第3章 一元一次不等式（组）-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（湘教版2024）

7 第3章　一元一次不等式（组） (满分:100分 时间:90分钟) 一、 选择题(每题3分,共30分) 1. y与2的差不大于0,用不等式表示为( ) A. y-2>0 B. y-2<0 C. y-2≥0 D. y-2≤0 2. 不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确 的是 ( ) A. B. C. D. 3. (河北中考)下列数中,能使不等式5x-1<6 成立的x的值为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 新情境 日常生活 (长春中考)不等关系在 生活中广泛存在.如图,a,b分别表示两名同 学的身高,c表示台阶的高度.图中两人的对 话体现的数学原理是 ( ) 第4题 A. 若a>b,则a+c>b+c B. 若a>b,b>c,则a>c C. 若a>b,c>0,则ac>bc D. 若a>b,c>0,则ac> b c 5. 不等式组 x+2<3, -2x≤1 的解集为 ( ) A. x≤-12 B. -12≤x<1 C. x<1 D. 1 2≤x<1 6. (安 徽 中 考)已 知 实 数 a,b 满 足 a-b+1=0, 0<a+b+1<1, 下列判断正确的是 ( ) A. -12<a<0 B. 1 2<b<1 C. -2<2a+4b<1 D. -1<4a+2b<0 7. 新情境 低碳生活 小玲乘坐飞机旅游,已 知她乘坐飞机产生的碳排放量为800千克, 为了弥补这些碳排放量,她决定上下班时从 驾驶汽车改成乘坐公交车.依据如图所示的 信息,假设小玲每日上下班驾驶汽车或乘坐 公交车的来回总距离皆为20千米,则与驾 驶汽车相比,要想减少产生的碳排放量超过 她乘坐飞机产生的碳排放量,她至少要改乘 坐公交车上下班 ( ) 每人使用各种交通工具 每移动1千米产生的碳排放量 ●自行车:0千克 ●公交车:0.04千克 ●汽车:0.17千克 第7题 A. 310天 B. 309天 C. 308天 D. 307天 8. (南 充 中 考)若 关 于 x 的 不 等 式 组 2x-1<5, x<m+1 的解集为x<3,则m 的取值范 围是 ( ) A. m>2 B. m≥2 C. m<2 D. m≤2 9. 若关于x 的不等式mx-n>0的解集是 x<14 ,则关于x 的不等式nx-n>m+mx 的解集是 ( ) A. x<-53 B. x>-53 C. x<53 D. x>53 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 拍 照 批 改 8 答案讲解 10. 使 得 关 于 x 的 不 等 式 组 -x2≤- m 2+1 , -2x+1≥4m-1 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 有解,且使得关 于y的方程1+(m-y)=2(y-2)有非负 整数解的所有整数m 的个数为 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、 填空题(每题3分,共24分) 11. 若不等式(m-2 024)x>m-2 024两边同 时除以(m-2 024),得x<1,则m 的取值 范围是 . 12. 关于x 的不等式组中,两个不等式的解集 如图 所 示,则 这 个 不 等 式 组 的 解 集 是 . 第12题 13. 在学校读书节活动中,老师把一些图书分 给勤奋小组的同学们.如果每人分5本,那 么剩余12本;如果每人分8本,那么最后一 人虽分到书但不足8本,求勤奋小组的人 数.设勤奋小组有x 人,则可列不等式组为 . 14. 每年3月12日是植树节,某校组织学生植树, 若购买A,B两种树苗共200棵,已知A种树 苗每棵18元,B种树苗每棵22元,且购买 A种树苗的金额不少于购买B种树苗的金 额,则至少应购买A种树苗 棵. 15. 对于实数a,b定义运算“※”为a※b=a+ 3b,例如5※2=5+3×2=11,则当关于x 的不等式x※m<2有且只有一个正整数解 时,m 的取值范围是 . 16. 已知关于x 的不等式组 3x-a≥2x, 2x+a≤6 无 解,则a的取值范围是 . 答案讲解 17. ★若 关 于 x 的 不 等 式 组 1 2 (x+5)≥3, m-x>0 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 恰有3个整数解, 则m 的取值范围是 . 答案讲解 18. 若6a=3b+12=2c,且b≥0,c≤ 9,设t=2a+b-c,则t的取值范 围是 . 三、 解答题(共46分) 19. (8分) (1) 解不等式:|5x-8|≥10; (2) ★(淄 博 中 考 )解 不 等 式 组: 1 2+2x<- 3 2x+4 , x-3<1+2x, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 并求所有整数解的和. 20. (8分)若关于x 的方程2x-3m=2m- 4x+4的解不小于78- 1-m 3 ,求m 的取值 范围. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)七年级 9 答案讲解 21. ★(10分)已知关于x,y 的方程 组 2x-y=-3a, x+2y=a-4. (1) 求这个方程组的解; (2) 当整数a取何值时,这个方程组的解中 的x为负数,y为非正数? 22. (10分)为了增强学生的体质,某学校倡导 学生在大课间开展踢毽子活动,需购买甲、 乙两种品牌毽子.已知购买甲种品牌毽子 10个和乙种品牌毽子5个共需200元;购 买甲种品牌毽子15个和乙种品牌毽子 10个共需325元. (1) 购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品 牌毽子各需要多少元? (2) 若购买甲、乙两种品牌毽子共花费 1000元,购买甲种品牌毽子的数量不低于 乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品 牌毽子数量的16倍,则有哪几种购买方案? 答案讲解 23. (10分)新考法 新定义题 如果 某个一元一次方程的解是某个一 元一次不等式组的解,那么称该一 元一次方程为该不等式组的“关联方程”. 例如:方程x-3=0的解为x=3,不等式 组 x-1>0, x<4 的解集为1<x<4,因为1< 3<4,所以方程x-3=0为不等式组 x-1>0, x<4 的关联方程. (1) 有下列方程:① 3x-1=0;② 2 3x+1= 0;③ x-(3x+1)=-5.其中,不等式组 -x+2>x-5, 3x-1>-x+2 的“关联方程”是 (填序号). (2) 若不等式组 x-12<1 , 1+x>-3x+2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 的一个 “关联方程”的解是整数,则这个“关联方 程”可以是 (写出一个即可). (3) 若方程9-x=2x,3+x=2x+12 都 是关于x的不等式组 x<2x-m, x-2≤m 的“关联 方程”,求m 的取值范围. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 2 2< 4< 7,即 354<4< 398, 2<2< 7,所以a= 4,b=2.所以ba=24=16. 7. D 8. C 9. A 10. B 解析:在 1, 2, 3,…, 400, 401中,有理数 有 1, 4, 9,…, 400,即1至20的平方的算术平方 根都是有理数,共有20个,所以无理数有401-20= 381(个). 二、 11. 6 π2-1 1 2 12. 36 13. -43 14. 答案 不唯一,如2 15. 1 16. 25 17. 9 18. 54 解析:因为103<157464<1003,43=64,53< 157<63,所以 3157464=54. 三、 19. 整数:{ 121,0,3-216,(-2)2020,-52,…}; 负实数:-73 , -3.14,3-216,- 6 2 ,-52,… ; 无理数: 56,π3 , - 6 2 ,… . 20. (1) 原式=-4+3+1=0.(2) 原式=6-3+2-1= 4.(3) 原式=-3-0-14+0.5+ 1 4=-2.5. 21. (1) x=±4.(2) x=83 或-23. (3) x=-14. 22. (1) <;<;<. 解析:因为1<2<3<4,所以 1< 2< 3< 4. (2) ① 2-1;② 3- 2;③ 2- 3.(3) |1- 2|+ | 2- 3|+| 3- 4|+…+| 99- 100|=( 2- 1)+( 3- 2)+( 4- 3)+…+( 100- 99 )= 100-1 =10-1=9. 23. (1) 因为正实数x的平方根是m 和m+b,所以m+ m+b=0.因为b=16,所以2m+16=0.所以m=-8. (2) 因为正实数x 的平方根是m 和m+b,所以(m+ b)2=x,m2=x.因为m2x+2(m+b)2x=27,所以x2+ 2x2=27.所以x2=9.因为x>0,所以x=3. 利用算术平方根、平方根的定义求值的思路 正确理解算术平方根和平方根的定义是解决问题 的关键.若已知一个正数的算术平方根,则这个正数等 于其算术平方根的平方;若已知一个正数的平方根,则 这个正数等于其任意一个平方根的平方.根据一个数 和它的平方根或算术平方根的关系列出方程,即可求 出相应字母的值. 24. (1) 3; 15-3. 解析:因为9<15<16,所以3< 15<4.所 以 15的 整 数 部 分 是 3,小 数 部 分 是 15-3. (2) 因为2< 6<3,所以 6的整数部分是2,小数部分为 6-2,即a= 6-2.因为4< 23<5,所以 23的整数 部分是4,即b=4.所以(a+b-2)2=( 6-2+4-2)2= 6. (3) 因为81<99<100,所以9< 99<10.所以107< 98+ 99<108.因为98+ 99=x+y,其中x 是整数, 且0<y<1,所以x=107,y=98+ 99-107= 99- 9.所以x+ 99+5-y=107+ 99+5- 99+9= 121.所以x+ 99+5-y的算术平方根为 121=11. 第3章　一元一次不等式（组） 一、 1. D 2. A 3. A 4. A 5. B 6. C 7. C 8. B 9. B 解析:因为mx-n>0,所以mx>n.因为不等式 mx-n>0的解集是x<14 ,所以m<0且nm= 1 4. 所以 n=14m<0 ,m=4n.因为nx-n>m+mx,所以nx- mx>m+n,即nx-4nx>4n+n.所以-3nx>5n.因 为-3n>0,所以x>-53. 10. D 解析:由不等式组 -x2≤- m 2+1 , -2x+1≥4m-1, 得m-2≤ x≤-2m+1.由方程1+(m-y)=2(y-2),得y= m+5 3 . 因为关于x 的不等式组 -x2≤- m 2+1 , -2x+1≥4m-1 有解, 且使得关于y的方程1+(m-y)=2(y-2)有非负整数 解,所以-2m+1≥m-2,得m≤1,m+53 是非负整数,解 得m=-5或m=-2或m=1.所以整数m 的个数为3. 二、 11. m<2024 12. x≥3 13. 5x+12-8(x-1)>0, 5x+12-8(x-1)<8 14. 110 解析:设购买A种树苗x 棵,则购买B种树苗 (200-x)棵,根据题意得18x≥22(200-x),解得x≥ 110,所以至少应购买A种树苗110棵. 15. 0≤m<13 16. a>2 17. 3<m≤4 解析:将不等式组整理,得 x≥1, x<m, 解得 1≤x<m.由不等式组恰有3个整数解,得到x 的值为 1或2或3.所以3<m≤4. 当一元一次不等式组(含参数)有若干个整数解时, 求参数的取值范围的步骤 先解一元一次不等式组求出解集,可在数轴上确 定不等式组的解集的大概位置,结合数轴确定参数的 范围,最后验证临界值,确定临界点. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3 18. -2≤t≤-1 解析:因为6a=3b+12=2c,所以 3a=c,2a=b+4.所以b=2a-4.所以t=2a+b-c= 2a+2a-4-3a=a-4.因为b≥0,c≤9,所以3b+12≥ 12,2c≤18.所以6a≥12,6a≤18.所以2≤a≤3.所以 -2≤a-4≤-1.所以-2≤t≤-1. 三、 19. (1) ① 当5x-8≥0时,即x≥85 时,原式化为 5x-8≥10,解得x≥185 ,此时,不等式|5x-8|≥10的解 集为x≥185 ;② 当5x-8<0时,即x<85 时,原式化为 8-5x≥10,解得x≤-25 ,此时,不等式|5x-8|≥10的 解集为x≤-25 ;综上可知,原不等式的解集为x≥185 或 x≤-25. (2) 记 1 2+2x<- 3 2x+4① , x-3<1+2x②, 解不等式①得 x<1;解不等式②得x>-4,所以原不等式组的解集 为-4<x<1.所以不等式组所有整数解的和为-3+ (-2)+(-1)+0=-6. 求一元一次不等式组的特殊解的方法 求一元一次不等式组的特殊解,必须先求出一元 一次不等式组的解集,然后在解集中根据特殊解的特 殊性求解. 20. 解方程2x-3m=2m-4x+4,得x=4+5m6 . 因为关 于x 的方程2x-3m=2m-4x+4的解不小于78- 1-m 3 ,所以4+5m 6 ≥ 7 8- 1-m 3 . 解得m≥-14 ,即m 的 取值范围是m≥-14. 21. (1) 2x-y=-3a①, x+2y=a-4②, ①×2+②,得5x=-5a-4, 所以x=-a-45. 把x=-a-45 代入②,得-a-45+ 2y=a-4.所 以 y=a- 8 5. 所 以 方 程 组 的 解 为 x=-a-45 , y=a- 8 5. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 (2) 因为x 为负数,y 为非正数,所以 x<0, y≤0, 即 -a-45<0 , a-85≤0 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得- 4 5<a≤ 8 5. 因为a为整 数,所以a的值为0或1. 利用构造不等式组法求方程组中待求字母的取值范围 当方程组的解满足特定要求时,先设法求出这个 方程组的解,然后根据题意列出不等式组,求出待求字 母的取值范围. 22. (1) 设购买一个甲种品牌毽子需要x元,购买一个乙 种品牌毽子需要y元.根据题意,得 10x+5y=200, 15x+10y=325, 解 得 x=15, y=10. 所以购买一个甲种品牌毽子需要15元,购买 一个乙种品牌毽子需要10元.(2) 设购买m 个甲种品牌 毽子,则购买1000-15m 10 = 100- 3 2m 个乙种品牌毽 子.根据题意,得 m≥5100-32m , m≤16100-32m , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 1000 17 ≤m≤ 64.又因为m,100-32m 均为正整数,所以m 的值可以 为60或62或64.所以学校共有3种购买方案.方案1:购 买60个甲种品牌毽子,10个乙种品牌毽子;方案2:购买 62个甲种品牌毽子,7个乙种品牌毽子;方案3:购买 64个甲种品牌毽子,4个乙种品牌毽子. 23. (1) ③. 解析:解方程①,得x=13 ;解方程②,得 x= - 32 ;解 方 程 ③,得 x =2.解 不 等 式 组 -x+2>x-5, 3x-1>-x+2, 得 34 <x < 72.所 以 不 等 式 组 -x+2>x-5, 3x-1>-x+2 的“关联方程”是③. (2) 答案不唯一,如2x-2=0.(3) 解方程9-x=2x,得 x=3;解方程3+x=2x+12 ,得x=2.解不等式组 x<2x-m, x-2≤m, 得m<x≤m+2.因为方程9-x=2x,3+ x=2x+12 都是关于x 的不等式组 x<2x-m , x-2≤m 的 “关联方程”,所以1≤m<2. 第4章　平面内的两条直线 一、 1. A 解析:在同一平面内不相交的两条直线可能重 合,故①错误;过同一平面内两条直线a,b外一点P,一定 可作直线c,使c∥a,但c和b不一定平行,故②错误;在同 一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,故 ③错误;两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角的 平分线互相垂直,故④错误. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈