专题3 “含参”方程(组)或不等式(组)-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（湘教版2024）

30 专题三　“含参”方程（组）或不等式（组） “含参”方程(组)与不等式(组)是学习中的难点,也是重点.解决这类问题要注意三点:(1) 紧 紧围绕方程(组)与不等式(组)的有关概念,从定义出发寻求解决问题的方法;(2) 要辩证看待问 题中的参数与未知数,根据解题的需要,灵活变更主元;(3) 涉及不等式的问题,要充分利用数轴, 从数形结合的角度思考与解决问题. 类型一 “含参”方程（组） (一) 根据一次方程(组)的定义求参数 1. 若(k-2)x+1=0是关于x 的一元一次方 程,则k的值不可能是 ( ) A. -1 B. 0 C. 2 D. -2 2. 若xm-2-yn+4=21是关于x,y的二元一次 方程,则m+n的值为 . 3. 若方程组 2x-7y=1, 3x+az=y 是关于x,y的二元一 次方程组,则(a-1)2025= . (二) 根据一次方程(组)解的定义求参数 4. (眉山中考)已知关于x,y 的二元一次方程 组 3x-y=4m+1, x+y=2m-5 的解满足x-y=4,则 m 的值为 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 若x=1是关于x 的方程-2mx+n-1=0 的解,则2024+n-2m 的值为 ( ) A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 6. 若 关 于 x,y 的 二 元 一 次 方 程 组 x+y=3, 2x-ay=5 的 解 是 x=b , y=1, 则 ab 的 值 为 . 答案讲解 7. 新考法 新定义题 若关于x,y的 二元一次方程组 a1x+b1y=c1, a1x+b2y=c2 与 a3x+b3y=c3, a4x+b4y=c4 的 解 分 别 是 x=x0 , y=y0 与 x=y0, y=x0, 则称这两个二元一次方程组的解是 “对称解”.若关于x,y 的二元一次方程组 2x+5y=-6, ax-by=-4 与 x-4y=23 , bx+ay=8 的解是“对 称解”,试求a,b的值及每一个方程组的解. (三) 根据一次方程(组)解的情况求参数 8. 已 知 关 于 x,y 的 二 元 一 次 方 程 组 ax+3y=2, 2x-y=1 无解,则a的值是 ( ) A. 2 B. 6 C. -2 D. -6 9. 新考法 新定义题 一般情况下m 2- n 3= m-n 2-3 不成立,但有些数可以使得它成立,例 如:m=n=0.我们称使得m2- n 3= m-n 2-3 成 立的一对数m,n 为“神奇数对”,记为(m, n).若(8,n)是“神奇数对”,且关于x的方程 3x-6=n与2x-1=3k的解相等,则k的 值为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)七年级 拍 照 批 改 31 10. 已知m 为整数,且关于x,y的二元一次方 程组 mx+y=5, 3x-y=0 有正整数解,则m 的值为 . 11. 若关于x,y的二元一次方程组 ax+by=4, 3x-y=2 与 x+2y=1, ax-by=-2 有相同的解,求a,b的值. 答案讲解 12. 甲、乙两人同时解二元一次方程组 mx+y=5①, 2x-ny=13②, 甲解题时看错了 ①中的m,解得 x=72 , y=-2; 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 乙解题时看错了 ②中的n,解得 x=3, y=-7. 试 求 m2+n2 的值. 类型二 “含参”不等式（组） (一) 根据一次不等式的定义求参数 13. 已知4x2k+3+11+k2>4是关于x 的一元 一次不等式,则k的值为 ( ) A. 0 B. 1 C. -1 D. -2 14. 已知关于x的不等式2m-mx2 > 1 2x-1 是 一元一次不等式,则 m 的取值范围是 . (二) 根据一次不等式(组)的解集求参数 15. 若关于x 的一元一次不等式m-2x3 ≤-2 的解集为x≥5,则m 的值为 ( ) A. -2 B. 2 C. -4 D. 4 16. 已 知 关 于 x 的 一 元 一 次 不 等 式 组 2+21-x >13-5x, x-k>-2 的解集是x>3,则 k的取值范围是 ( ) A. k<5 B. k≤5 C. k>5 D. k≥5 答案讲解 17. 若 关 于 x 的 不 等 式 组 x-2>2a, -12+4x<10+ x 2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 的 解 集 为 -2<x<3,则a满足 ( ) A. a=-2 B. a=12 C. a≥-2 D. a≤-1 18. 若 关 于 x 的 一 元 一 次 不 等 式 组 x-a>0, 1-x>x-1 无 解,则a 的 取 值 范 围 是 . 19. 已知关于x 的不等式组 x-m>0, x-m<1 有解, 且它的每一个解都不在 2≤x<5的范围 内,求m 的取值范围. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 32 (三) 根据一次不等式(组)的整数解求参数 20. 若x=3是关于x 的不等式2x-m>4的 一个整数解,而x=2不是其整数解,则m 的取值范围是 ( ) A. 0<m<2 B. 0≤m≤2 C. 0≤m<2 D. 0<m≤2 答案讲解 21. 若关于x 的一元一次不等式组 x-1>0, 2x-a<0 有2个整数解,则a的 取值范围是 . 类型三 一次方程（组）与一次不等式（组） 综合求参数 22. 若关于x的方程2x-m=4x-3+m 的解 为非负数,则m 的取值范围是 . 23. ★已知 关 于 x,y 的 二 元 一 次 方 程 组 2x-y=4m-5, x+4y=-7m+2 的解满足x+y>-3, 其中m 是非负整数,求m 的值. 答案讲解 24. 已 知 关 于 x,y 的 方 程 组 x+3y=3-2k, 3x+y=1+k 的 解 满 足x+ y > 0,且 关 于 x 的 不 等 式 组 x-2(x-1)≤3, 2k+x 3 ≥x 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 有解,求符合条件的整数 k的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)七年级 9 13. 原式= 11×2+ 1 2×3+ 1 3×4+ 1 4×5+ 1 5×6+ 1 6×7+ 1 7×8+ 1 8×9 + 1 9×10 = 1- 1 2 + 12-13 + 1 3- 1 4 + 14-15 + 15-16 + 16-17 + 1 7- 1 8 + 18-19 + 19-110 =1-110=910. 14. (1) 原 式 = (-2022)+ -56 + (-2022)+ -23 + (-1)+ -12 +4045= [(-2022)+ (-2022)+ (-1)+4045]+ -56 + -23 + -12 =0+(-2)=-2.(2) 因 为1-122= 1 2× 3 2 ,1-132= 2 3× 4 3 ,1-142= 3 4× 5 4 ,…,所以原式=12× 3 2× 2 3× 4 3× 3 4× 5 4× …× 2020 2021× 2022 2021× 2021 2022× 2023 2022= 1 2× 2023 2022= 2023 4044. 专题三　“含参”方程（组） 或不等式（组） 1. C 2. 0 3. -1 4. B 5. C 6. 1 7. 因为关于x,y 的方程组 2x+5y=-6, ax-by=-4 与方程组 x-4y=23, bx+ay=8 的解x,y 的值刚好交换了位置,所以得出 方程组 2x+5y=-6, y-4x=23, 解得 x=- 11 2 , y=1, 即第一个方程组 的解是 x=-112 , y=1, 第二个方程组的解是 x=1, y=- 11 2. 把 x=-112 , y=1 代入ax-by=-4,得-112a-b=-4①.把 x=1, y=- 11 2 代入bx+ay=8,得b-112a=8②.由①②,得 a=-411 , b=6. 所以a=-411,b=6.第一个方程组的解为 x=-112 , y=1, 第二个方程组的解为 x=1, y=- 11 2. 8. D 9. 3 解析:因为(8,n)是“神奇数对”,所以82- n 3= -(8-n).所以n=9.所以3x-6=9.所以x=5.因为方 程3x-6=n 与2x-1=3k 的解相等,所以10-1= 3k.所以k=3. 10. 2或-2 解析:记 mx+y=5①, 3x-y=0②, ①+②得,(m+ 3)x=5,即x= 5m+3 ,将x= 5m+3 代入②,得y= 15 m+3. 因为方程组有正整数解,m 为整数,所以m+3= 1或m+3=5.所以m=-2或m=2. 11. 因为关于x,y 的二元一次方程组 ax+by=4, 3x-y=2 与 x+2y=1, ax-by=-2 有相同的解,所以方程组 3x-y=2 , x+2y=1 的解 也是它们的解,解得 x=57 , y= 1 7. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 代入其他两个方程,得 5 7a+ 1 7b=4 , 5 7a- 1 7b=-2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 a=75 , b=21. 12. 把 x=72 , y=-2 代入②,得7+2n=13,解得n=3.把 x=3, y=-7 代 入 ①,得 3m -7=5,解 得 m =4.所 以 m2+n2=5. 13. C 14. m≠-1 15. D 16. B 17. A 18. a≥1 19. 由x-m>0,得x>m,由x-m<1,得x<m+1. 不 等式组的解集为m<x<m+1.因为不等式组的每一个 解都不在 2≤x<5的范围内,所以m+1≤2或m≥5,即 m≤1或m≥5. 20. C 21. 6<a≤8 22. m≤32 23. 记 2x-y=4m-5①, x+4y=-7m+2②, 由①+②,得3x+3y= -3m-3,所以x+y=-m-1.因为x+y>-3,所以 -m-1>-3.所以m<2.因为m 是非负整数,所以m= 1或m=0. 利用方程组的解的不等关系求参数的取值范围 由方程组的解的不等关系列出不等式,求出方程 组中参数的取值范围,关键点有两个:一是要会解除未 知数以外还含有其他参数的方程组,二是要会根据解 的不等关系列出不等式. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 10 24. 对于方程组 x+3y=3-2k, 3x+y=1+k, 可得4x+4y=4-k.所 以x +y =1- k 4. 因 为 关 于 x,y 的 方 程 组 x+3y=3-2k, 3x+y=1+k 的解满足x+y>0,所以1-k4>0.解 得k<4.对于不等式组 x-2(x-1)≤3, 2k+x 3 ≥x , 可得x≥-1,及 x≤k.因为关于x的不等式 x-2(x-1)≤3, 2k+x 3 ≥x 有解,所以 k≥-1.综上所述,-1≤k<4.符合条件的整数k的值 为-1,0,1,2,3. 专题四　方程（组）、不等式（组） 在实际生活中的应用 1. B 2. A 3. C 解析:设可以装x 个大箱,y 个小箱,根据题意得 4x+3y=32,所以x=8- 3 4y. 又因为x,y均为正整数, 所以 x=5, y=4 或 x=2 , y=8. 所以x+y=9或x+y=10.所以 最多装10箱. 4. 5×8+3x+13y=100 , x+y+8=100 5. 2.5 6. 设小峰这次打扫了xh,则爸爸打扫了(3-x)h.根据 题意,得x 4+ 3-x 2 =1 ,解得x=2.所以小峰这次打扫了 2h. 7. 设天头长为xcm.由题意,得地头长为23xcm ,边的宽 为1 10x+ 2 3x =16x(cm).所以装裱后的长为23x+ x+100= 53x+100 cm,装裱后的宽为16x+16x+ 27= 13x+27 cm.由 题 意,得 53 x + 100 = 1 3x+27 ×4,解得x=24.所以16x=4.所以边的宽为 4cm,天头长为24cm. 8. (1) 设足球和跳绳的单价分别为x 元,y 元.由题意, 得 12x+10y=1400, 10x+12y=1240, 解得 x=100 , y=20. 所以足球和跳绳的 单价分别为100元,20元.(2) 由题意,得80a+15b= 1800(a>15),可购进足球的数量最多为180080 ≈22 (个), 所以15<a≤22.当a=16时,b=1043 (不合题意,舍去); 当a=17时,b=883 (不合题意,舍去);当a=18时,b= 24;当a=19时,b=563 (不合题意,舍去);当a=20时, b=403 (不合题意,舍去);当a=21时,b=8;当a=22时, b=83 (不合题意,舍去).所以有两种方案,方案一:购进 足球18个,跳绳24根;方案二:购进足球21个,跳绳 8根.(3) 方案一的利润为(100-80)×18+(20-15)× 24=480(元),方案二的利润为(100-80)×21+(20- 15)×8=460(元).因为480>460,所以为了获利最多,应 选择方案一,即购进足球18个,跳绳24根. 利用枚举法求二元一次方程的整数解 二元一次方程的解有无数组,但在限定条件下往 往可以求出其整数解.求二元一次方程的整数解,在问 题不是特别复杂的情况下,可以采用枚举法,即将其中 的一个未知数可以取的整数一一列举出来,求出对应 的另一个未知数的值,并找出符合题意的整数解.本题 就是在已知a的取值范围的条件下,列举出所有符合 条件的整数值,通过计算求出b的值,最后选取a,b均 是整数的解. 9. A 10. B 11. 8.8 12. 设可购买这种型号的水基灭火器x个,则购买这种型 号的干粉灭火器(50-x)个.根据题意,得540x+ 380(50-x)≤21000,解得x≤12.5.因为x为整数,所以 x的最大值为12.所以最多可购买这种型号的水基灭火 器12个. 13. (1) 设A种盐皮蛋每箱的价格是x元,B种盐皮蛋每 箱的 价 格 是 y 元.由 题 意,得 9x+6y=390, 5x+8y=310, 解 得 x=30, y=20. 所以A种盐皮蛋每箱的价格是30元,B种盐皮 蛋每箱的价格是20元.(2) 设购买A种盐皮蛋m 箱,则 购 买 B 种 盐 皮 蛋 (30 - m)箱.由 题 意,得 m-(30-m)≥5, m≤2(30-m), 解得352≤m≤20.又因为m 为正整数, 所以m 所有可能的取值为18,19,20.① 当m=18,30- m=12时,购买总费用为30×18+20×12=780(元); ② 当m=19,30-m=11时,购买总费用为30×19+ 20×11=790(元);③ 当m=20,30-m=10时,购买总费 用为30×20+20×10=800(元).因为780<790<800,所 以购买A种盐皮蛋18箱,B种盐皮蛋12箱才能使总费用 最少,最少费用为780元. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈