专题5 平行线中与角有关的计算-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（湘教版2024）

36 专题五　平行线中与角有关的计算 利用平行线的性质求角度是常考的题型,但是通常会遇到有平行线,找不到相应的“截线”的 情况,即在解题过程中无法直接运用平行线性质的题型,此时需要我们添加适当的辅助线,构造 出“三线八角”模型,常见的模型有“铅笔头”模型、“M”模型、“锯齿”模型、“牛角”模型等. 类型一 “铅笔头”模型 答案讲解 1. ★某学习小组得出结论:已知直线 a∥b,若直线c∥a,则c∥b.请你利 用这个结论解决以下问题:已知直 线AB∥CD,点E 在AB,CD 之间,点P,Q 分别在直线AB,CD 上,连接PE,EQ. (1) 如图①,过点E 作EH∥AB,利用上述 结论,探究∠PEQ,∠APE,∠CQE 之间的 数量关系,并说明理由; (2) 如图②,类比(1)中的方法,利用上述结 论,探究∠PEQ,∠APE,∠CQE 之间的数 量关系,并说明理由; (3) 如图 ③,PF 平 分 ∠BPE,QF 平 分 ∠EQD,若 ∠PEQ =140°,求 ∠PFQ 的 度数. 第1题 2. 如图,AB∥CD,FE⊥AB 于点E,点G 在直 线CD 上,且位于直线EF 的右侧. (1) 若∠EFG=120°,则∠FGC 的度数为 ; (2) 若∠AEH=∠FGH=20°,∠H=50°, 求∠EFG 的度数. 第2题 类型二 “M”模型 答案讲解 3. 如图,AB∥DF,DE 和AC 分别平 分∠CDF 和∠BAE,若∠DEA= 46°,∠ACD=56°,则∠CDF 的度 数为 ( ) 第3题 A. 42° B. 43° C. 44° D. 45° 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)七年级 拍 照 批 改 37 4. 如图,直线l1∥l2,A,B 分别是l1,l2 上的 点,l3 和l1,l2 分别交于点C,D,P 是线段 CD 上的动点.(点P 不与点C,D 重合) (1) 若 ∠1=150°,∠2=45°,则 ∠3= °; (2) 若∠1=α,∠2=β,则∠APC+∠BPD= .(用含α,β的代数式表示) 第4题 5. 如图①,直线AB∥CD,点E,F 分别在直线 AB,CD 上. (1) 若 ∠1=50°,∠2=30°,则 ∠P = °; (2) 探究图①中∠1,∠2,∠P 之间的数量关 系,并说明理由; (3) 如图②,若∠1+∠2=35°,∠EPG= 75°,求∠PGF 的度数. 第5题 类型三 “锯齿”模型 答案讲解 6. (1) 如图①,AB∥CD,试 说 明: ∠BED=∠1+∠2; (2) 如图②,AB∥CD,写出∠1, ∠EGH,∠2,∠BEG 之间的数量关系,并说 明理由; (3) 如图③,AB∥CD,直接写出∠1,∠3, ∠5与∠2,∠4,∠6之间的数量关系. 第6题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 38 类型四 “牛角”模型 7. 如图,直线a∥b,∠1=x°,∠2=y°,∠3=z°, 那么下列代数式的值为180的是 ( ) 第7题 A. x+y+z B. x+y-z C. y+z-x D. x-y+z 8. 如 图,AB∥CD,EC ⊥CD 于 点 C,若 ∠BEC=30°,求∠ABE 的度数. 第8题 答案讲解 9. ★已知 AB∥CD. (1) 如 图 ①,试 说 明:∠ABE + ∠ECD-∠BEC=180°. (2) 如图②,∠DCE 的平分线CG 的反向延 长线交∠ABE 的平分线BF 于点F. ① 若BF∥CE,∠BEC=26°,求∠BFC 的 度数; ② 若∠BFC-∠BEC=74°,求∠BEC 的 度数. 第9题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)七年级 11 专题五　平行线中与角有关的计算 1. (1) ∠PEQ=∠APE+∠CQE.理由:因为AB∥CD, EH∥AB,所以AB∥EH∥CD.所以∠APE=∠PEH, ∠CQE=∠QEH.因为∠PEQ=∠PEH+∠QEH,所以 ∠PEQ=∠APE+∠CQE.(2) ∠APE+∠CQE+ ∠PEQ=360°.理由:如图,过点E 作EG∥AB.因为AB∥ CD,EG∥AB,所 以 AB∥EG∥CD.所 以 ∠APE+ ∠PEG=180°,∠CQE+∠QEG=180°.所以∠APE+ ∠PEG+∠CQE+∠QEG=360°,即∠APE+∠CQE+ ∠PEQ=360°.(3) 由 (2),得 ∠PEQ + ∠BPE + ∠EQD=360°.因 为 ∠PEQ =140°,所 以 ∠BPE + ∠EQD=360°-140°=220°.因为PF 平分∠BPE,QF 平 分 ∠EQD,所 以 ∠BPF = 12 ∠BPE ,∠DQF = 1 2∠EQD. 所 以 ∠BPF + ∠DQF = 12 (∠BPE + ∠EQD)=110°.由 (1),得 ∠PFQ = ∠BPF + ∠DQF=110°. 第1题 “铅笔头”模型 遇到“铅笔头”模型时,需要在拐点处作已知平行 线的平行线,利用平行线的性质可得三条直线都平行, 一般形式如图所示. 结论:若AB∥CD,则∠B+∠D+∠BED=360°. 2. (1) 30°.(2) 如图,过点F 作FM∥AB,过点 H 作 HN∥AB.所以∠AEH=∠EHN=20°.因为∠EHG= 50°,所以∠NHG=∠EHG-∠EHN=30°.因为 HN∥ AB,AB∥CD,所以 HN∥CD.所以∠CGH=∠NHG= 30°.因 为 ∠FGH =20°,所 以 ∠FGC = ∠CGH + ∠FGH=50°.因为FE⊥AB,所以∠FEB=90°.因为 FM∥AB,AB∥CD,所以FM∥AB∥CD.所以∠EFM= 180°- ∠FEB =90°,∠FGC = ∠MFG =50°.所 以 ∠EFG=∠EFM+∠MFG=140°. 第2题 3. C 解析:如图,过点C 作CN∥AB,过点E 作EM∥ AB.因为AB∥DF,CN∥AB,EM∥AB,所以AB∥CN∥ EM∥FD.所 以∠BAC=∠NCA,∠NCD=∠FDC, ∠FDE=∠DEM,∠MEA=∠EAB.所 以∠DEA= ∠DEM + ∠MEA = ∠FDE + ∠EAB,∠ACD = ∠NCA+∠NCD=∠BAC+∠FDC.又因为DE 和AC 分别平分∠CDF 和∠BAE,所以∠FDC=2∠FDE= 2∠EDC,∠BAE=2∠BAC=2∠EAC.所以∠BAC+ 2∠FDE=56°①,∠FDE+2∠BAC=46°②.由①+②, 得3(∠BAC+∠FDE)=102°.所以∠BAC+∠FDE= 34°③.由 ① - ③,得 ∠FDE =22°.所 以 ∠CDF = 2∠FDE=44°. 第3题 4. (1) 75 解析:如图,过点P 作PE∥l1.因为l1∥l2,所 以PE∥l2.所以∠1+∠APE=180°,∠2=∠BPE.又因 为∠3=∠APE+∠BPE=180°-∠1+∠2,∠1=150°, ∠2=45°,所以∠3=75°. (2) α-β 解析:由(1),得∠APC+∠BPD=180°- ∠3=∠1-∠2.因为∠1=α,∠2=β,所以∠APC+ ∠BPD=α-β. 第4题 5. (1) 80. 解析:如图①,过点P 作MN∥AB.因为 AB∥CD,所以AB∥MN∥CD.所以∠EPN=∠1=50°, ∠FPN=∠2=30°.因为∠EPF=∠EPN+∠FPN,所 以∠EPF=80°. (2) ∠P=∠1+∠2.理由:如图①,过点P 作 MN∥ AB.因为AB∥CD,所以AB∥MN∥CD.所以∠EPN= ∠1,∠FPN=∠2.因为∠EPN+∠FPN=∠EPF,所 以∠EPF=∠1+∠2.(3) 如图②,分别过点P,G 作IS∥ AB,KR∥AB.因为AB∥CD,所以AB∥IS∥KR∥CD.所 以∠1= ∠EPS,∠SPG+ ∠PGR =180°,∠RGF = ∠2.因 为 ∠1+ ∠2=35°,所 以 ∠EPS+ ∠SPG+ ∠PGR+ ∠RGF = ∠EPG + ∠PGF =215°.因 为 ∠EPG=75°,所以∠PGF=215°-75°=140°. 第5题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 12 6. (1) 如图①,过点E 作EF∥AB.因为AB∥CD,所以 AB∥CD∥EF.所以∠3=∠1,∠4=∠2.所以∠3+∠4= ∠1+∠2,即∠BED=∠1+∠2.(2) ∠1+∠EGH= ∠2+∠BEG.理由:如图②,分别过点E,G 作EM∥AB, GN∥AB.因为AB∥CD,所以AB∥EM∥GN∥CD.所以 ∠1=∠3,∠4=∠5,∠6=∠2.所以∠1+∠5+∠6= ∠3+ ∠4+ ∠2,即 ∠1+ ∠EGH = ∠2+ ∠BEG. (3) ∠1+∠3+∠5=∠2+∠4+∠6. 第6题 7. B 解析:如图,因为a∥b,所以∠4=∠1=x°.所以 ∠5=180°-∠4=(180-x)°.因为∠2+∠6=180°, ∠3+∠5+∠6=180°,所以∠2=∠3+∠5.所以y=z+ (180-x),即x+y-z=180. 第7题 8. 如图,过点E 作EG∥AB.因为AB∥CD,所以EG∥ CD.因为EC⊥CD,所以∠ECD=90°.所以∠GEC= ∠ECD=90°.因为∠BEC=30°,所以∠GEB=90°- 30°=60°.因 为 EG ∥AB,所 以 ∠ABE =180°- ∠GEB=120°. 第8题 9. (1) 如图①,过点E 作EF∥AB.因为AB∥CD,所以 CD∥EF.所以∠ABE=∠BEF,∠ECD+∠CEF= 180°.因为∠CEF=∠BEF-∠BEC=∠ABE-∠BEC, 所以∠ABE+∠ECD-∠BEC=180°.(2) ① 因为BF∥ CE,所以∠FBE=∠BEC=26°.因为BF 平分∠ABE,所 以∠FBE=∠ABF=26°,∠ABE=2∠FBE=52°.由 (1),得∠ECD=180°-∠ABE+∠BEC=180°-52°+ 26°=154°.因 为 CG 平 分 ∠ECD,所 以 ∠DCG = 1 2∠ECD=77°. 如 图 ②,过 点 F 作 FN ∥AB,则 ∠BFN=∠ABF=26°.因为AB∥CD,所以FN∥CD.所 以∠NFC= ∠DCG=77°.所 以 ∠BFC= ∠BFN + ∠NFC=103°.② 因 为 BF 平 分 ∠ABE,CG 平 分 ∠DCE,所 以 设∠ABF=∠FBE= 12 ∠ABE=x° , ∠ECG=∠DCG= 1 2∠DCE=y°. 由(1),可知∠ABE+ ∠ECD-∠BEC=180°,所 以2x°+2y°-∠BEC= 180°.由 ①,可 知 ∠BFC = ∠ABF + ∠DCG.所 以 ∠BFC=x°+y°.因为∠BFC-∠BEC=74°,所以x°+ y°=74°+∠BEC.所以2x°+2y°-∠BEC=2(74°+ ∠BEC)-∠BEC=180°,解得∠BEC=32°. 第9题 “牛角”模型 常见解法是过模型中的“牛角”作平行线,通过平 行线的性质得到几组平行线,如图. 或 专题六　与轴对称、平移 及旋转相关的问题 1. B 2. 85° 解析:由题意,得∠BEF=∠B'EF=∠1+ ∠AEF,∠EFC=∠EFC'=∠2+∠AFE,∠FAE'= ∠FAE=50°.所以180°-∠AEF=∠1+∠AEF,180°- ∠AFE=∠2+∠AFE.因为∠1=65°,所以∠AEF= 57.5°.所以∠AFE=180°-∠FAE-∠AEF=72.5°.所 以∠2=180°-2∠AFE =35°.因 为 180°- ∠2- ∠FAE'=180°-∠3,所以易得∠3=∠2+∠FAE'= 35°+50°=85°. 3. (1) 如图,△A1B1C1 即为所求作.(2) 如图,点 H 即 为所求作.(3) S△ABC=8×6- 1 2×2×8- 1 2×4×2- 1 2×6×6=18. 第3题 4. (1) 由翻折,得∠AEF=∠A'EF=40°,∠DEG= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈