第04章 等可能条件下的概率 章节（3知识点回顾+14题型练习）数学核心知识点与常见题型通关讲解练 【暑假预习】2025-2026学年九年级上册数学（苏科版）

第04章 等可能条件下的概率 章节（3知识点回顾+14题型练习） 题型汇聚 题型一 列举随机实验的所有可能结果 题型二 判断实验所得结果是否是等可能的 题型三 概率的意义理解 题型四 判断几个事件概率的大小关系 题型五 根据概率公式计算概率 题型六 根据概率作判断 题型七 已知概率求数量 题型八 几何概率 题型九 列举法求概率 题型十 列表法或树状图法求概率 题型十一 游戏的公平性 题型十二 概率在转盘抽奖中的应用 题型十三 概率在比赛中的应用 题型十四 概率的其他应用 知识清单 知识点1．可能性的大小 随机事件发生的可能性（概率）的计算方法： （1）理论计算又分为如下两种情况： 第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算． （2）实验估算又分为如下两种情况： 第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率． 第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验． 知识点2．概率公式 （1）随机事件A的概率P（A）＝． （2）P（必然事件）＝1． （3）P（不可能事件）＝0． 知识点3．几何概率 所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即 P＝g的测度G的测度 简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等． 题型练习 题型一 列举随机实验的所有可能结果 1．（2024九年级·江苏南通·专题练习）第19届亚运会将于今年9月23日到10月08日在杭州举行．其吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人．三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产“良渚古城遗址”、“西湖”、“京杭大运河”．某校开展了一系列的“迎亚运”活动，其中一项是由志愿者扮演吉祥物和同学们合影留念．甲乙两位同学和三个吉祥物一起合影，站成一行，要求甲乙不相邻，且甲乙均不站在两端，则不同的站法种数为 ． 【答案】12 【知识点】列举随机实验的所有可能结果 【分析】本题考查列举法所有等可能情况，把三个吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”分别标记为，共有六种站法，再利用插空法即可求解，掌握例举法是解题的关键． 【详解】解：把三个吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”分别标记为， 则将三个吉祥物进行排列，有： ，，，，，， 共种站法， 再将甲乙进行插空，因为甲乙不相邻，且甲乙均不站在两端，则有： ，，，，， 共有种不同的站法， 故答案为：12． 2．（九年级上·全国·课后作业）求解下列问题： （1）在1～10这10个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于10，共有多少种取法？ （2）在1～100这100个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于100，共有多少种取法？ （3）你还能提出什么问题？ （4）各边长度都是整数、最大边长为11的三角形有多少个？本题与上述哪个问题有联系？它们的区别是什么？ 【答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4）36，见解析 【知识点】列举随机实验的所有可能结果 【分析】（1）仔细分析题意，可先取出一个数，根据取出的这个数来确定另一个数的可能取值，取第一个数为10，则第二个数可以为1，2,……，9,同理第一个数取9，可以发现若第一个数为10，则可能的取法有9种，若第一个数取9，则可能的取法有7种，若第一个数取8，可能的取法有5种，……，将所有类别的取法相加，即可求得结果； （2）利用类似于（1）的方法进行分析即可解答； （3）提一个类似于（1）（2）的问题即可； （4）结合（1）、（2）的方法，注意要考虑两边相等的情况 【详解】（1）根据题意每次取的两个数之和大于10，可能取法为： 10+1、10+2、10+3、…10+9，共9种 9+2、 9+3、 9+4、 …9+8，共7种 8+3、8+4、8+5、8+6、8+7，共5种 7+4、7+5、7+6，共3种 6+5，共1种 所以可能的取法共有9+7+5+3+1=（种） （2）同理可得可能的取法的种数为=2500（种） （3）（答案不唯一）在1到21这21个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于21，有多少种不同的取法？ （4）根据题意得：①每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于11，有10+8+6+4+2=30种不同的取法； ②若另两个数相同，则6+6，7+7，…，11+11，共6种不同的取法；所以各边长都是整数，最大边长为11的三角形有：30+6=36（个）． 它与上述两个问题都类似，区别这个问题要考虑两个数相同时的情况． 【点睛】此题考查分类加法计数原理的运用.分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有m1+m2+……+mn种不同的方法.注意分类后，寻找规律，避免大量运算，其次注意分类讨论要不重不漏． 题型二 判断实验所得结果是否是等可能的 3． 彤彤抛五次硬币，次正面朝上，次反面朝上，她抛第次时，下面说法正确的是哪一个？（    ） A．一定正面朝上 B．一定反面朝上 C．不可能正面朝上 D．有可能正面朝上也有可能反面朝上 【答案】D 【知识点】判断实验所得结果是否是等可能的 【分析】根据等可能事件的意义解答即可． 【详解】解：抛硬币正面朝上和反面朝上的概率相同， 每一次抛都是有可能正面朝上也有可能反面朝上， 故选：D． 【点睛】本题考查了等可能事件的定义，能够正确判断事件发生的概率是解本题的关键． 4．（九年级上·全国·课后作业）在做针尖落地的实验中，正确的是（　　） A．甲做了4 000次，得出针尖触地的机会约为46%，于是他断定在做第4 001次时，针尖肯定不会触地 B．乙认为一次一次做，速度太慢，他拿来了大把材料、形状及大小都完全一样的图钉，随意朝上轻轻抛出，然后统计针尖触地的次数，这样大大提高了速度 C．老师安排每位同学回家做实验，图钉自由选取 D．老师安排同学回家做实验，图钉统一发（完全一样的图钉）．同学交来的结果，老师挑选他满意的进行统计，他不满意的就不要 【答案】B 【知识点】判断实验所得结果是否是等可能的 【分析】根据模拟实验带有一定的偶然性，相应的条件性得到正确选项即可． 【详解】A．在做第4001次时，针尖可能触地，也可能不触地，故错误，不符合题意； B．符合模拟实验的条件，正确，符合题意； C．应选择相同的图钉，在类似的条件下实验，故错误，不符合题意； D．所有的实验结果都是有可能发生，也有可能不发生的，故错误，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查的是模拟实验的条件．解答本题的关键是注意实验器具和实验环境应相同，实验的结果带有一定的偶然性． 题型三 概率的意义理解 5．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）某事件A发生的概率是，则下列推断正确的是（    ） A．做100次这种实验，事件A必发生3次 B．做100次这种实验，事件A不可能发生4次 C．做1000次这种实验，事件A必发生30次 D．大量重复做这种实验，事件A平均每100次发生3次 【答案】D 【知识点】概率的意义理解 【分析】本题考查了概率的意义，熟练掌握概率的意义是解题的关键．根据概率的意义，即可解答． 【详解】解：某事件A发生的概率是，大量重复做这种实验，事件A平均每100次发生3次， 故选：D 6．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）小明在做抛掷均匀硬币实验时，前10次实验中正面朝上是9次，则第11次正面朝上的概率为 ． 【答案】/0.5 【知识点】概率的意义理解 【分析】本题考查的是概率的公式，注意抛硬币只有两种情况，每次抛出的概率都是一致的，与次数无关．根据一枚硬币只有正反两面，抛掷硬币正反出现的概率是相同的即可得到答案． 【详解】解：一枚均匀硬币只有正反两面，抛掷硬币正反出现的概率是相同的， 抛掷一枚硬币，硬币落地后，正面朝上的概率是， 第11次正面朝上的概率为， 故答案为：． 7．（江苏泰州·二模）某射击队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，根据射击运动员的年龄（单位：岁），绘制出如下的统计图． （1）求m的值； （2）求该射击队运动员的平均年龄； （3）小文认为，若从该射击队中任意挑选四名队员，则必有一名队员的年龄是15岁．你认为她的判断正确吗？为什么？ 【答案】（1）20；（2）15岁；（3）不正确，理由见解析． 【知识点】概率的意义理解、求加权平均数、由扇形统计图求某项的百分比 【分析】（1）用1减去各个年龄的百分数即可求解； （2）利用加权平均数公式求出平均数即可解决问题； （3）判断错误．可能抽到13岁，14岁，16岁，17岁． 【详解】解：（1）． 故的值是20； （2）（岁， 故该射击队运动员的平均年龄是15岁； （3）小文的判断是错误的，可能抽到的是13岁、14岁、16岁、17岁． 【点睛】本题考查扇形统计图，加权平均数的知识和概率知识，熟练掌握基本知识是解题的关键． 题型四 判断几个事件概率的大小关系 8．（22-23九年级上·江苏扬州·期末）一只不透明的袋子有1个白球，3个红球，4个黄球，这些球除颜色外都相同，搅均后从中任意摸出一个球，在下列事件发生概率最高的是（    ） A．摸到黄球 B．摸到红球 C．摸到白球 D．摸到黑球 【答案】A 【知识点】判断几个事件概率的大小关系 【分析】分别求出摸到各种颜色的求的概率，再比较大小即可. 【详解】袋子中一共有个球，有1个白球，3个红球，4个黄球，没有黑球. ∴摸到白球的概率= 摸到黄球的概率= 摸到红球的概率= 摸到黑球的概率=0 ∴摸到黄球的概率最高. 故选：A 【点睛】本题主要考查了概率的计算，事件A发生的概率=.掌握概率的计算方法是解题的关键. 9．（九年级上·江苏南京·期末）随机抛掷一枚质地均匀的骰子一次，下列事件中，概率最大的是（   ） A．朝上一面的数字恰好是6 B．朝上一面的数字是2的整数倍 C．朝上一面的数字是3的整数倍 D．朝上一面的数字不小于2 【答案】D 【知识点】判断几个事件概率的大小关系 【分析】根据概率公式，逐一求出各选项事件发生的概率，最后比较大小即可． 【详解】解：A． 朝上一面的数字恰好是6的概率为：1÷6=； B． 朝上一面的数字是2的整数倍可以是2、4、6，有3种可能，故概率为：3÷6=； C． 朝上一面的数字是3的整数倍可以是3、6，有2种可能，故概率为：2÷6=； D． 朝上一面的数字不小于2可以是2、3、4、5、6，有5种可能，，故概率为：5÷6= ∵＜＜＜ ∴D选项事件发生的概率最大 故选D． 【点睛】此题考查的是求概率问题，掌握概率公式是解决此题的关键． 题型五 根据概率公式计算概率 10．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）从甲、乙、丙三位同学中任选一人参加初中生数学竞赛，甲被选中的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题考查用概率公式计算简单事件的概率，根据概率公式计算即可． 【详解】解：∵从甲、乙、丙三位同学中任选一人参加初中生数学竞赛，共有3种等可能情况， ∴甲被选中的概率为． 故选：A 11．（24-25九年级上·江苏南通·期末）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标上“大”“美”“海”“安”四个汉字，随机摸出一个小球，摸出的小球上的汉字是“美”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．直接利用概率公式计算． 【详解】解：∵袋子中分别装着标有“大”“美”“海”“安”四个汉字的4个小球， ∴从袋中摸出一个球，则球上的汉字刚好是“美”的概率是． 故选：C． 12．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，转盘中3个扇形的面积都相等．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针所落扇形中的数为偶数的概率为 ． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了概率公式：随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数． 直接利用概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意可得：指针指向的可能情况有3种，而其中是偶数的有1种， ∴“指针所落扇形中的数为偶数”发生的概率为， 故答案为：． 13．（2025·江苏宿迁·二模）2025年宿迁马拉松比赛于3月30日7：30在项王故里鸣枪开跑．张先生和王女士报名参加了此次比赛，在经过的某路口有三个车道（分别记为、、），假设每个人经过此路口时走每个车道是等可能的． (1)王女士经过此路口时走车道的概率为____； (2)请用列表或画树状图的方法求张先生和王女士经过此路口时走不同车道的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了利用概率公式求概率，利用树状图或列表法求概率，解题的关键是列出所有的情况，再利用公式求概率； （1）直接利用概率公式求概率； （2）利用列表法进行求解即可． 【详解】（1）解：有三个车道（分别记为、、），每个人经过此路口时走每个车道是等可能的 王女士经过此路口时走车道的概率为：， 故答案为：； （2）解：利用列表列表如下： 张先生     王女士 共有种等可能的情况，张先生和王女士经过此路口时走不同车道的有种情况， 故张先生和王女士经过此路口时走不同车道的概率为：． 题型六 根据概率作判断 14．（江苏南京·一模）下列说法正确的是（　　） A．购买江苏省体育彩票有“中奖”与“不中奖”两种情况，所以中奖的概率是 B．国家级射击运动员射靶一次，正中靶心是必然事件 C．如果在若干次试验中一个事件发生的频率是，那么这个事件发生的概率一定也是 D．如果车间生产的零件不合格的概率为 ，那么平均每检查1000个零件会查到1个次品 【答案】C 【知识点】概率的意义理解、根据概率作判断 【详解】解：A、购买江苏省体育彩票“中奖”的概率是中奖的张数与发行的总张数的比值，故本项错误； B、国家级射击运动员射靶一次，正中靶心是随机事件，故本项错误； C、如果在若干次试验中一个事件发生的频率是，那么这个事件发生的概率一定也是，正确； D、如果车间生产的零件不合格的概率为，那么平均每检查1000个零件不一定会查到1个次品，故本项错误， 故选C． 【点睛】本题考查概率的意义，随机事件． 15．（江苏苏州·中考真题）下图的转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上1，2，3，4，5，6这六个数字，指针停在每个扇形的可能性相等．四位同学各自发表了下述见解： 甲：如果指针前三次都停在了3号扇形，下次就一定不会停在3号扇形； 乙：只要指针连续转六次，一定会有一次停在6号扇形； 丙：指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形的概率相等； 丁：运气好的时候，只要在转动前默默想好让指针停在6号扇形，指针停在6号扇形的可能性就会加大． 其中，你认为正确的见解有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】根据概率作判断 【详解】随机事件发生的可能性大小在0至1之间，可能性大的也不是肯定会发生，可能性小的也不是肯定不会发生，所以只有丙的说法是对的． 甲、错误，是随机事件，不能确定； 乙、错误，是随机事件，不能确定； 丙、正确，由于奇数号扇形和偶数号扇形数目相同，指针停在奇数号扇形的机会等于停在偶数号扇形的机会； 丁、错误，随机事件，不受意识控制． 故选A． 【点睛】本题是概率的求法的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般. 16．甲、乙两人轮流做下面的游戏：掷一枚均匀的骰子(每个面分别标有1，2，3，4，5，6这六个数字)，如果朝上的数字大于3，则甲获胜，如果朝上的数字小于3，则乙获胜，你认为获胜的可能性比较大的是 ． 【答案】甲 【知识点】根据概率作判断 【详解】∵1,2,3,4,5,6这六个数字中大于3的数字有3个:4,5,6,∴P（甲获胜）=, ∵1,2,3,4,5,6这六个数字中小于3的数字有2个:1,2,∴P（乙获胜）=, ∵,∴获胜的可能性比较大的是甲,故答案为:甲. 17．（22-23九年级上·江苏盐城·期末）如图是计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的雷区中，随机地埋藏着20颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷．小林和小艾轮流点击，小林先点一个小方格，显示数学2，它表示围着数字2的8个方块中埋藏着2颗地雷(包含数字2的黑框区域记为A)． (1)若小艾在区域A内围着数字2的8个方块中任点一个，未踩中地雷的概率是_______． (2)现在小艾点击了右下角的小方格，出现数字1(包含数字1的黑框区域记为B)，轮到小林点击，若小林打算在区域A和区域B中任点一个未点击的方块，从安全的角度考虑，他应该选择哪个区域？说明理由． (3)若小林和小艾均在B区域各点击一次，则两人均安全的概率有多大？ 【答案】(1) (2)应该选择区域A，理由见解析 (3) 【知识点】列表法或树状图法求概率、根据概率作判断、根据概率公式计算概率 【分析】本题主要考查概率： （1）根据概率公式计算出概率即可； （2）根据概率公式分别计算出两个区域踩雷的概率，然后得出结论即可； （3）区域B内3个方块中埋藏着1颗地雷，两个安全，列树状图解答即可． 【详解】（1）解：∵区域A内8个方块中埋藏着2颗地雷， ∴有6个方块没有地雷， ∴未踩中地雷的概率是：； 故答案为：； （2）解：由（1）知，区域A未踩中地雷的概率是， ∵区域B的3个方块中埋着1颗地雷，有2个方块没有地雷， ∴区域B未踩中地雷的概率是：， ∵， ∴从安全的角度考虑，他应该选择区域A； （3）解：区域B内3个方块中埋藏着1颗地雷，两个安全，列树状图如下： 共有6种可能的结果，两人均安全可能有2种， ∴两人均安全的概率为：． 题型七 已知概率求数量 18．（2024·江苏淮安·模拟预测）一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和n个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则（　　） A．9 B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知概率求数量、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了简单的概率计算，解分式方程．熟练掌握简单的概率计算是解题的关键． 由题意知，，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，， 解得， 经检验，是原分式方程的解． 故选：A． 19．（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）不透明的口袋里装有除颜色外其余都相同的红、黄、蓝三种颜色的小球若干个，其中红球2个，蓝球1个．若从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为，求黄球的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】已知概率求数量 【分析】根据概率公式变形式：袋中球的总数，即可得出答案． 【详解】解：袋中蓝球1个，从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为， 袋中球的总数是：， 袋中有红球2个，蓝球1个， 黄球的个数为：； 故选：A． 【点睛】此题考查了随机事件的概率，熟练掌握概率公式以及它的变形式是解答此题的关键． 20．（24-25九年级上·江苏南京·期末）在一个瓶子中装有一些豆子，小明想估算瓶子中豆子的总数，他进行了如下操作：小明先从瓶子中倒出20粒豆子，接着小明给这些豆子全部标上记号，然后把这些被标上记号的豆子又重新装回瓶子中，充分摇匀后又从瓶子中倒出了一些豆子，发现倒出的30粒豆子中，被标记的豆子有5粒．小明通过计算得出瓶子中豆子的总数为 粒． 【答案】120 【知识点】已知概率求数量、概率的其他应用 【分析】本题主要考查了概率的应用，根据概率的意义正确列出算式是解题的关键． 由题意可知标上记号豆子的概率为，然后再用标记豆子的数量除以概率即可解答． 【详解】解：由题意可知：瓶子中被标记豆子的概率为， 所以瓶子中豆子的总数为粒． 故答案为：120． 21．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）一个袋子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球．它们的重量、大小都相同，其中红球有6个，黄球有5个，并知任意摸出1个黄球的概率是．问： (1)袋子里蓝球有多少个？ (2)任意摸出1个红球的概率是多少？ 【答案】(1)蓝球有9个 (2) 【知识点】已知概率求数量、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查求概率，利用概率求数量，熟练掌握概率公式，是解题的关键： （1）根据概率求出总数，进行求出蓝球的个数即可； （2）直接根据概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：（个）； 答：蓝球有9个； （2）任意摸出1个红球的概率是． 题型八 几何概率 22．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，飞镖游戏板中的每一块小正方形都完全一样．假设飞镖击中任何一个位置都是等可能的，任意投掷飞镖1次（击中阴影区域的边界或者没有击中游戏板，则重投1次），则飞镖击中阴影区域的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】几何概率 【分析】本题考查了几何概率，掌握某事件的概率等于这个事件所占有的面积与总面积之比成为解题的关键． 先计算出阴影部分的面积，然后计算阴影部分的面积与整个图形的面积的比即可． 【详解】解：∵阴影部分为正方形，正方形的边长为， ∴阴影区域的面积为， ∵整个正方形的面积为， ∴飞镖击中阴影区域的概率是． 故选C． 23．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在扇形中，，正方形的顶点分别在弧上，连接．在扇形内随机选取一点P，则点P落在阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】几何概率、求其他不规则图形的面积、正方形性质理解 【分析】本题主要考查正方形的性质，几何概率，理解是解题关键．根据正方形的性质得出，再根据几何概率的概念求值即可． 【详解】如图，连接， 是正方形， ，， ， 点P落在阴影部分的概率是， 故选：B． 24．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，可以自由转动的转盘被分成两个扇形区域，分别标有字母A和B，标有A的扇形圆心角的度数为，自由转动转盘，指针落在标有A的扇形区域内的概率为 ． 【答案】// 【知识点】几何概率 【分析】本题考查了几何概率：某事件的概率=这个事件所占有的面积与总面积之比．根据几何概率的求法，用标有A的扇形的面积除以转盘的面积，根据扇形的面积公式，标有A的扇形的面积与转盘的面积之比等于标有A的扇形圆心角的度数与之比． 【详解】解：自由转动转盘，指针落在标有A的扇形区域内的概率， 故答案为：． 25．（22-23九年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2，4，6；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球，小杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上则重转）．小玉再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字．    (1)小杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字2的概率为 ； (2)若得到的两数字之和是3的倍数，则小杰胜；若得到的两数字之和是7的倍数，则小玉胜，此游戏公平吗？为什么？（请用树状图或列表法说明） 【答案】(1) (2)公平，理由见解析 【知识点】列表法或树状图法求概率、几何概率 【分析】本题考查概率公式、列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率． （1）根据题意和图1，可以求得小杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字2的概率； （2）先画出树状图，然后即可得到此游戏是否公平． 【详解】（1）解：由图1可得， 小杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字2的概率为， 故答案为：； （2）解：此游戏公平， 理由：树状图如下，    由上可得，一共有9种等可能性，其中得到的两数字之和是3的倍数的有3种，得到的两数字之和是7的倍数的有三种， 此游戏公平． 题型九 列举法求概率 26．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币次，有次正面朝上，次反面朝上，第次抛掷，正面朝上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列举法求概率 【分析】本题主要考查了概率的计算，一枚质地均匀的硬币，抛掷后共有种可能性：正面朝上、反面朝上，所以每次抛掷后正面朝上的概率均为． 【详解】解：抛掷一枚质地均匀的硬币次，有次正面朝上，次反面朝上， 第次抛掷，正面朝上的概率是． 故选：B． 27．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）张老师的渔具包内有，，，四种规格的鱼竿各一支，从中任意取出一支鱼竿长度是的概率是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【知识点】列举法求概率 【分析】本题考查了运用列举法求概率，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：因为随机取出一支鱼竿共有，，，四种等可能结果，其中长为有一种等可能性，即概率为， 故选D． 28．（2023九年级上·江苏·专题练习）甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加一次节日活动，很幸运的是他们都得到了一件精美的礼品（如图），他们每人只能从其中一串的最下端取一件礼品，直到礼物取完为止，甲第一个取得礼物，然后乙，丙，丁，戊依次取得第2到第5件礼物，当然取法各种各样，那么他们共有 种不同的取法．事后他们打开礼物仔细比较，发现礼物D最精美，那么取得礼物D可能性最大的是 同学．    【答案】 10 丙 【知识点】列举法求概率、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了列举法求概率，概率公式的应用； 根据每人只能从其中一串的最下端取一件礼品得出所有取礼物的顺序，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：甲、乙、丙、丁、戊取礼物的顺序为： ①A、B、C、D、E； ②A、C、D、E、B； ③A、C、D、B、E； ④A、C、B、D、E； ⑤C、D、E、A、B； ⑥C、D、A、B、E； ⑦C、D、A、E、B； ⑧C、A、B、D、E； ⑨C、A、D、B、E； ⑩C、A、D、E、B． 则共有10种， 所以取得礼物D的概率分别为：，，， 所以取得礼物D可能性最大的是丙同学． 故答案为：10，丙． 29．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）十月有多部影片上映．小亮和小丽准备分别从《志愿军》、《毒液》、《浴火之路》三部电影中随机选择一部观看． (1)小亮从这三部电影中，随机选择一部观看，则他选中《志愿军》的概率为 ； (2)请用列表或画树状图的方法，求小亮和小丽恰好选择观看同一部电影的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】列表法或树状图法求概率、列举法求概率 【分析】本题考查了等可能情形下的概率计算，对于结果数较少的采用列举法，而对于两次抽取问题采用列表或树状图； （1）对结果进行列举，根据利用概率计算公式进行计算即可； （2）画树状图法或列表法，可得所有的结果，利用概率计算公式，进行计算即可； 能画树状图法或列表法进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解：《志愿军》、《毒液》、《浴火之路》共有中结果， 他选中《志愿军》的概率为， 故答案：； （2）解：表示如下：：《志愿军》、：《毒液》、：《浴火之路》 列表如下： 共有种等可能结果，其中小亮和小丽恰好选择观看同一部电影的结果有种， ， 答：小亮和小丽恰好选择观看同一部电影的概率为． 题型十 列表法或树状图法求概率 30．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）“中华麋鹿园”“丹顶鹤自然保护区”“盐城大纵湖旅游景区”和“黄海海滨国家森林公园”是盐城市四个有代表性的旅游景点．若小丽从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点中有“丹顶鹤自然保护区”的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，根据题意正确列表成为解题的关键． 先根据题意列表得到所有等可能性的结果数，再找到选择两个景点中有“丹顶鹤自然保护区”的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设“中华麋鹿园”“丹顶鹤自然保护区”“盐城大纵湖旅游景区”和“黄海海滨国家森林公园”四个景点分别用A、B、C、D表示，列表如下： A B C D A （A,B） （A,C） （A,D） B （B,A） （B,C） （B,D） C （C,A） （C,B） （C,D） D （D,A） （D,B） （D,C） 由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中选择“丹顶鹤自然保护区”的结果数有6种， ∴这两个景点中有“丹顶鹤自然保护区”的概率为． 故选：D． 31．（24-25九年级上·江苏南京·期末）甲、乙、丙三人各自通过买到了某演唱会门票，三张票的座位是连续的，记甲乙座位相邻的概率为，甲乙座位不相邻的概率为，则 ．（填“”“”或“”号） 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，先列树状图，得出共种等可能结果，则甲乙座位相邻的结果有4种，甲乙座位不相邻的结果有2种，即可作答． 【详解】解：依题意，把三张票的连续的座位是记为，列树状图如下： 共种等可能结果，则甲乙座位相邻的结果有4种，甲乙座位不相邻的结果有2种， ∴，， ∴， 故答案为：． 32．（2025·江苏泰州·二模）甲、乙2名学生各自随机选择到A、B、C三家书店中的一家购书． (1)甲学生在B书店购书的概率为________； (2)求甲、乙2名学生在同一书店购书的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率． （1）根据甲学生到书店购书有3种选择，到B书店的概率即可求得； （2）列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，再将符合题意的结果除以所有结果，即可解答． 【详解】（1）解：甲学生到书店购书有A、B、C，3种选择， 故到B书店的概率为． （2）画树状图，如图 共有9种等可能性结果．甲、乙2名学生在同一书店购书的结果有3种， ∴甲、乙2名学生在同一书店购书的概率为． 题型十一 游戏的公平性 33．（2023九年级上·全国·专题练习）小颖、小明两人做游戏，掷一枚硬币，双方约定：正面朝上小颖胜，反面朝上小明胜，则这个游戏（　　） A．公平 B．对小颖有利 C．对小明有利 D．无法确定 【答案】A 【知识点】游戏的公平性 【分析】先利用概率公式计算出小颖胜的概率为，小明胜的概率为，然后再利用两者的概率相等可判断游戏公平． 【详解】解：掷一枚硬币，共有2种等可能的结果，其中正面朝上的结果数为1，反面朝上的结果数为1， ∴小颖胜的概率为，小明胜的概率为， ∵， ∴这个游戏是公平的． 故选：A． 【点睛】本题考查了游戏公平性和概率公式，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则不公平． 34．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，转盘A中的4个扇形面积相等，转盘B中的6个扇形的面积相等，有人设计了如下游戏规则：甲、乙两人分别任意转动转盘A、B一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的2个数相乘，如果所得的积是偶数，则甲获胜；若所得的积是奇数，则乙获胜． (1)用列表法或树状图求出甲、乙两人分别获胜的概率； (2)当此游戏规则修改为：当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的2个数字相加，如果所得的和是偶数，则甲获胜；若所得的和是奇数，则乙获胜，这样的规则公平吗？通过计算说明理由． 【答案】(1)甲胜的概率，乙胜的概率； (2)这样的规则公平，见解析 【知识点】游戏的公平性、列表法或树状图法求概率 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． （1）根据题意画出树状图，展示所有等可能的结果，利用概率公式进而得出甲、乙获胜的概率即可得出答案； （2）根据题意画出树状图，展示所有等可能的结果，利用概率公式进而得出甲、乙获胜的概率即可得出答案． 【详解】（1）解：画树状图如图所示： ， 由树状图知，共有24种等可能结果，其中甲获胜的有18种结果，乙获胜的有6种结果， 所以甲胜的概率，乙胜的概率； （2）解：这样的规则公平， 理由：画树状图如图所示： ， 由树状图知，共有24种等可能结果，其中甲获胜的有12种结果，乙获胜的有12种结果， 所以甲胜的概率，乙胜的概率， 所以这样的规则公平． 题型十二 概率在转盘抽奖中的应用 35．（江苏盐城·二模）如图，一个转盘被分为了A，B，C三个区域，自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是 ． 【答案】 【知识点】概率在转盘抽奖中的应用 【分析】根据概率的求法，找准两点： ①全部情况的总数； ②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．依此即可求解． 【详解】解：∵A区域扇形的圆心角为90°， ∴自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）． 36．（江苏无锡·一模）一款游戏的规则如下：如图①为游戏棋盘，从起点到终点共7步；如图②是一个被分成4个大小相等的扇形的转盘，转动转盘，待转盘自动停止后，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止），每次棋子按照指针所指的数字前进相应的步数，若棋子最终能恰好落在终点的视为通过游戏，棋子从起点前进2步到达B，第二次转动转盘指针所指数字为3，…，直到棋子到达终点或超过终点停止． （1）转动转盘一次，求转盘停止后指针指向4的概率； （2）请用列表或画树状图法，求转动转盘两次能通过游戏的概率． 【答案】（1）P（指针指向4）＝；（2）P（转动转盘两次能通过游戏）＝． 【知识点】概率在转盘抽奖中的应用、列表法或树状图法求概率 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可得出答案． 【详解】（1）∵转盘被分成4个大小相等的扇形， ∴P（指针指向4）＝． （2）列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 通过游戏是恰好到达终点即两次指针所指扇形区域数字之和为7， 由表可得共有16种等可能的结果，其中和为7的结果有2种， ∴P（转动转盘两次能通过游戏）＝． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，进而求出概率． 题型十三 概率在比赛中的应用 37．（江苏连云港·一模）在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物，为使课外读物满足同学们的需求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查文化艺术节上，小明参加学校组织的“一站到底”活动，答对最后两道单选题就通关：第一道单选题有A、B、C共3个选项，第二道单选题有A、B、C、D共4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一次“求助”的机会没有用（使用“求助可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）． (1)如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是　　； (2)如果小明决定第一题不使用“求助”，第二题使用“求助”，请用树状图或者列表来分析小明通关的概率； (3)从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”．（直接写出答案） 【答案】(1) (2) (3)，建议小明在第一题使用“求助” 【知识点】概率在比赛中的应用、列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率 【分析】（1）由第一道单选题有3个选项，直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）首先分别用A，B，C表示第一道单选题的3个选项，a，b，c表示剩下的第二道单选题的3个选项，然后画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小明顺利通关的情况，继而利用概率公式即可求得答案； （3）分别求出小明在第一题使用“求助”和在第二题使用“求助”顺利通关的概率，比较后即可求得答案． 【详解】（1）解：∵第一道单选题有3个选项， ∴如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是：， 故答案为； （2）解：分别用A，B，C表示第一道单选题的3个选项，a，b，c表示剩下的第二道单选题的3个选项， 画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，小明顺利通关的只有1种情况， ∴小明顺利通关的概率为：； （3）解：若小明“求助”第一题（假设去掉错误选项C）， 画树状图为： 共有8种等可能的结果数，其中两题全答对的结果数为1， 所以他顺利通关的概率=， 若小明“求助”第二题，由（2）可知他顺利通关的概率为， 而＞， 所以他应该在第一题使用“求助”，顺利通关的概率才更大． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 题型十四 概率的其他应用 38．（九年级上·全国·课后作业）如果身边没有质地均匀的硬币，下列方法可以模拟掷硬币实验的是（　　） A．掷一个瓶盖，盖面朝上代表正面，盖面朝下代表反面 B．掷一枚图钉，钉尖着地代表正面，钉帽着地代表反面 C．掷一枚质地均匀的骰子，奇数点朝上代表正面，偶数点朝上代表反面 D．转动如图所示的转盘，指针指向“红”代表正面，指针指向“蓝”代表反面 【答案】C 【知识点】概率的其他应用 【分析】看所给物品得到的可能性与硬币只有正反两面的可能性是否相等即可 【详解】A.瓶盖盖面朝下的概率小于盖面朝上的概率，不符合题意 B.尖朝上的概率大于面朝上的概率，不符合题意 C.奇数点朝上的概率等于偶数点朝上的概率，都为0.5，符合题意 D.指针除了指到“红”和“蓝”以外还有可能指到“黄”，不符合题意 故选C 【点睛】本题考查了概率，能否区分出事件的可能性是解题关键 39．（江苏扬州·二模）如图，是一个小型花园，阴影部分为一个圆形水池，已知，，，若从天空飘落下一片树叶恰好落入花园里，则落入水池的概率 （填>、<或=）． 【答案】 【知识点】概率的其他应用、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系、应用切线长定理求解 【分析】通过已知条件求出圆的半径，根据圆的面积占比就可以推算出概率，进一步得到答案． 【详解】解：如下图：设圆O与△ABC的三边相切于点D、E、F， 连接OD、OE、OF，设半径为r ∴，， ∴ 又∵ ∴为直角三角形，且 ∴四边形为矩形 又∵ ∴四边形为正方形 ∴ 又∵圆是三角形的内切圆， ∴ ∴，， ∴ 解得： 所以的面积， ∵ ∴树叶恰好落入水池的概率大于； 故答案为：＞ 【点睛】本题考查三角形的内切圆与概率的实际应用，根据面积占比推算概率是常考的知识点. 40．（九年级上·全国·单元测试）有一个摆地摊的不法摊主，他拿出3个白球，3个黑球，放在一个袋子里（不透明），让人摸球中奖．只要交2元钱就可以从袋中摸出3个球，若摸到的3个球都是白球，就可得10元的回报，请你计算一下摸一次球的平均收益，并估算若1000有名学生每人摸一次，摊主将从同学的身上骗走多少钱？ 【答案】1500元 【知识点】概率的其他应用 【分析】根据概率公式求出一次摸到3个白球的概率，则得到每摸一次的平均收益，继而可求若1000有名学生每人摸一次，摊主将从同学的身上骗走多少钱． 【详解】解：∵一次摸到3个白球的概率为， 每摸一次平均收益为：， ∴元， ∴每摸一次球平均获利1.5元，1000名学生每人摸一次，摊主将从同学们身上骗走1500元． 【点睛】此题考查了概率公式的应用，注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04章 等可能条件下的概率 章节（3知识点回顾+14题型练习） 题型汇聚 题型一 列举随机实验的所有可能结果 题型二 判断实验所得结果是否是等可能的 题型三 概率的意义理解 题型四 判断几个事件概率的大小关系 题型五 根据概率公式计算概率 题型六 根据概率作判断 题型七 已知概率求数量 题型八 几何概率 题型九 列举法求概率 题型十 列表法或树状图法求概率 题型十一 游戏的公平性 题型十二 概率在转盘抽奖中的应用 题型十三 概率在比赛中的应用 题型十四 概率的其他应用 知识清单 知识点1．可能性的大小 随机事件发生的可能性（概率）的计算方法： （1）理论计算又分为如下两种情况： 第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算． （2）实验估算又分为如下两种情况： 第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率． 第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验． 知识点2．概率公式 （1）随机事件A的概率P（A）＝． （2）P（必然事件）＝1． （3）P（不可能事件）＝0． 知识点3．几何概率 所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即 P＝g的测度G的测度 简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等． 题型练习 题型一 列举随机实验的所有可能结果 1．（2024九年级·江苏南通·专题练习）第19届亚运会将于今年9月23日到10月08日在杭州举行．其吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人．三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产“良渚古城遗址”、“西湖”、“京杭大运河”．某校开展了一系列的“迎亚运”活动，其中一项是由志愿者扮演吉祥物和同学们合影留念．甲乙两位同学和三个吉祥物一起合影，站成一行，要求甲乙不相邻，且甲乙均不站在两端，则不同的站法种数为 ． 2．（九年级上·全国·课后作业）求解下列问题： （1）在1～10这10个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于10，共有多少种取法？ （2）在1～100这100个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于100，共有多少种取法？ （3）你还能提出什么问题？ （4）各边长度都是整数、最大边长为11的三角形有多少个？本题与上述哪个问题有联系？它们的区别是什么？ 题型二 判断实验所得结果是否是等可能的 3． 彤彤抛五次硬币，次正面朝上，次反面朝上，她抛第次时，下面说法正确的是哪一个？（    ） A．一定正面朝上 B．一定反面朝上 C．不可能正面朝上 D．有可能正面朝上也有可能反面朝上 4．（九年级上·全国·课后作业）在做针尖落地的实验中，正确的是（　　） A．甲做了4 000次，得出针尖触地的机会约为46%，于是他断定在做第4 001次时，针尖肯定不会触地 B．乙认为一次一次做，速度太慢，他拿来了大把材料、形状及大小都完全一样的图钉，随意朝上轻轻抛出，然后统计针尖触地的次数，这样大大提高了速度 C．老师安排每位同学回家做实验，图钉自由选取 D．老师安排同学回家做实验，图钉统一发（完全一样的图钉）．同学交来的结果，老师挑选他满意的进行统计，他不满意的就不要 题型三 概率的意义理解 5．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）某事件A发生的概率是，则下列推断正确的是（    ） A．做100次这种实验，事件A必发生3次 B．做100次这种实验，事件A不可能发生4次 C．做1000次这种实验，事件A必发生30次 D．大量重复做这种实验，事件A平均每100次发生3次 6．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）小明在做抛掷均匀硬币实验时，前10次实验中正面朝上是9次，则第11次正面朝上的概率为 ． 7．（江苏泰州·二模）某射击队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，根据射击运动员的年龄（单位：岁），绘制出如下的统计图． （1）求m的值； （2）求该射击队运动员的平均年龄； （3）小文认为，若从该射击队中任意挑选四名队员，则必有一名队员的年龄是15岁．你认为她的判断正确吗？为什么？ 题型四 判断几个事件概率的大小关系 8．（22-23九年级上·江苏扬州·期末）一只不透明的袋子有1个白球，3个红球，4个黄球，这些球除颜色外都相同，搅均后从中任意摸出一个球，在下列事件发生概率最高的是（    ） A．摸到黄球 B．摸到红球 C．摸到白球 D．摸到黑球 9．（九年级上·江苏南京·期末）随机抛掷一枚质地均匀的骰子一次，下列事件中，概率最大的是（   ） A．朝上一面的数字恰好是6 B．朝上一面的数字是2的整数倍 C．朝上一面的数字是3的整数倍 D．朝上一面的数字不小于2 题型五 根据概率公式计算概率 10．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）从甲、乙、丙三位同学中任选一人参加初中生数学竞赛，甲被选中的概率是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25九年级上·江苏南通·期末）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标上“大”“美”“海”“安”四个汉字，随机摸出一个小球，摸出的小球上的汉字是“美”的概率是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，转盘中3个扇形的面积都相等．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针所落扇形中的数为偶数的概率为 ． 13．（2025·江苏宿迁·二模）2025年宿迁马拉松比赛于3月30日7：30在项王故里鸣枪开跑．张先生和王女士报名参加了此次比赛，在经过的某路口有三个车道（分别记为、、），假设每个人经过此路口时走每个车道是等可能的． (1)王女士经过此路口时走车道的概率为____； (2)请用列表或画树状图的方法求张先生和王女士经过此路口时走不同车道的概率． 题型六 根据概率作判断 14．（江苏南京·一模）下列说法正确的是（　　） A．购买江苏省体育彩票有“中奖”与“不中奖”两种情况，所以中奖的概率是 B．国家级射击运动员射靶一次，正中靶心是必然事件 C．如果在若干次试验中一个事件发生的频率是，那么这个事件发生的概率一定也是 D．如果车间生产的零件不合格的概率为 ，那么平均每检查1000个零件会查到1个次品 15．（江苏苏州·中考真题）下图的转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上1，2，3，4，5，6这六个数字，指针停在每个扇形的可能性相等．四位同学各自发表了下述见解： 甲：如果指针前三次都停在了3号扇形，下次就一定不会停在3号扇形； 乙：只要指针连续转六次，一定会有一次停在6号扇形； 丙：指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形的概率相等； 丁：运气好的时候，只要在转动前默默想好让指针停在6号扇形，指针停在6号扇形的可能性就会加大． 其中，你认为正确的见解有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．（22-23九年级上·江苏盐城·期末）如图是计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的雷区中，随机地埋藏着20颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷．小林和小艾轮流点击，小林先点一个小方格，显示数学2，它表示围着数字2的8个方块中埋藏着2颗地雷(包含数字2的黑框区域记为A)． (1)若小艾在区域A内围着数字2的8个方块中任点一个，未踩中地雷的概率是_______． (2)现在小艾点击了右下角的小方格，出现数字1(包含数字1的黑框区域记为B)，轮到小林点击，若小林打算在区域A和区域B中任点一个未点击的方块，从安全的角度考虑，他应该选择哪个区域？说明理由． (3)若小林和小艾均在B区域各点击一次，则两人均安全的概率有多大？ 题型七 已知概率求数量 18．（2024·江苏淮安·模拟预测）一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和n个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则（　　） A．9 B． C． D． 19．（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）不透明的口袋里装有除颜色外其余都相同的红、黄、蓝三种颜色的小球若干个，其中红球2个，蓝球1个．若从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为，求黄球的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 20．（24-25九年级上·江苏南京·期末）在一个瓶子中装有一些豆子，小明想估算瓶子中豆子的总数，他进行了如下操作：小明先从瓶子中倒出20粒豆子，接着小明给这些豆子全部标上记号，然后把这些被标上记号的豆子又重新装回瓶子中，充分摇匀后又从瓶子中倒出了一些豆子，发现倒出的30粒豆子中，被标记的豆子有5粒．小明通过计算得出瓶子中豆子的总数为 粒． 21．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）一个袋子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球．它们的重量、大小都相同，其中红球有6个，黄球有5个，并知任意摸出1个黄球的概率是．问： (1)袋子里蓝球有多少个？ (2)任意摸出1个红球的概率是多少？ 题型八 几何概率 22．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，飞镖游戏板中的每一块小正方形都完全一样．假设飞镖击中任何一个位置都是等可能的，任意投掷飞镖1次（击中阴影区域的边界或者没有击中游戏板，则重投1次），则飞镖击中阴影区域的概率是（    ） A． B． C． D． 23．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在扇形中，，正方形的顶点分别在弧上，连接．在扇形内随机选取一点P，则点P落在阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D． 24．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，可以自由转动的转盘被分成两个扇形区域，分别标有字母A和B，标有A的扇形圆心角的度数为，自由转动转盘，指针落在标有A的扇形区域内的概率为 ． 25．（22-23九年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2，4，6；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球，小杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上则重转）．小玉再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字．    (1)小杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字2的概率为 ； (2)若得到的两数字之和是3的倍数，则小杰胜；若得到的两数字之和是7的倍数，则小玉胜，此游戏公平吗？为什么？（请用树状图或列表法说明） 题型九 列举法求概率 26．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币次，有次正面朝上，次反面朝上，第次抛掷，正面朝上的概率是（    ） A． B． C． D． 27．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）张老师的渔具包内有，，，四种规格的鱼竿各一支，从中任意取出一支鱼竿长度是的概率是（    ） A．0 B． C． D． 28．（2023九年级上·江苏·专题练习）甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加一次节日活动，很幸运的是他们都得到了一件精美的礼品（如图），他们每人只能从其中一串的最下端取一件礼品，直到礼物取完为止，甲第一个取得礼物，然后乙，丙，丁，戊依次取得第2到第5件礼物，当然取法各种各样，那么他们共有 种不同的取法．事后他们打开礼物仔细比较，发现礼物D最精美，那么取得礼物D可能性最大的是 同学．    29．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）十月有多部影片上映．小亮和小丽准备分别从《志愿军》、《毒液》、《浴火之路》三部电影中随机选择一部观看． (1)小亮从这三部电影中，随机选择一部观看，则他选中《志愿军》的概率为 ； (2)请用列表或画树状图的方法，求小亮和小丽恰好选择观看同一部电影的概率． 题型十 列表法或树状图法求概率 30．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）“中华麋鹿园”“丹顶鹤自然保护区”“盐城大纵湖旅游景区”和“黄海海滨国家森林公园”是盐城市四个有代表性的旅游景点．若小丽从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点中有“丹顶鹤自然保护区”的概率是（　　） A． B． C． D． 31．（24-25九年级上·江苏南京·期末）甲、乙、丙三人各自通过买到了某演唱会门票，三张票的座位是连续的，记甲乙座位相邻的概率为，甲乙座位不相邻的概率为，则 ．（填“”“”或“”号） 32．（2025·江苏泰州·二模）甲、乙2名学生各自随机选择到A、B、C三家书店中的一家购书． (1)甲学生在B书店购书的概率为________； (2)求甲、乙2名学生在同一书店购书的概率． 题型十一 游戏的公平性 33．（2023九年级上·全国·专题练习）小颖、小明两人做游戏，掷一枚硬币，双方约定：正面朝上小颖胜，反面朝上小明胜，则这个游戏（　　） A．公平 B．对小颖有利 C．对小明有利 D．无法确定 34．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，转盘A中的4个扇形面积相等，转盘B中的6个扇形的面积相等，有人设计了如下游戏规则：甲、乙两人分别任意转动转盘A、B一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的2个数相乘，如果所得的积是偶数，则甲获胜；若所得的积是奇数，则乙获胜． (1)用列表法或树状图求出甲、乙两人分别获胜的概率； (2)当此游戏规则修改为：当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的2个数字相加，如果所得的和是偶数，则甲获胜；若所得的和是奇数，则乙获胜，这样的规则公平吗？通过计算说明理由． 题型十二 概率在转盘抽奖中的应用 35．（江苏盐城·二模）如图，一个转盘被分为了A，B，C三个区域，自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是 ． 36．（江苏无锡·一模）一款游戏的规则如下：如图①为游戏棋盘，从起点到终点共7步；如图②是一个被分成4个大小相等的扇形的转盘，转动转盘，待转盘自动停止后，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止），每次棋子按照指针所指的数字前进相应的步数，若棋子最终能恰好落在终点的视为通过游戏，棋子从起点前进2步到达B，第二次转动转盘指针所指数字为3，…，直到棋子到达终点或超过终点停止． （1）转动转盘一次，求转盘停止后指针指向4的概率； （2）请用列表或画树状图法，求转动转盘两次能通过游戏的概率． 题型十三 概率在比赛中的应用 37．（江苏连云港·一模）在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物，为使课外读物满足同学们的需求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查文化艺术节上，小明参加学校组织的“一站到底”活动，答对最后两道单选题就通关：第一道单选题有A、B、C共3个选项，第二道单选题有A、B、C、D共4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一次“求助”的机会没有用（使用“求助可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）． (1)如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是　　； (2)如果小明决定第一题不使用“求助”，第二题使用“求助”，请用树状图或者列表来分析小明通关的概率； (3)从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”．（直接写出答案） 题型十四 概率的其他应用 38．（九年级上·全国·课后作业）如果身边没有质地均匀的硬币，下列方法可以模拟掷硬币实验的是（　　） A．掷一个瓶盖，盖面朝上代表正面，盖面朝下代表反面 B．掷一枚图钉，钉尖着地代表正面，钉帽着地代表反面 C．掷一枚质地均匀的骰子，奇数点朝上代表正面，偶数点朝上代表反面 D．转动如图所示的转盘，指针指向“红”代表正面，指针指向“蓝”代表反面 39．（江苏扬州·二模）如图，是一个小型花园，阴影部分为一个圆形水池，已知，，，若从天空飘落下一片树叶恰好落入花园里，则落入水池的概率 （填>、<或=）． 40．（九年级上·全国·单元测试）有一个摆地摊的不法摊主，他拿出3个白球，3个黑球，放在一个袋子里（不透明），让人摸球中奖．只要交2元钱就可以从袋中摸出3个球，若摸到的3个球都是白球，就可得10元的回报，请你计算一下摸一次球的平均收益，并估算若1000有名学生每人摸一次，摊主将从同学的身上骗走多少钱？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$