专题4 方程(组)不等式(组)在实际生活中的应用-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（湘教版2024）

33 专题四　方程（组）、不等式（组）在实际生活中的应用　　 利用等量关系和不等关系建立方程(组)与不等式(组)模型,从而把实际问题转化为数学问 题,最终加以解决.建立方程(组)或不等式(组)模型的难点是如何根据问题的描述剖析其中的数 量关系,挖掘出题目中的隐含条件,从而建立相等关系和不等关系. 类型一 方程（组）模型 1. 新考向 数学文化 (广西中考)《九章算 术》是我国古代重要的数学著作,其中记载 了一个问题,大意如下:现有田出租,第一年 3亩1钱,第二年4亩1钱,第三年5亩1钱. 三年共得100钱.问:出租的田有多少亩? 设出租的田有x亩,则可列方程为 ( ) A. x 3+ x 4+ x 5=1 B. x 3+ x 4+ x 5=100 C. 3x+4x+5x=1 D. 3x+4x+5x=100 2. 新情境 热点信息 (福建中考)我国国民经 济良好,市场销售稳定增长,社会消费增长 较快,某年第一季度社会消费品的零售总额 为120327亿元,比去年第一季度增长了 4.7%,求去年第一季度社会消费品的零售总 额.若将去年第一季度社会消费品的零售总 额设为x亿元,则符合题意的方程是 ( ) A. (1+4.7%)x=120327 B. (1-4.7%)x=120327 C. x 1+4.7%=120327 D. x 1-4.7%=120327 3. (宜宾中考)某果农将采摘的荔枝分装为大 箱和小箱销售,其中每个大箱装4千克荔 枝,每个小箱装3千克荔枝.该果农现采摘 共32千克荔枝,根据市场销售需求,大小箱 都要装满,则最多装 ( ) A. 8箱 B. 9箱 C. 10箱 D. 11箱 4. 新考向 数学文化 (嘉兴中考)我国古代 数学名著《张丘建算经》中有这样一题:一只 公鸡值5钱,一只母鸡值3钱,3只小鸡值 1钱,现花100钱买了100只鸡.若公鸡有 8只,设母鸡有x 只,小鸡有y 只,可列方程 组为 . 5. (扬州中考)《九章算术》中记载了一个有趣 的追及问题,大意如下:速度快的人每分钟 走100米,速度慢的人每分钟走60米,现在 速度慢的人先走100米,速度快的人去追 他,则速度快的人追上他需要 分钟. 6. 新情境 日常生活 星期天,妈妈做饭,小峰 和爸爸进行一次大扫除.根据这次大扫除的 任务量,若小峰单独完成,则需4h;若爸爸单 独完成,则需2h.当天,小峰先单独打扫了一 段时间后,去参加篮球训练,接着由爸爸单 独完成了剩余的打扫任务,小峰和爸爸这次 一共打扫了3h,求小峰这次打扫了多长 时间. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 拍 照 批 改 34 7. 新考向 传统文化 (北京中考)对联是中华 传统文化的瑰宝,一副对联装裱后如图所 示,上、下空白处分别称为天头和地头,左、 右空白处统称为边.一般情况下,天头长与 地头长的比是3∶2,左、右边的宽相等,均为 天头长与地头长的和的1 10. 某人要装裱一副 对联,对联的长为100cm,宽为27cm.若要 使装裱后的长是装裱后的宽的4倍,求边的 宽和天头长(书法作品选自《启功法书》). 第7题 答案讲解 8. ★ 新情境 日常生活 为了锻炼身 体,很多同学准备购买足球、跳绳. (1) 某校七(1)班有部分同学准备 统一购买足球和跳绳.经班长统计,需要购 买足球的有12名同学,需要购买跳绳的有 10名同学.请你根据下面的对话信息(如 图),分别求出足球和跳绳的单价. (2) 由于足球和跳绳的需求量增大,体育用 品商店计划再次购进足球a 个和跳绳b根 (其中a>15),恰好用了1800元,其中每个 足球的进价为80元,每根跳绳的进价为 15元,则有哪几种购进方案? (3) 假如(2)中所购进的足球和跳绳全部售 出,且售价与(1)中的单价相同,为了获利最 多,应选择哪种购进方案? 第8题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)七年级 35 类型二 不等式（组）模型 9. (丽水中考)小霞原有存款52元,小明原有存 款70元.从这个月开始,小霞每月存15元零 花钱,小明每月存12元零花钱,设经过n个 月后小霞的存款超过小明,可列不等式为 ( ) A. 52+15n>70+12n B. 52+15n<70+12n C. 52+12n>70+15n D. 52+12n<70+15n 答案讲解 10. 志愿者在重阳节乘车前往敬老院慰 问老人,参加的志愿者不足50人, 联系汽车若干辆.若每辆车 坐 6人,则剩下18人无车可坐;若每辆车坐 10人,则其余的车坐满后,仅有一辆车不空 也不满.参加此次活动的志愿者的人数为 ( ) A. 54 B. 48 C. 46 D. 45 11. 某商品的进价为4元,标价5元出售,商家 准备打折销售,但其利润率不能少于10%, 则最多可打 折. 12. (山西中考)为加强校园消防安全管理,学 校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉 灭火器共50个.其中水基灭火器的价格为 540元/个,干粉灭火器的价格为380元/个. 如果学校购买这两种灭火器的总价不超过 21000元,那么最多可购买这种型号的水 基灭火器多少个? 答案讲解 13. 新情境 日常生活 (广安中考) 某超市销售A,B两种品牌的盐皮 蛋,若购买9箱A种盐皮蛋和6箱 B种盐皮蛋,则共需390元;若购买5箱 A种盐皮蛋和8箱B种盐皮蛋,则共需 310元. (1) A种盐皮蛋,B种盐皮蛋每箱的价格分 别是多少元? (2) 若某公司购买 A,B两种盐皮蛋共 30箱,且购买 A种盐皮蛋的数量至少比 B种盐皮蛋的数量多5箱,又不超过B种盐 皮蛋的2倍,怎样购买才能使总费用最少? 请求出最少费用. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 10 24. 对于方程组 x+3y=3-2k, 3x+y=1+k, 可得4x+4y=4-k.所 以x +y =1- k 4. 因 为 关 于 x,y 的 方 程 组 x+3y=3-2k, 3x+y=1+k 的解满足x+y>0,所以1-k4>0.解 得k<4.对于不等式组 x-2(x-1)≤3, 2k+x 3 ≥x , 可得x≥-1,及 x≤k.因为关于x的不等式 x-2(x-1)≤3, 2k+x 3 ≥x 有解,所以 k≥-1.综上所述,-1≤k<4.符合条件的整数k的值 为-1,0,1,2,3. 专题四　方程（组）、不等式（组） 在实际生活中的应用 1. B 2. A 3. C 解析:设可以装x 个大箱,y 个小箱,根据题意得 4x+3y=32,所以x=8- 3 4y. 又因为x,y均为正整数, 所以 x=5, y=4 或 x=2 , y=8. 所以x+y=9或x+y=10.所以 最多装10箱. 4. 5×8+3x+13y=100 , x+y+8=100 5. 2.5 6. 设小峰这次打扫了xh,则爸爸打扫了(3-x)h.根据 题意,得x 4+ 3-x 2 =1 ,解得x=2.所以小峰这次打扫了 2h. 7. 设天头长为xcm.由题意,得地头长为23xcm ,边的宽 为1 10x+ 2 3x =16x(cm).所以装裱后的长为23x+ x+100= 53x+100 cm,装裱后的宽为16x+16x+ 27= 13x+27 cm.由 题 意,得 53 x + 100 = 1 3x+27 ×4,解得x=24.所以16x=4.所以边的宽为 4cm,天头长为24cm. 8. (1) 设足球和跳绳的单价分别为x 元,y 元.由题意, 得 12x+10y=1400, 10x+12y=1240, 解得 x=100 , y=20. 所以足球和跳绳的 单价分别为100元,20元.(2) 由题意,得80a+15b= 1800(a>15),可购进足球的数量最多为180080 ≈22 (个), 所以15<a≤22.当a=16时,b=1043 (不合题意,舍去); 当a=17时,b=883 (不合题意,舍去);当a=18时,b= 24;当a=19时,b=563 (不合题意,舍去);当a=20时, b=403 (不合题意,舍去);当a=21时,b=8;当a=22时, b=83 (不合题意,舍去).所以有两种方案,方案一:购进 足球18个,跳绳24根;方案二:购进足球21个,跳绳 8根.(3) 方案一的利润为(100-80)×18+(20-15)× 24=480(元),方案二的利润为(100-80)×21+(20- 15)×8=460(元).因为480>460,所以为了获利最多,应 选择方案一,即购进足球18个,跳绳24根. 利用枚举法求二元一次方程的整数解 二元一次方程的解有无数组,但在限定条件下往 往可以求出其整数解.求二元一次方程的整数解,在问 题不是特别复杂的情况下,可以采用枚举法,即将其中 的一个未知数可以取的整数一一列举出来,求出对应 的另一个未知数的值,并找出符合题意的整数解.本题 就是在已知a的取值范围的条件下,列举出所有符合 条件的整数值,通过计算求出b的值,最后选取a,b均 是整数的解. 9. A 10. B 11. 8.8 12. 设可购买这种型号的水基灭火器x个,则购买这种型 号的干粉灭火器(50-x)个.根据题意,得540x+ 380(50-x)≤21000,解得x≤12.5.因为x为整数,所以 x的最大值为12.所以最多可购买这种型号的水基灭火 器12个. 13. (1) 设A种盐皮蛋每箱的价格是x元,B种盐皮蛋每 箱的 价 格 是 y 元.由 题 意,得 9x+6y=390, 5x+8y=310, 解 得 x=30, y=20. 所以A种盐皮蛋每箱的价格是30元,B种盐皮 蛋每箱的价格是20元.(2) 设购买A种盐皮蛋m 箱,则 购 买 B 种 盐 皮 蛋 (30 - m)箱.由 题 意,得 m-(30-m)≥5, m≤2(30-m), 解得352≤m≤20.又因为m 为正整数, 所以m 所有可能的取值为18,19,20.① 当m=18,30- m=12时,购买总费用为30×18+20×12=780(元); ② 当m=19,30-m=11时,购买总费用为30×19+ 20×11=790(元);③ 当m=20,30-m=10时,购买总费 用为30×20+20×10=800(元).因为780<790<800,所 以购买A种盐皮蛋18箱,B种盐皮蛋12箱才能使总费用 最少,最少费用为780元. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈