二 分式 预学检测-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（湘教版2024）

23 典例演练 典例1 (1) 方程两边同乘x(x-1),得3x-2(x-1)= 0,解得x=-2.经检验,x=-2是原分式方程的解. (2) 方程两边同乘2x-1,得2x-5=3(2x-1),解得 x=-12. 经检验,x=-12 是原分式方程的解.(3) 方程 两边同乘x2-4,得2+x(x+2)=x2-4,解得x= -3.经检验,x=-3是原分式方程的解. 典例2 (1) 将x=3代入分式方程,得6+m=3,解得 m=-3.(2) 方程两边同乘x-2,得2x+m=3(x-2), 将x=2代入得4+m=0,即m=-4.所以当m=-4时, 此方程会产生增根. 典例3 (1) 设乙同学骑自行车的速度为x 米/分,则甲 同学的步行速度是1 2x 米/分,公交车的行驶速度是 2x米/分.根据题意,得6001 2x +3000-6002x = 3000 x -2 ,解 得x=300.经检验,x=300是原分式方程的解,且符合题 意.所以乙同学骑自行车的速度为300米/分.(2) 300× 2=600(米). 预学训练 1. B 2. B 3. A 4. C 5. 1 6. 3 7. (1) 方程两边同乘(x-4)(x+1),得2(x+1)=x-4, 解得x=-6.经检验,x=-6是原分式方程的解.(2) 方 程两边同乘x-2,得1-x=-1-2(x-2),解得x= 2.经检验,当x=2时,x-2=0,所以x=2不是原分式方 程的解.所以原分式方程无解.(3) 方程两边同乘(x+ 2)(x-2),得3(x-2)+2=x+2,解得x=3.经检验, x=3是原分式方程的解.(4) 方程两边同乘(x+1)(x- 1),得x(x+1)-(2x-1)=x2-1,解得x=2.经检验, x=2是原分式方程的解. 8. A 9. C 10. D 解析:因为a★b= 1a-b2 ,所以x★(-1)= 1 x-(-1)2 = 1 x-1. 所 以 1 x-1= x 3-3x ,即 1 x-1= - x3(x-1). 方程两边同乘3(x-1),得3=-x.解得 x=-3.经检验,x=-3是原分式方程的解.根据题意, 把x=-3代入到不等式(2-a)x-3>0中,得-3(2- a)-3>0,解得a>3. 11. 根据题意,得 x x+1=2. 方程两边同乘x+1,得x= 2(x+1),解得x=-2.经检验,x=-2是原分式方程的 解.所以x的值为-2. 12. (1) 根据题意,得 1 2x+3- -x x-5=1. 方程两边同乘 (2x+3)(x-5),得x-5+x(2x+3)=(2x+3)(x-5), 解得x=-1011. 经检验,x=-1011 是原分式方程的解. (2) 根据题意,得 1 2x+3- b-x x-5=1. 方程两边同乘(2x+ 3)(x-5),得x-5-(b-x)(2x+3)=(2x+3)(x- 5).整理,得(11-2b)x=3b-10.当11-2b=0,即b= 5.5时,方程无解;当11-2b≠0,2x+3=0或x-5=0, 即x=-1.5或x=5时,方程无解.把x=-1.5代入 (11-2b)x=3b-10,得-1.5(11-2b)=3b-10,此时b 不存在;把x=5代入(11-2b)x=3b-10,得5(11- 2b)=3b-10,解得b=5.综上所述,当a=1时,b的值为 5.5或5,分式方程 a2x+3- b-x x-5=1 无解. 分式方程无解问题 “原分式方程无解”隐含了两种情况,一是求出的 x值是分式方程化成的整式方程的解,但是这个解使 最简公分母的值为0;二是所化成的整式方程无解,所 以原分式方程无解. 分式预学检测 一、 1. C 2. D 3. B 分式有意义常见问题 判断分式是否有意义,要判断其分母是否为0,若 分母有可能为0,则分式在任何数下不一定有意义. 4. B 5. B 6. D 7. B 8. D 9. D 10. A 解析:原分式方程的最简公分母为x(x-2),由 原分式方程有增根,得x(x-2)=0,解得x=0或x= 2.原分式方程两边同乘x(x-2),得5x=a(x-2)+ 4.由此,可知x=2不是这个整式方程的解,所以增根可 能为x=0. 二、 11. x≠2且x≠3 12. -6b 13. 2 5 14. 3 2 解析:因为实数 m,n 满足|m-2|+(n- 2024)2=0,所以|m-2|=0,(n-2024)2=0.所以m- 2=0,n-2024=0,解得m=2,n=2024.所以m-1+ n0=2-1+(2024)0=12+1= 3 2. 15. 12 5 解析:已知 xy x+y=1 ,yz y+z=2 ,zx z+x=3 ,则 x+y xy =1 ,即1 y+ 1 x=1① ;y+z yz = 1 2 ,即1 y+ 1 z = 1 2 ②;z+xzx = 1 3 ,即1 x+ 1 z= 1 3③ ;②-③得到1y- 1 x= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 24 1 6④ ,①-④得到2x= 5 6 ,解得x=125. 16. 4 17. 1416 解析:设甲单独完成任务需要x小时,则乙单 独完成任务需要(x-5)小时.根据题意,得4x= 3 x-5 ,解 得x=20.经检验,x=20是原分式方程的解.所以x- 5=15.所以甲单独完成任务需要20小时,乙单独完成任 务需要15小时.所以甲、乙的工作效率分别是120 ,1 15. 因 为丙的工作效率是甲工作效率的2倍,所以丙的工作效率 是1 10. 所以甲、乙、丙三人各工作1小时可完成的工作量 为1 20+ 1 15+ 1 10= 13 60. 所以4轮后,剩余的工作量为1- 13 60×4= 2 15. 所以甲、乙分别再工作1小时后,丙需要完成 的工作量为2 15- 1 20- 1 15= 1 60. 所以丙还需要工作1 60÷ 1 10= 1 6 (时).所以一共需要3×4+1+1+16=14 1 6 (时). 18. -5 解析:由新定义运算法则可知:(x-1)※(x+ 2)=x-1+x+2-6(x-1)(x+2)= 2x-5 (x-1)(x+2) ,因 为 A x-1+ B x+2= A(x+2)+B(x-1) (x-1)(x+2) = (A+B)x+2A-B (x-1)(x+2) ,所以 2A-B=-5. 三、 19. (1) 方程两边同乘x-1,得2-x-2=x-1,解 得x=12. 经检验,x=12 是原分式方程的解.(2) 方程两 边同乘(x+2)(x-2),得x2+2x-x2+4=3,解得 x=-12. 经检验,x=-12 是原分式方程的解. 20. (1) 8 3. (2) 根据题意,得|2-(-1)2|-1x+1=1 ,解 得x=1.经检验,x=1是原分式方程的解.所以x的值为 1.(3) 嘉嘉输入的第二个数为“0”,导致1b 没有意义,所以 屏幕显示“这个程序无法运行”. 21. 设学校九年级学生有x人.根据题意,得3600x ×50= 3600 x+60×60 ,解得x=300.经检验,x=300是原分式方程 的解,且符合题意.所以学校九年级学生有300人. 22. 原分式方程可化为x-1 x+2- x+2 x-1=0. 设y= x-1 x+2 ,则 原分式方程转化为y- 1 y=0. 方程两边同乘y,得y2- 1=0,解得y=±1.经检验,y=±1是方程y- 1 y=0 的 解.当y=1时,即 x-1 x+2=1 ,无解;当y=-1时,即 x-1 x+2=-1 ,解得x=-12. 经检验,x=-12 是原分式方 程的解.综上所述,原分式方程的解为x=-12. 23. (1) A =a 2-4 a-1 × a-1 (a-2)2 = (a+2)(a-2) a-1 × a-1 (a-2)2= a+2 a-2. (2) 变小了.理由:因为A=a+2a-2 ,A 化 简结果的分子与分母同时加上3后得到式子B,所以B= a+5 a+1. 所 以 A - B = a+2a-2 - a+5 a+1 = (a+2)(a+1)-(a+5)(a-2) (a-2)(a+1) = a2+3a+2-(a2+3a-10) (a-2)(a+1) = 12 (a-2)(a+1). 因为a>2, 所以A-B>0.所以A>B.所以式子B 的值与原来式子 A 的值相比,变小了.(3) A=a+2a-2=1+ 4 a-2. 因为A 的 值是整数,a也是整数,所以a-2=±1或a-2=±2或 a-2=±4.所以a的值为3或1或4或0或6或-2.因 为a=1时,分式A 没有意义,所以所有符合条件的a的 值为3,4,0,6,-2. 24. (1) 设A型号充电桩的单价是x万元,则B型号充电 桩的单价是(x+0.3)万元.根据题意,得18x= 24 x+0.3 ,解 得x=0.9.经检验,x=0.9是原分式方程的解,且符合题 意.所以x+0.3=1.2.所以 A型号充电桩的单价是 0.9万元,B型号充电桩的单价是1.2万元.(2) 设购买 A型号充电桩m 个,则购买B型号充电桩(25-m)个.根 据题意,得 0.9m+1.2(25-m)≤26, 25-m≥12m , 解得403≤m≤503.因 为m 为整数,所以m 的值为14或15或16.所以共有 3种购买方案,分别为方案一:购买14个A型号充电桩、 11个B型号充电桩,总费用为14×0.9+11×1.2= 25.8(万元);方案二:购买15个A型号充电桩、10个B型 号充电桩,总费用为15×0.9+10×1.2=25.5(万元);方 案三:购买16个A型号充电桩、9个B型号充电桩,总费 用为16×0.9+9×1.2=25.2(万元).因为25.2<25.5< 25.8,所以方案三所需的总费用最少. 方案设计问题的解决技巧 解决实际问题中的方案设计问题,要先根据题意 确定基础量,然后结合各种方案要求进行计算,通过对 比数据间的关系,做出决定. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 80 分式预学检测 (满分:100分 时间:90分钟) 一、 选择题(每题3分,共30分) 1. 下列代数式中,是分式的为 ( ) A. 1 2 B. x+1 2 C. 2 x+1 D. x-1 2. (河北中考)若a≠b,则下列分式化简正确 的为 ( ) A. a+2 b+2= a b B. a-2 b-2= a b C. a2 b2= a b D. 1 2a 1 2b =ab 3. ★无论x 取何值,下列式子中,一定有意义 的是 ( ) A. 2x-4 x+1B. x2-1 x2+1C. x2+1 x3+1D. |x|+1 |x|-1 答案讲解 4. (威海中考)中国科学技术大学中国 科学院量子创新研究院与上海微系 统所、国家并行计算机工程技术研 究中心合作,成功构建了255个光子的量子 计算原型机“九章三号”,再度刷新了光量子 信息的技术水平和量子计算优越性的世界 纪录.“九章三号”处理高斯玻色取样的速度 比上一代“九章二号”提升了一百万倍,在百 万分之一秒时间内所处理的最高复杂度的 样本,需要当前最强的超级计算机花费超过 二百亿年的时间.将“百万分之一”用科学记 数法表示为 ( ) A. 1×10-5 B. 1×10-6 C. 1×10-7 D. 1×10-8 5. 若4-☆ x-2 表示一个最简分式,则“☆”可能是 ( ) A. 4 B. x C. 2x D. x2 6. (赤峰中考)化简 4 x+2+x-2 的结果是( ) A. 1 B. x2 x2-4 C. x x+2 D. x2 x+2 7. 计算a÷b×1b÷c 的结果为 ( ) A. a c B. a b2c C. ac D. ac b2 8. (云南中考)阅读,正如一束阳光.孩子们无 论在哪儿,都可以感受到阳光的照耀,都可 以通过阅读触及更广阔的世界.某区向全区 中小学生推出“童心读书会”的分享活动. 甲、乙两名同学分别从距离活动地点800米 和400米的两地同时出发,参加分享活动. 甲同学的速度是乙同学速度的1.2倍,乙同 学比甲同学提前4分钟到达活动地点.若设 乙同学的速度是x米/分,则下列方程中,正 确的是 ( ) A. x 800- 1.2x 400=4 B. 1.2x 800- x 400=4 C. 400 1.2x- 800 x =4 D. 800 1.2x- 400 x =4 9. (宜昌中考)某校学生去距离学校12km的 博物馆参观,一部分学生骑自行车先走,过 了20min后,其余学生乘汽车出发,结果他 们同时到达.已知汽车的行驶速度是学生骑 行速度的2倍,则汽车的行驶速度是 ( ) A. 0.2km/min B. 0.3km/min C. 0.4km/min D. 0.6km/min 10. 若分式方程 5 x-2= a x+ 4 x(x-2) 有增根, 则增根可能为 ( ) A. x=0 B. x=2 C. x=0或x=2 D. x=1 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)七年级 拍 照 批 改 81 二、 填空题(每题3分,共24分) 11. 若(2x-4)0-2(x-3)-1 有意义,则x 的 取值范围是 . 12. 计算:3b 2 4a3 -2 × -32a -2b 3= . 13. 若a b= 2 3 ,则 a a+b= . 14. 若实数m,n满足|m-2|+(n-2024)2= 0,则m-1+n0= . 15. 已知 xy x+y=1 ,yz y+z=2 ,zx z+x=3 ,则x 的 值为 . 16. 若关于x的方程mx+1x =8 的解为x=14 , 则m= . 17. 甲、乙、丙三名打字员承担一项打字任务, 已知甲单独完成任务所需的时间比乙单独 完成任务所需的时间多5小时,甲4小时完 成的工作量与乙3小时完成的工作量相 当,丙的工作效率是甲工作效率的2倍.若 每小时只安排一名打字员,则按照甲→ 乙→丙 的 顺 序 至 完 成 任 务,一 共 需 要 小时. 18. 对于代数式m,n,定义运算“※”:m※n= m+n-6 mn (mn≠0),例如:4※2=4+2-64×2 = 0,若(x-1)※(x+2)= Ax-1+ B x+2 ,则 2A-B= . 三、 解答题(共46分) 19. (6分)解分式方程: (1) 2 x-1- x+2 x-1=1 ; (2) x x-2-1= 3 x2-4. 答案讲解 20. (6分)琪琪在计算机中设置了一 个有理数的运算程序:依次输入数 “a”,符号“★”,数“b”,就可以得到 运算a★b=|2-a2|-1b+1 ,如:1★2= |2-12|-12+1= 3 2. (1) (-2)★3= ; (2) 琪琪依次输入数“-1”,符号“★”,数 “x”,计算机输出的数为1,求x的值; (3) 嘉嘉运行琪琪设置的程序时,屏幕显示 “这个程序无法运行”,你能说出嘉嘉在什 么地方出现问题了吗? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 82 21. (8分)(泰安中考)为进行某项数学综合与 实践活动,小明到一家批发兼零售的商店 购买某工具.这家商店规定一次性购买该 工具达到一定数量后可以按批发价付款, 否则按零售价付款.如果小明给学校九年 级的学生每人购买一个工具,那么只能按 零售价付款,需付3600元;如果多购买 60个,那么可以按批发价付款,同样需付 3600元.已知按批发价购买60个与按零 售价购买50个所付的钱同样多,求学校九 年级学生的人数. 答案讲解 22. (8分)阅读材料,解答问题. 解分式方程:x-1 x - 4x x-1=0. 解:设y= x-1 x ,则原分式方程转化为y- 4 y=0. 方程两边同乘y,得y2-4=0,解得y= ±2.经检验,y=±2是方程y- 4 y=0 的 解.当y=2时,即 x-1 x =2 ,解得x=-1; 当y=-2时,即 x-1 x =-2 ,解得x=13. 经检验,x=-1或x=13 是原分式方程的 解.综上所述,原分式方程的解为x=-1 或x=13. 上述这种解分式方程的方法叫作 换元法. 请根据上述换元法解分式方程:x-1 x+2- 3 x-1-1=0. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)七年级 83 23. (8分)已知式子 A= a+1- 3a-1 ÷ a2-4a+4 a-1 . (1) 化简式子A. (2) 把式子A 化简结果的分子与分母同时 加上3,得到式子B.当a>2时,式子B 的 值与原来式子A 的值相比,变大了还是变 小了? 请判断并说明理由. (3) 若式子A 的值是整数,a也是整数,求 出所有符合条件的a的值. 24. ★(10分)(济宁中考)为加快公共区域充电 基础设施的建设,某停车场计划购买A,B 两种型号的充电桩.已知A型号充电桩比 B型号充电桩的单价少0.3万元,且用 18万元购买A型号充电桩与用24万元购 买B型号充电桩的数量相等. (1) A,B两种型号的充电桩的单价各是多 少万元? (2) 该停车场计划共购买25个A,B两种 型号的充电桩,购买总费用不超过26万 元,且B型号充电桩的购买数量不少于A 型号充电桩购买数量的1 2 ,共有哪几种购买 方案? 哪种方案所需的总费用最少? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备