专题2 实数的运算技巧-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（湘教版2024）

8 6. 3a2(a3b2-2ab)-3a(-a2b)2=3a5b2-6a3b-3a· a4b2=3a5b2-6a3b-3a5b2=-6a3b.因为|a+b-1|+ (a-b+3)2=0,所以 a+b-1=0, a-b+3=0, 解得 a=-1 , b=2. 当 a=-1,b=2 时,原式=-6×(-1)3×2=12. 7. (1) 因为A-(x-2)2=x(x+7),所以A=(x- 2)2+x(x+7)=x2-4x+4+x2+7x=2x2+3x+4. (2) 因为2x2+3x+1=0,所以2x2+3x=-1.所以 A=-1+4=3. 8. 2x2+ax-y+6-(2bx2-3x+5y-1)=2x2+ax- y+6-2bx2+3x-5y+1=(2-2b)x2+(a+3)x-6y+ 7.因为两个整式的差的值与字母x的取值无关,所以2- 2b=0,a+3=0,解得a=-3,b=1.4(a2+2b3-a2b)+ 3a2-2(4b3+2a2b)=4a2+8b3-4a2b+3a2-8b3- 4a2b=7a2-8a2b.当a=-3,b=1时,原式=7× (-3)2-8×(-3)2×1=7×9-8×9×1=63-72=-9. 9. (1) 原式=(2k-2)x2+4y2+1.因为化简后不含 x2 项,所 以2k-2=0,解得 k =1.(2) (-k+2)2-(k- 4)(k+4)=k2-4k+4-k2+16=20-4k.当k=1时,原 式=20-4×1=16. 有关整式化简求值说理型问题的常见结论 对多项式进行化简后,若代入求值时,代入的某字 母的值是多余的,则说明化简后不含该字母;若某字母 不论取任何值,代入后的结果都不变,则说明化简后不 含该字母. 10. B 11. (1) 根据题意,得b>0,c<0,a<0.因为|a|=1, |b|=2,|c|=4,所以a=-1,b=2,c=-4.所以3b+ 2a-c=6-2+4=8.(2) A-2B=3a2-4ab-2(a2+ 2ab)=3a2-4ab-2a2-4ab=a2-8ab.当a=-1,b= 2时,原式=(-1)2-8×(-1)×2=17. 12. (1) 因为m=4,所以点A 与点B 之间的距离为4个 单位长度.因为点A,B 在数轴上表示的数互为相反数,且 点A 在点B 的左边,所以点A 表示的数为-2,点B 表示 的数为2.(2) 因为点A,B 到点C的距离相等,且点A,B 在数轴上表示的数互为相反数,所以点C 表示的数为0, 即mn-1=0,解 得 mn=1.2mn+m 12n+3 - 3 12+m +1 =2mn+12mn+3m- 32+3m+1 = 5 2mn+3m- 5 2+3m =52mn+3m-52-3m= 5 2mn- 5 2. 当mn=1时,原式=52×1- 5 2=0. 13. (1) 二.(2) 2(x+1)2-x(x-1)-(x+1)(x-1)= 2(x2+2x+1)-x2+x-(x2-1)=2x2+4x+2-x2+ x-x2+1=5x+3.当x=-25 时,原式=5× -25 + 3=-2+3=1. 专题二　实数的运算技巧 1. C 2. C 3. (1) 3 (2) -36 4. (1) 原式=-1+(-4-16)÷(-5)=-1+(-20)÷ (-5)=-1+4=3.(2) 原式=5+53-2×5= 20 3- 10=-103. (3) 原式=-9+116- 5 16=-9 1 4. 5. A 6. B 7. C 8. A 9. (1) 交换律和结合律 (2) 乘法对加法的分配律 10. (1) -521 (2) 7 (3) -8700 (4) -6 (5) 458 (6) -5115 (7) -1 (8) -24 (9) 59 (10) 1 11. (1) 原式=-5-56-9- 2 3+17+ 3 4-3- 1 2= (-5-9+17-3)+ -56- 2 3+ 3 4- 1 2 =0-54= -54. (2) 原式=-3.14×(35+46.6+18.4)=-3.14× 100=-314. (3) 原式=-14+15-3-6×(1.05+ 3.95)=1-3-30=-32.(4) 原式=-9-2+21+12÷ 6 12- 4 12- 3 12 =10+12÷ -112 =-134.(5) 原式= -47 ×(3.59+2.41-6)= -47 ×(6-6)= -47 ×0=0.(6) 原式=5×401× 3021599+1599× 89 1599+401× 89 1599= 401 1599× (5×302+89)+89= 401 1599× (1510+89)+89= 4011599×1599+89=401+ 89=490. 12. 因 为 2 3- 3 4+ 1 6- 5 12 ÷ 124 = 2 3- 3 4+ 1 6- 5 12 ×24=23×24-34×24+16×24- 5 12×24=-8 ,所以1 24÷ 2 3- 3 4+ 1 6- 5 12 =-18. 利用转化思想进行简便运算 除法没有分配律,若将被除数和除数交换位置,将 除法转化为乘法,则可用乘法分配律进行简便计算,此 时结果与原式的结果互为倒数. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 9 13. 原式= 11×2+ 1 2×3+ 1 3×4+ 1 4×5+ 1 5×6+ 1 6×7+ 1 7×8+ 1 8×9 + 1 9×10 = 1- 1 2 + 12-13 + 1 3- 1 4 + 14-15 + 15-16 + 16-17 + 1 7- 1 8 + 18-19 + 19-110 =1-110=910. 14. (1) 原 式 = (-2022)+ -56 + (-2022)+ -23 + (-1)+ -12 +4045= [(-2022)+ (-2022)+ (-1)+4045]+ -56 + -23 + -12 =0+(-2)=-2.(2) 因 为1-122= 1 2× 3 2 ,1-132= 2 3× 4 3 ,1-142= 3 4× 5 4 ,…,所以原式=12× 3 2× 2 3× 4 3× 3 4× 5 4× …× 2020 2021× 2022 2021× 2021 2022× 2023 2022= 1 2× 2023 2022= 2023 4044. 专题三　“含参”方程（组） 或不等式（组） 1. C 2. 0 3. -1 4. B 5. C 6. 1 7. 因为关于x,y 的方程组 2x+5y=-6, ax-by=-4 与方程组 x-4y=23, bx+ay=8 的解x,y 的值刚好交换了位置,所以得出 方程组 2x+5y=-6, y-4x=23, 解得 x=- 11 2 , y=1, 即第一个方程组 的解是 x=-112 , y=1, 第二个方程组的解是 x=1, y=- 11 2. 把 x=-112 , y=1 代入ax-by=-4,得-112a-b=-4①.把 x=1, y=- 11 2 代入bx+ay=8,得b-112a=8②.由①②,得 a=-411 , b=6. 所以a=-411,b=6.第一个方程组的解为 x=-112 , y=1, 第二个方程组的解为 x=1, y=- 11 2. 8. D 9. 3 解析:因为(8,n)是“神奇数对”,所以82- n 3= -(8-n).所以n=9.所以3x-6=9.所以x=5.因为方 程3x-6=n 与2x-1=3k 的解相等,所以10-1= 3k.所以k=3. 10. 2或-2 解析:记 mx+y=5①, 3x-y=0②, ①+②得,(m+ 3)x=5,即x= 5m+3 ,将x= 5m+3 代入②,得y= 15 m+3. 因为方程组有正整数解,m 为整数,所以m+3= 1或m+3=5.所以m=-2或m=2. 11. 因为关于x,y 的二元一次方程组 ax+by=4, 3x-y=2 与 x+2y=1, ax-by=-2 有相同的解,所以方程组 3x-y=2 , x+2y=1 的解 也是它们的解,解得 x=57 , y= 1 7. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 代入其他两个方程,得 5 7a+ 1 7b=4 , 5 7a- 1 7b=-2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 a=75 , b=21. 12. 把 x=72 , y=-2 代入②,得7+2n=13,解得n=3.把 x=3, y=-7 代 入 ①,得 3m -7=5,解 得 m =4.所 以 m2+n2=5. 13. C 14. m≠-1 15. D 16. B 17. A 18. a≥1 19. 由x-m>0,得x>m,由x-m<1,得x<m+1. 不 等式组的解集为m<x<m+1.因为不等式组的每一个 解都不在 2≤x<5的范围内,所以m+1≤2或m≥5,即 m≤1或m≥5. 20. C 21. 6<a≤8 22. m≤32 23. 记 2x-y=4m-5①, x+4y=-7m+2②, 由①+②,得3x+3y= -3m-3,所以x+y=-m-1.因为x+y>-3,所以 -m-1>-3.所以m<2.因为m 是非负整数,所以m= 1或m=0. 利用方程组的解的不等关系求参数的取值范围 由方程组的解的不等关系列出不等式,求出方程 组中参数的取值范围,关键点有两个:一是要会解除未 知数以外还含有其他参数的方程组,二是要会根据解 的不等关系列出不等式. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 27 专题二　实数的运算技巧 实数的运算主要有实数的加、减、乘、除、乘方以及开方运算.实数运算就是根据实数的运算 律和运算法则进行数的运算.在运算过程中,依据算理对题中的数进行恰当的分组或组合,并合 理运用运算律是解题的关键.运算过程中要注意加减法之间、乘除法之间、小数和分数之间的相 互转化,从而减少运算量,提高运算速度与正确率. 类型一 直接计算 1. (营口中考)有下列四个算式:① (-5)+ (+3)=-8;② -(-2)3=6;③ +56 + -16 =23;④ -3÷ -13 =9.其中,正确 的有 ( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 2. 下列各式中运算正确的是 ( ) A. (-2)2=-2 B. 49=±7 C. -327=-3 D. 3(-4)3=4 3. (1) (包头中考)计算:38+(-1)2024= ; (2) -32-0.75÷13× [4-(-2)3]= . 4. 计算: (1) -12025+ 25× (-10)-42 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 ÷(-5); (2) 3125+ 259+ 3-8× 42+32; (3) -32+1÷4×14- -1 1 4 × (-0.5)2. 类型二 利用运算律简化运算 5. 计算(-8)×3÷(-2)2得 ( ) A. -6 B. 6 C. -12 D. 12 6. 用简便方法计算47× -18 +81×18+26× (-0.125),其结果是 ( ) A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 7. 下列算式中,能运用乘法对加法的分配律进 行简便计算的是 ( ) A. 60÷ 13- 1 4+ 1 12 B. 1 3- 1 4+ 1 12 ÷60 C. 1 3- 1 4+ 1 12 ÷160D. 1 3- 1 4+ 1 12 ×160 8. 计算 -12 +14+ -25 + +310 时,下列所 运用的运算律恰当的是 ( ) A. -12 +14􀭠􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 + -25 + +310 􀭠􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 B. 1 4+ - 2 5 􀭠􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 + -12 + +310 􀭠􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 C. -12 + 14+ -25 􀭠􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 + +310 D. 1 4+ + 3 10 􀭠􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 + -12 + -25 􀭠􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 拍 照 批 改 28 9. 指出下面的变形中用到的运算律. (1) (-2)+9+(-3)+2=[(-2)+2]+ 9+(-3)利用的是加法的 ; (2) (-3)×(-8+2-3)= (-3)×(-8)- 3×2-3×(-3),根据的运算律是 . 10. 计算:(1) 1 6+ - 2 7 + -56 + +57 = ; (2) -2.5+(-3.26)+5.5+(+7.26)= ; (3) (-25)×(-87)×(-4)= ; (4) -67 × (-15)× -76 × 25 = ; (5) -92223× (-46)= ; (6) -651315÷13= ; (7) -81÷16÷ -214 ÷ -214 = ; (8) -16+ 3 4- 1 12 ×(-48)= ; (9) 11.8×334- (-11.8)×1.7-11.8× 3 4-11.8× (-0.3)= ; (10) 28 5÷ (-2)× -514 = . 11. 计算: (1) -556-9 2 3+17 3 4-3 1 2 ; (2) -3.14×35+6.28×(-23.3)- 15.7×3.68; (3) 7 9- 5 6+ 3 18 ÷ -118 -6×1.05- 3.95×6; (4) -32-7× 27-3 +12÷ 12-13-14 ; (5) 3.59× -47 +2.41× -47 - 6× -47 ; (6) 5×401× 3021599+ (1599+401)× 89 1599. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)七年级 29 类型三 构造符合运算律的模型简化运算 (一) 倒数法 答案讲解 12. ★计算:1 24÷ 2 3- 3 4+ 1 6- 5 12 . (二) 拆项法与裂项法 答案讲解 13. 计算:1 2+ 1 6+ 1 12+ 1 20+ 1 30+ 1 42+ 1 56+ 1 72+ 1 90. 14. 阅读下面的计算方法: -556+ -9 2 3 +1712+ -312 = (-5)+ -56 􀭠􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 + (-9)+ -23 􀭠􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 + 17+12 + (-3)+ -12 􀭠􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 =[(-5)+ (-9)+17+(-3)]+ -56 + -23 + 1 2+ - 1 2 =0+ -112 =-112. 计算:(1) -202256 + -202223 + -112 +4045; (2) 已知1-122= 1 2× 3 2 ,1-132= 2 3× 4 3 , 1- 142 = 3 4 × 5 4 ,…,计 算:1-122 × 1-132 ×…×1- 120212 ×1- 120222 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优