和的周长比为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东河源·阶段练习）已知与的相似比为，则这两个三角形的面积比为 ． 3．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，点，分别在边，上，连接，且，相似比是，若的面积是2，求的面积． 【题型三】相似三角形的判定与性质综合 【例3】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，线段，连接交于点，若，则下列选项中错误的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，，连接，交于点O，点E、F分别在、，，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）如图，在平行四边形中，E是边的中点，连接交于点F，若，则的长是 ． 3．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中，过点作，使边交于点． (1)求证：． (2)若， ，求线段的长． 【题型四】利用相似求坐标 【例4】（九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，已知两点A（2，0）B（0，4），∠1=∠2，则点C的坐标为（    ） A．（0，1） B．（0，） C．（0，2） D．（0，3） 【举一反三】 1．（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 2．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为 ．    3．（22-23九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标为，点B的坐标为．若a，b的值是关于x的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出___________，___________ (2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标． 【题型五】在网格中画与已知三角形相似的三角形 【例5】（24-25九年级上·四川眉山·期中）如图，在的正方形网格中，画个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三】 1．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在边长为1的正方形网格中，所有三角形的顶点都在格点上，下列选项中的三角形与相似的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图所示的网格中每个小正方形的边长都是，，，，的顶点都在小正方形的顶点，其中与相似的三角形是 ． 3．（24-25九年级上·浙江·期中）正方形网格中，三个顶点都在网格格点上的三角形叫做格点三角形．请分别在图2，图3中画一个大小不一样的格点三角形，且与图1中的格点三角形相似（不包括全等）． 【题型六】相似三角形——动点问题 【例6】（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，中，，，，一动点从出发沿着方向以的速度运动，另一动点从出发沿着方向以的速度运动，、两点同时出发，运动时间为；当与相似时，运动时间的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【举一反三】 1．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，，，点P从C点出发沿对角线以1cm/s的速度向点A作匀速运动，点Q从A点出发沿以的速度向点B作匀速运动，若假设运动时间为t，则当时，t的值为（　　） A．2s B．s C．s D．s 2．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在中，，，动点从点出发沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为；．如果，两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，那么经过 秒时，以点，，为顶点的三角形与相似． 3．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，在中，动点P从点B出发以速度向点C移动，同时动点Q从点C出发以的速度向点A移动，设它们的运动时间为t秒． (1)根据题意知： （用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，的面积等于面积的？ (3)当运动几秒时，与相似？ 【题型七】重心的有关性质 【例7】（24-25九年级上·河南开封·期末）如图，点G为的重心，若，则为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，AE经过△ABC的重心P，如果，那么PE的长为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 2．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在中，点是的重心，连结并延长交于点，过点作交于点，如果，那么 ． 3．（2024·黑龙江绥化·中考真题）已知：． (1)尺规作图：画出的重心．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） (2)在（1）的条件下，连接，．已知的面积等于，则的面积是______． 【题型八】相似三角形实际应用 【例8】（24-25九年级上·福建莆田·期末）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔O到的距离为，则小孔O到的距离为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（2024·甘肃天水·一模）如图是小明实验小组成员在小孔成像实验中的影像，蜡烛在刻度尺处，遮光板在刻度尺处，光屏在刻度尺处，量得像高，则蜡烛的长为（    ） A．5cm B．4cm C．6cm D．4.5cm 2．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，小孔成像实验如图，抽象为数学问题如图，与交于点，，若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是 ．    3．（24-25九年级上·广东河源·阶段练习）某天早上李伟在家里发现阳光通过窗口照射到室内，会在地面上留下亮区．李伟想通过已经掌握的知识求出家里窗户的高度．于是李伟利用家里的工具测得：此时阳光通过窗口照射到地面上留下宽的亮区，测得亮区到窗口下的墙脚距离，整个窗口高度，请你帮求李伟通过已学知识求出窗口底边离地面的高的长度． 【题型九】相似三角形的综合问题 【例9】（22-23九年级上·四川成都·期中）如图，与是位似图形，相似比为1：3，已知，则AD的长为（    ） A．4 B．6 C．9 D．15 【举一反三】 1．（九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在正方形中，，，分别是，，上的动点，且，连接，，，连接分别交，于点，．有以下结论：①；②；③点，，在同一条直线上；④若，则．其中正确的结论有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（九年级·全国·专题练习）如图，E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC、GA、GF，已知AG⊥GF，AC＝2，则AB的长为 ． 3．（九年级上·全国·专题练习）如图，D、E分别AB、AC上的点 （1）如果DE∥BC，那么ADE和ABC是位似图形吗？为什么？ （2）如果ADE和ABC是位似图形，那么DE∥BC吗？为什么？ 好题必刷 一、单选题 1．已知，顶点、、分别与、、对应，若和的周长分别为、，又∵，则下列判断正确的（ ） A．DE=12 B．EF=12 C．DE=18 D．EF=18 2．图，为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，E，使得A，B与C共线，A，D与E共线，且直线AC与河岸垂直，直线BD，CE均与直线AC垂直．经测量，得到BC，CE，BD的长度，设AB的长为x，则下列等式成立的是（     ） A． B． C． D． 3．若△ABC∽△DEF，AB：DE＝9：4，则△ABC与△DEF的面积之比为（　　） A．3：2 B．9：4 C．4：9 D．81：16 4．已知的三边长分别为，，，现在有长度分别为和的木条各一根，要做一个三角形木架与已知三角形相似，那么第三根木条的长度应为（ ） A．20cm B．25cm C．30cm D．35cm 5．如图，在正方形ABCD中，P是BC上一点（点P不与点B，C重合），连接AP．作PE⊥AP，PE交CD于点E．若AB＝6，点P为BC的中点，则DE＝（    ） A． B． C． D． 6．图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（    ） A． B． C． D． 7．如图，ABC中，DE∥BC，AD:BD=1:3，则OE：OB=（　  ） A．1:3 B．1:4 C．1:5 D．1:6 8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BD是AC边上的高线，DC＝1，则BD的长等于(  ) A．2 B．3 C．4 D． 9．如图，E是的边延长线上一点，连接，交于点F，连接，，则等于（    ） A． B． C． D． 10．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠DBC=45°，点E在BC上，点F在AB上，将梯形ABCD沿直线EF翻折，使得点B与点D重合．如果，那么的值是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知与相似，且与的相似比为，如果的面积为18，那么的面积等于 ． 12．如图，D、E分别是ABC的AC，AB边上的点，BD，CE相交于点O，若，那么S四边形ADOE＝ ． 13．如图，已知，、交于点，若，则 ． 14．如图，在中，，，．将线段绕点B顺时针旋转得到线段，过点D作交的延长线于点E，连接交于点N，则 ． 15．如图，矩形中，，，为边上的动点，当与相似时， ． 16．两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角是40°、60°．那么另一个三角形的最大角是 度，最小角是 度． 17．如图，正方形ABCD中，，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作，交CD于点Q，则CQ的最大值为 ． 18．在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．如图，请你在4×4的方格纸中，画一个格点三角形A1B1C1，使△A1B1C1与格点三角形ABC相似(相似比不为1)． 三、解答题 19．某同学的座位到黑板的距离是，老师在黑板上要写多大的字，才能使这名同学看黑板上的字时，与他看相距的教科书上的字的感觉相同（教科书上的小四号字大小约为）？ 20．如图，在中，是高，，分别是，的角平分线，它们相交于点，，，求和的度数.    21．如图，在方格纸上有和，这两个三角形是否相似？如果相似，与的周长比和面积比分别是多少？ 22．小军想出了一个测量建筑物高度的方法：在地面上点C处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后向后退去，直至站在点D处恰好看到建筑物AB的顶端A在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图）．设小军的眼睛距地面1.65m，BC、CD的长分别为60m、3m，求这座建筑物的高度． 23．已知ABC∽DEF，∠A＝30°，∠B＝70°，∴AB＝3cm，DE＝6cm，EF＝9cm，求∠F的度数和BC的长． 24．利用三角形的中线，你能否将图中的三角形的面积分成相等的四部分(给出3种方法)? 25．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，CD上的点，AE＝ED，DF＝DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G. (1)求证：△ABE∽△DEF； (2)若正方形的边长为8，求BG的长．    26．如图，以的两边分别向外作等边和等边，与交于点P，已知．    (1)求证：； (2)求的度数及的长； (3)若点Q、R分别是等边和等边的重心（三边中线的交点），连接，作出图象，求的长. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$