第11讲 圆与垂直于弦的直径（知识清单+10大题型+好题必刷）核心知识点与常见题型通关讲解练 【暑假预习】2025-2026学年九年级上册数学（人教版）

第11讲 圆与垂直于弦的直径（知识清单+10大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 圆的基本概念辨析 题型二 求圆中弦的条数 题型三 求过圆内一点的最长弦 题型四 圆的周长和面积问题 题型五 利用垂径定理求值 题型六 利用垂径定理求平行弦问题 题型七 利用垂径定理求同心圆问题 题型八 利用垂径定理求解其他问题 题型九 垂径定理的推论 题型十 垂径定理的实际应用 知识清单 知识点1．圆的认识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3） 圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 知识点2．垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 知识点3．垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 题型练习 【题型一】圆的基本概念辨析 【例1】（九年级上·江苏无锡·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．长度相等的两条弧是等弧 B．优弧一定大于劣弧 C．不同的圆中不可能有相等的弦 D．直径是一个圆中最长的弦 【举一反三】 1．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）下列4个说法中：①直径是弦；②长度相等的弧是等弧；③任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴；④弧是半圆；正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25九年级上·广东江门·期中）如图，是的弦，连接．若，则 度． 3．（24-25九年级上·山西忻州·阶段练习）如图所示，已知矩形的对角线和相交于点，试判断，，，四个点是否在同一个圆上．如果在，请给予证明；如果不在，请说明理由． 【题型二】求圆中弦的条数 【例2】（22-23九年级上·北京·单元测试）如图，点，，，点 ，， 以及点 ，， 分别在一条直线上，则圆中弦的条数为 （      ）    A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 【举一反三】 1．（九年级上·湖南长沙·期中）如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（九年级上·全国·课后作业）如图，⊙O 中，点 A、O、D 以及点 B、O、C 分别在一条直线上，图中弦的条数有 条． 3．（九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，是内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． （1）在图1中，画山一条与相等的弦； （2）在图2中，画出一个与全等的三角形． 【题型三】求过圆内一点的最长弦 【例3】（23-24九年级上·福建泉州·期末）已知的半径3，则中最长的弦长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【举一反三】 1．（23-24九年级上·陕西渭南·期中）已知、为上的两点，若的半径为，则的长不可能是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河北唐山·期中）外一点到圆周上一点的最长距离为，最短距离为，则的直径长为 ． 3．（九年级上·北京·期中）如图，正方形ABCD，将线段AB绕点顺时针旋转2α（0°＜α＜90°），得到线段AE，连接BE，AP⊥BE于P，交DE于F，连接BF． （1）①补全图形， ②∠ADE＝　 　（用含α的式子表示）； （2）判断DE与BF的位置关系，并证明； （3）若正方形ABCD的边长为2，点M是CD的中点，直接写出MF的最大值． 【题型四】圆的周长和面积问题 【例4】（22-23九年级上·北京·单元测试）圆的面积扩大为原来的 4 倍，则半径 （      ） A．扩大为 4 倍 B．扩大为 倍 C．不变 D．扩大为2倍 【举一反三】 1．（2023·河北衡水·二模）设计师想用长的木材做一个花园边界，有如图1、图2、图3三种可能的设计：      其中合理的设计方案有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（九年级上·江苏扬州·期中）如图，一个大圆和四个面积相等的小圆，已知大圆半径等于小圆直径，小圆半径为厘米，那么阴影部分的面积为 平方厘米． 3．（23-24九年级上·广东茂名·期末）综合与实践 【问题背景】“夏至”过后，越来越多的市民喜欢去海边游玩，小明同学发现沙滩上有很多的遮阳伞为游客带来一丝清凉，如图1是沙滩上的圆形遮阳伞支架张开的状态，为了了解遮阳伞下方的遮阴面积，小明进行了如下操作调研． 【测量与整理】通过操作发现，小明发现：如图2，当伞完全折叠时，伞顶与伞柄顶端点重合，两边主骨架的端点与重合；如图3，在撑开过程中，骨架的中点到点的距离始终等于的一半，；如图4，当伞完全张开时，． 【计算与分析】                  图1                       图2                      图3                          图4 (1)当伞完全张开后，求的长度； (2)当太阳光垂直照到遮阳伞上时，求伞完全张开时，遮挡住的阴影部分的面积． 【题型五】圆的周长和面积问题 【例5】（2025·广西来宾·一模）如图， 的直径，的弦于点，且，则的长为（    ） A．4 B． C．6 D．8 【举一反三】 1．（24-25九年级上·陕西西安·期末）紫砂壶（图①）是我国特有的手工制造陶土工艺品，其制作过程中需要用到几十种不同的工具，其中有一种工具名为“带刻度嘴巴架”，它的作用是确保壶嘴、壶把和壶口中心在一条直线上．如图②是从上面看到的形状示意图，为紫砂壶的壶口，已知A，B两点在上，直线l过点O，且于点D，交于点C．若，，则这个紫砂壶的壶口半径r的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）在半径为5的圆中，有两条平行弦，已知，，则两条平行弦的距离为 ． 3．（24-25九年级上·重庆永川·期中）如图，是的直径，弦于点，连接，若，． (1)求的长度； (2)求的长度． 【题型六】利用垂径定理求平行弦问题 【例6】（23-24九年级上·内蒙古通辽·期中）⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 【举一反三】 1．（23-24九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 2．（黑龙江牡丹江·二模）在半径为4cm的中，弦CD平行于弦AB，，，则AB与CD之间的距离是 cm． 3．（九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB∥CD，经过AB中点E的直径MN与CD交于F点，求证：CF＝DF 【题型七】利用垂径定理求同心圆问题 【例7】（九年级上·安徽合肥·期末）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 【举一反三】 1．（22-23九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 2．（湖南长沙·中考真题）如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为 ． 3．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点． (1)求证：； (2)若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值． 【题型八】利用垂径定理求解其他问题 【例8】（22-23九年级上·吉林松原·期中）如图、已知为的直径，点为的中点．则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是，点C的坐标是，则那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是  （    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，，于点E，若的半径为3，则的长为    3．（24-25九年级上·甘肃定西·期末）在数学活动课上，顾老师提出了一个问题：如图，已知，在上作一点P，使． 小亮同学很快就给出了下列思路： ①连接，作线段的垂直平分线，交于点E； ②连接，作线段的垂直平分线，交于P，则点P即所求． (1)请你按小亮的步骤画出图形； (2)请你利用图形，求证：． 【题型九】垂径定理的推论 【例9】（24-25九年级上·山东东营·阶段练习）的半径是13，弦，，，则与的距离是（   ） A．7或34 B．17或34 C．7或17 D．34 【举一反三】 1．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）下列命题中，正确的是（   ） A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心 2．（24-25九年级上·北京·期中）如图，已知平面直角坐标系中，、、，写出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标 ． 3．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）如图，四边形内接于，是直径，点是劣弧的中点，求证：． 【题型十】垂径定理的实际应用 【例10】（24-25九年级上·河南周口·期末）拱形设计可以起到向上拉伸的视觉效果，增加空间艺术感，不管是在古代建筑还是现代家居中都应用广泛．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），总跨度为，拱的半径为，则拱高为（    ） A．5m B．8m C．12m D．13m 【举一反三】 1．（24-25九年级上·广西百色·期末）直径为10分米的圆柱形排水管，截面如图所示．若管内有积水（阴影部分），水面宽为8分米，则积水的最大深度为（   ） A．1分米 B．2分米 C．3分米 D．4分米 2．（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，有一圆弧形桥拱，已知圆弧所在圆的半径，桥拱的跨度，则拱高为 ． 3．（24-25九年级上·陕西西安·期末）某村为了促进农村经济发展，建设了蔬菜基地，新建了一批蔬菜大棚．如图，这是蔬菜大棚的截面，形状为圆弧型，圆心为O，跨度（弧所对的弦）的长为8米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米．求该圆弧所在圆的半径． 好题必刷 一、单选题 1．在半径为４的圆中，垂直平分半径的弦长为（　　 ） A． B． C． D． 2．如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有(   ) A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 3．如图，M为弦上的一点，连接过点M作交圆O于点C．若，则的长为  （   ）    A．5 B．6 C． D． 4．下列语句中不正确的有（   ） ①相等的圆心角所对的弧相等； ②平分弦的直径垂直于弦； ③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 ； ④长度相等的两条弧是等弧 A．3个 B．2个 C．1个 D．4个 5．下列由实线组成的图形中，为半圆的是（    ） A．B． C． D． 6．如图，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（　　） A．2 B．4 C．4 D．2 7．为内与不重合的一点，则下列说法正确的是（     ） A．点到上任意一点的距离都小于的半径 B．上有两点到点的距离最小 C．上有两点到点的距离等于的半径 D．上有两点到点的距离最大 8．如图，⊙O的直径垂直于弦，垂足为．若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在△ABC中，，点D是AB的中点，将△ACD沿CD对折得△A′CD．连接，连接AA′交CD于点E，若，，则CE的长为（    ） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 10．下列是关于四个图案的描述. 图1所示是太极图，俗称“阴阳鱼”，该图案关于外圈大圆的圆心中心对称； 图2所示是一个正三角形内接于圆； 图3所示是一个正方形内接于圆； 图4所示是两个同心圆，其中小圆的半径是外圈大圆半径的三分之二.                        这四个图案中，阴影部分的面积不小于该图案外圈大圆面积一半的是（  ） A．图1和图3 B．图2和图3 C．图2和图4 D．图1和图4 二、填空题 11．如图，⊙O的半径为2，B是弦CD上任意一点（与C，D不重合），过B作OC的平行线交OD于点E，则EO＋EB＝ ． 12．如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，AB=10，OC⊥AB，垂足为点D，则AD= ． 13．已知AB，CD是⊙O的两条平行弦，AB＝8，CD＝6，⊙O的半径为5，则弦AB与CD的距离为 ． 14．如图是一条水铺设的直径为2米的通水管道横截面，其水面宽1.6米，则这条管道中此时水深为 米． 15．如图，一个宽为2厘米的刻度尺（刻度单位：厘米），放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9，那么玻璃杯的杯口外沿半径为 厘米． 16．如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点A、B，并使AB与车轮内圆相切于点D，作CD⊥AB交外圆于点C．测得CD=10cm，AB=60cm，则这个车轮的外圆半径为 cm. 17．如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水的最大深度CD为2m，水面宽AB为8m，则输水管的半径为 m． 18．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣4，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为 ． 三、解答题 19．如图，大蚂蚁沿着大圆爬一圈，小蚂蚁沿着两个小圆各爬了一圈．谁爬的路程长？请通过计算说明． 20．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°；以C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D，求∠ACD的度数． 21．如图，点A，B，C在⊙O上，按要求作图： (1)过点A作⊙O的直径AD； (2)过点B作⊙O的半径； (3)过点C作⊙O的弦． 22．已知为的直径，弦与的延长线交于⊙O外一点C，且，，求的度数． 23．如图，AB是⊙O的直径，AB=10，弦CD与AB相交于点N，∠ANC=30°，ON：AN=2：3，OM⊥CD，垂足为M． （1）求OM的长； （2）求弦CD的长． 24．如图，CD是圆O的直径，点A在DC的延长线上，∠EOD＝84°，AE交圆O于点B，且AB＝OC．求∠A的度数． 25．如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连AD． （1）求证：AD=AN； （2）若AE=，ON=1，求⊙O的半径． 26．已知三角形三条中线相交于一点，如图，内接于，，是弧的中点．请分别在下图中使用无刻度的直尺画图．（不用写具体做法）    (1)在图①中，画出的边上的中线，若已知为中点，则和的位置关系是 ，理由是 ； (2)在图②中，画出的边上的中线. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 圆与垂直于弦的直径（知识清单+10大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 圆的基本概念辨析 题型二 求圆中弦的条数 题型三 求过圆内一点的最长弦 题型四 圆的周长和面积问题 题型五 利用垂径定理求值 题型六 利用垂径定理求平行弦问题 题型七 利用垂径定理求同心圆问题 题型八 利用垂径定理求解其他问题 题型九 垂径定理的推论 题型十 垂径定理的实际应用 知识清单 知识点1．圆的认识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3） 圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 知识点2．垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 知识点3．垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 题型练习 【题型一】圆的基本概念辨析 【例1】（九年级上·江苏无锡·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．长度相等的两条弧是等弧 B．优弧一定大于劣弧 C．不同的圆中不可能有相等的弦 D．直径是一个圆中最长的弦 【答案】D 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】本题考查了等弧、等弦的概念，优弧、劣弧大小的比较，弦与直径的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据等弧的定义，弦的定义即可解答． 【详解】解：A、能够互相重合的弧是等弧，长度相等的两条弧不一定是等弧，故A选项错误； B、两弧若不在同圆或等圆中，则结论不一定成立，故B选项错误； C、在等圆中，存在长度相等的弦，例如等圆中的直径都相等，故C选项错误； D、直径是一个圆中最长的弦，正确，故D选项正确； 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）下列4个说法中：①直径是弦；②长度相等的弧是等弧；③任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴；④弧是半圆；正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）是解决问题的关键．根据直径的定义对①进行判断；根据等弧的定义对②进行判断；利用过圆心的直线都是圆的对称轴可对③进行判断；根据弧和半圆的定义对④进行判断． 【详解】解：直径是经过圆心的弦，所以①正确； 能够完全重合的弧为等弧，长度相等的弧不一定是等弧，所以②错误； 任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，所以③正确； 弧不一定是半圆，半圆是弧，所以④错误． ∴正确的有2个， 故选：B． 2．（24-25九年级上·广东江门·期中）如图，是的弦，连接．若，则 度． 【答案】/度 【知识点】等边三角形的性质、圆的基本概念辨析 【分析】本题考查了圆的基本性质和等边三角形性质，由已知可知是等边三角形，由此可知． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为． 3．（24-25九年级上·山西忻州·阶段练习）如图所示，已知矩形的对角线和相交于点，试判断，，，四个点是否在同一个圆上．如果在，请给予证明；如果不在，请说明理由． 【答案】在，证明见解析 【知识点】根据矩形的性质求线段长、圆的基本概念辨析 【分析】根据矩形的性质得到，，，进而说明即可证明． 【详解】，，，四个点是否在同一个圆上． 证明：四边形是矩形， ，，， ， 、、、四点在以圆心长为半径的同一个圆上． 【题型二】求圆中弦的条数 【例2】（22-23九年级上·北京·单元测试）如图，点，，，点 ，， 以及点 ，， 分别在一条直线上，则圆中弦的条数为 （      ）    A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 【答案】A 【知识点】求圆中弦的条数 【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：图中的弦有，共2条． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了弦的定义，理解弦的定义是解决本题的关键． 【举一反三】 1．（九年级上·湖南长沙·期中）如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】求圆中弦的条数 【分析】根据弦的定义求解即可． 【详解】解：根据弦的定义可知，AB、CD和BD都是圆的弦，所以⊙O中的弦的条数为3， 故选：B． 【点睛】本题考查了弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫圆的弦． 2．（九年级上·全国·课后作业）如图，⊙O 中，点 A、O、D 以及点 B、O、C 分别在一条直线上，图中弦的条数有 条． 【答案】三/3 【知识点】求圆中弦的条数 【分析】根据弦的定义（连接圆上任意两点的线段叫做弦）进行分析，即可得出结论． 【详解】解：根据弦的定义可得： 图中的弦有AB，BC，CE共三条， 故答案为：三． 【点睛】本题考查了弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫弦，充分理解其定义是解题关键． 3．（九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，是内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． （1）在图1中，画山一条与相等的弦； （2）在图2中，画出一个与全等的三角形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【知识点】结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合）、求圆中弦的条数 【分析】（1）连结CO并延长交于E，连接BO并延长交于D，连结ED，再证△BOC≌△DOE（SAS），可得BC=DE； （2）连结AO并延长交于A′，OA=OA′，连结BO并延长交于B′，OB=OB′，连结CO并延长交于C′，OC=OC′，利用边角边判定方法先证△BOC≌△B′OC′（SAS），可得BC=B′C′；同理可证△BOA≌△B′OA′（SAS），可得AB=A′B′，同理可证△AOC≌△A′OC′（SAS），可得AC=A′C′，利用三边对应相等判定方法可证△ABC≌△A′B′C′（SSS）． 【详解】解：（1）如图1，DE为所作； 连结CO并延长交于E，连接BO并延长交于D，连结ED， ∵OB=OD=OE=OC， 在△BOC和△DOE中， ， ∴△BOC≌△DOE（SAS）， ∴BC=DE； （2）如图2，△A′B′C′为所作． 连结AO并延长交于A′，OA=OA′，连结BO并延长交于B′，OB=OB′，连结CO并延长交于C′，OC=OC′， 在△BOC和△B′OC′中， ， ∴△BOC≌△B′OC′（SAS）， ∴BC=B′C′； 同理可证△BOA≌△B′OA′（SAS）， ∴AB=A′B′， 同理可证△AOC≌△A′OC′（SAS）， ∴AC=A′C′， 在△ABC和△A′B′C′中， ， ∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）． 【点睛】本题考查仅用无刻度的直尺画线段，画三角形，三角形全等判定与性质，圆的性质，掌握圆的性质与三角形全等判定与性质是解题关键． 【题型三】求过圆内一点的最长弦 【例3】（23-24九年级上·福建泉州·期末）已知的半径3，则中最长的弦长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【知识点】求过圆内一点的最长弦 【分析】此题考查了圆的性质，根据直径是圆中最长的弦解答即可． 【详解】解：∵直径是圆中最长的弦，的半径为3， ∴最长的弦为6， 故选：B． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·陕西渭南·期中）已知、为上的两点，若的半径为，则的长不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求过圆内一点的最长弦 【分析】本题考查圆的知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，根据题意，可得圆的直径为，直径是圆上最长的弦，即，即可得到答案． 【详解】解：∵、为上的两点，若的半径为， ∴， ∴D不符合题意． 故选：D． 2．（24-25九年级上·河北唐山·期中）外一点到圆周上一点的最长距离为，最短距离为，则的直径长为 ． 【答案】6 【知识点】求过圆内一点的最长弦 【分析】本题考查了圆的直径，半径，熟练掌握直径是圆的最大弦是解题的关键． 根据直径是圆中最大的弦解答即可． 【详解】解：如图，设圆的圆心为点O， ∵直径是圆中最大的弦， ∴过P，O作圆的直径，则，， ∴， ∴圆的直径为， 故答案为：6． 3．（九年级上·北京·期中）如图，正方形ABCD，将线段AB绕点顺时针旋转2α（0°＜α＜90°），得到线段AE，连接BE，AP⊥BE于P，交DE于F，连接BF． （1）①补全图形， ②∠ADE＝　 　（用含α的式子表示）； （2）判断DE与BF的位置关系，并证明； （3）若正方形ABCD的边长为2，点M是CD的中点，直接写出MF的最大值． 【答案】（1）①图见解析；②45°﹣α；（2）DE⊥BF，证明见解析；（3）+1． 【知识点】根据等边对等角证明、与三角形中位线有关的求解问题、根据正方形的性质证明、求过圆内一点的最长弦 【分析】（1）①根据叙述，画出图形； ②由AE＝AB，AB＝AD推出AE＝AD，进而求得结果； （2）根据∠AEF＝∠ABF，∠AEF＝∠ADF，得出∠ABF＝∠ADF，推出A、F、B、D共圆，从而∠BFD＝∠BAD，从而得出结论； （3）连接BD；由∠BFD＝90°推出点F在以BD为直径的圆上，当MF过圆心时，MF最大，进而求得结果． 【详解】（1）①补全的图形如图1所示， ②∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°， ∴∠EAD＝∠EAB+∠BAD＝90°+2α， 由旋转性质得：AE＝AB， ∴AE＝AD， ∴∠ADE＝∠AED＝ ＝ ＝45°﹣α， 故答案是：45°﹣α； （2）如图2，连接BD， DE⊥BF，理由如下： ∵AE＝AB，AP⊥BE， ∴∠AEB＝∠ABE，EP＝PB， ∴FE＝FB， ∴∠FEP＝∠FBP， ∴∠AEB﹣∠FEP＝∠ABE﹣∠FBP， ∴∠AEF＝∠ABF， ∵∠AEF＝∠ADE， ∴∠ABF＝∠ADE， ∴点A、F、B、D共圆， ∴∠BFD＝∠BAD＝90°， ∴DE⊥BF； （3）如图3，连接BD， ∵∠BFD＝90°， ∴点F在以BD为直径的⊙O上，过M点作⊙O的直径NF′， 则MF′最大， ∵OM＝BC＝1，NF′＝BD＝2， ∴， ∴， 即MF的最大值是：+1． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，四点共圆等知识，四点共圆是解答本题的关键，也是难点． 【题型四】圆的周长和面积问题 【例4】（22-23九年级上·北京·单元测试）圆的面积扩大为原来的 4 倍，则半径 （      ） A．扩大为 4 倍 B．扩大为 倍 C．不变 D．扩大为2倍 【答案】D 【知识点】圆的周长和面积问题 【分析】根据圆面积公式作答即可． 【详解】解：设原来圆面积为S，当圆的面积扩大为原来的 4 倍，即，根据圆面积公式，那么，所以则半径扩大为2倍； 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是圆面积公式，正确掌握圆面积公式是解题的关键． 【举一反三】 1．（2023·河北衡水·二模）设计师想用长的木材做一个花园边界，有如图1、图2、图3三种可能的设计：      其中合理的设计方案有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【知识点】圆的周长和面积问题 【分析】分别计算出3个图形的周长进行判断即可． 【详解】解：图1的周长为：，所以这个设计是合理的； 图2的周长为：，所以这个设计是合理的； 图3的周长为：，所以这个设计是合理的； ∴合理的设计方案有3个， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了图形的周长计算，正确掌握计算方法是解答本题的关键． 2．（九年级上·江苏扬州·期中）如图，一个大圆和四个面积相等的小圆，已知大圆半径等于小圆直径，小圆半径为厘米，那么阴影部分的面积为 平方厘米． 【答案】 【知识点】圆的周长和面积问题 【分析】根据整体思想，借助面积公式解答即可． 此题主要考查圆的面积公式的计算应用观察阴影部分面积与大圆面积的关系，运用整体思想解决问题． 【详解】解：由图形不难看出，阴影部分面积占大圆面积的， 又大圆半径等于小圆直径，小圆半径为厘米， 大圆半径， 阴影部分面积平方厘米． 故答案为：． 3．（23-24九年级上·广东茂名·期末）综合与实践 【问题背景】“夏至”过后，越来越多的市民喜欢去海边游玩，小明同学发现沙滩上有很多的遮阳伞为游客带来一丝清凉，如图1是沙滩上的圆形遮阳伞支架张开的状态，为了了解遮阳伞下方的遮阴面积，小明进行了如下操作调研． 【测量与整理】通过操作发现，小明发现：如图2，当伞完全折叠时，伞顶与伞柄顶端点重合，两边主骨架的端点与重合；如图3，在撑开过程中，骨架的中点到点的距离始终等于的一半，；如图4，当伞完全张开时，． 【计算与分析】                  图1                       图2                      图3                          图4 (1)当伞完全张开后，求的长度； (2)当太阳光垂直照到遮阳伞上时，求伞完全张开时，遮挡住的阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、圆的周长和面积问题 【分析】本题主要考查矩形的判定和性质，勾股定理，圆的面积的计算，掌握矩形的判定，勾股定理的实际运用是解题的关键． （1）根据题意，连结，过点作于，可证四边形是矩形，根据勾股定理可求出的长度，由此即可求解； （2）根据圆的面积的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，连结，过点作于， ， ， 又如图3，连接， 伞在撑开过程中，点是中点，等于一半， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ∴的长度为． （2）解：， 所以遮挡住的阴影部分的面积是． 【题型五】圆的周长和面积问题 【例5】（2025·广西来宾·一模）如图， 的直径，的弦于点，且，则的长为（    ） A．4 B． C．6 D．8 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查的是垂径定理，勾股定理，根据题意连接，则，，利用勾股定理即可求得，最后由完成解答． 【详解】解：连接， 则， ∴， 由勾股定理得： ∴ 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·陕西西安·期末）紫砂壶（图①）是我国特有的手工制造陶土工艺品，其制作过程中需要用到几十种不同的工具，其中有一种工具名为“带刻度嘴巴架”，它的作用是确保壶嘴、壶把和壶口中心在一条直线上．如图②是从上面看到的形状示意图，为紫砂壶的壶口，已知A，B两点在上，直线l过点O，且于点D，交于点C．若，，则这个紫砂壶的壶口半径r的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，正确作出辅助线，根据垂径定理构造出直角三角形是解决问题的关键． 根据垂径定理求出，在中，根据勾股定理即可求出r． 【详解】解：∵直线l过点O，且于点D，， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得， ∴这个紫砂壶的壶口半径r的值为． 故选：A． 2．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）在半径为5的圆中，有两条平行弦，已知，，则两条平行弦的距离为 ． 【答案】1或7 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了垂径定理的知识，此题综合运用了垂径定理和勾股定理，特别注意有时要考虑两种情况．连接、，过点作于，交于，则，根据垂径定理求出，，根据勾股定理求出、，即可得出答案． 【详解】解：连接，．过点作于，交于， 当和在圆心的同侧时，如图所示， ，， ， ，， ，， 根据勾股定理，得 ，， 则． 当和在圆心的两侧时，如图所示， ，， ， ，， ，， 根据勾股定理，得 ，， 则． 故答案为：1或7． 3．（24-25九年级上·重庆永川·期中）如图，是的直径，弦于点，连接，若，． (1)求的长度； (2)求的长度． 【答案】(1)4 (2)5 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由垂径定理得到；由勾股定理求出长． （1）由垂径定理得到； （2）设，得，由勾股定理可得,求出的值即可． 【详解】（1）解：∵直径， ∴； （2）解：∵， ∴ 设， ∵, ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴． 【题型六】利用垂径定理求平行弦问题 【例6】（23-24九年级上·内蒙古通辽·期中）⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 【答案】C 【知识点】利用垂径定理求平行弦问题 【分析】本题考查了垂径定理的应用．作于E，于F，由垂径定理得，由于，易得E、O、F三点共线，在和中，利用勾股定理分别计算出与，然后讨论：当圆心O在弦与之间时，与的距离；当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 【详解】解：如图，作于E，于F，连， 则， ∵， ∴E、O、F三点共线， 在中，， 在中，， 当圆心O在弦与之间时，与的距离； 当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 所以与的距离是14或2． 故选：C． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求平行弦问题 【分析】由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论：①当和位于圆心同侧时和②当和位于圆心异侧时，即可求解． 【详解】解：分类讨论：①当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点O作于点E，交于点F．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是2； ②当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点O作于点P，延长交于点Q．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是14． 综上可知AB与CD间的距离是2或14． 故选B． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，解题关键是分两种情况讨论，作辅助线构造直角三角形． 2．（黑龙江牡丹江·二模）在半径为4cm的中，弦CD平行于弦AB，，，则AB与CD之间的距离是 cm． 【答案】或 【知识点】利用垂径定理求平行弦问题 【分析】根据题意，分析两种AB的位置情况进行求解即可； 【详解】解：①如图，AB//CD，过点O作 在中 ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵AB//CD ∴AB与CD之间的距离即GH ∴AB与CD之间的距离为 ②如图，作，连接AD 则有四边形PEFD是矩形， ∴EF=PD ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：或 【点睛】本题主要圆的性质、三角形的全等，勾股定理，掌握相关知识并正确做出辅助线是解题的关键． 3．（九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB∥CD，经过AB中点E的直径MN与CD交于F点，求证：CF＝DF 【答案】见解析 【知识点】利用垂径定理求平行弦问题 【分析】根据垂径定理进行解答即可． 【详解】解：∵E为AB中点，MN过圆心O， ∴MN⊥AB ， ∴∠MEB＝90°， ∵AB∥CD ， ∴∠MFD＝∠MEB＝90°， 即MN⊥CD ， ∴CF＝DF． 【点睛】本题考查了垂径定理的运用，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧． 【题型七】利用垂径定理求同心圆问题 【例7】（九年级上·安徽合肥·期末）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用垂径定理求同心圆问题 【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长. 【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC， ∵OA=OD=4，CD=2， ∴OC=2， ∴AC=， ∴AB=2AC=. 故答案为C. 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键. 【举一反三】 1．（22-23九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】B 【知识点】利用垂径定理求同心圆问题 【分析】根据图形作线段和的垂直平分线，两线的交点即为圆心，根据图形得出即可． 【详解】解：如图 作线段和的垂直平分线，交于点E，即为弧的圆心， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线性质，坐标与图形性质的应用． 2．（湖南长沙·中考真题）如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】利用垂径定理求同心圆问题 【分析】先根据垂径定理可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质即可得． 【详解】解：由题意得：，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解题关键． 3．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点． (1)求证：； (2)若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值． 【答案】(1)见解析 (2)大圆的半径为 【知识点】利用垂径定理求同心圆问题 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理； （1）作于E，根据垂径定理得到即可得到； （2）连接，在和中根据勾股定理得到，代入求值计算即可． 【详解】（1）证明：如图：作于E， 由垂径定理，得： 即； （2）解：如图，连接， ， ， 在和中，由勾股定理，得： ， ， 即， 解得： 大圆的半径为． 【题型八】利用垂径定理求解其他问题 【例8】（22-23九年级上·吉林松原·期中）如图、已知为的直径，点为的中点．则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用垂径定理求解其他问题 【分析】本题考查了垂径定理及其推论，根据垂径定理中“知二推三”进行推理论证，即可解题． 【详解】解：为的直径，点为的中点． ， 故选：B． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是，点C的坐标是，则那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是  （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用垂径定理求解其他问题 【分析】此题考查了垂径定理的应用，找到线段的垂直平分线和线段的垂直平分线的交点即可得到圆心坐标． 【详解】解：如图线段的垂直平分线和线段的垂直平分线的交点M，即为弧的圆心， ∴圆心的坐标是， 故选：B． 2．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，，于点E，若的半径为3，则的长为    【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求解其他问题 【分析】根据垂径定理可以得到，再根据全等三角形的判定与性质，可以得到，从而可以得到，最后根据勾股定理即可求得的长． 【详解】解：连接，，作于点N，作于点M， ∴，， 又， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂径定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 3．（24-25九年级上·甘肃定西·期末）在数学活动课上，顾老师提出了一个问题：如图，已知，在上作一点P，使． 小亮同学很快就给出了下列思路： ①连接，作线段的垂直平分线，交于点E； ②连接，作线段的垂直平分线，交于P，则点P即所求． (1)请你按小亮的步骤画出图形； (2)请你利用图形，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】作已知线段的垂直平分线、利用垂径定理求解其他问题 【分析】本题考查了尺规作图，作垂直平分线及垂径定理，解决本题的关键是熟练掌握作垂直平分线及垂径定理． （1）按小亮的步骤画出图形即可； （2）利用垂径定理证明即可． 【详解】（1）解：如图所示，点P即所求． （2）证明：如图， ，， ， ，， ， 【题型九】垂径定理的推论 【例9】（24-25九年级上·山东东营·阶段练习）的半径是13，弦，，，则与的距离是（   ） A．7或34 B．17或34 C．7或17 D．34 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的推论 【分析】该题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，先构造半径，弦心距，半弦长为边长的直角三角形，再利用勾股定理求弦心距，本题要注意分两种情况讨论． 先作出图象根据勾股定理分别求出弦的弦心距，再根据两弦在圆心同侧和在圆心异侧两种情况讨论． 【详解】解：如图，根据题意可得，， ∴，， ①当两弦在圆心同侧时，距离； ②当两弦在圆心异侧时，距离． 所以距离为7或17． 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）下列命题中，正确的是（   ） A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心 【答案】D 【知识点】垂径定理的推论、利用垂径定理求解其他问题 【分析】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径垂直这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、两条直径互相平分，但不一定垂直，故本选项错误，不符合题意； B、平分一条弧的直径垂直于这条弧所对的弦，故本选项错误，不符合题意； C、弦的垂直平分线必经过这条弦所在圆的圆心，故本选项错误，不符合题意； D、在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心，故本选项正确，符合题意． 故选：D． 2．（24-25九年级上·北京·期中）如图，已知平面直角坐标系中，、、，写出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标 ． 【答案】 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、垂径定理的推论 【分析】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形的性质，熟练掌握垂径定理是解题的关键．根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 故圆心为， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）如图，四边形内接于，是直径，点是劣弧的中点，求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、垂径定理的推论 【分析】本题考查垂径定理的推论及垂直平分线的性质，根据“是直径，点是劣弧的中点”可得垂直平分，再根据垂直平分线的性质即可得证．解题的关键是掌握：一条直线如果具有“．经过圆心，．垂直于弦，．平分弦（被平分的弦不是直径），．平分弦所对的优弧，．平分弦所对的劣弧”这五条中的任意两条，则必然具备其余的三条，简称“知二推三”． 【详解】证明：∵是直径，点是劣弧的中点， ∴垂直平分， ∴． 【题型十】垂径定理的实际应用 【例10】（24-25九年级上·河南周口·期末）拱形设计可以起到向上拉伸的视觉效果，增加空间艺术感，不管是在古代建筑还是现代家居中都应用广泛．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），总跨度为，拱的半径为，则拱高为（    ） A．5m B．8m C．12m D．13m 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用 【分析】本题考查了垂径定理的运用、勾股定理，解答的关键是构建直角三角形．先构建直角三角形，再利用勾股定理和垂径定理计算． 【详解】解：延长到O，使得，则O为圆心， 由题意，跨度，拱的半径为，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴拱高， 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·广西百色·期末）直径为10分米的圆柱形排水管，截面如图所示．若管内有积水（阴影部分），水面宽为8分米，则积水的最大深度为（   ） A．1分米 B．2分米 C．3分米 D．4分米 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用 【分析】先求出的长，再由垂径定理求出的长，根据勾股定理求出的长，进而可得出结论．本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理，根据勾股定理求出的长是解答此题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： 的直径为分米， （分米）， ，（分米）， （分米）， （分米）， 积水的最大深度（分米）． 故选：B． 2．（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，有一圆弧形桥拱，已知圆弧所在圆的半径，桥拱的跨度，则拱高为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用 【分析】本题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识，得出关于的等式是解题关键． 根据垂径定理和勾股定理得出求解即可． 【详解】解：根据垂径定理可知， 在直角中，根据勾股定理得： 则 解得：或， 根据题中，可知不合题意，故舍去， ∴． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·陕西西安·期末）某村为了促进农村经济发展，建设了蔬菜基地，新建了一批蔬菜大棚．如图，这是蔬菜大棚的截面，形状为圆弧型，圆心为O，跨度（弧所对的弦）的长为8米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米．求该圆弧所在圆的半径． 【答案】该圆弧所在圆的半径为5米 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，正确理解题意，通过勾股定理建立方程是解题的关键． 由垂径定理得，设的半径为米，则米．在中，由勾股定理得：，代入解方程即可． 【详解】解：∵经过圆心，为弧中点， ∴， 设的半径为米，则米． 在中，由勾股定理得：， 即， 解得． 即该圆弧所在圆的半径为5米． 好题必刷 一、单选题 1．在半径为４的圆中，垂直平分半径的弦长为（　　 ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为弦垂直平分半径,由垂径定理和勾股定理,易求出弦长． 【详解】解： 根据题意，画出图形，如左图 由题意知，OA=4，OD=CD=2，OC⊥AB， ∴AD=BD， 在Rt△AOD中,AD===2， ∴AB=2×2=4. 故选D. 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理. 2．如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有(   ) A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：图中的弦有AB，BC，CE共三条， 故选B． 【点睛】本题主要考查了弦的定义，熟知定义是解题的关键：连接圆上任意两点的线段叫弦． 3．如图，M为弦上的一点，连接过点M作交圆O于点C．若，则的长为  （   ）    A．5 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，先 垂径定理，得出，再结合勾股定理，列式，，代入，即可作答． 【详解】解：如图：连接以及过点O作，    设， ∵，， ∴， 则， ， ∴， ∴（负值已舍去）， 故选：B． 4．下列语句中不正确的有（   ） ①相等的圆心角所对的弧相等； ②平分弦的直径垂直于弦； ③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 ； ④长度相等的两条弧是等弧 A．3个 B．2个 C．1个 D．4个 【答案】D 【分析】由圆的性质以及垂径定理对每个选项一一判断即可. 【详解】同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，结论①错误；平分弦的直径不一定垂直于弦，结论②错误；圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，结论③错误；长度相等的两条弧不一定是等弧，结论④错误.不正确的有①②③④. 故选D. 【点睛】本题主要考查圆的性质，熟记相关概念是解题的关键. 5．下列由实线组成的图形中，为半圆的是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据半圆的定义即可判断． 【详解】半圆是直径所对的弧，但是不含直径， 故选B． 【点睛】此题主要考查圆的基本性质，解题的根据熟知半圆的定义． 6．如图，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（　　） A．2 B．4 C．4 D．2 【答案】C 【分析】作⊙O的半径OC⊥AB于D，连接OA、AC，如图，利用折叠的性质得AB垂直平分OC，则AC＝AO，于是可判断△AOC为等边三角形，所以∠AOC＝60°，利用含30度的直角三角形三边的关系求出AD，然后利用垂径定理得到AD＝BD，从而得到AB的长． 【详解】解：作⊙O的半径OC⊥AB于D，连接OA、AC，如图， ∵圆折叠后，圆弧恰好经过圆心， ∴AB垂直平分OC， ∴AC＝AO， 而OA＝OC， ∴OA＝AC＝OC， ∴△AOC为等边三角形， ∴∠AOC＝60°， ∴OD＝OA＝2， ∴AD＝OD＝2， ∵OD⊥AB， ∴AD＝BD， ∴AB＝2AD＝4（cm）． 故选：C． 【点睛】本题考查了相交两圆的性质：相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．也考查了折叠的性质． 7．为内与不重合的一点，则下列说法正确的是（     ） A．点到上任意一点的距离都小于的半径 B．上有两点到点的距离最小 C．上有两点到点的距离等于的半径 D．上有两点到点的距离最大 【答案】C 【分析】结合题意，画出图形，根据图形解答即可. 【详解】圆内的点到圆上的点的距离一定大于0，且小于直径（如图，PG＞半径），选项A错误； 过点O、P作⊙O的直径，交⊙O于点Q、G，则点Q到点P的距离最小，点G到点P的距离最大时，选项B、D错误； 以P为圆心，以⊙O的半径为半径画弧交⊙O于两点M、N，则M、N到P的距离等于⊙O的半径，选项C正确. 故选C． 【点睛】本题主要考查了圆内的点与圆上的点之间的距离的大小，可以结合图形进行理解． 8．如图，⊙O的直径垂直于弦，垂足为．若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形的性质可求出CE=1，再根据垂径定理可求出CD． 【详解】解：∵⊙O的直径垂直于弦， ∴ ∵，， ∴CE=1 ∴CD=2． 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，垂径定理等知识点，能求出CE=DE是解此题的关键． 9．如图，在△ABC中，，点D是AB的中点，将△ACD沿CD对折得△A′CD．连接，连接AA′交CD于点E，若，，则CE的长为（    ） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 【答案】B 【分析】由折叠性质得AA′⊥CD，AD= A′D，根据直角三角形斜边上的中线性质可证得CD=AD=BD= A′D，可证得A、C、A′、B共圆且AB为直径，利用垂径定理的推论和三角形的中位线性质证得DE= A′B，进而可求解CE的长． 【详解】解：由折叠性质得AA′⊥CD，AD= A′D， ∵，点D是AB的中点， ∴CD=AD=BD= A′D=AB， ∴A、C、A′、B共圆且AB为直径，又A A′⊥CD， ∴AE= A′E，又AD=BD， ∴DE是△AB A′的中位线， ∴DE= A′B， ∵，， ∴CD=7cm，DE=2cm， ∴CE=CD-DE=7-2=5cm， 故选B． 【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线性质、三角形的中位线性质、折叠性质、垂径定理的推论，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 10．下列是关于四个图案的描述. 图1所示是太极图，俗称“阴阳鱼”，该图案关于外圈大圆的圆心中心对称； 图2所示是一个正三角形内接于圆； 图3所示是一个正方形内接于圆； 图4所示是两个同心圆，其中小圆的半径是外圈大圆半径的三分之二.                          这四个图案中，阴影部分的面积不小于该图案外圈大圆面积一半的是（  ） A．图1和图3 B．图2和图3 C．图2和图4 D．图1和图4 【答案】A 【分析】图(1)根据题意，结合图形，可用割补法直接求得结果． 图(2)先求出正三角形的中心角及边心距，再根据三角形的面积公式求解比较即可． 图(3) 根据圆内接正方形的性质，求出圆内正方形的面积比较即可. 图(4)求出小圆的面积比较., 【详解】图(1)割补法就是把图形切开，把切下来的那部分移动到其他位置，使题目便于解答．运用割补法可以发现：阴影部分的面积正好是半圆的面积，即大圆面积的一半． 图(2) 如图所示,过O作OD⊥BC, =30°,OD=OB=R, 由勾股定理和垂径定理得 BD=CD=R, SABC=3 SBOC=3（2R）R= R2 R2 <R2 图（3） 如图所示，正方形的面积=4= =2R2> 图4： 阴影部分小圆面积= =< ; 所以图1和图3符合要求 故选A． 【点睛】本题考查割补法的运用,注意运用割补法把不规则图形的面积转化成规则图形的面积 ,以及圆的内接正三角形及圆内接正方形面积的计算． 二、填空题 11．如图，⊙O的半径为2，B是弦CD上任意一点（与C，D不重合），过B作OC的平行线交OD于点E，则EO＋EB＝ ． 【答案】2 【分析】根据圆半径得出∠C=∠D，由平行线的性质得出∠DBE=∠C，即∠DBE=∠D，得出BE=DE，所以EO＋EB的长就是OD的长． 【详解】∵⊙O的半径为2， ∴OD=OC=2， ∴∠C=∠D， ∵OC//BE， ∴∠DBE=∠C， ∴∠DBE=∠D ∴BE=DE， ∴EO＋EB=OD=2 故答案为：2 【点睛】本题考查了圆的认识，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰的性质是解题的关键． 12．如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，AB=10，OC⊥AB，垂足为点D，则AD= ． 【答案】5 【分析】根据垂径定理得出AD=BD，即可求出答案． 【详解】解：∵OC⊥AB，垂足为点D，OC过O， ∴AD=BD， ∵AB=10， ∴AD=5， 故答案为5． 【点睛】题目主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题关键． 13．已知AB，CD是⊙O的两条平行弦，AB＝8，CD＝6，⊙O的半径为5，则弦AB与CD的距离为 ． 【答案】或 【分析】根据题意画出符合的两种图形，先根据垂径定理求出CE和AF长，再根据勾股定理求出OE和OF长，再求出EF即可． 【详解】解：有两种情况：①如图1，圆心O在弦AB和弦CD之间， 过O作OE⊥CD于E，直线OE交AB于F，连接OC、OA， ∵， ∴OF⊥AB， ∵OE⊥CD，OE过圆心O，CD＝6， ∴CE＝DE＝3， 同理AF＝BF＝4， 由勾股定理得：OE＝，OF＝， ∴EF＝OE+OF＝4+3＝7； ②如图2所示， 此时EF＝OE﹣OF＝4﹣3＝1， 即弦AB与CD的距离是1或7， 故答案为：1或7． 【点睛】此题考查了垂径定理及勾股定理，熟记两定理并应用解决问题是解题的关键，还考查了分类思想解决问题． 14．如图是一条水铺设的直径为2米的通水管道横截面，其水面宽1.6米，则这条管道中此时水深为 米． 【答案】/ 【分析】利用垂径定理，以及勾股定理即可求解． 【详解】解：作出弧的中点，连接，交于点． 则．． 在直角中，． 则水深， 故答案为：． 【点睛】本题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解，常见辅助线是过圆心作弦的垂线． 15．如图，一个宽为2厘米的刻度尺（刻度单位：厘米），放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9，那么玻璃杯的杯口外沿半径为 厘米． 【答案】 【详解】解：如图， ∵杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9， ∴AC=9﹣3=6． 取圆心O，过点O作OB⊥AC于点B，连接AO， 则AB=AC=×6=3厘米， 设杯口的半径为r，则OB=r﹣2，OA=r， 在Rt△AOB中，OA2=OB2+AB2，即r2=（r﹣2）2+32， 解得r=（厘米）． 故答案为：． 16．如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点A、B，并使AB与车轮内圆相切于点D，作CD⊥AB交外圆于点C．测得CD=10cm，AB=60cm，则这个车轮的外圆半径为 cm. 【答案】50 【分析】根据垂径定理求得AD=30cm，然后根据勾股定理即可求得半径． 【详解】如图，设点O为外圆的圆心，连接OA和OC， ∵CD=10cm，AB=60cm， ∵CD⊥AB， ∴OC⊥AB， ∴ ∴设半径为r，则OD=r−10， 根据题意得： 解得：r=50. ∴这个车轮的外圆半径长为50. 故答案为50. 【点睛】考查勾股定理以及垂径定理，构造直角三角形是解题的关键. 17．如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水的最大深度CD为2m，水面宽AB为8m，则输水管的半径为 m． 【答案】5 【分析】由垂径定理可知，设，则，根据勾股定理计算即可； 【详解】由图可知：， ∴， 设，则， 在Rt△AOC中，， ∴， 解得：． ∴该输水管的半径为5m． 故答案是：5． 【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用和勾股定理，准确计算是解题的关键． 18．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣4，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为 ． 【答案】3+ 【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B、D的坐标，进而可得出OD、OA、OB，根据圆的性质可得出OM的长度，在Rt△COM中，利用勾股定理可求出CO的长度，再根据CD=CO+OD即可求出结论． 【详解】当x=0时，y=（x﹣1）2﹣4=﹣3， ∴点D的坐标为（0，﹣3）， ∴OD=3； 当y=0时，有（x﹣1）2﹣4=0， 解得：x1=﹣1，x2=3， ∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，3）， ∴AB=4，OA=1，OB=3． 连接CM，则CM=AB=2，OM=1，如图所示． 在Rt△COM中，CO==， ∴CD=CO+OD=3+． 故答案为3+． 【点睛】先根据二次函数与一元二次方程的关系，勾股定理，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解答本题的关键. 三、解答题 19．如图，大蚂蚁沿着大圆爬一圈，小蚂蚁沿着两个小圆各爬了一圈．谁爬的路程长？请通过计算说明． 【答案】大蚂蚁和小蚂蚁爬的路程一样长，见解析 【分析】利用圆的周长公式分别求出大、小蚂蚁爬行的路程，然后比较即可． 【详解】解：大圆的周长，两个小圆的周长和， ∴大圆的周长＝两个小圆的周长和， ∴大蚂蚁和小蚂蚁爬的路程一样长． 【点睛】本题考查了圆的认识，圆的周长的计算，熟练掌握圆的周长公式是解题的关键． 20．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°；以C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D，求∠ACD的度数． 【答案】10°． 【分析】先求得∠B，再由等腰三角形的性质求出∠BCD，则∠ACD与∠BCD互余，从而求得∠ACD的度数． 【详解】解：连接CD，∵∠ACB=90°，∠A=40°， ∴∠B=50°， ∵CD=CB， ∴∠BCD=180°-2×50°=80°， ∴∠ACD=90°-80°=10°． 故答案为10°． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理和等腰三角形的性质，同圆的半径相等的性质，是基础知识比较简单，求出∠BCD的度数是解题的关键． 21．如图，点A，B，C在⊙O上，按要求作图： (1)过点A作⊙O的直径AD； (2)过点B作⊙O的半径； (3)过点C作⊙O的弦． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）作射线，交于点，则线段即为的直径； （2）连接，线段即为所求； （3）连接，线段即为所求（答案不唯一）． 【详解】（1）如图所示，作射线，交于点，则线段即为的直径； （2）如图所示，连接，线段即为所求； （3）如图所示，连接，线段即为所求的一条弦（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了圆的基本概念，连接圆上任意两点是圆的弦，直径是经过圆心的弦，半径是圆上一点与圆心的连线，掌握以上知识是解题的关键． 22．已知为的直径，弦与的延长线交于⊙O外一点C，且，，求的度数． 【答案】 【分析】连接，如图，由于直径，则，根据等腰三角形的性质得，再利用三角形外角性质可计算出，而，于是根据三角形外角性质可计算的度数． 【详解】解：连接，如图， ∵直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的基本性质、等腰三角形的性质以及三角形外角性质等，解题关键是掌握相关性质对角进行转化． 23．如图，AB是⊙O的直径，AB=10，弦CD与AB相交于点N，∠ANC=30°，ON：AN=2：3，OM⊥CD，垂足为M． （1）求OM的长； （2）求弦CD的长． 【答案】（1）OM=1；（2）CD= 【详解】试题分析：（1）作辅助线；首先根据题意求出ON，根据30°角的直角三角形的性质即可求得OM； （2）借助勾股定理求出CM的长度，即可解决问题． 试题解析： ∵AB=10， ∴OA=5， ∵ON：AN=2：3， ∴ON=2， ∵∠ANC=30°， ∴∠ONM=30°， ∴OM=ON=1； （2）如图，连接OC， 由勾股定理得： CM2=CO2-OM2 =25-1=24， ∴CM=2 ， ∴CD=2CM=4． 24．如图，CD是圆O的直径，点A在DC的延长线上，∠EOD＝84°，AE交圆O于点B，且AB＝OC．求∠A的度数． 【答案】28° 【分析】连接OB，由AB＝OC，得到AB＝BO，则∠BOC＝∠A，于是∠EBO＝2∠A，而OB＝OE，得∠E＝∠EBO＝2∠A，由∠EOD＝∠E+∠A＝3∠A结合∠EOD＝84°，即可得到∠A的度数． 【详解】解：如图，连接OB， ∵AB＝OC，OB＝OC， ∴AB＝BO， ∴∠BOC＝∠A， ∴∠EBO＝∠BOC+∠A＝2∠A， ∵OB＝OE， ∴∠E＝∠EBO＝2∠A， ∴∠EOD＝∠E+∠A＝3∠A， 又∵∠EOD＝84°， ∴3∠A＝84°， ∴∠A＝28°． 【点睛】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质等知识，解题的关键是熟练掌握圆的性质以及三角形的外角性质． 25．如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连AD． （1）求证：AD=AN； （2）若AE=，ON=1，求⊙O的半径． 【答案】（1）证明见解析；（2）3； 【分析】（1）先根据圆周角定理得出∠BAD=∠BCD，再由直角三角形的性质得出∠ANE=∠CNM，故可得出∠BCD=∠BAM，由全等三角形的判定定理得出△ANE≌△ADE，故可得出结论； （2）先根据AE的长，设NE=x，则OE=x-1，NE=ED=x，r=OD=OE+ED=2x-1，连结AO，则AO=OD=2x-1，在Rt△AOE中根据勾股定理可得出x的值，进而得出结论； 【详解】（1）证明：∵∠BAD与∠BCD是同弧所对的圆周角， ∴∠BAD=∠BCD， ∵AE⊥CD，AM⊥BC， ∴∠AMC=∠AEN=90°， ∵∠ANE=∠CNM， ∴∠BCD=∠BAM， ∴∠BAM=BAD， 在△ANE与△ADE中， ， ∴△ANE≌△ADE， ∴AD=AN； （2）∵AE=2，AE⊥CD， 又∵ON=1， ∴设NE=x，则OE=x-1，NE=ED=x， r=OD=OE+ED=2x-1 连结AO，则AO=OD=2x-1， ∵△AOE是直角三角形，AE=2，OE=x-1，AO=2x-1， ∴（2）2+（x-1）2=（2x-1）2， 解得x=2， ∴r=2x-1=3. 【点睛】本题考查的是垂径定理，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 26．已知三角形三条中线相交于一点，如图，内接于，，是弧的中点．请分别在下图中使用无刻度的直尺画图．（不用写具体做法）    (1)在图①中，画出的边上的中线，若已知为中点，则和的位置关系是 ，理由是 ； (2)在图②中，画出的边上的中线． 【答案】(1)图见解析，垂直，平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦 (2)见解析 【分析】（1）连接交与点，连接，即为的边上的中线， （2）连接并延长交于点，交于点，连接并延长交于点，即为的边上的中线． 【详解】（1）解：如图，即为所作，   ， 连接， 是弧的中点， ， ，， 在和中， ， ， ， 点为的中点， 为的边上的中线， 若已知为中点，则和的位置关系是垂直，理由是平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦， 故答案为：垂直，平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦； （2）解：如图，即为所作，    连接， 在和中， ， ， ， ， ， 为中边上的中线， 为的边上的中线，且、交于点， 为的边上的中线． 【点睛】本题考查了垂径定理、三角形全等的判定与性质、无刻度直尺作图、等腰三角形的性质、三角形中线的知识点，熟练掌握以上知识点是解此题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$