二 2 分式的加法和减法-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（湘教版2024）

68 2　分式的加法和减法 1. 同分母的分式加减,分母 ,把分子 相 .用式子表示:fg± h g= . 2. (1) 分式运算的最后结果要化成 或 整式;(2) 同分母分式的加减法满足交换律 和 . 3. 把几个异分母的分式化成同分母的分式的 过程,叫作分式的 . 4. 最简公分母:各分母的所有因式的 次幂的积.最简公分母的系数,取各个分母 的系数的 ;字母及式子取各 分母中所有字母和式子的 次幂. 5. 异分母的分式相加(减),先 ,然后 相加(减). 6. 多项式f与分式相加(减),用 与分 式相加(减). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1(教材P31例1~2变式)计算: (1) a a2-b2- 3a+2b a2-b2 ; (2) m+2n n-m + n m-n- 2m n-m. (1) 两个分式的分母相同,分母不变,分子 相减;(2) m-n可转化为-(n-m),则 nm-n= - nn-m ,从而把原式转化为同分母的分式后进 行加减运算. 解答: 解有所悟:(1) 对于分子是多项式的分式,进行加减 运算时,分子要添括号,以避免符号出错.(2) 当分 式的分母互为相反数时,可先将其中一个分式的分 母提出负号后转化为同分母的分式,再计算. (3) 将分式运算的结果化为最简分式或整式. 典例2 计算: (1) c2 ab+ a2 bc ;(2) a a-2- a a+2 ; (3) (教材P35例8变式)1x+1+x-1 ; (4) m m-n- n m+n+ 2mn m2-n2. (1)最简公分母是abc;(2)(3)(4)先确定 最简公分母并将各式通分,再加减. 解答: 解有所悟:在异分母分式的加减运算中,通分是关 键.通过通分达到“化异(分母)为同(分母)”的目 的;若一个分式和一个整式相加减,则可以把整式 看作分母是1的分式. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)七年级 拍 照 批 改 69 [基础过关] 1. 计算 4a 2a-b- 2b 2a-b 的结果为 ( ) A. 2 B. 2a-b C. 2 2a-b D. a-b 2a-b 2. 化简 2 x2-2x- 1 x-2 的结果是 ( ) A. -1x B. 1 x C. - 1x-2 D. 1 x-2 3. 若x 是非负整数,则表示 2xx+2- x2-4 (x+2)2 的值的对应点落在如图所示的数轴上的范 围是 ( ) 第3题 A. ① B. ② C. ③ D. ①或② 4. 计算: (1) a a-3- 3 a-3= ; (2) ma a+b+ mb a+b= ; (3) x2+xy xy + xy-x2 xy = . 5. 计算: (1) 3 2x- 1 x ; (2) a-1 a+1+ 4a a2-1 ; (3) 3m-n (m-n)2- m+n (n-m)2. [综合提升] 6. 化简x+2 x2-4- x2-2x x2-4x+4 的结果是 ( ) A. 1-x x-2 B. x-1 x-2 C. x x-2 D. 1 x-2 7. 若x=-1,y=2,则 2x x2-64y2 - 1x-8y 的 值为 ( ) A. -117 B. 1 17 C. 1 16 D. 1 15 8. 若常数M,N 满足3a-1a2-1= M a-1+ N a+1 ,则 M2-N2的值为 ( ) A. -3 B. -2 C. 2 D. 3 9. 计算 2x x2-9- 1 x-3 的结果是 . 10. 已知a+b=3,ab=-4,则ba+ a b 的值为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 70 11. (衡阳中考)已知x=5,则代数式 3x-4- 24 x2-16 的值为 . 12. 某公司购买甲、乙两种商品各花了6000元,其 中甲商品平均每件a 元,乙商品平均每件 的钱数是甲商品平均每件钱数的2倍,则 乙 商 品 的 件 数 比 甲 商 品 的 件 数 少 .(用最简分式表示) 13. 先化简,再求值: (1) a2-a (a-1)2- a+1 a ,其中a=12 ; (2) x2-4x+4 x2-4 + x-2 x2+2x+2 ,其中x=1. 答案讲解 14. 甲、乙两名采购员去同一家饲料公 司分别购买了两次饲料,第一次单 价为 m 元/千克,第二次单价为 n元/千克,且m≠n,两名采购员的购买方 式不同,甲采购员每次购买饲料1000千 克,乙采购员每次购买800元的饲料. (1) 甲、乙两名采购员两次购买饲料的平均 单价各是多少? (2) 谁的购买方式比较划算? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)七年级 20 7=0,解得x=-73. 所以当x=-73 时,分式5x-4 3x+7 没有 意义.(3) 根据题意,得① x-2<0, 3-4x>0 或② x-2>0 , 3-4x<0. 解 不等式组①,得x<34 ;解不等式组②,得x>2.所以当 x<34 或x>2时,分式x-23-4x 的值是负数. 根据分式的值为负数确定字母的取值范围时, 因考虑不全面而出错 若分式的值为负数,则分子、分母异号.具体有两 种情况:① 分子的值大于0,分母的值小于0;② 分子 的值小于0,分母的值大于0. 9. (1) mn+n2 m2-n2= n(m+n) (m+n)(m-n)= n m-n. 当m=3,n= 4 时,原 式 = 43-4 = - 4. (2) x2-4 x2+4x+4 = (x+2)(x-2) (x+2)2 = x-2 x+2. 当x=3时,原式=3-23+2= 1 5. 10. D 11. C 12. A 解析:因为x2+1>0,所以当分式x 2+1 2x-5 的值为 负数时,2x-5<0,解得x<52. 所以x 可以取比52 小 的数. 13. C 解析:因为当x=2时,分式的值为0,所以2-b= 0,解得b=2.因为当x=-2时,分式没有意义,所以 -4+a=0,解得a=4.所以a+b=6. 14. (1) 原式=2x+10y2x-5y. (2) 原式=4x+3y6x-4y. 15. 甲同学的解法正确,乙同学的解法错误.理由:因为分 式a 2-b2 a+b 已隐含条件a+b≠0,所以可用分式的基本性 质,将分式的分子和分母同时约去a+b.因为a-b不是 分式的分母中所含有的,即无法确定a-b是否为0,所以 不能用分式的基本性质,将分式的分子、分母都乘a-b, 再约去a2-b2. 分式的基本性质应用的常见错误 运用分式的基本性质时,一定要注意分式的分子、 分母同乘或除以一个不等于0的整式. 2 分式的加法和减法 知识梳理 1. 不变 加减 f±hg 2. (1) 最简分式 (2) 结合律 3. 通分 4. 最高 最小公倍数 最高 5. 通分 6. f 1 典例演练 典例1 (1) 原式=a- (3a+2b) a2-b2 = -2(a+b) (a+b)(a-b)= - 2a-b. (2) 原 式 = m+2nn-m - n n-m - 2m n-m = m+2n-n-2m n-m = n-m n-m=1. 典例2 (1) 原式=c 3 abc+ a3 abc= c3+a3 abc . (2) 原式= a(a+2) (a+2)(a-2)- a(a-2) (a+2)(a-2)= 4a a2-4. (3) 原 式= 1 x+1+ x-1 1 = 1 x+1+ (x-1)(x+1) x+1 = x2 x+1. (4) 原 式 = m (m+n) (m-n)(m+n) - n(m-n) (m-n)(m+n) + 2mn (m-n)(m+n) = m2+2mn+n2 (m-n)(m+n) = (m+n)2 (m-n)(m+n)= m+n m-n. 预学训练 1. A 2. A 3. B 解析:原式= 2xx+2- (x+2)(x-2) (x+2)2 = 2x x+2- x-2 x+2= 2x-(x-2) x+2 = 2x-x+2 x+2 = x+2 x+2 =1.所以表示 2x x+2- x2-4 (x+2)2 的值的对应点落在如题图所示的数轴上 的范围是②. 4. (1) 1 (2) m (3) 2 5. (1) 原 式 = 32x - 2 2x = 12x. (2) 原 式 = (a-1)2 (a-1)(a+1)+ 4a (a-1)(a+1) =a 2-2a+1+4a (a-1)(a+1)= (a+1)2 (a-1)(a+1) =a+1a-1. (3) 原 式 = 3m-n(m-n)2 - m+n (m-n)2 = (3m-n)-(m+n) (m-n)2 = 2m-2n (m-n)2 = 2m-n. 6. A 7. D 8. A 解 析:因 为 Ma-1+ N a+1= M(a+1) (a+1)(a-1)+ N(a-1) (a+1)(a-1) = Ma+M+Na-N a2-1 = (M+N)a+(M-N) a2-1 ,所以 M+N=3①, M-N=-1②. ①+②,得 M=1,把M=1代入①,得N=2,所以M2-N2=12- 22=1-4=-3. 9. 1 x+3 10. -174 11. 1 3 12. 3000 a 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 21 13. (1) 原 式 =a (a-1) (a-1)2 - a+1 a = a a-1- a+1 a = a2 a(a-1)- (a+1)(a-1) a(a-1) = a2-a2+1 a(a-1)= 1 a2-a. 当a= 1 2 时,原 式 = 11 2 2 -12 = -4.(2) 原 式 = (x-2)2 (x+2)(x-2)+ x-2 x(x+2)+2= x(x-2) x(x+2)+ x-2 x(x+2)+ 2x(x+2) x(x+2)= x2-2x+x-2+2x2+4x x(x+2) = 3x2+3x-2 x2+2x . 当 x=1时,原式=3×1 2+3×1-2 12+2×1 = 4 3. 14. (1) 甲 采 购 员 两 次 购 买 饲 料 的 平 均 单 价 是 1000m+1000n 1000+1000 = m+n 2 (元/千克),乙采购员两次购买饲 料的平均单价是800+800 800 m + 800 n =2mnm+n (元/千克).(2) 甲、乙 两名采购员两次购买饲料的平均单价相差m+n 2 - 2mn m+n= (m-n)2 2(m+n) (元/千克).因为m≠n,所以(m-n)2> 0.因为m+n>0,所以2(m+n)>0.所以 (m-n)2 2(m+n)> 0.所以m+n2 > 2mn m+n. 所以乙采购员的购买方式比较 划算. 3 分式的乘法和除法 知识梳理 1. 分子乘分子 分母乘分母 f ·u g·v 2. 颠倒 fg ·v u f·v g·u 3. 最简分式 4. 乘方 f n gn 5. 乘方 乘除 从 左至右 典例演练 典例1 (1) 原式=-a 3b 2cd2 ·c 2d a2b3=- ac 2b2d. (2) 原式= (x2-x)·(x-1) (x-1)2 = x·(x-1)2 (x-1)2 =x. (3) 原 式 = -2x (x-2)·x·(x+2) (x+2)(x-2)2 =- 2x2 x-2. 典例2 (1) 原式=xy 2 2z2 · 4az 2 -3x2y2 =-4axy 2z2 6x2y2z2 = -2a3x. (2) 原式= (a-1)2 a-3 ÷ a-1 1 = (a-1)2 a-3 · 1 a-1= a-1 a-3. (3) 原 式 = (x-3y)(x+3y) (x+3y)2 ÷ x+3y3x(x+3y)= x-3y x+3y ·3x 1= 3x2-9xy x+3y . 典例3 原式= a (a-3) (a-3)2- 2 a-3 ÷ a-2(a+3)(a-3)= a a-3- 2 a-3 · (a+3)(a-3)a-2 = a-2a-3 · (a+3)(a-3) a-2 =a+3. 因为a2-6a+9=(a-3)2≠0, 3-a≠0,a2-9=(a+3)(a-3)≠0,a-2≠0,所以 a≠-3,2,3.所以a取4或5时,分式有意义.当a=4时, 原式=4+3=7.(或当a=5时,原式=5+3=8) 预学训练 1. B 2. C 3. D 4. A 5. B 6. x≠-2且x≠0且x≠1 解析:因为x-1x+2÷ x-1 x = x-1 x+2 · x x-1 ,所以x+2≠0,x≠0,x-1≠0.所以x的取 值范围是x≠-2且x≠0且x≠1. 7. 6 8. (1) 原式=x 2 y · -x y2 ·y 2 x2=- x y . (2) 原式= 2-m m+2 · (m-2)(m+2)(m-2)2 = -(m-2) m+2 ·m+2 m-2= -1. (3) 原式=a (a-3) a(a+1) ·(a-1)(a+1) a-3 ·a+1 a-1=a+1. 分式的乘除混合运算的一般顺序 (1) 进行分式的乘除混合运算的步骤与分数的乘 除混合运算一样,即按从左到右的顺序进行;(2) 将除 法转化为乘法后,在运算过程中,可以先约分,再相乘, 以简化运算. 9. (1) 原式=2x+y(x-y)2 ·(x-y)= 2x+y x-y . 因为x-3y= 0,即x=3y,所以原式= 6y+y 3y-y= 7y 2y= 7 2. (2) 原式= a2+b2+2ab ab · a-b(a+b)(a-b)= (a+b)2 ab · 1 a+b = a+b ab . 当a=2,b=-12 时,原式= 2-12 2× -12 =-32. 10. D 解析: a÷ 1a2 ·a2 =a÷1=a,故A不符合题 意;a÷ 1a2÷a 2 =a÷1a4=a·a4=a5,故B不符合题 意;a÷1a ·a2=a·a·a2=a4,故C不符合题意;a· 1 a2÷a 2=1a ·1 a2= 1 a3 ,故D符合题意. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈