二 3 分式的乘法和除法-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（湘教版2024）

71 3　分式的乘法和除法 1. 分式乘分式,把 、 . 即f g ·u v= . 2. 分 式 除 以 分 式,把 除 式 的 分 子、分 母 位置后,与被除式相乘.即如果 u≠0,那么fg÷ u v= = . 3. 分式运算的最后结果要化为 . 4. 分式的乘方就是把分子、分母各自 . 用式子表示:f g n = (n 为任意正 整数). 5. 分式的乘方、乘除混合运算,应根据分式混 合运算顺序先算 ,再进行 运算.要注意先确定运算结果的符号,乘除 同级运算的顺序是 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 计算: (1) (教材P38例1变式)a 3b 2cd2 ·-c 2d a2b3 ; (2) (x2-x)· x-1x2-2x+1 ; (3) 4x-2x2 x+2 · x 2+2x x2-4x+4. (1) 积的分子与分母的公因式为a2bcd, 只要约去这个公因式即可.(2) 可把算式中的 整式看作分母是1的分式,然后利用乘法法则 计算.(3) 把分式中的多项式分解因式,可以看 出积的分子、分母的公因式为(x+2)(x-2), 据此进行约分即可. 解答: 解有所悟:在分式的乘法运算中:(1) 当分式的分 子、分母是单项式时,可先约分,再进行乘法运算; (2) 当分式与整式相乘时,可以先将整式看作分母 是1的分式,再根据乘法法则计算;(3) 当分式的分 子、分母是多项式时,要先对分子、分母进行因式分 解,再利用分式的乘法法则运算. 典例2 计算: (1) xy2 2z2÷ -3x2y2 4az2 ; (2) (a-1)2 a-3 ÷ (a-1); (3) (教材P39例5变式) x 2-9y2 x2+6xy+9y2 ÷ x+3y 3x2+9xy . (1) 根据除法法则把除式的分子、分母颠 倒位置后,再与被除式相乘.(2) 可先把除式中 的整式看作分母是1的分式,然后利用除法法 则运算.(3) 先将分子、分母中的多项式分解因 式,然后利用除法法则运算. 解答: 解有所悟:(1) 分式的分子、分母都是多项式时,要 先分解因式并约分,再进行分式的除法运算;(2) 若 除式或被除式为整式,则可以先将整式看作分母是 1的分式,然后根据分式的除法法则运算. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 72 典例3 化简 a 2-3a a2-6a+9+ 2 3-a ÷a-2a2-9,并从 2,3,4,5这四个数中选取一个合适的数作为a 的值代入求值. 先根据分式混合运算顺序和运算法则化 简原式,再选取使分式有意义的a 的值代入求 值即可. 解答: 解有所悟:对于化简后求值类的题目,选值时应注 意两点:一是原分母不能为零;二是除式不能为零, 即解题过程中的每一个分式都要有意义. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. 计算a bc ·c 2 a2 的结果是 ( ) A. c2 a2b B. c ab C. c2 ab D. a2 bc 2. 化简x3÷x 3 y 2 的结果是 ( ) A. x6 y2 B. x3y2 C. y2 x3 D. x2y6 3. 若 □ x+y÷ x y2-x2 的结果为整式,则“□”表 示的式子可能为 ( ) A. y-x B. y+x C. 1 x D. 3x 4. 化简x3·y 3 x 2 的结果是 ( ) A. xy6 B. xy5 C. x2y5 D. x2y 5. 若M÷xy+y 2 (x-y)2 =x 2-y2 y ,则M 是 ( ) A. (x-y)3 y2 B. (x+y)2 x-y C. x+y y D. y3 (x-y)3 6. 若x-1 x+2÷ x-1 x 有意义,则x 的取值范围是 . 7. 若x 等于它的倒数,则2x+4x2 ·3x-6 x2-4 的值 是 . 8. 计算: (1) x2 y÷ -y2 x · y -x 2 ; (2) 2-m m+2÷ m2-4m+4 m2-4 ; (3) ★a2-3a a2+a÷ a-3 a2-1 ·a+1 a-1. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)七年级 73 9. 先化简,再求值: (1) 2x+y x2-2xy+y2 ·(x-y),x,y 满足x- 3y=0; (2) a2+b2+2ab ab ÷ a2-b2 a-b ,其中a=2,b= -12. [综合提升] 10. ★下列式子的结果,与1 a3 相等的是 ( ) A. a÷ 1a2 ·a2 B. a÷ 1a2÷a2 C. a÷1a ·a2 D. a·1a2÷a 2 11. 关于式子x 2+2x+1 x2-1 ÷ x x-1 ,下列说法中正 确的是 ( ) A. 当x=1时,其值为2 B. 当x=-1时,其值为0 C. 当-1<x<0时,其值为正数 D. 当x<-1时,其值为正数 12. 算式 x-2 x2-4x+4÷ 1 x+6 的值为F(x 取整 数),则F 可以取到的整数值有 ( ) A. 0个 B. 7个 C. 8个 D. 无数个 答案讲解 13. ★化 简 x 2-6x+9 x-2 ÷ x+2- 5 x-2 ,并从0,1,2,3中选取一个 合适的数作为x的值代入求值. 答案讲解 14. 许老师讲完了分式的乘除后,给同 学们出了这样一道题:若 x= -2024,求 代 数 式 x 2-4 x2+x+1÷ x2-2x x3+x2+x · 1 x+2 的值.琪琪说:“老师,这 道题中的x=-2024是多余的条件.”请你 判断琪琪的说法是否正确,并说明理由. 15. 甲、乙两支工程队合修一条公路,甲工程队 每天修(a2-4)m,乙工程队每天修(a- 2)2m,则甲工程队修900m所用的时间是 乙工程队修600m所用的时间的多少倍? (a>2,用含a的代数式表示) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 21 13. (1) 原 式 =a (a-1) (a-1)2 - a+1 a = a a-1- a+1 a = a2 a(a-1)- (a+1)(a-1) a(a-1) = a2-a2+1 a(a-1)= 1 a2-a. 当a= 1 2 时,原 式 = 11 2 2 -12 = -4.(2) 原 式 = (x-2)2 (x+2)(x-2)+ x-2 x(x+2)+2= x(x-2) x(x+2)+ x-2 x(x+2)+ 2x(x+2) x(x+2)= x2-2x+x-2+2x2+4x x(x+2) = 3x2+3x-2 x2+2x . 当 x=1时,原式=3×1 2+3×1-2 12+2×1 = 4 3. 14. (1) 甲 采 购 员 两 次 购 买 饲 料 的 平 均 单 价 是 1000m+1000n 1000+1000 = m+n 2 (元/千克),乙采购员两次购买饲 料的平均单价是800+800 800 m + 800 n =2mnm+n (元/千克).(2) 甲、乙 两名采购员两次购买饲料的平均单价相差m+n 2 - 2mn m+n= (m-n)2 2(m+n) (元/千克).因为m≠n,所以(m-n)2> 0.因为m+n>0,所以2(m+n)>0.所以 (m-n)2 2(m+n)> 0.所以m+n2 > 2mn m+n. 所以乙采购员的购买方式比较 划算. 3 分式的乘法和除法 知识梳理 1. 分子乘分子 分母乘分母 f ·u g·v 2. 颠倒 fg ·v u f·v g·u 3. 最简分式 4. 乘方 f n gn 5. 乘方 乘除 从 左至右 典例演练 典例1 (1) 原式=-a 3b 2cd2 ·c 2d a2b3=- ac 2b2d. (2) 原式= (x2-x)·(x-1) (x-1)2 = x·(x-1)2 (x-1)2 =x. (3) 原 式 = -2x (x-2)·x·(x+2) (x+2)(x-2)2 =- 2x2 x-2. 典例2 (1) 原式=xy 2 2z2 · 4az 2 -3x2y2 =-4axy 2z2 6x2y2z2 = -2a3x. (2) 原式= (a-1)2 a-3 ÷ a-1 1 = (a-1)2 a-3 · 1 a-1= a-1 a-3. (3) 原 式 = (x-3y)(x+3y) (x+3y)2 ÷ x+3y3x(x+3y)= x-3y x+3y ·3x 1= 3x2-9xy x+3y . 典例3 原式= a (a-3) (a-3)2- 2 a-3 ÷ a-2(a+3)(a-3)= a a-3- 2 a-3 · (a+3)(a-3)a-2 = a-2a-3 · (a+3)(a-3) a-2 =a+3. 因为a2-6a+9=(a-3)2≠0, 3-a≠0,a2-9=(a+3)(a-3)≠0,a-2≠0,所以 a≠-3,2,3.所以a取4或5时,分式有意义.当a=4时, 原式=4+3=7.(或当a=5时,原式=5+3=8) 预学训练 1. B 2. C 3. D 4. A 5. B 6. x≠-2且x≠0且x≠1 解析:因为x-1x+2÷ x-1 x = x-1 x+2 · x x-1 ,所以x+2≠0,x≠0,x-1≠0.所以x的取 值范围是x≠-2且x≠0且x≠1. 7. 6 8. (1) 原式=x 2 y · -x y2 ·y 2 x2=- x y . (2) 原式= 2-m m+2 · (m-2)(m+2)(m-2)2 = -(m-2) m+2 ·m+2 m-2= -1. (3) 原式=a (a-3) a(a+1) ·(a-1)(a+1) a-3 ·a+1 a-1=a+1. 分式的乘除混合运算的一般顺序 (1) 进行分式的乘除混合运算的步骤与分数的乘 除混合运算一样,即按从左到右的顺序进行;(2) 将除 法转化为乘法后,在运算过程中,可以先约分,再相乘, 以简化运算. 9. (1) 原式=2x+y(x-y)2 ·(x-y)= 2x+y x-y . 因为x-3y= 0,即x=3y,所以原式= 6y+y 3y-y= 7y 2y= 7 2. (2) 原式= a2+b2+2ab ab · a-b(a+b)(a-b)= (a+b)2 ab · 1 a+b = a+b ab . 当a=2,b=-12 时,原式= 2-12 2× -12 =-32. 10. D 解析: a÷ 1a2 ·a2 =a÷1=a,故A不符合题 意;a÷ 1a2÷a 2 =a÷1a4=a·a4=a5,故B不符合题 意;a÷1a ·a2=a·a·a2=a4,故C不符合题意;a· 1 a2÷a 2=1a ·1 a2= 1 a3 ,故D符合题意. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 22 分式乘除法中的常见问题 进行分式的乘除混合运算时,要先将算式中的除 式的分子分母颠倒位置或理解成除以一个不为0的数 等于乘这个数的倒数,将其统一成乘法,再计算结果. 切记运算顺序不能颠倒. 11. D 12. B 解析: x-2 x2-4x+4÷ 1 x+6= x-2 (x-2)2 ·(x+6)= x+6 x-2=1+ 8 x-2. 因为算式 x-2 x2-4x+4÷ 1 x+6 的值为F, 所以F=1+ 8x-2 (x≠2且x≠-6).因为F 为整数,所 以 8 x-2 为整数.所以当x-2=±1,±2,±4,±8,即当 x=3,1,4,0,6,-2,10,-6时,1+ 8x-2 的值为整数.因 为x≠-6,所以当x=3,1,4,0,6,-2,10时,F 为整 数.所以F 可以取到的整数值有7个. 13. x2-6x+9 x-2 ÷ x+2- 5 x-2 = (x-3) 2 x-2 ÷ x2-4 x-2- 5 x-2 = (x-3) 2 x-2 ÷ x2-9 x-2 = (x-3)2 x-2 · x-2 (x+3)(x-3)= x-3 x+3. 因为x-2≠0,(x+3)(x-3)≠ 0,则x≠2且x≠±3,所以x可取0或1.当x=0时,原 式=-33 =-1. 或当x=1时,原式=1-31+3=-12 忽视使式子有意义的条件致错 分式的化简求值运算中,若仅仅考虑问题中提供 的条件,而忽视分式本身所隐含的条件,则易导致所确 定的字母的值使原式没有意义. 14. 正确.理由:因为 x 2-4 x2+x+1÷ x2-2x x3+x2+x · 1 x+2= (x+2)(x-2) x2+x+1 ·x(x 2+x+1) x(x-2) · 1 x+2=1 ,即不论x 取 何值(分式有意义),代数式的值都是1,所以琪琪的说法 是正确的. 15. 甲工程队修900m所用的时间为 900a2-4 天,乙工程队 修600m所用的时间为 600(a-2)2 天.根据题意,得 900a2-4÷ 600 (a-2)2= 900 (a+2)(a-2) ·(a-2) 2 600 = 3a-6 2a+4. 所以甲工 程队修900m所用的时间是乙工程队修600m所用的时 间的3a-6 2a+4 倍. 4 整数指数幂 知识梳理 1. 不变 相减 am-n 2. 1 1 3. 1 an 1 a n 1a 4. 0.00…0︸ n 个 0 1=10-n 5. (1) am+n (2) amn (3) anbn (4) an bn 典例演练 典例1 (1) a4÷a=a4-1=a3.(2) -15a 5 ÷ -15a 2 = -15a 5-2 = -15a 3 = -15 3 · a3 = - 1125a 3.(3) (x2y)k+2 ÷ (x2y)k-1 = (x2y)k+2-(k-1)=(x2y)3=x6y3.(4) m7÷m3÷m2= m7-3-2=m2. 典例2 8 典例3 (1) 1 (2) 1 (3) 1 8 (4) 3 (5) -18 (6) 8 27 典例4 B 预学训练 1. A 2. B 3. B 4. B 5. B 6. 4 7. b<a<d<c 解析:因为a=3-2=19 ,b=-32=-9, c= -12 -2 =4,d= -13 0 =1,-9<19<1<4 ,所 以它们的大小关系是b<a<d<c. 8. (1) 原式=-418. (2) 原式=9.(3) 原式=8.(4) 原 式=1324. 9. C 10. D 解析:因为(x-4)0-(2x-6)-2 有意义,所以 x-4≠0, 2x-6≠0, 解得x≠4且x≠3. 11. 3 12. 1 81 解析:因为3m=127 ,2-n=16,所以3m=3-3, 2-n=24.所以m=-3,-n=4.所以n=-4.所以mn= (-3)-4= 1(-3)4= 1 81. 13. (1) 原式=107.(2) 原式=102n+4. 5 可化为一元一次方程的分式方程 知识梳理 1. 未知数 2. 最简公分母 3. 等量关系 方程 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈