整合提优自主检测-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（湘教版2024）

49 整合提优自主检测 (满分:100分 时间:90分钟) 一、 选择题(每题3分,共30分) 1. 下列各式中,成立的是 ( ) A. 0>-(-6) B. --23 >- -45 C. -9588<- 12 11 D. -32=(-3)2 2. 下列各式中,去括号正确的是 ( ) A. -2y+(-x-y)=2y+x-y B. a-2(3a-5)=a-6a+10 C. y-(-x-y)=y+x-y D. x2+2(-x+y)=x2-2x+y 3. 若多项式5a3bm+1+anb3+1可以进一步合 并同类项,则m,n的值分别是 ( ) A. 3,1 B. 3,2 C. 2,1 D. 2,3 4. 已知6节火车车厢和15辆货车能运输360吨 物资;8节火车车厢和10辆货车能运输440吨 物资(每节火车车厢所载物资相同,每辆货 车所载物资相同,且均未超载),则10节火车 车厢和20辆货车能运输物资的吨数为 ( ) A. 720 B. 860 C. 1100 D. 580 5. 如图,直线AB,CD 相交于点O,OE⊥AB 于点O,OF 平分∠AOE,∠1=15°30'.下列 结论中,不正确的是 ( ) 第5题 A. ∠2=45° B. ∠1=∠3 C. ∠AOD 与∠1互为补角 D. ∠1的余角等于75°30' 6. 已知关于 x,y 的方程组 2x-y=5, ax+by=2 和 x+y=4, ax+2by=10 有相同的解,则a+b的值为 ( ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 6 7. 关于x 的不等式组 a-x>3, 2x+8>4a 有解且每个 x的值均不在-2≤x≤6的范围内,则a的 取值范围是 ( ) A. a<1 B. a≤1 C. 1≤a≤5 D. a≥5 答案讲解 8. 直线m∥n,点A 在直线m 上,BC 在直线n 上,将△ABC 向右平移 BC 长度的一半得到△A'B'C'(如 图①),再将△A'B'C'向右平移BC 长度的一 半得到△A″B″C″(如图②),再继续按上述的 方法平移得到图③……通过观察可知,第 1个图形中有4个三角形,第2个图形中有 8个三角形……第2025个图形中三角形的 个数是 ( ) 第8题 A. 4042 B. 6063 C. 8100 D. 8088 9. 如图,F 是△ABC 的角平分线CD 和BE 的 交点,CG⊥AB 于点G.若∠ACG=32°,则 ∠BFC 的度数是 ( ) 第9题 A. 119° B. 122° C. 148° D. 150° 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 拍 照 批 改 50 10. 如图,AF∥CD,CB 平分∠ACD,BD 平分 ∠EBF,且BC⊥BD.有下列结论:① BC 平分∠ABE;② AC∥BE;③ ∠BCD+ ∠D=90°;④ ∠DBF=60°.其中,正确 的有 ( ) 第10题 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、 填空题(每题3分,共24分) 11. 已知2x+1的平方根为±5,则-5x-4的 立方根是 . 12. 为加强体育锻炼,增强学生体魄,九(1)班 学生参与了足球、篮球、乒乓球、跳绳四个 体育活动项目.该班学生全员参与各活动 项目(每人仅参与一项)人数分布情况的扇 形统计图和条形统计图(柱的高度从高到 低排列)如图所示.已知条形统计图不小心 被撕掉了一块,则条形统计图中“( )” 内应填的体育活动项目是 . 第12题 13. 若m,n 互为相反数,p,q 互为倒数,则 -2023m+3pq-2023n 的值为 . 14. 已知代数式2a2-b=7,则-4a2+2b+10 的值为 . 15. 如图,直线c与a,b相交,∠1=35°,∠2= 70°,要使直线a与b平行,则直线a按顺时 针方向旋转的度数至少是 . 第15题 第16题 16. 如图,OP∥QR∥ST.若∠2=105°,∠1= 43°,则∠3的度数为 . 17. 某校学生会计划组织初一学生给某边远山 区小学生捐赠书籍,已经筹到书籍若干.若 每个小学生分到2本书,则余7本;若前面 每人分5本,则除了有一个小学生分不到 书外,还有一个小学生分到的书不足4本, 则共有小学生 人. 18. 如图,AB∥CD,将一副三角尺按如图所示 的方式摆放,∠GEF=60°,∠MNP=45°. 有下列结论:① ∠EFN=150°;② GE∥ MP;③ ∠AEG=∠PMN;④ ∠BEF= 70°.其中,正确的是 .(填序号) 第18题 三、 解答题(共46分) 19. (6分)计算:-32÷(-2)2× -113 ×6+ (-2)3. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)七年级 51 20. (6分) 先化简,再求值. (1) m(n-4)-n(m-6),其中2m-3n= -4; (2) 3(x-2)2-6(x+1)(x-1),其中 x2+4x-4=0. 21. (8分) (1) 解方程组: 2 3x- 3 4y= 1 2 , 4(x-y)-3(2x+y)=17; 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 (2) 解不等式组: x-3 2 +3≥x+1 , 1-3(x-1)<8-x. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 22. (8分)将三角形纸片ABC 沿DE 折叠,使 点A 落在点A'处. (1) 如图①,点A 落在四边形BCDE 的边 BE 上,则∠A 与∠1之间的数量关系是 . (2) 如图②,点A 落在四边形BCDE 内,则 ∠A 与∠1+∠2之间存在怎样的数量关 系? 请说明理由. (3) 如图③,点A 落在四边形BCDE 外,若 ∠1=80°,∠2=24°,则∠A 的 度 数 为 . 第22题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 52 23. (8分)如图,数轴上A,B,C 三个点表示的 数分别是a,b,c,且满足|a+12|+|b+ 6|+(c-9)2=0,动点P,Q 都从点A 出 发,且点P 以每秒1个单位长度的速度向 终点C 运动. (1) a= ,b= ,c= . (2) 若M 为PA 的中点,N 为PB 的中点, 则在点P 的运动过程中,线段MN 的长度 是否发生变化? 请判断并说明理由. (3) 当点P 运动到点B 时,点Q 从点A 出 发,以每秒3个单位长度的速度在点A,C之 间往返运动.当点P 停止运动时,点Q 也停 止运动.点P 开始运动后的第 秒,P,Q 两点之间的距离为2. 第23题 答案讲解 24. (10分)将一副三角尺按如图①所 示的方式放置(其中∠D=45°, ∠C=30°),PA,PB 与直线MN 重合,且三角尺PAC,三角尺PBD 均可以 绕点P 按逆时针方向旋转. (1) 如图①,∠DPC 的度数为 . (2) 如图②,若三角尺PBD 保持不动,三 角尺PAC 绕点P 按逆时针方向旋转,速度 为每秒10°,旋转一周后,三角尺PAC 停止 旋转.在旋转的过程中,当旋转时间为多少 时,PC∥BD 成立? (3) 如图③,若三角尺PAC 从PN 处开始 绕点P 按逆时针方向旋转,速度为每秒3°, 同时三角尺PBD 从PM 处开始绕点P 按 逆时针方向旋转,速度为每秒2°,且当PC 与MN 重合时,两把三角尺都停止旋转.在 旋转过程中,当∠CPD=∠BPM 时,求旋 转时间. 第24题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)七年级 15 利用分类讨论思想求角的度数 分类讨论思想是中学数学的重要思想方法之一, 在图形问题中,如果图形中的某些元素的位置是不确 定的,那么需要根据某一位置关系进行分类讨论.如果 图形中的各元素的数量关系或对应关系是不确定的, 那么需要根据数量关系或对应关系进行分类讨论. 专题八　规律探究型问题 1. D 2. D 解析:这列数为1,1,2,3,5,8,13,21,34,…,可以 发现每3个数为一组,每一组前2个数为奇数,第3个数 为偶数.因为2024÷3=674(组)……2(个),即前2024个 数共有674组数,且余2个数,奇数有674×2+2= 1350(个). 3. C 解析:观察题图中的规律发现,分数的分子是几,则 必在第几列;只有第一列的分数,分母与其所在行数一致, 故 20 2023 在第20列,即b=20;向前递推到第1列时,分数 为 20-19 2023+19= 1 2042 ,故分数 20 2023 与分数 1 2042 在同一行, 即在第2042行,则a=2042.所以a-b=2042-20= 2022. 4. 1024 -22024+2024 解析:第①行数的规律为 (-2)n,所以第①行数的第10个数为(-2)10=1024;第 ②行数的规律为(-2)n+n+1,所以第①行数的第 2023个数为(-2)2023,第②行数的第2023个数为 (-2)2023+2024.所以和为-22024+2024. 5. (n2+n+1,n2+2n+2) 解析:每个数对的第一个数 分别为3,7,13,21,31,…,即1×2+1,2×3+1,3×4+1, 4×5+1,5×6+1,…,则第n个数对的第一个数为n(n+ 1)+1=n2+n+1.每个数对的第二个数分别为5,10,17, 26,37,…,即22+1,32+1,42+1,52+1,62+1,…,则第 n个数对的第二个数为(n+1)2+1=n2+2n+2,所以第 n个数对为(n2+n+1,n2+2n+2). 6. A 7. n2·(n+1)-(n+1)=(n+1)2·(n-1) 8. (1) 192-172=8×9=72.(2) (2n+1)2-(2n-1)2= 8n.(3) 左边=(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n- 1)(2n+1-2n+1)=4n×2=8n=右边,所以结论正确. 9. B 10. C 11. B 12. B 13. B 解析:由所给图形可知,第一幅图中正方形的个数 为1=12;第二幅图中正方形的个数为5=12+22;第三幅 图中正方形的个数为14=12+22+32;第四幅图中正方形 的个数为30=12+22+32+42……所以第n幅图中正方 形的个数为12+22+32+…+n2.当n=6时,12+22+ 32+…+62=91(个),即第六幅图中正方形的个数为91. 14. (1) 13;35.(2) 第①层需要1盆,第②层需要3+1= 4(盆),第③层需要3×2+1=7(盆),第④层需要3×3+ 1=10(盆),第⑤层需要3×4+1=13(盆),以此类推,第n 层需要3(n-1)+1=(3n-2)盆.(3) 设当盆景共用去 205盆时,该图案共有x层,此时共需盆景4(x-1)+1= (4x-3)盆.由题意,得4x-3=205,解得x=52.所以当 盆景共用去205盆时,该图案共有52层.3×52-2-4= 150(盆),所以当盆景共用去205盆时,该图案的最外一层 除盆景外还有150盆花卉. 15. (1) 13;45. (2) 3n+1;10n+5. 解析:由题图可知,第①个图案中灰 色正方形的个数为4=1×3+1,灰、白两种正方形的总个 数为15=1×10+5;第②个图案中灰色正方形的个数为 7=2×3+1,灰、白两种正方形的总个数为25=2×10+ 5;第③个图案中灰色正方形的个数为10=3×3+1,灰、 白两种正方形的总个数为35=3×10+5……所以第 个 图案中灰色正方形的个数为3n+1,灰、白两种正方形的 总个数为10n+5. (3) 不能.理由:若白色正方形的个数比灰色正方形的个 数多2024,则10n+5-(3n+1)-(3n+1)=2024,解得 n=20214 . 因为n为正整数,所以白色正方形的个数不能 比灰色正方形的个数多2024. 整合提优自主检测 一、 1. B 2. B 3. D 4. D 5. D 解析:因为OE⊥AB,所以∠AOE=90°.因为OF 平分∠AOE,所以∠2=12∠AOE=45°. 故A正确.因为 ∠1和∠3是对顶角,所以∠1=∠3.故B正确.因为 ∠AOD+∠1=180°,所以∠AOD 与∠1互为补角.故C 正确.因为90°-∠1=74°30',所以∠1的余角等于 74°30'.故D不正确. 6. D 解析:由 题 意,得 2x-y=5, x+y=4, 解 得 x=3 , y=1. 将 x=3, y=1 代入 方 程ax+by=2,得3a+b=2①;将 x=3, y=1 代入方程ax+2by=10,得3a+2b=10②.②- ①,得b=8.将b=8代入①,得3a+8=2,解得a= -2.所以a+b=-2+8=6. 7. A 解析:记 a-x>3①, 2x+8>4a②, 解不等式①,得x<a- 3.解不等式②,得x>2a-4.因为不等式组有解且每个x 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 16 的值均不在-2≤x≤6的范围内,所以原不等式组的解集 为2a-4<x<a-3.所以2a-4≥6或a-3≤-2,解得 a≥5或a≤1.因为原不等式组有解,所以a-3>2a-4, 解得a<1.所以a的取值范围是a<1. 8. C 解析:观察题图可知,第1个图形中大三角形有 2个,小三角形有2个;第2个图形中大三角形有4个,小 三角形有4个;第3个图形中大三角形有6个,小三角形 有6个……第n个图形中大三角形有2n个,小三角形有 2n个.所以第2025个图形中三角形的个数是2×2025+ 2×2025=8100. 9. A 解析:因为CG⊥AB,所以∠AGC=90°.因为 ∠ACG=32°,所 以 ∠A =90°- ∠ACG=58°.所 以 ∠ABC+∠ACB=180°-∠A=122°.因为CD 和BE 是 △ABC 的角平分线,所以∠BCD=12∠ACB ,∠CBE= 1 2 ∠ABC. 所 以 ∠BCD + ∠CBE = 12 (∠ACB + ∠ABC)=61°.所 以 ∠BFC =180°- (∠BCD + ∠CBE)=119°. 10. B 解析:因为 BC⊥BD,所以∠CBD=90°,即 ∠CBE+∠DBE=90°.所以∠BCD+∠D=180°- ∠CBD=90°.故③正确.因为 AF∥CD,所以∠D= ∠DBF.因为BD 平分∠EBF,所以∠DBF=∠DBE.所 以∠D=∠DBE.因为∠BCD+∠D=90°,∠CBE+ ∠DBE=90°,所以∠BCD=∠CBE.因为AB∥CE,所以 ∠ABC=∠BCE.所以∠ABC=∠CBE.所以BC 平分 ∠ABE.故①正确.因为BC 平分∠ACD,所以∠ACB= ∠BCE.所以∠ACB=∠CBE.所以AC∥BE.故②正 确.当 ∠DBF =2∠ABC 时,3∠ABC =90°,所 以 ∠ABC=30°,∠DBF =60°.因 为 AF∥CD,所 以 ∠DEB=∠ABE=2∠ABC.而∠D=∠DBE=∠DBF, ∠D≠∠DEB,所以∠DBF≠2∠ABC.所以∠DBF≠ 60°.故④错误.综上所述,正确的有3个. 二、 11. -4 12. 足球 13. 3 14. -4 15. 35° 16. 118° 17. 5 解析:设共有小学生x 人,根据题意得0<2x+ 7-5(x-2)<4,解得133<x< 17 3. 因为x 为整数,所以 x=5.所以共有小学生5人. 18. ①②③ 解析:因为∠EFG=30°,所以∠EFN= 180°-30°=150°.故①正 确.因 为∠MPG=180°- ∠MPN=90°,所以∠G=∠MPN=∠MPG=90°.所以 GE∥MP.故②正确.如图,过点F 作FH∥AB.因为AB∥ CD,所以 FH∥AB∥CD.所以∠HFN=∠MNP= 45°.所以∠EFH =∠EFN-∠HFN=150°-45°= 105°.因为FH∥AB,所以∠BEF=180°-105°=75°.故④ 错误.因为∠GEF=60°,∠BEF=75°,所以∠AEG= 180°-60°-75°=45°.所以∠AEG=∠PMN=45°.故③ 正确.综上所述,正确的是①②③. 第18题 三、 19. 原式=-9÷4×43×6+ (-8)=-9×14× 4 3× 6+(-8)=-18+(-8)=-26. 20. (1) m(n-4)-n(m-6)=mn-4m-mn+6n= -4m+6n.当2m-3n=-4时,原式=-2(2m-3n)= 8.(2) 3(x-2)2-6(x+1)(x-1)=3(x2-4x+4)- 6(x2-1)=3x2-12x+12-6x2+6=-3x2-12x+18, 因为x2+4x-4=0,所以x2+4x=4.所以-3(x2+ 4x)=-12,即-3x2-12x=-12.所以原式=-3x2- 12x+18=-12+18=6. 21. (1) 整 理,得 8x-9y=6①, -2x-7y=17②. ① + ② ×4,得 -37y=74,解得y=-2.将y=-2代入①,解得x= -32. 所以原方程组的解为 x=-32 , y=-2. (2) x-3 2 +3≥x+1① , 1-3(x-1)<8-x②. 解不等式①,得x≤1.解不 等式②,得x>-2.所以原不等式组的解集是-2< x≤1. 22. (1) ∠1=2∠A.(2) 2∠A=∠1+∠2.理由:因为 ∠1+∠A'DA+∠2+∠A'EA=360°,∠A+∠A'+ ∠A'DA+∠A'EA=360°,所以∠A'+∠A=∠1+ ∠2.由折叠,得∠A=∠A'.所以2∠A=∠1+∠2. (3) 28°. 解析:如图,设 AB 交A'D 于点F.因为 ∠AFD+∠AFA'=180°,∠A'+∠2+∠AFA'=180°, 所以∠AFD=∠A'+∠2.同理得∠1=∠A+∠AFD,所 以∠1=∠A+∠A'+∠2.由折叠,得∠A=∠A'.所以 ∠1=2∠A+∠2,即∠A=12 (∠1-∠2).因为∠1= 80°,∠2=24°,所以∠A=28°. 第22题 23. (1) -12;-6;9.(2) 线段MN 的长度不发生变化.理 由:由题意,得AB=-6-(-12)=6,BC=9-(-6)= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 17 15.设点P 的运动时间为x秒.分情况讨论:① 当点P 在 点A,B 之间时,设PA=x,则PB=6-x.因为M 为PA 的中点,所以PM=AM=x2. 因为N 为PB 的中点,所以 PN=BN=6-x2 . 所以MN=PM+PN=x2+ 6-x 2 = 3.② 当点P 在点B 的右侧时,设PA=x,则PB=x- 6.因为M 为PA 的中点,所以PM=AM=x2. 因为N 为 PB 的中点,所以PN=BN=x-62 . 所以 MN=PM- PN=x2- x-6 2 =3.综上所述,线段MN 的长度不发生 变化. (3) 8或10或14.5或15.5. 解析:由(2),得AB=6, BC=15.所以AC=AB+BC=21.设点P 从点B 开始运 动t秒后,P,Q 两点之间的距离为2,则BP=t,AQ= 3t.因为点P 以每秒1个单位长度的速度向终点C 运动, 点Q 以每秒3个单位长度的速度在点A,C 之间往返运 动,所以点P 从点A 运动到点B 的时间为6÷1=6(秒), 点P 从点B 运动至点C 的时间为15÷1=15(秒),点Q 从点A 运动至点C 的时间为21÷3=7(秒).所以可将P, Q 两点之间距离为2的情况进行分类讨论:① 如图①,当 点P,Q 向右运动,且点P 在点Q 右侧时,AP=AB+ BP=t+6,AP=AQ+PQ,所以t+6=3t+2,解得t= 2.所以2+6=8(秒).所以点P 开始运动后的第8秒,P, Q 两点之间的距离为2.② 如图②,当点P,Q 向右运动, 且点P 在点Q 左侧时,因为AP=AB+BP=t+6,AQ= AP+PQ,所以3t=t+6+2,解得t=4.所以4+6=10 (秒).所以点P 开始运动后的第10秒,P,Q 两点之间的 距离为2.③ 如图③,当点P 向右运动,点Q 向左运动,且 点P 在点Q 左侧时,因为AC+CQ=3t,所以CQ=3t- 21.因为AP=AB+BP=t+6,AC=AP+PQ+CQ,所 以21=t+6+2+3t-21,解得t=8.5.所以8.5+6= 14.5(秒).所以点P 开始运动后的第14.5秒,P,Q 两点 之间的距离为2.④ 如图④,当点P 向右运动,点Q 向左 运动,且点P 在点Q 右侧时,因为AC+CQ=3t,所以 CQ=3t-21.因为AP=AB+BP=t+6,AC=AP+ CQ-PQ,所以21=t+6+3t-21-2,解得t=9.5.所以 9.5+6=15.5(秒).所以点P 开始运动后的第15.5秒, P,Q 两点之间的距离为2.综上所述,点P 开始运动后的 第8,10,14.5,15.5秒,P,Q 两点之间的距离为2. 第23题 24. (1) 75°.(2) 分情况讨论:① 如图①,因为PC∥BD, ∠DBP=90°,所以∠CPN=∠DBP=90°.因为∠A= 90°,∠C =30°,所 以 ∠CPA =60°.所 以 ∠APN = ∠CPN-∠CPA=30°.所以旋转时间为30°÷10°= 3(s).② 如图②,因为 PC∥BD,∠DBP=90°,所以 ∠CPB=∠DBP=90°.因为∠A=90°,∠C=30°,所以 ∠CPA=60°.所以∠APM=∠CPB-∠CPA=30°.所以 三角尺PAC绕点P 按逆时针方向旋转的度数为180°+ 30°=210°.所以旋转时间为210°÷10°=21(s).综上所述, 当旋转时间为3s或21s时,PC∥BD 成立.(3) 设旋转时 间为ts.由题意,得∠APN=(3t)°,∠BPM=(2t)°.所以 ∠BPN=180°-∠BPM=180°-(2t)°.所以∠CPD= 360°-∠BPD-∠BPN-∠APN-∠APC=360°- 45°-[180°-(2t)°]-(3t)°-60°=75°-t°.当∠CPD= ∠BPM 时,75°-t°=(2t)°,解得t=25.所以当∠CPD= ∠BPM 时,旋转时间是25s. 第24题 3 预学储备 一　因式分解 1 多项式的因式分解 知识梳理 1. 因式 因式 2. 乘积 典例演练 典例 B 预学训练 1. D 2. A 3. a2-4b2 4. 同意小明的看法.理由:因为因式分解是把一个多项式 分解成几个整式乘积的形式,而等式右边的1 x 不是整式, 所以这种变形不是因式分解. 5. 因为(x+1)(x-2)=x2-x-2,所以x2+(2a+b)x+ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈