专题1 整式的化简求值-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（湘教版2024）

24 专题一　整式的化简求值 整式的化简求值题,一律要先化简,再代入求值.代入求值时,若是直接给定字母的值,则直 接代入;若是给定某个式子的值,则往往需整体代入;有时,需要将整式的化简结果变形后,再直 接或整体代入求值.不管哪种情况,准确地选择运算律和运算法则、迅速正确地进行数式运算是 解题的关键. 类型一 直接代入求值 1. 先化简,再求值:(a+2b)(a-2b)+(a+ 2b)2-a(2a-3b),其中a=15 ,b=3. 类型二 整体代入求值 答案讲解 2. 有这样一道题:若代数式5a+3b的值 为-4,则代数式2(a+b)+4(2a+b) 的值是多少? 小明是这样解答的: 原式=2a+2b+8a+4b=10a+6b.将5a+ 3b=-4两边同时乘2,得10a+6b=-8.仿 照小明的解答方法,完成下列题目. (1) 如果a2+a=0,那么a2+a+2024= ; (2) 已知a-b=-2,求3(a-b)-5a+ 5b+6的值; (3) 已知a2+2ab=3,ab-b2=-4,求a2+ 3 2ab+ 1 2b 2的值. 3. (苏州中考)先化简,再求值:2(x+2y)(x- 2y)-(x+y)2+10y2,其中x+y=6,xy=-1. 类型三 利用条件间接代入求值 4. 先化简,再求值:已知-7x3my5 与2x6y1-n 是同 类 项,求 3m2n- 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 2mn2-2 mn- 3 2m 2n 􀭤􀭥 􀪁 􀪁􀪁 +3mn2的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)七年级 拍 照 批 改 25 5. 已知多项式(a+1)x3-2xb-1+4x-1是关 于x的二次三项式. (1) 求a,b的值; (2) 利用(1)中的结果,先化简,再求值: 2(3a2b-2ab2)-3(1-ab2-2a2b)-3. 6. 先化简,再求值:3a2(a3b2-2ab)-3a· (-a2b)2,其中a,b满足|a+b-1|+(a- b+3)2=0. 7. 已知关于x 的多项式A,当A-(x-2)2= x(x+7)时,完成下面的题目. (1) 求多项式A; (2) 若2x2+3x+1=0,求多项式A 的值. 类型四 “无关”型或“不含”型 答案讲解 8. 已知整式2x2+ax-y+6与整式 2bx2-3x+5y-1的差的值与字母 x的取值无关,试求4(a2+2b3- a2b)+3a2-2(4b3+2a2b)的值. 答案讲解 9. ★ 已知多项式(2kx2+4x2+3x+ 1)-(3x+2y)(3x-2y)+3x(x- 1)化简后不含x2 项. (1) 求k 的值; (2) 化简并求多项式(-k+2)2- (k-4)· (k+4)的值. 类型五 与数轴相结合 10. 数形结合思想 有理数a,b,c在数轴上的 位置如图所示,代数式|a+c|-2|a-b|+ |b-c|化简后的结果为 ( ) 第10题 A. b B. a-3b C. b+2c D. b-2c 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 26 11. 数形结合思想 有理数a,b,c在数轴上的 位置如图所示,且|a|=1,|b|=2,|c|=4. (1) 求3b+2a-c的值; (2) 已知A=3a2-4ab,B=a2+2ab,求 A-2B 的值. 第11题 12. 已知数轴上不重合的三点A,B,C.点A,B 在数轴上表示的数互为相反数,点A 与点 B 之间的距离为m 个单位长度(点A 在点 B 的左边),点C 在数轴上表示的数为 mn-1,且m,n均为整数. (1) 若 m=4,求点A,B 在数轴上表示 的数; (2) 若点 A,B 到点C 的距离相等,求 2mn+m 12n+3 与3 12+m +1的差 的值. 类型六 错解问题 答案讲解 13. 下面是明明对多项式化简并求值 的过程,请你认真阅读并 回 答 问题. 先化简,再求值:2(x+1)2-x(x-1)- (x+1)(x-1),其中x=-25. 原式=2(x2+2x+1)-x2+x-(x2-1) …第一步 =2x2+4x+2-x2+x-x2-1…第二步 =5x+1…第三步 当x=-25 时,原式=5× -25 +1=-1. …第四步 (1) 明明第 步开始出现错误; (2) 请你写出正确的化简和求值的过程. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)七年级 7 得x>12 ,所以该不等式组的解集为1 2<x≤3. 所以该不 等式组的整数解为x=1或x=2或x=3.所以该不等式 组的所有整数解的和为1+2+3=6. 21. 过点E 作EF∥AB,因为AB∥CD,所以EF∥CD.所 以∠DEF=∠D.又因为∠D=∠2,所以∠DEF= ∠2.同理,由EF∥AB,∠1=∠B,可得∠BEF=∠1.又 因为∠1+∠2+∠BEF+∠DEF=180°,所以∠1+ ∠2=∠BEF+∠DEF=∠BED=90°.所以BE⊥DE. 22. (1) 200;36°. 解析:本次调查的样本容量是50÷ 25%=200,扇形统计图中C对应的扇形圆心角的度数为 360°×20200=36°. (2) 最喜欢B项目的人数为200-54-20-50-46=30, 补全条形统计图如图所示.(3) 2000×46200=460 (人),所 以估计该校最喜欢E项目的学生人数为460. 第22题 23. (1) 设A种商品每件的进价是x元,B种商品每件的 进 价 是 y 元.根 据 题 意,得 3x-4y=60, 5x+2y=620, 解 得 x=100, y=60. 所以A种商品每件的进价是100元,B种商品 每件的进价是60元.(2) 设购进m 件A种商品,则购进 (60 - m ) 件 B 种 商 品. 根 据 题 意, 得 60-m≥2m, (150-100)m+(80-60)(60-m)≥1770, 解 得 19≤ m≤20.所以m 的最大值为20.所以购进A种商品的件数 最多为20. 24. (1) 因 为 ∠AGE + ∠DHE =180°,∠AGE = ∠BGF.所以∠BGF+∠DHE=180°.所以AB∥CD. (2) 如图①,过点M 作MR∥AB,又因为AB∥CD,所以 AB∥CD∥MR.所 以 ∠GMR = ∠AGM,∠HMR = ∠CHM.所以∠GMH=∠GMR+∠RMH=∠AGM+ ∠CHM,即∠M=∠AGM+∠CHM.(3) 如图②,令 ∠AGM=2α,∠CHM=β,则∠N=2α,∠M=2α+β,因 为射 线 GH 是 ∠BGM 的 平 分 线,所 以 ∠FGM = 1 2∠BGM = 1 2 (180°- ∠AGM)=90°-α.所 以 ∠AGH=∠AGM+∠FGM=2α+90°-α=90°+α.因为 ∠M=∠N+12∠FGN ,所以2α+β=2α+ 1 2∠FGN. 所 以∠FGN=2β.过点H 作HT∥GN,则∠MHT=∠N= 2α,∠GHT=∠FGN=2β.所以∠GHM=∠MHT+ ∠GHT=2α+2β,∠CHG = ∠CHM + ∠MHT + ∠GHT=β+2α+2β=2α+3β.因为 AB∥CD,所以 ∠AGH+∠CHG=180°.所以90°+α+2α+3β=180°.所 以α+β=30°.所以∠MHG=∠MHT+∠GHT=2α+ 2β=2(α+β)=60°. 第24题 2 整合提优 专题一　整式的化简求值 1. (a+2b)(a-2b)+(a+2b)2-a(2a-3b)=a2- 4b2+a2+4ab+4b2-2a2+3ab=7ab.当a=15 ,b=3 时,原式=7×15×3= 21 5. 2. (1) 2024.(2) 因为a-b=-2,所以原式=3(a-b)- 5(a-b)+6=-2(a-b)+6=-2×(-2)+6=10. (3) 因为a2+2ab=3,ab-b2=-4,所以原式=a2+ 2ab-12ab+ 1 2b 2=(a2+2ab)-12 (ab-b2)=3-12× (-4)=5. 3. 2(x+2y)(x-2y)-(x+y)2+10y2=2(x2-4y2)- (x2+2xy+y2)+10y2=2x2-8y2-x2-2xy-y2+ 10y2=x2-2xy+y2.当x+y=6,xy=-1时,原式= (x+y)2-4xy=62-4×(-1)=36+4=40. 4. 3m2n- 2mn2-2mn-32m 2n +3mn2=3m2n- (2mn2-2mn+3m2n)+3mn2=3m2n-2mn2+2mn- 3m2n+3mn2=mn2+2mn.因为-7x3my5 与2x6y1-n 是 同类项,所以3m=6,1-n=5,解得m=2,n=-4.当 m=2,n=-4时,原式=2×(-4)2+2×2×(-4)=2× 16+(-16)=32-16=16. 5. (1) 因为多项式(a+1)x3-2xb-1+4x-1是关于x 的二次三项式,所以a+1=0,b-1=2,解得a=-1,b= 3.(2) 2(3a2b-2ab2)-3(1-ab2-2a2b)-3=6a2b- 4ab2-3+3ab2+6a2b-3=12a2b-ab2-6.当a=-1, b=3时,原式=12×(-1)2×3-(-1)×32-6=12× 1×3+9-6=36+9-6=39. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 8 6. 3a2(a3b2-2ab)-3a(-a2b)2=3a5b2-6a3b-3a· a4b2=3a5b2-6a3b-3a5b2=-6a3b.因为|a+b-1|+ (a-b+3)2=0,所以 a+b-1=0, a-b+3=0, 解得 a=-1 , b=2. 当 a=-1,b=2 时,原式=-6×(-1)3×2=12. 7. (1) 因为A-(x-2)2=x(x+7),所以A=(x- 2)2+x(x+7)=x2-4x+4+x2+7x=2x2+3x+4. (2) 因为2x2+3x+1=0,所以2x2+3x=-1.所以 A=-1+4=3. 8. 2x2+ax-y+6-(2bx2-3x+5y-1)=2x2+ax- y+6-2bx2+3x-5y+1=(2-2b)x2+(a+3)x-6y+ 7.因为两个整式的差的值与字母x的取值无关,所以2- 2b=0,a+3=0,解得a=-3,b=1.4(a2+2b3-a2b)+ 3a2-2(4b3+2a2b)=4a2+8b3-4a2b+3a2-8b3- 4a2b=7a2-8a2b.当a=-3,b=1时,原式=7× (-3)2-8×(-3)2×1=7×9-8×9×1=63-72=-9. 9. (1) 原式=(2k-2)x2+4y2+1.因为化简后不含 x2 项,所 以2k-2=0,解得 k =1.(2) (-k+2)2-(k- 4)(k+4)=k2-4k+4-k2+16=20-4k.当k=1时,原 式=20-4×1=16. 有关整式化简求值说理型问题的常见结论 对多项式进行化简后,若代入求值时,代入的某字 母的值是多余的,则说明化简后不含该字母;若某字母 不论取任何值,代入后的结果都不变,则说明化简后不 含该字母. 10. B 11. (1) 根据题意,得b>0,c<0,a<0.因为|a|=1, |b|=2,|c|=4,所以a=-1,b=2,c=-4.所以3b+ 2a-c=6-2+4=8.(2) A-2B=3a2-4ab-2(a2+ 2ab)=3a2-4ab-2a2-4ab=a2-8ab.当a=-1,b= 2时,原式=(-1)2-8×(-1)×2=17. 12. (1) 因为m=4,所以点A 与点B 之间的距离为4个 单位长度.因为点A,B 在数轴上表示的数互为相反数,且 点A 在点B 的左边,所以点A 表示的数为-2,点B 表示 的数为2.(2) 因为点A,B 到点C的距离相等,且点A,B 在数轴上表示的数互为相反数,所以点C 表示的数为0, 即mn-1=0,解 得 mn=1.2mn+m 12n+3 - 3 12+m +1 =2mn+12mn+3m- 32+3m+1 = 5 2mn+3m- 5 2+3m =52mn+3m-52-3m= 5 2mn- 5 2. 当mn=1时,原式=52×1- 5 2=0. 13. (1) 二.(2) 2(x+1)2-x(x-1)-(x+1)(x-1)= 2(x2+2x+1)-x2+x-(x2-1)=2x2+4x+2-x2+ x-x2+1=5x+3.当x=-25 时,原式=5× -25 + 3=-2+3=1. 专题二　实数的运算技巧 1. C 2. C 3. (1) 3 (2) -36 4. (1) 原式=-1+(-4-16)÷(-5)=-1+(-20)÷ (-5)=-1+4=3.(2) 原式=5+53-2×5= 20 3- 10=-103. (3) 原式=-9+116- 5 16=-9 1 4. 5. A 6. B 7. C 8. A 9. (1) 交换律和结合律 (2) 乘法对加法的分配律 10. (1) -521 (2) 7 (3) -8700 (4) -6 (5) 458 (6) -5115 (7) -1 (8) -24 (9) 59 (10) 1 11. (1) 原式=-5-56-9- 2 3+17+ 3 4-3- 1 2= (-5-9+17-3)+ -56- 2 3+ 3 4- 1 2 =0-54= -54. (2) 原式=-3.14×(35+46.6+18.4)=-3.14× 100=-314. (3) 原式=-14+15-3-6×(1.05+ 3.95)=1-3-30=-32.(4) 原式=-9-2+21+12÷ 6 12- 4 12- 3 12 =10+12÷ -112 =-134.(5) 原式= -47 ×(3.59+2.41-6)= -47 ×(6-6)= -47 ×0=0.(6) 原式=5×401× 3021599+1599× 89 1599+401× 89 1599= 401 1599× (5×302+89)+89= 401 1599× (1510+89)+89= 4011599×1599+89=401+ 89=490. 12. 因 为 2 3- 3 4+ 1 6- 5 12 ÷ 124 = 2 3- 3 4+ 1 6- 5 12 ×24=23×24-34×24+16×24- 5 12×24=-8 ,所以1 24÷ 2 3- 3 4+ 1 6- 5 12 =-18. 利用转化思想进行简便运算 除法没有分配律,若将被除数和除数交换位置,将 除法转化为乘法,则可用乘法分配律进行简便计算,此 时结果与原式的结果互为倒数. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈