14.3　角的平分线第2课时课件-2025-2026学年人教版数学八年级上册

第十四章 全等三角形 14.3　角的平分线 第2课时　角的平分线的判定 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 Administrator (A) - 每课时设置的三大版块，重在让学生学会学习。及时回顾反思。 　1.角的平分线的性质定理是什么? 2.回忆这个定理的证明过程，说一下文字证明题的一般步骤. 知识关联 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 (1)根据题意画图，标注字母，写出已知. (2)观察图形，由几何直观猜想命题正确，写出求证. (3)分析问题，写出证明过程. 【情境问题】 在我们已经学过的定理中，有一些题设和结论是可以互换的，比如平行线的性质定理和判定定理，你能说出将角的平分线的性质定理的题设和结论互换得到的命题吗? 探究与应用 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 思考：这个结论正确吗？ Lenovo (L) - 处理方式： 学生分小组活动，通过交流讨论，得出结论，组内成员畅所欲言，最后总结答案，公开展示，各个小组互相对比，教师给予评价。 【探究1】 探索角的平分线的判定定理 【尝试交流】 对于上面得到的新命题，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举出反例，并画图说明. 探究与应用 (1)根据题意画图，标注字母，写出已知. 已知 : P是∠AOB内部的一点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E、F，PE=PF. (2)观察图形，由几何直观猜想命题正确，写出求证. 求证 : 点P在∠AOB的平分线上. (3)分析问题，写出证明过程. 【探究1】 探索角的平分线的判定定理 【尝试交流】 探究与应用 在Rt△POE和Rt△POF 中， OP=OP（公共边）， PE= PF（已知 ）， ∴Rt△POE≌Rt△POF（ HL）. ｛ ∴点P在∠AOB 角的平分线上. ∴∠EOP=∠FOP 【探究1】用正负数表示具有相反意义的量 【概括新知】 探究与应用 判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. P A O B C D E 应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. 定理的作用：判断点是否在角平分线上. 应用格式： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE. ∴点P 在∠AOB的平分线上. 【探究1】 探索角的平分线的判定定理 探究与应用 【概括新知】 图形 已知条件 结论 C 1 2 P D E O C B 1 A 2 P D E OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E PD=PE P D E O B A P D E C 角的平分线的性质和判定的区别与联系 两个定理的条件与结论是相反的 PD⊥OA于D PE⊥OB于E PD=PE OP平分∠AOB Lenovo (L) - 处理方式：引导学生讨论、交流，教师巡视指导，形成共识，然后小组选派代表发言，集体讲评。 【理解应用】 探究与应用 例1：如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？ D C S 解：作夹角的角平分线OC， 截取OD=2.5cm ,D即为所求. O 方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点. 【探究2】三角形的内角平分线 动手操作 探究与应用 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？ 结论：三角形的三条角平分线相交于一点 Lenovo (L) - 处理方式：让学生分组交流讨论，说出自己的答案以及理由，教师适当引导学生发现其中的差异，分析找出存在差异的原因是标准不同。 【探究2】三角形的内角平分线 动手操作 探究与应用 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？ 结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. 【探究2】三角形的内角平分线 探究与应用 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P， 求证：(1)点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 证明结论 D E F A B C P N M 分析:(1)由已知可得点P到边AB、BC的距离相等，点P到边BC，CA的距离相等，由此可得点P到三边的距离相等。 同理PE=PF. ∴PD=PE=PF. 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等. 证明:(1)过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为D、E、F. ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上, ∴PD=PE. 求证：(2)△ABC的三条角平分线交于一点. 探究与应用 【探究2】三角形的内角平分线 证明结论 D E F A B C P N M 分析：要证△ABC的三条角平分线交于一点， 只要证点P也在∠A的平分线上. 证明：由(1)得，点P到边AB，CA的距离相等, ∴点P在∠A的平分线上. ∴△ABC的三条角平分线交于一点. 结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. 例2　如图所示，CE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，BF、CE交于点D，且BD=CD. 求证 : AD平分∠BAC. 探究与应用 【理解应用】 证明： ∠BED＝∠CDF， ∠BDF＝∠CDF. BD＝CD， ∵PD⊥OA，PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90°， 在△BDE和△CDF中， ∴△BDE≌△CDF(AAS)，∴DE＝DF. 又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC. 探究与应用 【理解应用】 M E N A B C P O D 例3：如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC，AP，BD交于点O，过点O作OM⊥AC，已知OM＝4. (1)求点O到△ABC三边的距离和. 温馨提示：不存在垂线段———构造应用 4+4+4=12 探究与应用 (2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积. 解：连接OC M E N A B C P O D 【理解应用】 探究与应用 【理解应用】 如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为(　 　) A．110° B．120° C．130° D．140° A 变式 【小结】 课堂小结与检测 角的平分线的判定 内容 角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 作用 判断一个点是否在角的平分线上 结论 三角形的角平分线相交于内部一点，并且这点到三边的距离相等. 【检测】 课堂小结与检测 1．如图，AD⊥DC，AB⊥BC，若AB＝AD，∠BCD＝60°，则∠DAC的度数为(　　 ) A．60°　 B．30°　　　C．120°　　D．90° A 【检测】 课堂小结与检测 2．如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距离相等，则点P是(　　 ) A．线段CD的中点 B．过点O作CD的垂线所得垂足 C．CD与∠AOB的平分线的交点 D．以上均不对 C 【检测】 课堂小结与检测 3.如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，连接AO并延长交BC于点D，OH⊥BC于点H . 若∠BAC=60°，OH=5 cm，则∠BAD=　 　°，点O到AB的距离为　　 cm.  30 5 【检测】 课堂小结与检测 4 . 如图，要在河流与公路围成的I区建一个工厂，使工厂的位置A到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉点B处的距离为1 cm(指图上的距离)，在图中作出点A的位置. (不写作法，保留作图痕迹) [ 分析：画∠B角平分线，在角平分线上找点A，使AB=1 ] $$