专题6 与轴对称、平移及旋转相关的问题-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（湘教版2024）

39 专题六　与轴对称、平移及旋转相关的问题 轴对称、平移与旋转是图形的三种基本变换方法,也是平时考试和中考中的重点考查内容, 这几种变换有共同的特点:图形的形状、大小未发生变化.解答时,要灵活运用这几种变换方法, 并且抓住“不变”的特点,为题目“创造”一些已知条件后再进行求解. 类型一 与轴对称相关的问题 1. 如图,△ABC 与△ADC 关于AC 所在的直 线对称,∠BCD=70°,∠B=80°,则∠DAC 的度数为 ( ) A. 55° B. 65° C. 75° D. 85° 第1题 第2题 2. 如图,在△ABC中,将四边形EBCF沿EF翻 折,使点B,C分别落在点B',C'处,点E和点 E'关于AC对称,连接AE',FE'.若∠BAC= 50°,∠1=65°,则∠3的度数为 . 3. 如图,方格图中每个小方格的边长为1个单 位长度,△ABC 的三个顶点都在格点上. (1) 请在图中画出△ABC 以MN 为对称轴 的对称三角形A1B1C1; (2) 如果在对称轴MN 上找一点H,使点H 到A,B 两点的距离之和最短,请在MN 上 标出点H(不写作法,保留作图痕迹); (3) 求△ABC 的面积. 第3题 4. 如图①,在长方形纸片ABCD 中,点E,F,G 分别在边AD,AB,CD 上.将△AEF 沿EF 翻折,点A 落在点A'处;将△DEG 沿EG 翻 折,点D 落在点D'处. (1) 若 ∠AEF =40°,∠DEG =35°,求 ∠A'ED'的度数; (2) 若∠A'ED'=α,求∠FEG 的度数;(用 含α的式子表示) (3) 如图②,若∠A'ED'=α,求∠FEG 的度 数.(用含α的式子表示) 第4题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 拍 照 批 改 40 类型二 与平移相关的问题 5. 如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,周长为12, 将△ABC沿BC方向平移2个单位长度得到 △DEF,连接AD.有下列结论:① AC∥DF, AC=DF;② DE⊥AC;③ 四边形ABFD 的周长为16;④ S四边形ABEO=S四边形CFDO.其 中,正确的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第5题 第6题 6. (台州中考)如图,在△ABC 中,BC=4cm, 将△ABC 平移2cm 得到△A'B'C',且 BB'⊥BC,连接BB',CC',则涂色部分的面 积为 cm2. 7. 如图,△ABC 的边AB=3cm,BC=4cm, AC=2cm,将△ABC 沿BC 方向平移acm (0<a<4)得到△DEF,连接AD,则涂色部 分的周长为 cm. 第7题 第8题 答案讲解 8. 分类讨论思想 将一副三角尺按如 图所示的方式摆放,∠C=∠F= 90°,∠CAB=60°,∠FDE=45°,斜 边AB,DE 在直线l上,三角尺ABC 保持不 动,三角尺DEF 在直线l上平移,当以A, E,F 为顶点的三角形是直角三角形时, ∠CAF 的度数是 . 9. 如图,在△ABC 中,BC=8,将△ABC 以每 秒2个单位长度的速度沿BC 所在的直线向 右平移得到△DEF,平移的时间为ts.当 AD=2CE 时,t的值为 . 第9题 第10题 10. 如图,在△ABD 中,AC 是∠DAB 的平分 线,平移△ABC,使点C 与点D 重合,点B 的对应点是E,点A 的对应点是F. (1) 在图中画出平移后的△DEF; (2) 画出点A 到线段BD 的垂线段AM; (3) 若∠DAB=70°,EF与AD 相交于点H, 则∠FDA= °,∠DHF= °. 答案讲解 11. 将一副三角尺按如图①所示的方式 摆放,点O,E,F 在直线l上,点B 恰好落在边DE 上,∠1=∠D= 30°,∠A=45°,∠AOB=∠DEF=90°. (1) 求∠ABE 的度数. (2) 如图②,将△DEF 沿直线l向左平移, 使得DE,DF 分别交AB 于点G,H,试说 明:∠DGH=∠DHG. (3) 在△DEF 沿直线l平移的过程中,是 否存在∠1=2∠AEF? 若存在,请在图③ 中画出△DEF,并说明点E 的位置;若不 存在,请说明理由. 第11题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)七年级 41 类型三 与旋转相关的问题 12. 如图,将△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转 90°得到△AED.连接BD,若点B,D,E 在 同一条直线上,∠BAC=20°,则∠ADB 的 度数为 ( ) 第12题 A. 55° B. 60° C. 65° D. 70° 13. 如图,把直角三角形ABC 绕点B 按顺时针 方向旋转150°得到△EBD,∠ACB=90°, ∠ABC=30°,连接CD,则∠DCE 的度数 为 . 第13题 14. 有两张直角三角形纸板,一张含45°角,另 一张含30°角,按如图①所示的方式叠放. 先将含30°角的纸板固定不动,再将含45° 角的纸板绕顶点A 按顺时针方向旋转,使 BC∥DE,如图②,则旋转角∠BAD 的度数 为 . 第14题 15. 如图①,四边形ABCD 是正方形,E 为正方 形ABCD 内一点,连接EB,EA,将△BAE 按逆时针方向旋转得到△DAF. (1) 旋转中心是点 ,旋转角的度数 是 . (2) 连接EF,请判断△AEF 的形状,并说 明理由. (3) 试猜想BE 与DF 有怎样的数量关系 和位置关系.并说明理由. (4) 如图②,若点B,E,F 恰好在一条直线 上,请直接写出∠AFD 的度数及FB,FE, DF 之间的数量关系. 第15题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 42 16. 如图①,在直角三角形ACB 中,四边形 DECF 是正方形. (1) 将△AED 绕点 按逆时针方向 至少旋转 °,可变换成图②,此时 ∠A1DB 的度数是 ; (2) 若 AD =3,BD =4,求 △ADE 与 △BDF 的面积之和. 第16题 答案讲解 17. 如图①所示为由△ABC 和△BED 拼 成 的 图 案,且 ∠ACB = ∠EBD= 90°, ∠A = 30°, ∠ABC=60°,∠E=∠EDB=45°. (1) ∠EBC 的度数为 . (2) 若△BED 不动,将△ABC 绕点B 按逆 时 针 方 向 旋 转 α(0°<α <90°),且 ∠ABE=2∠DBC. ① 如图②,当0°<α<60°时,求∠ABD 的 度数; ② 如图③,当60°≤α<90°时,求∠ABD 的 度数. 第17题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)七年级 12 6. (1) 如图①,过点E 作EF∥AB.因为AB∥CD,所以 AB∥CD∥EF.所以∠3=∠1,∠4=∠2.所以∠3+∠4= ∠1+∠2,即∠BED=∠1+∠2.(2) ∠1+∠EGH= ∠2+∠BEG.理由:如图②,分别过点E,G 作EM∥AB, GN∥AB.因为AB∥CD,所以AB∥EM∥GN∥CD.所以 ∠1=∠3,∠4=∠5,∠6=∠2.所以∠1+∠5+∠6= ∠3+ ∠4+ ∠2,即 ∠1+ ∠EGH = ∠2+ ∠BEG. (3) ∠1+∠3+∠5=∠2+∠4+∠6. 第6题 7. B 解析:如图,因为a∥b,所以∠4=∠1=x°.所以 ∠5=180°-∠4=(180-x)°.因为∠2+∠6=180°, ∠3+∠5+∠6=180°,所以∠2=∠3+∠5.所以y=z+ (180-x),即x+y-z=180. 第7题 8. 如图,过点E 作EG∥AB.因为AB∥CD,所以EG∥ CD.因为EC⊥CD,所以∠ECD=90°.所以∠GEC= ∠ECD=90°.因为∠BEC=30°,所以∠GEB=90°- 30°=60°.因 为 EG ∥AB,所 以 ∠ABE =180°- ∠GEB=120°. 第8题 9. (1) 如图①,过点E 作EF∥AB.因为AB∥CD,所以 CD∥EF.所以∠ABE=∠BEF,∠ECD+∠CEF= 180°.因为∠CEF=∠BEF-∠BEC=∠ABE-∠BEC, 所以∠ABE+∠ECD-∠BEC=180°.(2) ① 因为BF∥ CE,所以∠FBE=∠BEC=26°.因为BF 平分∠ABE,所 以∠FBE=∠ABF=26°,∠ABE=2∠FBE=52°.由 (1),得∠ECD=180°-∠ABE+∠BEC=180°-52°+ 26°=154°.因 为 CG 平 分 ∠ECD,所 以 ∠DCG = 1 2∠ECD=77°. 如 图 ②,过 点 F 作 FN ∥AB,则 ∠BFN=∠ABF=26°.因为AB∥CD,所以FN∥CD.所 以∠NFC= ∠DCG=77°.所 以 ∠BFC= ∠BFN + ∠NFC=103°.② 因 为 BF 平 分 ∠ABE,CG 平 分 ∠DCE,所 以 设∠ABF=∠FBE= 12 ∠ABE=x° , ∠ECG=∠DCG= 1 2∠DCE=y°. 由(1),可知∠ABE+ ∠ECD-∠BEC=180°,所 以2x°+2y°-∠BEC= 180°.由 ①,可 知 ∠BFC = ∠ABF + ∠DCG.所 以 ∠BFC=x°+y°.因为∠BFC-∠BEC=74°,所以x°+ y°=74°+∠BEC.所以2x°+2y°-∠BEC=2(74°+ ∠BEC)-∠BEC=180°,解得∠BEC=32°. 第9题 “牛角”模型 常见解法是过模型中的“牛角”作平行线,通过平 行线的性质得到几组平行线,如图. 或 专题六　与轴对称、平移 及旋转相关的问题 1. B 2. 85° 解析:由题意,得∠BEF=∠B'EF=∠1+ ∠AEF,∠EFC=∠EFC'=∠2+∠AFE,∠FAE'= ∠FAE=50°.所以180°-∠AEF=∠1+∠AEF,180°- ∠AFE=∠2+∠AFE.因为∠1=65°,所以∠AEF= 57.5°.所以∠AFE=180°-∠FAE-∠AEF=72.5°.所 以∠2=180°-2∠AFE =35°.因 为 180°- ∠2- ∠FAE'=180°-∠3,所以易得∠3=∠2+∠FAE'= 35°+50°=85°. 3. (1) 如图,△A1B1C1 即为所求作.(2) 如图,点 H 即 为所求作.(3) S△ABC=8×6- 1 2×2×8- 1 2×4×2- 1 2×6×6=18. 第3题 4. (1) 由翻折,得∠AEF=∠A'EF=40°,∠DEG= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 13 ∠D'EG=35°.所以∠AEA'+∠DED'+∠A'ED'= 2∠A'EF+2∠D'EG+∠A'ED'=180°.所以∠A'ED'= 180°-2×40°-2×35°=30°.(2) 由翻折,得∠AEF= ∠A'EF,∠DEG=∠D'EG.所 以 易 得2∠A'EF+ 2∠D'EG+∠A'ED'=180°,即2(∠A'EF+∠D'EG)= 180°-α.所以∠A'EF+∠D'EG=12 (180°-α).所以 ∠FEG=∠A'EF+∠D'EG+∠A'ED'=12 (180°- α)+α=90°+12α. (3) 由翻折,得∠AEF=∠A'EF, ∠DEG=∠D'EG.所以易得2∠A'EF+2∠D'EG- ∠A'ED'=180°,即2(∠A'EF+∠D'EG)=180°+α.所 以∠A'EF+∠D'EG=12 (180°+α).所以∠FEG= ∠A'EF+∠D'EG-∠A'ED'=12 (180°+α)-α= 90°-12α. 5. D 6. 8 7. 9 8. 15°或30° 9. 8 3 或8 10. (1) 如图,△DEF 即为所求作.(2) 如图,线段AM 即 为所求作.(3) 35;110. 第10题 11. (1) 因为∠1+∠AOB+∠BOE=180°,∠1=30°, ∠AOB=90°,所以∠BOE=180°-∠1-∠AOB=60°.因 为∠DEF=90°,所以∠BEO=180°-∠DEF=90°.所以 ∠OBE=180°-∠BOE-∠BEO=30°.所以∠ABE= ∠OBE+∠ABO=30°+45°=75°.(2) 如图①,设OA 和 EG 相交于点M.因为∠EMO+∠DEF+∠1=180°, ∠1=30°,∠DEF=90°,所以∠EMO=180°-∠DEF- ∠1=60°.所以∠AMG=∠EMO=60°.因为∠AGM+ ∠A+∠AMG=180°,∠A=45°,所以∠AGM=180°- ∠A-∠AMG=75°.所以∠DGH=∠AGM=75°.因为 ∠D=30°,所以∠DHG=180°-∠D-∠DGH=180°- 30°-75°=75°.所以∠DGH=∠DHG.(3) 存在.如图 ②,△DEF 即为所求作.此时点E 在BA 延长线与直线l 的交点处. 第11题 12. C 13. 15° 14. 30° 15. (1) A;90°.(2) △AEF 是等腰直角三角形.理由:由 旋转,得 EA=FA,∠BAE=∠DAF.所以∠EAF= ∠BAD=90°.所以△AEF 是等腰直角三角形.(3) BE= DF,BE⊥DF.理由:如图,延长BE 交AD 于点G,交DF 于点H.由旋转,得BE=DF,∠ABE=∠ADF.因为 ∠BGA=∠DGH,所以易得∠BAG=∠DHG=90°.所以 BE⊥DF.(4) ∠AFD=135°,FB-FE=DF. 第15题 16. (1) D;90;90°.(2) 由旋转,得∠A1DA=90°,AD= A1D=3, 所以∠A1DB=180°-∠A1DA=90°.所以 S△ADE+S△BDF=S△A1DF+S△BDF=S△A1DB= 1 2A1D · BD=12×3×4=6. 17. (1) 150°.(2) ① 由 题 意,得∠ABE=90°-α, ∠DBC=60°-α.因为∠ABE=2∠DBC,所以90°-α= 2(60°-α),解得α=30°,即∠ABD 的度数是30°.② 由题 意,得∠ABE=90°-α,∠DBC=α-60°.因为∠ABE= 2∠DBC,所以90°-α=2(α-60°),解得α=70°,即 ∠ABD 的度数是70°. 专题七　新定义题 1. C 解析:8的真因数有1,2,4,1+2+4=7,所以8不 是完美数,故A错误.18的真因数有1,2,3,6,9,1+2+ 3+6+9=21,所以18不是完美数,故B错误.28的真因 数有1,2,4,7,14,1+2+4+7+14=28,所以28是完美 数,故C正确.32的真因数有1,2,4,8,16,1+2+4+8+ 16=31,所以32不是完美数,故D错误. 2. C 解析:|x-y|-z-m-n=x-y-z-m-n,故说 法①正确.若使其运算结果与原多项式之和为0,必须出 现-x,显然无论怎么添加绝对值,都无法使x 的符号为 负,故说法②正确.当添加一个绝对值时,共有4种情况, 分别是|x-y|-z-m-n=x-y-z-m-n;x-|y- z|-m-n=x-y+z-m-n;x-y-|z-m|-n=x- y-z+m-n;x-y-z-|m-n|=x-y-z-m+n.当 添加两个绝对值时,共有3种情况,分别是|x-y|-|z- m|-n=x-y-z+m-n;|x-y|-z-|m-n|=x- y-z-m+n;x-|y-z|-|m-n|=x-y+z-m+ n.综上所述,共有7种情况,有两对运算结果相同,故共有 5种不同的运算结果,故说法③不正确. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈