专题8 规律探究型问题-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（湘教版2024）

46 专题八　规律探究型问题 解决规律探究型问题要经历实验、观察、分析、比较、判断等过程,从而找出一般规律,经过类 比、归纳推理,猜想得到一般性的结论. 类型一 数式规律的探究 1. (云南中考)按一定规律排列代数式:2x, 3x2,4x3,5x4,6x5,…,则第n个代数式为 ( ) A. 2xn B. (n-1)xn C. nxn+1 D. (n+1)xn 2. (扬州中考)数学家斐波那契在《计算之书》 中记载了一列数:1,1,2,3,5,….这一列数 满足:从第三个数开始,每一个数都等于它 的前面两个数之和.在这一列数的前2024 个数中,奇数的个数为 ( ) A. 676 B. 674 C. 1348 D. 1350 3. (常德中考)如图,横排为行,竖排为列,按其 中的规律,分数 20 2023 若排在第a行第b列, 则a-b的值为 ( ) 第3题 A. 2003 B. 2004 C. 2022 D. 2023 4. (恩施中考)观察下面两行数,探究第②行数 与第①行数的关系: -2,4,-8,16,-32,64,…① 0,7,-4,21,-26,71,…② 根据你的发现,完成填空:第①行数的第10 个数为 ;取每行数的第2023个数, 则这两个数的和为 . 答案讲解 5. 归纳思想 (聊城中考)如图所示为 从1开始按箭头方向排列的有序数 阵.从3开始,把位于同一列且在拐 角处的两个数提取出来组成有序数对:(3, 5);(7,10);(13,17);(21,26);(31,37);…. 如果单把每个数对中的第一个或第二个数 按顺序排列起来研究,就会发现其中的规 律.请写出第n个数对: . 第5题 类型二 算式运算规律的探究 6. (济宁中考)已知一列均不为1的数a1,a2, a3,…,an 满足如下关系:a2= 1+a1 1-a1 ,a3= 1+a2 1-a2 ,a4= 1+a3 1-a3 ,…,an+1= 1+an 1-an. 若 a1=2,则a2023的值是 ( ) A. -12 B. 1 3 C. -3 D. 2 7. (宁夏中考)观察下列等式: 第1个:1×2-2=22×0; 第2个:4×3-3=32×1; 第3个:9×4-4=42×2; 第4个:16×5-5=52×3; … 按照以上规律,第n个等式为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)七年级 拍 照 批 改 47 8. (嘉兴中考)观察下列等式:32-12=8×1, 52-32=8×2,72-52=8×3,92-72=8× 4,…. (1) 写出192-172的结果; (2) 按上面的规律归纳出一个一般性结论; (用含n的式子表示,n为正整数) (3) 请运用有关知识,推理说明这个结论是 正确的. 类型三 图案规律的探究 9. 新趋势 跨学科 烷烃是一类由碳、氢元素 组成的有机化合物质,如图所示为这类物质 前四种化合物的分子结构模型,其中灰球代 表碳原子,白球代表氢原子.第1种有4个氢 原子,第2种有6个氢原子,第3种有8个氢 原子,第4种有10个氢原子……按照这一规 律,第10种化合物的分子结构模型中氢原 子的个数是 ( ) 第9题 A. 20 B. 22 C. 24 D. 26 10. 用菱形按如图所示的规律拼图案,其中第①个 图案中有2个菱形,第②个图案中有5个菱 形,第③个图案中有8个菱形,第④个图案 中有11个菱形……按此规律拼下去,则第 ⑧个图案中菱形的个数是 ( ) 第10题 A. 20 B. 21 C. 23 D. 26 11. 用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图 案,其中第①个图案用了9根木棍,第②个 图案用了14根木棍,第③个图案用了19根 木棍,第④个图案用了24根木棍……按此 规律拼下去,第⑧个图案用的木棍根数是 ( ) 第11题 A. 39 B. 44 C. 49 D. 54 12. (牡丹江中考)如图所示为由一些同样大小 的三角形按照一定规律组成的图案,第 1个图案中有4个三角形,第2个图案中有 7个三角形,第3个图案中有10个三角 形……按照此规律排列下去,则第674个 图案中三角形的个数是 ( ) 第12题 A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 答案讲解 13. (济宁中考)如图,用大小相等的小 正方形按照一定规律拼正方形.第 一幅图有1个正方形,第二幅图有 5个正方形,第三幅图有14个正方形,第四 幅图有30个正方形……按照此规律,第六 幅图中正方形的个数为 ( ) 第13题 A. 90 B. 91 C. 92 D. 93 14. 春节期间,某单位在小广场上展出一批花 卉,如图所示为这些花卉的排列图案,其中 小黑点表示花卉.第①层需要1盆,第②层 需要4盆,第③层需要7盆,第④层需要10盆, 以此类推.按照以上规律,解决下列问题: 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 48 (1) 第⑤层需要花卉 盆,前5层共 需要花卉 盆. (2) 第n层需要花卉多少盆(用含n的代数 式表示)? (3) 若将按此规律排列的图案中的4条射 线OA,OB,OC,OD 上的花卉全部换成盆 景,当盆景共用去205盆时,该图案的最外 一层除盆景外还有多少盆花卉? 第14题 15. 将大小相同的白色正方形和灰色正方形按 如图所示的规律摆放. (1) 第④个图案中灰色正方形的个数为 ,灰、白两种正方形的总个数为 . (2) 第 个图案中灰色正方形的个数为 ,灰、白两种正方形的总个数为 .(用含n的代数式表示) (3) 白色正方形的个数能比灰色正方形的 个数多2 024吗? 若能,请求出是第几个图 案;若不能,请说明理由. 第15题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)七年级 15 利用分类讨论思想求角的度数 分类讨论思想是中学数学的重要思想方法之一, 在图形问题中,如果图形中的某些元素的位置是不确 定的,那么需要根据某一位置关系进行分类讨论.如果 图形中的各元素的数量关系或对应关系是不确定的, 那么需要根据数量关系或对应关系进行分类讨论. 专题八　规律探究型问题 1. D 2. D 解析:这列数为1,1,2,3,5,8,13,21,34,…,可以 发现每3个数为一组,每一组前2个数为奇数,第3个数 为偶数.因为2024÷3=674(组)……2(个),即前2024个 数共有674组数,且余2个数,奇数有674×2+2= 1350(个). 3. C 解析:观察题图中的规律发现,分数的分子是几,则 必在第几列;只有第一列的分数,分母与其所在行数一致, 故 20 2023 在第20列,即b=20;向前递推到第1列时,分数 为 20-19 2023+19= 1 2042 ,故分数 20 2023 与分数 1 2042 在同一行, 即在第2042行,则a=2042.所以a-b=2042-20= 2022. 4. 1024 -22024+2024 解析:第①行数的规律为 (-2)n,所以第①行数的第10个数为(-2)10=1024;第 ②行数的规律为(-2)n+n+1,所以第①行数的第 2023个数为(-2)2023,第②行数的第2023个数为 (-2)2023+2024.所以和为-22024+2024. 5. (n2+n+1,n2+2n+2) 解析:每个数对的第一个数 分别为3,7,13,21,31,…,即1×2+1,2×3+1,3×4+1, 4×5+1,5×6+1,…,则第n个数对的第一个数为n(n+ 1)+1=n2+n+1.每个数对的第二个数分别为5,10,17, 26,37,…,即22+1,32+1,42+1,52+1,62+1,…,则第 n个数对的第二个数为(n+1)2+1=n2+2n+2,所以第 n个数对为(n2+n+1,n2+2n+2). 6. A 7. n2·(n+1)-(n+1)=(n+1)2·(n-1) 8. (1) 192-172=8×9=72.(2) (2n+1)2-(2n-1)2= 8n.(3) 左边=(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n- 1)(2n+1-2n+1)=4n×2=8n=右边,所以结论正确. 9. B 10. C 11. B 12. B 13. B 解析:由所给图形可知,第一幅图中正方形的个数 为1=12;第二幅图中正方形的个数为5=12+22;第三幅 图中正方形的个数为14=12+22+32;第四幅图中正方形 的个数为30=12+22+32+42……所以第n幅图中正方 形的个数为12+22+32+…+n2.当n=6时,12+22+ 32+…+62=91(个),即第六幅图中正方形的个数为91. 14. (1) 13;35.(2) 第①层需要1盆,第②层需要3+1= 4(盆),第③层需要3×2+1=7(盆),第④层需要3×3+ 1=10(盆),第⑤层需要3×4+1=13(盆),以此类推,第n 层需要3(n-1)+1=(3n-2)盆.(3) 设当盆景共用去 205盆时,该图案共有x层,此时共需盆景4(x-1)+1= (4x-3)盆.由题意,得4x-3=205,解得x=52.所以当 盆景共用去205盆时,该图案共有52层.3×52-2-4= 150(盆),所以当盆景共用去205盆时,该图案的最外一层 除盆景外还有150盆花卉. 15. (1) 13;45. (2) 3n+1;10n+5. 解析:由题图可知,第①个图案中灰 色正方形的个数为4=1×3+1,灰、白两种正方形的总个 数为15=1×10+5;第②个图案中灰色正方形的个数为 7=2×3+1,灰、白两种正方形的总个数为25=2×10+ 5;第③个图案中灰色正方形的个数为10=3×3+1,灰、 白两种正方形的总个数为35=3×10+5……所以第 个 图案中灰色正方形的个数为3n+1,灰、白两种正方形的 总个数为10n+5. (3) 不能.理由:若白色正方形的个数比灰色正方形的个 数多2024,则10n+5-(3n+1)-(3n+1)=2024,解得 n=20214 . 因为n为正整数,所以白色正方形的个数不能 比灰色正方形的个数多2024. 整合提优自主检测 一、 1. B 2. B 3. D 4. D 5. D 解析:因为OE⊥AB,所以∠AOE=90°.因为OF 平分∠AOE,所以∠2=12∠AOE=45°. 故A正确.因为 ∠1和∠3是对顶角,所以∠1=∠3.故B正确.因为 ∠AOD+∠1=180°,所以∠AOD 与∠1互为补角.故C 正确.因为90°-∠1=74°30',所以∠1的余角等于 74°30'.故D不正确. 6. D 解析:由 题 意,得 2x-y=5, x+y=4, 解 得 x=3 , y=1. 将 x=3, y=1 代入 方 程ax+by=2,得3a+b=2①;将 x=3, y=1 代入方程ax+2by=10,得3a+2b=10②.②- ①,得b=8.将b=8代入①,得3a+8=2,解得a= -2.所以a+b=-2+8=6. 7. A 解析:记 a-x>3①, 2x+8>4a②, 解不等式①,得x<a- 3.解不等式②,得x>2a-4.因为不等式组有解且每个x 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈