一 2 提公因式法-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（湘教版2024）

55 2　提公因式法 1. 几个多项式的 因式称为它们的公 因式.公因式的确定:(1) 系数:各项系数的 绝对值的 ;(2) 字母及指数:各 项都含有的相同字母的 次幂. 2. 提公因式时,如果多项式的首项系数为负 数,那么一般先将 提取出来,此时 括号内各项都要改变 ,然后进行因 式分解. 3. 如果一个多项式的各项有 ,从右到 左使用多项式的乘法对加法的分配律,可以 把所有 提到括号外面.这种把多项 式因式分解的方法叫作提公因式法. 4. (a-b)2n= (b-a)2n,(a-b)2n+1= (b- a)2n+1(n为正整数,填“+”或“-”). 5. 用提公因式法因式分解时,如果其中各项的 多项式因式互为 ,常变形转化为相 同多项式因式,再提取公因式. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 (1) 多项式3xy2+15xyz各项的公因 式为 ; (2) 多项式-4a2b3(m-3)3+2ab6(m-3)2各 项的公因式为 . 根据公因式的定义进行解答即可. 解答: 解有所悟:判断一个多项式的公因式时,一般首先 判断组成该多项式的有哪些项,若其中含有多项 式,则可以把这个多项式看作一个整体,如第(2)小 题中的m-3,然后按照确定一个多项式各项的公 因式的步骤来解答. 典例2 (教材P6例3变式)把多项式-12m3+ 6m2-3m 分解因式,结果正确的是 ( ) A. -3m(4m2+2m-1) B. -3m(4m2+2m) C. -3m(4m2-2m) D. -3m(4m2-2m+1) 多项式-12m3+6m2-3m 各项的公因式 为-3m. 解答: 解有所悟:多项式有几项,提取后的多项式也有几 项,不能漏项,尤其是和公因式相同的项,提取后不 是没有了,而是变成1.分解因式时,当多项式的第 一项系数为负数时,通常把“-”作为公因式的符号 进行因式分解. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 56 [基础过关] 1. 将多项式a2b-2b利用提公因式法分解因 式,则提取的公因式为 ( ) A. a2b B. ab C. a D. b 2. 代 数 式 15a3b3(b-a),5a2b(b-a), -120a3b3(a2-b2)的公因式为 ( ) A. 5ab(b-a) B. 5a2b(b-a) C. 5a2b2(b-a) D. 120a3b3(b2-a2) 答案讲解 3. 分解因式:-6x2y-10xy2+ 2xy= . 4. 把下列各式分解因式: (1) 5x3-10x2; (2) 8a3b2-12ab3c+ab; (3) -3m3+9m2-15m; (4) -6x2y2+3xy3-6xy2. 5. 把下列各式分解因式: (1) (x-3)2-x+3; (2) 2x(a-b)+3y(b-a); (3) 2m(m-n)2-8m2(n-m); (4) -8(m-n)2b+12(m-n)2b2-4(m- n)2b4. [综合提升] 6. 把多项式(x+1)(x-1)+(x-1)提公因式 x-1后,余下的部分是 ( ) A. x+1 B. 2x C. 2 D. x+2 7. 如图,长方形的长、宽分别为 a,b,周长为 10,面积为6,则ab2+a2b的值为 ( ) 第7题 A. 60 B. 30 C. 15 D. 16 8. 分解因式:2ab2-6a2+14a= . 9. 把下列各式分解因式: (1) -4a3+4a2-16a; 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)七年级 57 (2) -2a3(x-y)+6a2(x-y)-2a(x-y); (3) 4x(x-y)2-12(y-x)3; (4) x(x2-xy)-(4x2-4xy). 10. 简便计算: (1) (-2)2023+(-2)2024; (2) 13.2×1.34+13.2×10.66-26.4. 11. 先分解因式,再求值:15a2(b+4)-30a(b+ 4),其中a=2,b=-2. 答案讲解 12. 阅读下面分解因式的过程,并回答 问题: 1+x+x(x+1)+x(x+1)2 =(1+x)[1+x+x(1+x)] =(1+x)2(1+x) =(1+x)3. (1) 上述分解因式的方法是 法,共 运用了 次; (2) 若将多项式1+x+x(x+1)+x(x+ 1)2+…+x(x+1)2022分解因式,则需要运 用上述方法 次,分解因式后的结 果是 ; (3) 请用上述方法分解因式:1+x+x(x+ 1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n(n为正整 数),并写出简要过程. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 18 b-2=x2-x-2,得 2a+b=-1, b-2=-2, 解得 a=- 1 2 , b=0. 所以 3a2+4b3=3× -12 2 +0=34. 6. C 7. ①③④ 8. 因为(mx-4)(7x-n)=7mx2-mnx-28x+4n= 7mx2-(mn+28)x+4n,所以42x2-31x+2=7mx2- (mn+28)x+4n,得方程组 7m=42, 4n=2, 解得 m=6, n=12. 9. (1) 被墨水污染的一次式为(x-2)(2x+5)-(2x2+ 3x-6)=2x2+5x-4x-10-2x2-3x+6=-2x-4. (2) 根据题意,得-2x-4≥2,解得x≤-3.所以x 的取 值范围是x≤-3. 2 提公因式法 知识梳理 1. 相同 (1) 最大公因数 (2) 最低 2. 负号 符号 3. 公因式 公因式 4. + - 5. 相反数 典例演练 典例1 (1) 3xy (2) -2ab3(m-3)2 典例2 D 预学训练 1. D 2. B 3. -2xy(3x+5y-1) 4. (1) 原式=5x2(x-2).(2) 原式=ab(8a2b-12b2c+ 1).(3) 原式=-3m(m2-3m+5).(4) 原式=-3xy2· (2x-y+2). 5. (1) 原式=(x-3)2-(x-3)=(x-3)(x-3-1)= (x-3)(x-4).(2) 原式=2x(a-b)-3y(a-b)=(a- b)(2x-3y).(3) 原式=2m(m-n)2+8m2(m-n)= 2m(m-n)[(m-n)+4m]=2m(m-n)(5m-n). (4) 原式=-4(m-n)2b·2+4(m-n)2b·3b-4(m- n)2b·b3=-4(m-n)2b(2-3b+b3). 6. D 7. B 解析:因为长、宽分别为a,b的长方形的周长为 10,面积为6,所以2(a+b)=10,ab=6,则a+b=5,故 ab2+a2b=ab(b+a)=6×5=30. 8. 1 4a (8b2-24a+1) 9. (1) 原式=-4a(a2-a+4).(2) 原式=[-2a(x- y)]·a2+[-2a(x-y)]·(-3a)+[-2a(x-y)]= -2a(x-y)(a2-3a+1).(3) 原式=4x(x-y)2+ 12(x-y)3=4(x-y)2[x+3(x-y)]=4(x-y)2(4x- 3y).(4) 原式=x2(x-y)-4x(x-y)=x(x-y)· (x-4). 10. (1) 原式=(-2)2023×(1-2)=22023.(2) 原式= 13.2×(1.34+10.66-2)=13.2×10=132. 11. 原式=15a(b+4)(a-2).当a=2,b=-2时,原式= 15×2×(-2+4)×(2-2)=0. 12. (1) 提公因式;2.(2) 2022;(1+x)2023.(3) 原式= (1+x)[1+x+x(1+x)+…+x(1+x)n-1]=(1+ x)2[1+x+x(1+x)+…+x(1+x)n-2]=(1+x)n+1. 3 公 式 法 知识梳理 1. 因式分解 因式分解 2. x2-y2 (1) 二项 (2) 相 反 (3) 平方差 3. (1) 三项式 (2) 相同 (3) 底数的 积的2倍或底数的积的2倍的相反数 4. 提取公因式 公式法 典例演练 典例1 (1) (x+2)(x-2) (2) (m+5)(m-3) 典例2 (1) 原式=(2a)2-2·2a·1+12=(2a-1)2. (2) 原式=x2+2·x·12+ 1 2 2 = x+12 2 . 预学训练 1. D 2. C 因分解不彻底致错 对于某些复杂形式的多项式,因式分解时可能用 到不止一次公式进行因式分解才能分解彻底. 3. C 4. 6x+y 5. (1) 原式=(xy+1.1z)(xy-1.1z).(2) 原式= (9a2+b2)(3a+b)(3a-b).(3) 原式=5(xy-1)2. (4) 原式=3a(x+y)2. 6. (1) 原式=(2023+2022)×(2023-2022)= 4045.(2) 原式=15× (13.3+11.7)×(13.3-11.7)= 8 .(3) 原式=6.52+2×6.5×3.5+3.52=(6.5+ 3.5)2=102=100. 7. A 8. C 9. B 解析:因为x2+(m-3)x+4能用完全平方公式进 行因式分解,所以m-3=±4,解得m=-1或7. 10. (1) 3x(x+2y)(x-2y) (2) (x-3y)(a-3b)(a+ 3b) (3) (x-5y-5)2 11. a2+2ab+b2=(a+b)2 12. 剩余部分的面积是(a2-4b2)cm2.当a=13.2,b= 3.4时,a2-4b2=(a+2b)(a-2b)=(13.2+3.4×2)× (13.2-3.4×2)=20×6.4=128,所以剩余部分的面积是 128cm2. 13. (1) a2-4a-b2+4=(a2-4a+4)+(-b2)=(a- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈