1.1《认识三角形》三角形的高、中线与角平分线（教学课件）2025—2026学年鲁教版（五四制）数学七年级上册

1.1认识三角形 ——三角形的高、中线、角平分线 你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗? 画法 过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗? 画一画 从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D,则AD为边BC上的高 D 三角形高的表示方法 三角形的高 请你画出锐角三角形的所有高 A B C D E F 三角形的高 A B C 请你画出直角三角形的所有高 D 三角形的高 请你画出钝角三角形的所有高 D E F 小结:三角形的高 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 高在三角形内部的数量 高之间是否相交 高所在的直线是否相交 三条高的交点在 三角形的三条高所在直线交于一点 典 例 精 析 AD AE BF 例1 如图所示, (1)在△ABC中,BC边上的高是　　　　;  (2)在△AEC中,CE边上的高是　　　　;  (3)在△BCF中,BC边上的高是　　　　.  针 对 练 习 1.画△ABC的边AB上的高,下列画法中,正确的是(　　) D 2.如图所示，∠CBD=∠E=∠F=90°，则线段　　　是△ABC中BC边上的高.  AE 三角形的中线 如图，用一支笔可以支起一张均匀的三角形卡片。 你知道怎样确定这个点的位置吗？ 不经过尝试，你能直接确定这个点的位置吗？ 什么是三角形的“中线”？ 探究新知 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作这个三角形的中线(median). AE是BC边上的中线. BE=EC 三角形的中线：如图，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线。 几何语言：∵AD是三角形的中线 探究新知 三角形的三条中线的性质 (1)在纸上画出一个锐角三角形，确定它的中线. 你有什么方法？它有多少条中线？它们有怎样的位置关系? 三条中线交于一点 (2)钝角三角形和直角三角形的中线又是怎样的？画一画，并与同伴交流. 探究新知 三角形的三条中线的性质 归纳：三角形的三条中线交于一点 三条中线交于一点 三角形的三条中线全在三角形内，相交于一点。 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。 三角形的中线的特征 三角形角平分线 在一张纸上任意画出一个三角形并剪下，你能通过折纸的方法得到它的一个内角的平分线吗? A B C A D 将它的一个角对折，使其两边重合折痕AD即为三角形的∠A的平分线. 三角形角平分线 实验与探究 (1) 画一个三角形和它的一个角的平分线，这条平分线与该角的对边相交吗? 三角形角平分线 角形一个角的平分线与这个角的对边相交，角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 角平分线 三角形角平分线 如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，且∠BAD ＝ ∠DAC，那么线段AD就是△ABC的一条角平分线. 三角形的角平分线与角的平分线有什么区别与联系？ 不同点：角平分线是一条射线而三角形的的角 平分线是一条线段。 共同点：它们都把一个角平分成两个相等的角。 思考: O B A C B A C D 1 2 三角形角平分线 ∴∠AOC=∠BOC= ∠AOB O B A C ∵OC是∠AOB的角平分线 B A C D 1 2 ∵AD是 △ ABC的 角平分线 ∠1=∠2 = ∠BAC 1 2 三角形角平分线 新 知 小 结 1 2 A B C D 三角形的角平分线的定义: 在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线. 注意:①三角形的中线、角平分线都是一条线段; ②角的平分线是一条射线. ∵如图，AD是△ABC的角平分线, ∴∠1=∠2. 符号语言： 典 例 精 析 解:∵∠B=90°, ∴∠BAC+∠C=90°. ∵AD是△ABC的角平分线, ∴∠BAC=2∠BAD. ∵∠C=4∠BAD, ∴2∠BAD+4∠BAD=90°. ∴∠BAD=∠CAD=15°.所以∠C=60°, 则∠ADC=180°-∠CAD-∠C=180°-15°-60°=105°. 例2 如图所示，在△ABC中,∠B=90°，AD是△ABC的角平分线，且∠C=4∠BAD，求∠ADC的度数. 点击重点 如图,在△ABC中, ∠1=∠2,G为AD中点，延长BG交AC于E，F为AB上一点，CF⊥AD于H，判断下列说法那些是正确的，哪些是错误的. ①AD是△ABE的角平分线 ( ) ②BE是△ABD边AD上的中线 ( ) ③BE是△ABC边AC上的中线 ( ) ④CH是△ACD边AD上的高 ( ) 三角形的高、中线与角平分线都是线段 × × × √ A B C 1 2 D G E H F 2、 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形 1、下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC 的高( ) A D C B A B C D A B C D A B C D (A) (B) (C) (D) B D 3、填空： （1）如图（1），AD，BE，CF是ΔABC的三条中线，则AB=2 ，BD= ,AE= 。 （2）如图（2）， AD，BE，CF是ΔABC的三条角平分线，则∠1= , ∠3= , ∠ACB=2 。 AF CD AC ∠2 ∠ABC ∠4 3.如图，在ΔABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高。填空： （1）BE= = ； （2）∠BAD= = ； （3）∠AFB= =90°； CE BC ∠CAD ∠BAC ∠AFC 随 堂 检 测 A D 2.如图所示,AD⊥BC于点D,那么图中以AD为高的三角形有(　　) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 1.如图所示,D,E分别是△ABC的边AC,BC的中点,则下列说法不正确的是(　　) A.DE是△ABC的中线 B.BD是△ABC的中线 C.AD=DC,BE=EC D.DE是△BCD的中线 中线 角平分线 高 定义 连结三角形的一个顶点与对边中点的线段 三角形的一个内角的平分线与对边相交于一点,顶点与交点之间的线段 从三角形的一个顶点向对边作垂线,顶点与垂足间的线段 图形 表示法 ∵AD是△ABC的中线, ∴BD=CD ∵AD是△ABC的角平分线, ∴∠BAD=∠DAC ∵AD是△ABC的高, ∴AD⊥BC, ∠ADB=∠ADC=90° A B C D A B C D A B C D $$