第12讲 比例线段 （知识清单+4大题型+好题必刷） 核心知识点与常见题型通关讲解练【暑假预习】2025-2026学年九年级上册数学（浙教版）

第12讲 比例线段 （知识清单+4大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 比例线段 题型二 比例的性质 题型三 成比例线段 题型四 黄金分割 知识清单 知识点1．比例的性质 （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc． ②合比性质．若＝，则＝． ③分比性质．若＝，则＝． ④合分比性质．若＝，则＝． ⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝． 知识点2．比例线段 （1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． （2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 知识点3．黄金分割 （1）黄金分割的定义： 如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． （2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值． 黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：． （3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为． 题型练习 【题型一】比例线段 【例1】（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）若线段，，则线段，的比例中项为（    ） A． B． C．6 D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）一幅地图上，用的线段表示的实际距离，它的比例尺是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）比例尺为的地图上，杭州到嘉兴的图上距离约是，则杭州到嘉兴的实际距离是 ． 3．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知三条线段，，满足，且. (1)求，，的值； (2)若线段是线段和的比例中项，求的值. 【题型二】比例的性质 【例2】（24-25九年级上·浙江金华·期末）若，则的值为（   ） A．4 B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）若，则下列比例式成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）已知，且，则的值为 ． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知． (1)求代数式的值． (2)若，求，，的值． 【题型三】成比例线段 【例3】（24-25九年级上·浙江·阶段练习）下列四个数能成比例的是（   ） A．1，2，3，4 B．1，3，2，4 C．1，2，3，6 D．1，3，2，5 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）若线段，则a，b的比例中项线段为（   ） A．36 B． C． D．6 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知线段，线段，则线段，的比例中项线段的长度为 ． 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知：线段a，b，c，根据以下条件回答问题． (1)若，，c是a，b的比例中项线段，求c的长； (2)若，，求a，b，c的长． 【题型四】黄金分割 【例4】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，点是线段的黄金分割点，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）黄金分割是大自然的基本规律，比如植物叶片按照黄金分割的规律进行排列．如图，点为的黄金分割点，若的长度为，那么的长度是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江金华·期末）在“国旗在心中”活动中，同学们近距离观赏五星红旗，聆听红旗的故事．如图，在国旗上的任意一个五角星中，若，则的长为 ． 3．（九年级上·浙江·专题练习）中，D是上一点，若，则称为的黄金分割线． (1)求证：若为的黄金分割线，则D是的黄金分割点； (2)若，求的面积．（结果保留根号） 好题必刷 一、单选题 1．在一幅比例尺为的地图上，量得某座大桥长厘米，这座大桥的实际长度是（    ） A．55米 B．10千米 C．55千米 D．千米 2．一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”，给人以美感．如图，若将抽象地看成一条线段，点P为的黄金分割点，下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，P是线段AB上的点，且AP2＝BP•AB，那么AP：AB的值是（    ） A． B． C． D． 4．四条线段成比例,其中＝3，，，则等于(   ) A．2㎝ B．㎝ C． D．8㎝ 5．大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是（    ） A． B． C． D． 6．已知线段AB=2，P是线段AB的黄金分割点，AP>PB，那么线段AP的长度等于（    ） A． B． C． D． 7．下列各组线段的长度成比例的是(　　) A．1 cm，2 cm，3 cm，4 cm B．2 cm，3 cm，4 cm，5 cm C．0.3 m，0.6 m，0.5 m，0.9 m D．30 cm，20 cm，90 cm，60 cm 8．如果a=2，b=4，c=8，那么（    ） A．a、b、c的第四比例项是7 B．3a、2b和3c的第四比例项为18 C．c是ab的比例中项 D．b是ac的比例中项 9．若，设，，，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 10．如图,有三个直角三角形,其中OA=AB=BC=CD=1,则线段OA,OD的比例中项线段的长度为(　　) A． B． C．± D． 二、填空题 11．若，则的值为 ． 12．已知线段，在的延长线上取一点C，使，则线段与线段之比为 . 13．同学们都知道，在相同的时刻，物高与影长成比例，某班同学要测量学校国旗的旗杆高度，在某一时刻，量得旗杆的影长是米，而同一时刻，量得某一身高为米的同学的影长为米，则旗杆的高度是 米． 14．已知a：b：c=3：5：7，且a﹣b+c=10，则a= ，b= ，c= ． 15．已知点P在线段AB上，且AP：PB=2：5，则AB：PB= ，AP：AB= ． 16．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中处处可见；例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长米，主持人从舞台一侧B进入，她至少走 米时恰好站在舞台的黄金分割点上．（结果保留根号）    三、解答题 17．化最简整数比：：： 18．已知线段a、b、c满足，且．求a、b、c的值． 19．已知a：b：c=2：4：5，且2a-b+3c=15，求3a+b-2c的值． 20．如图，乐器上的一根弦，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，求C、D之间的距离． 21．已知，求的比值． 22．（1）已知，求的值； （2）已知点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，AB=2，求PA、PB的长． 23．已知线段，在上有一点A，如果，求证：点A是的黄金分割点. 24．欣赏这幅图片，分别用厘米和毫米作为长度单位，量一量这幅图片的长与宽，并计算长与宽的比，这两个比值相等吗？这说明了什么呢？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 比例线段 （知识清单+4大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 比例线段 题型二 比例的性质 题型三 成比例线段 题型四 黄金分割 知识清单 知识点1．比例的性质 （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc． ②合比性质．若＝，则＝． ③分比性质．若＝，则＝． ④合分比性质．若＝，则＝． ⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝． 知识点2．比例线段 （1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． （2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 知识点3．黄金分割 （1）黄金分割的定义： 如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． （2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值． 黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：． （3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为． 题型练习 【题型一】比例线段 【例1】（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）若线段，，则线段，的比例中项为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】C 【知识点】比例线段 【分析】本题主要考查比例线段的定义，根据成比例线段的定义解得即可． 【详解】设线段，的比例中项为， 则， 解得： 又因为为线段， 所以． 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）一幅地图上，用的线段表示的实际距离，它的比例尺是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比例线段 【分析】本题考查比例尺，根据比例尺为图上线段的长度与实际距离的比值，求解即可． 【详解】解：， ∴比例尺为：； 故选A． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）比例尺为的地图上，杭州到嘉兴的图上距离约是，则杭州到嘉兴的实际距离是 ． 【答案】 【知识点】比例线段 【分析】本题考查比例线段．设杭州到嘉兴的实际距离为，利用比例尺的定义得到，然后解出，最后把单位化为千米即可．解题的关键是掌握：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 【详解】解：设杭州到嘉兴的实际距离为， 根据题意得， 解得：， ∵ ∴杭州到嘉兴的实际距离约为． 故答案为：． 3．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知三条线段，，满足，且. (1)求，，的值； (2)若线段是线段和的比例中项，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】比例线段、成比例线段 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段； （1）设，用含的代数式分别表示出，再由，建立关于的方程，解方程求出的值，从而可求出的值； （2）由已知线段 是线段 和 的比例中项，可得到，代入计算求出的值． 【详解】（1）解：设，则， ∵ ∴ 即， 解得：， ∴； （2）解：∵线段是线段和的比例中项， ∴， ∵ ∴． 【题型二】比例的性质 【例2】（24-25九年级上·浙江金华·期末）若，则的值为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质，关键是比例性质定理的应用．将化为代入即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴ ． 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）若，则下列比例式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．利用比例的基本性质，把每一个选项中的比例式化成等积式即可解答． 【详解】解：A．因为，所以，故A符合题意； B．因为，所以，故B不符合题意； C．因为，所以，故C不符合题意； D．因为，所以，故D不符合题意； 故选：A． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）已知，且，则的值为 ． 【答案】或 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质，根据已知条件得出再把三式相加得出，然后分两种情况讨论，即可得出k的值． 【详解】解：由已知得， ∴， ∴当时，得， 当时，则 ∴， ∴k的值为1或． 故答案为：1或． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知． (1)求代数式的值． (2)若，求，，的值． 【答案】(1)1； (2)，，． 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质的应用，主要考查学生的计算能力． （1）令，，，把，，，代入，即可计算； （2）把，，，代入，求出的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：， 令，，， ， ． （2）， ， ， ， ，，． 【题型三】成比例线段 【例3】（24-25九年级上·浙江·阶段练习）下列四个数能成比例的是（   ） A．1，2，3，4 B．1，3，2，4 C．1，2，3，6 D．1，3，2，5 【答案】C 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查成比例线段，对于线段a，b，c，d，若，则这四条线段成比例，据此概念进行一一验证即可．掌握概念是关键． 【详解】解：A、，故这四个数不成比例； B、，故这四个数不成比例； C、，故这四个数成比例； D、，故这四个数不成比例； 故选：C 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）若线段，则a，b的比例中项线段为（   ） A．36 B． C． D．6 【答案】D 【知识点】成比例线段 【分析】本题主要考查比例线段，掌握比例线段的定义是解题的关键． 设线段c是a，b的比例中项，根据比例中项的定义列方程求解即可． 【详解】解：设线段c是a，b的比例中项， ∴，即， ∴（负数舍去）． 故选D． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知线段，线段，则线段，的比例中项线段的长度为 ． 【答案】 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了成比例的线段．熟练掌握比例中项是解题的关键．根据题意得出，代入数据进行计算即可求解． 【详解】解：依题意， ∴（负值舍去） 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知：线段a，b，c，根据以下条件回答问题． (1)若，，c是a，b的比例中项线段，求c的长； (2)若，，求a，b，c的长． 【答案】(1) (2)，， 【知识点】比例的性质、成比例线段 【分析】本题考查了比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质求解即可： （1）根据比例中项的定义列式得到，即，然后根据算术平方根的定义求解，即可得到c的长； （2）设然后用表示a，b，c，再代入，求解得到，即可得到a，b，c的值 【详解】（1）解：∵c是a，b的比例中项线段， ∴， ∴（负值舍去） 即c的长为； （2）解：设 ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ 【题型四】黄金分割 【例4】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，点是线段的黄金分割点，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 根据黄金分割的定义进行计算，即可得到答案． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，， ， 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）黄金分割是大自然的基本规律，比如植物叶片按照黄金分割的规律进行排列．如图，点为的黄金分割点，若的长度为，那么的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割：点把线段分成两条线段和（）且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．根据黄金分割的定义即可得到答案． 【详解】解：∵点是的黄金分割点， ∴， ； 选：D ． 2．（24-25九年级上·浙江金华·期末）在“国旗在心中”活动中，同学们近距离观赏五星红旗，聆听红旗的故事．如图，在国旗上的任意一个五角星中，若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割点的运用．解题关键是利用黄金分割点找到线段之间的比例关系．利用黄金分割点可得，进而得解． 【详解】解：由题意知：N是的黄金分割点， ， ， 故答案为：． 3．（九年级上·浙江·专题练习）中，D是上一点，若，则称为的黄金分割线． (1)求证：若为的黄金分割线，则D是的黄金分割点； (2)若，求的面积．（结果保留根号） 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】黄金分割 【分析】（1）先由等高的两个三角形面积之比等于底之比，可得，，又因为，等量代换得出，根据黄金分割点的定义即可证明D是的黄金分割点； （2）由（1）知，那么，，又等高的两个三角形面积之比等于底之比，将代入，即可求出的面积． 【详解】（1）证明：∵，， 又∵， ∴， ∴D是的黄金分割点； （2）解：由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．也考查了三角形的面积． 好题必刷 一、单选题 1．在一幅比例尺为的地图上，量得某座大桥长厘米，这座大桥的实际长度是（    ） A．55米 B．10千米 C．55千米 D．千米 【答案】C 【分析】本题考查了比例线段，根据比例尺的定义列式计算，然后再把单位换算为千米即可． 【详解】解：（厘米）， 厘米千米． 故大桥的实际长度是55千米． 故选：C． 2．一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”，给人以美感．如图，若将抽象地看成一条线段，点P为的黄金分割点，下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查黄金分割，解题的关键是根据黄金分割的定义得出比例式即可． 【详解】解：因为点为线段的黄金分割点，且， 所以， 显然四个选项只有选项符合题意． 故选：A． 3．已知，P是线段AB上的点，且AP2＝BP•AB，那么AP：AB的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据黄金分割定义计算即可； 【详解】解：设AB为1，AP为x，则BP为1﹣x， ∵AP2＝BP•AB，∴x2＝（1﹣x）×1 解得x1，x2（舍去）． ∴AP：AB． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了比例线段和黄金分割，准确计算是解题的关键． 4．四条线段成比例,其中＝3，，，则等于(   ) A．2㎝ B．㎝ C． D．8㎝ 【答案】A 【分析】四条线段a，b，c，d成比例，则 =  ，代入即可求得b的值． 【详解】解：∵四条线段a，b，c，d成比例， ∴ =， ∴b= = =2（cm）． 故选A． 【点睛】本题考查成比例线段，解题关键是正确理解四条线段a，b，c，d成比例的定义． 5．大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据黄金分割的定义得到，然后把的长度代入可求出的长，即可求出的长度． 【详解】解：∵P为的黄金分割点， ∴， ∵的长度为， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，其中． 6．已知线段AB=2，P是线段AB的黄金分割点，AP>PB，那么线段AP的长度等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP＝AB，代入数据即可得出AP的长． 【详解】解：∵线段AB的长为2，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB； ∴AP＝2×＝ ． 故选：B． 【点睛】本题考查了黄金分割点的概念．解题的关键是掌握黄金分割的公式：较短的线段＝原线段的，较长的线段＝原线段的． 7．下列各组线段的长度成比例的是(　　) A．1 cm，2 cm，3 cm，4 cm B．2 cm，3 cm，4 cm，5 cm C．0.3 m，0.6 m，0.5 m，0.9 m D．30 cm，20 cm，90 cm，60 cm 【答案】D 【详解】A．∵1：2≠3：4，∴这四条线段不成比例； B． ∵2：3≠4：5，∴这四条线段不成比例； C． ∵0.3：0.5≠0.6：0.9，∴这四条线段不成比例； D． ∵20：30=60：90，∴这四条线段成比例． 故选D． 8．如果a=2，b=4，c=8，那么（    ） A．a、b、c的第四比例项是7 B．3a、2b和3c的第四比例项为18 C．c是ab的比例中项 D．b是ac的比例中项 【答案】D 【分析】根据线段成比例进行判断即可． 【详解】A选项a、b、c的第四比例项是16，因为 ， B选项3a、2b和3c的第四比例项为32，因为， C选项c不是ab的比例中项，因为， D选项b是ac的比例中项，因为 故选：D 【点睛】本题考查线段成比例的问题．关键是根据线段成比例的性质解答． 9．若，设，，，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，设x=2a，y=7a，z=5a，进而代入A，B，C分别求出即可． 【详解】解：∵，设x=2a，y=7a，z=5a， ∴=， ==1， ==2． ∴A＜B＜C． 故选：B． 【点睛】本题考查了比例的性质，根据比例式用同一个未知数得出x，y，z的值进而求出是解题的关键． 10．如图,有三个直角三角形,其中OA=AB=BC=CD=1,则线段OA,OD的比例中项线段的长度为(　　) A． B． C．± D． 【答案】D 【详解】根据勾股定理，由OA=AB=1可求OB==，然后由BC=1，可根据勾股定理求得OC==，同理求得OD=2，然后根据比例中项的性质，可知OA、OD的比例中项线段为. 故选D 二、填空题 11．若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．由，设，代入即可． 【详解】解：∵， ∴设， ∴， 故答案为：． 12．已知线段，在的延长线上取一点C，使，则线段与线段之比为 . 【答案】 【分析】根据题意，画出图形，因为CA=3AB，则CB=CA+AB=4AB，故线段CA与线段CB之比可求． 【详解】 ∵CA=3AB ∴CB=CA+AB=4AB ∴CA:CB=3:4. 故答案为3:4. 【点睛】此题考查比较线段的长短，解题关键在于得到CB=CA+AB=4AB. 13．同学们都知道，在相同的时刻，物高与影长成比例，某班同学要测量学校国旗的旗杆高度，在某一时刻，量得旗杆的影长是米，而同一时刻，量得某一身高为米的同学的影长为米，则旗杆的高度是 米． 【答案】 【分析】根据成比例关系可知，人身高比上人的影长等于旗杆长比上旗杆的影长，代入数据即可得出答案． 【详解】解：设旗杆高度为x，有，得x=12， 故答案为12． 【点睛】考查物体高度和影长的问题，在同一时刻，甲物体的高度与影长的比值等于乙物体的高度与影长的比值． 14．已知a：b：c=3：5：7，且a﹣b+c=10，则a= ，b= ，c= ． 【答案】 6， 10， 14． 【分析】根据题意，用未知数k分别表示出a、b和c的值，代入已知式a﹣b+c=10中，可得k的值，即可求得a、b、c． 【详解】解：由题意，设a=3k，b=5k，c=7k ∵a﹣b+c=10 ∴3k﹣5k+7k=10，解得k=2 ∴a=6，b=10，c=14． 故答案为(1). 6，    (2). 10，    (3). 14． 【点睛】已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元． 15．已知点P在线段AB上，且AP：PB=2：5，则AB：PB= ，AP：AB= ． 【答案】 7：5； 2：7． 【分析】根据直接求解即可． 【详解】解：由题意AP：PB=2：5， AB：PB=（AP+PB）：PB=（2+5）：5=7：5； AP：AB=AP：（AP+PB）=2：（2+5）=2：7．     故答案为7：5；2：7． 【点睛】本题考查比例的合比性质和反比性质，解题关键是能够根据已知条件得到线段之间的关系． 16．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中处处可见；例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长米，主持人从舞台一侧B进入，她至少走 米时恰好站在舞台的黄金分割点上．（结果保留根号）    【答案】 【分析】根据黄金分割的概念，可求出，即可求解． 【详解】由题意知 米， ， ， 米， 故主持人从舞台一侧点 进入，则他至少走 米时恰好站在舞台的黄金分割点上， 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 三、解答题 17．化最简整数比：：： 【答案】 【分析】先通分后化简． 【详解】． 【点睛】本题考查比的基本性质，注意找分母的最小公倍数． 18．已知线段a、b、c满足，且．求a、b、c的值． 【答案】，， 【分析】本题考查了比例的性质，设，则，，，结合求出的值即可得解，熟练掌握比例的性质是解此题的关键． 【详解】解：设，则，，． ∵， ∴， 解得， ∴，，． 19．已知a：b：c=2：4：5，且2a-b+3c=15，求3a+b-2c的值． 【答案】0 【分析】根据比的性质，可得a，b，c，再根据解方程，可得x的值，根据代数式求值，可得答案． 【详解】由a：b：c=2：4：5 设a=2x，b=4x，c=5x，x≠0， 由2a-b+3c=15得 4x-4x+15x=15 ∴x=1 ∴a=2，b=4，c=5 ∴3a+b-2c=3×2+4-2×5=0． 【点睛】本题考查了比例的性质和一元一次方程的知识点，熟练掌握一元一次方程的计算并得出a=2x，b=4x，c=5x是解题关键． 20．如图，乐器上的一根弦，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，求C、D之间的距离． 【答案】（80﹣160）cm． 【分析】根据黄金分割的概念和黄金比值计算即可． 【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点， ∴AC＝BD＝80×＝（40﹣40）cm， ∴CD＝BD﹣（AB﹣BD）＝2BD﹣AB＝（80﹣160）cm． 【点睛】此题考查了黄金分割点的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比． 21．已知，求的比值． 【答案】 【分析】由比例的性质，先求出，然后再计算比值即可． 【详解】解：∵， ∴设， ∴， 则． 【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质进行解题． 22．（1）已知，求的值； （2）已知点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，AB=2，求PA、PB的长． 【答案】（1）；（2）PA=，PB=． 【分析】(1)设a=3k，则b=5k，代入，计算即可求解； (2)根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则PA=AB，PB=AB，代入数据即可得出PA、PB的长． 【详解】解：(1)∵=， ∴可设a=3k，则b=5k， ∴==； (2)∵点P是线段AB的黄金分割点，PA>PB，AB=2， ∴PA=AB=−1，PB=AB=3−. 故答案为（1）；（2）PA=，PB=． 【点睛】本题考查了黄金分割点的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的，较长的线段=原线段的．同时考查了比例的性质． 23．已知线段，在上有一点A，如果，求证：点A是的黄金分割点. 【答案】见解析 【分析】先求得，即可得到，结论得证． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴点A是的黄金分割点． 【点睛】解答本题的关键是应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的，较长的线段=原线段的． 24．欣赏这幅图片，分别用厘米和毫米作为长度单位，量一量这幅图片的长与宽，并计算长与宽的比，这两个比值相等吗？这说明了什么呢？ 【答案】相等．说明两条线段长度的比与所采用的长度单位没有关系． 【分析】根据比的性质分析即可. 【详解】设图片的长为x厘米，宽为y厘米，用毫米作单位是长为a毫米，宽为b毫米， 则x=10a，y=10b， 所以 ， 所以这两个比值相等，说明两条线段长度的比与所采用的长度单位没有关系． 【点睛】本题考查比的性质，比的两项同时乘以或除以一个不为0的数或式子，比值不变，熟练掌握比的性质是解题关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$