2.3.1乘方导学案 2024-2025学年人教版（2024）七年级数学上册

《乘方》导学案（学生版） 一、学习目标 1. 理解乘方的意义，能准确说出幂、底数、指数的概念。 2. 掌握有理数乘方的运算方法，会进行有理数的乘方运算。 3. 探究并掌握有理数乘方的符号法则，能运用符号法则快速判断幂的正负性 。 二、学习重难点 1. 重点 乘方的意义，能够将多个相同因数的乘法准确转化为乘方形式。 有理数乘方的运算，熟练计算各种有理数的乘方。 2. 难点 对有理数乘方运算中符号法则的理解和运用，尤其是负数的乘方运算 。 区分乘方运算中的底数和指数，避免因概念混淆导致计算错误。 三、学习过程 1. 趣味导入 问题1：一张纸非常薄，假设它的厚度为0.1毫米 。如果将这张纸对折1次，它的厚度变为多少？对折2次呢？对折3次呢？对折10次呢？请列出算式。 问题2：对折100次呢？这个算式写起来是不是很麻烦？有没有更简便的表示方法呢？今天我们就一起来探究这种简便表示方法——乘方。 2. 知识探究 探究一：乘方的定义 问题1：观察下面的式子：2×2；2×2×2；2×2×2×2。它们有什么共同点？你能仿照这种形式，再写出几个类似的式子吗？ 问题2：为了简便，我们把2×2记作22，读作“2的2次方”（或“2的平方” ）；2×2×2记作23，读作“2的3次方”（或“2的立方” ）；那2×2×2×2记作什么？读作什么？ 归纳：一般地，n个相同的因数a相乘，即a×a×···×a（n个a），记作an ，读作“a的n次方”。求n个相同因数a的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在an中，a叫做底数，n叫做指数。当an看作a的n次方的结果时，也可读作“a的n次幂”。 特别说明：一个数可以看作这个数本身的一次方，如5就是51 ，指数1通常省略不写。 练一练1： 把(-3)×(-3)×(-3)×(-3)写成乘方形式是______ ，底数是______ ，指数是______ ，读作______ 。 （）4表示______ 个______ 相乘，底数是______ ，指数是______ ，读作______ 。 探究二：乘方的运算 问题1：计算23 ，(-2)3 ，03 ，看看结果分别是多少？ 问题2：观察计算结果，思考负数的幂的正负有什么规律？正数的幂呢？0的幂呢？ 归纳：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0 。 练一练2： 计算：34 =______ ；(-1)5 =______ ；(-0.1)2 =______ 。 判断下列幂的正负：(-5)7（ ）；46 （ ）；08（ ）。 3. 例题讲解 例1：计算 (-4)3 （）2 -32 分析： (-4)3表示3个-4相乘，即(-4)×(-4)×(-4)= -64 。 （）2表示2个相乘，即×= 。 -32注意这里的底数是3，不是-3 ，它表示32的相反数，即-(3×3)= -9 。 例2：已知x、y满足(x - 2)2+∣ y + 1∣ = 0 ，求xy的值。 分析：因为任何数的平方和绝对值都是非负数，两个非负数相加等于0，则这两个非负数都为0 。所以x - 2 = 0 ，解得x = 2 ；y + 1 = 0 ，解得y = -1 。那么xy=2-1= 。 4. 课堂练习 把(-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2)写成乘方形式为______ ，底数是______ ，指数是______ ，读作______ 。 计算：(-2)4 =______ ；-24=______ ；（）3 =______ 。 若a2=16 ，则a =______ ；若b3=-27 ，则b =______ 。 已知∣ a∣ = 3 ，b2=4 ，且a< b ，求a + b的值。 5. 课堂小结 这节课我们学习了乘方的定义，乘方是一种特殊的乘法运算，是求n个相同因数a的积的运算，记作an ，其中a是底数，n是指数，结果an叫做幂。 掌握了有理数乘方的运算方法和符号法则，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0 。在计算时要特别注意底数和符号 。 6. 课后作业 教材课后对应习题。 拓展思考：拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条。如果捏合1次后可拉成2根面条，捏合2次后可拉成4根面条，捏合3次后可拉成8根面条……捏合n次后可拉成多少根面条？如果要拉成128根面条，需要捏合几次？ 《乘方》导学案（教师版） 一、学习目标 1. 帮助学生理解乘方的意义，能准确说出幂、底数、指数的概念。 2. 引导学生掌握有理数乘方的运算方法，会进行有理数的乘方运算。 3. 启发学生探究并掌握有理数乘方的符号法则，能运用符号法则快速判断幂的正负性 。 二、学习重难点 1. 重点 乘方的意义，能够将多个相同因数的乘法准确转化为乘方形式。 有理数乘方的运算，熟练计算各种有理数的乘方。 2. 难点 对有理数乘方运算中符号法则的理解和运用，尤其是负数的乘方运算 。 区分乘方运算中的底数和指数，避免因概念混淆导致计算错误。 三、学习过程 1. 趣味导入 问题1：一张纸非常薄，假设它的厚度为0.1毫米 。如果将这张纸对折1次，它的厚度变为多少？对折2次呢？对折3次呢？对折10次呢？请列出算式。 参考答案：对折1次厚度为0.1×2 = 0.2毫米；对折2次厚度为0.1×2×2 = 0.1×2²=0.4毫米；对折3次厚度为0.1×2×2×2 = 0.1×2³=0.8毫米；对折10次厚度为0.1×2¹⁰=102.4毫米。 设计意图：从生活中常见的折纸问题入手，激发学生的学习兴趣，让学生感受到数学与生活的紧密联系，同时引出本节课要学习的乘方概念 。 问题2：对折100次呢？这个算式写起来是不是很麻烦？有没有更简便的表示方法呢？今天我们就一起来探究这种简便表示方法——乘方。 参考答案：对折100次厚度为0.1×2100毫米，2×2×···×2（100个2）写起来确实很麻烦，所以引入乘方来简化表示 。 设计意图：通过提出对折100次的情况，让学生感受到用乘方表示多个相同因数相乘的必要性，从而顺利引入新课 。 2. 知识探究 探究一：乘方的定义 问题1：观察下面的式子：2×2；2×2×2；2×2×2×2。它们有什么共同点？你能仿照这种形式，再写出几个类似的式子吗？ 参考答案：共同点是每个式子中的因数都相同。类似式子如：3×3；3×3×3；4×4×4×4等 。 设计意图：通过观察具体式子，让学生初步感知乘方的特征，即多个相同因数相乘 ，为引出乘方定义做铺垫 。 问题2：为了简便，我们把2×2记作22，读作“2的2次方”（或“2的平方” ）；2×2×2记作23，读作“2的3次方”（或“2的立方” ）；那2×2×2×2记作什么？读作什么？ 参考答案：记作2⁴，读作“2的4次方” 。 设计意图：通过具体例子，让学生理解乘方的表示方法和读法，从而引出乘方的定义 。 归纳：一般地，n个相同的因数a相乘，即a×a×···×a（n个a），记作aⁿ ，读作“a的n次方”。求n个相同因数a的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在aⁿ中，a叫做底数，n叫做指数。当aⁿ看作a的n次方的结果时，也可读作“a的n次幂”。 特别说明：一个数可以看作这个数本身的一次方，如5就是5¹ ，指数1通常省略不写。 设计意图：准确给出乘方的定义、各部分名称及相关说明，让学生对乘方有清晰的认识 。 练一练1： 把(-3)×(-3)×(-3)×(-3)写成乘方形式是______ ，底数是______ ，指数是______ ，读作______ 。 参考答案：(-3)⁴；-3；4；“-3的4次方” 。 （）4表示______ 个______ 相乘，底数是______ ，指数是______ ，读作______ 。 参考答案：4；；；4；“的4次方” 。 设计意图：通过练习，巩固学生对乘方形式的书写、底数和指数的确定以及读法的掌握 。 探究二：乘方的运算 问题1：计算2³ ，(-2)³ ，0³ ，看看结果分别是多少？ 参考答案：2³=2×2×2 = 8；(-2)³=(-2)×(-2)×(-2)= -8；0³=0×0×0 = 0 。 设计意图：通过具体计算，让学生初步感受乘方运算的过程，同时观察不同底数的乘方结果，为探究符号法则做准备 。 问题2：观察计算结果，思考负数的幂的正负有什么规律？正数的幂呢？0的幂呢？ 参考答案：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0 。 设计意图：引导学生通过观察计算结果，自主探究乘方运算的符号法则，培养学生的观察、归纳能力 。 归纳：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0 。 练一练2： 计算：3⁴ =______ ；(-1)⁵ =______ ；(-0.1)² =______ 。 参考答案：3⁴=3×3×3×3 = 81；(-1)⁵=(-1)×(-1)×(-1)×(-1)×(-1)= -1；(-0.1)²=(-0.1)×(-0.1)= 0.01 。 判断下列幂的正负：(-5)⁷ （ ）；4⁶ （ ）；0⁸ （ ）。 参考答案：(-5)⁷为负；4⁶为正；0⁸为0 。 设计意图：通过练习，巩固学生对有理数乘方运算和符号法则的掌握 。 3. 例题讲解 例1：计算 (-4)³ 参考答案：(-4)³=(-4)×(-4)×(-4)= -64 ，这里是3个-4相乘，根据负数的奇次幂是负数得出结果 。 （）2 参考答案：（）2 =×= ，表示2个相乘 。 -3² 参考答案：-3²=-(3×3)= -9 ，这里要注意底数是3，不是-3 ，它表示3²的相反数 。 分析：通过这几个例子，强调乘方运算中底数的确定以及符号法则的运用，让学生注意区分(-a)ⁿ与-aⁿ的不同 。 例2：已知x、y满足(x - 2)²+|y + 1| = 0 ，求xy的值。 参考答案：因为任何数的平方和绝对值都是非负数，两个非负数相加等于0，则这两个非负数都为0 。所以x - 2 = 0 ，解得x = 2 ；y + 1 = 0 ，解得y = -1 。那么xy=2⁻¹= 。 分析：本题是乘方运算与绝对值性质的综合应用。先利用“非负数之和为0，则每一项都为0”这一性质，求出x和y的值。再代入计算xy ，其中2⁻¹是负指数幂，对于七年级学生，可引导其理解为， 这是对乘方概念的拓展应用，同时为后续学习负指数幂埋下伏笔。 设计意图：通过综合例题，培养学生运用所学知识解决综合性问题的能力，加深对乘方运算以及非负数性质的理解和运用 。 4. 课堂练习 把(-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2)写成乘方形式为______ ，底数是______ ，指数是______ ，读作______ 。 参考答案：(-2)⁵； -2；5；“-2的5次方” 设计意图：巩固乘方的书写形式、底数和指数的概念以及读法。 计算：(-2)⁴ =______ ；-2⁴ =______ ；（）3 =______ 。 参考答案：(-2)⁴=(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=16； -2⁴=- (2×2×2×2)= -16； （）3 =××= 设计意图：强化学生对乘方运算的掌握，尤其是区分(-a)ⁿ与-aⁿ ，同时练习分数的乘方运算。 若a²=16 ，则a =______ ；若b³=-27 ，则b =______ 。 参考答案：因为(±4)² = 16，所以a = ±4；因为(-3)³ = -27，所以b = -3 。 设计意图：通过已知乘方结果求底数，加深学生对乘方运算的理解，同时让学生注意正数的平方有两个互为相反数的平方根，而立方根只有一个。 已知|a| = 3 ，b²=4 ，且a < b ，求a + b的值。 参考答案： 因为|a| = 3，所以a = ±3；因为b² = 4，所以b = ±2 。 又因为a < b ，当a = -3时，若b = 2，满足a < b，此时a + b = -3 + 2 = -1；若b = -2，也满足a < b，此时a + b = -3 + (-2)= -5 。 当a = 3时，不满足a < b（舍去）。 所以a + b的值为-1或 -5 。 设计意图：综合绝对值、乘方以及有理数大小比较、有理数加法运算，培养学生分类讨论的数学思想和综合运用知识解决问题的能力 。 5. 课堂小结 内容总结：这节课我们学习了乘方的定义，乘方是一种特殊的乘法运算，是求n个相同因数a的积的运算，记作aⁿ ，其中a是底数，n是指数，结果aⁿ叫做幂。掌握了有理数乘方的运算方法和符号法则，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0 。在计算时要特别注意底数和符号 。 方法归纳：在进行乘方运算时，要先确定底数和指数，再根据符号法则判断结果的正负，最后进行计算。对于类似(-a)ⁿ与-aⁿ ，要仔细区分底数，避免出错。 设计意图：帮助学生梳理本节课的知识要点和方法，形成系统的知识体系，便于学生理解和记忆 。 6. 课后作业 基础作业：教材课后对应习题。 设计意图：通过教材习题，巩固本节课所学的基础知识和基本技能，让学生熟练掌握乘方运算 。 拓展思考：拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条。如果捏合1次后可拉成2根面条，捏合2次后可拉成4根面条，捏合3次后可拉成8根面条……捏合n次后可拉成多少根面条？如果要拉成128根面条，需要捏合几次？ 参考答案： 捏合1次后，面条数量为2¹ = 2根；捏合2次后，面条数量为2² = 4根；捏合3次后，面条数量为2³ = 8根；以此类推，捏合n次后可拉成2ⁿ根面条。 令2ⁿ = 128，因为128 = 2×2×2×2×2×2×2 = 2⁷，所以n = 7，即需要捏合7次 。 设计意图：通过实际生活中的有趣问题，激发学生进一步探究数学的兴趣，培养学生运用乘方知识解决实际问题的能力，提高学生的数学思维 。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$