14.2　三角形全等的判定 第5课时课件-2025-2026学年人教版数学八年级上册

14.2　三角形全等的判定 第5课时　直角三角形全等的判定(“HL”) 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 Administrator (A) - 每课时设置的三大版块，重在让学生学会学习。及时回顾反思。 判断：具有下列条件的Rt△ABC与Rt△A'B'C'(其中∠C=∠C'=90°)是否全等？若全等，在(　　)里填写理由；若不全等，在(　　)里打“×”: 知识关联 (1)AC=A'C',∠A=∠A'; (　　) (2)AC=A'C',BC=B'C'; (　　) (3)AB=A'B',∠B=∠B'; (　　) (4)∠A=∠A',∠B=∠B'; (　　) A ′ B′ C ′ A B C ASA SAS AAS × 助力教学 (助) - 对于之前的全等三角形的判定方法转化到直角三角形中 同样适用，引导学生知道直角三角形的特殊性，隐藏的条件是什么？ 【探究】直角三角形全等的判定方法--HL 【情境问题】 前面学习的三角形全等的判定方法,对满足条件的三角形都是适用的,同样也适用于直角三角形. 探究与应用 由于两个直角三角形的直角相等,故对于两个直角三角形,满足一直角边和它相对(或相邻)的锐角分别相等,或斜边和一锐角分别相等,或两直角边分别相等,这两个直角三角形就全等了. 如果满足斜边和一直角边分别相等,这两个直角三角形全等吗? 【探究】直角三角形全等的判定方法--HL 【操作尝试】 (1)如图，在△ABC和△A'B'C中,∠C'=∠C=90°，A'B'=AB，B'C'=BC. 这两个三角形全等吗? 探究与应用 【探究】直角三角形全等的判定方法--HL 【尝试交流】 如图，由∠C'=∠C=90°可知，如果使点C'与点C重合，并且使射线C'A'与射线CA重合，那么射线C'B'与射线CB重合，再由B'C'=BC，可知点B'与点B重合. 探究与应用 A(A’) 【探究】直角三角形全等的判定方法--HL 【尝试交流】 探究与应用 为了判断点A'与点A是否重合,我们讨论射线CA上除点C、A外的点与点B的连线和边AB的大小关系. 设点M在直角边AC(不包括端点)上,连接BM,则∠BMA>∠C,∠BMA是钝角. 若过点M且垂直于BM的直线与线段AB相交于点M',则有AB>BM'>BM. 设点N在线段CA的延长线上,连接BN,同理可得BN>AB. 因此,在射线CA上,与点B的连线长度等于AB的点只有一个. 再由点A'在射线CA上,A'B'=AB,可知点A'与点A重合.这样,△A'B'C'的三个顶点与△ABC的三个顶点分别重合,△A'B'C'与△ABC能够完全重合,因而△A'B'C'≌△ABC. A(A’) •M ︵ M’ •N 助力教学 (助) - 这个 一步步的作图过程 让学生充分参与，才能感知边之间的关系，为什么要做垂线BM 可以提问让学生思考，建议教学时对这部分引导要分析透彻 【探究】直角三角形全等的判定方法--HL 【概括新知】 一般地，有如下判定直角三角形全等的方法: 斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”). 探究与应用 几何语言： A ′ B′ C ′ 在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中， ∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL). AB=A′B′, BC=B′C′, A B C 【概况归纳】　 探究与应用 判定两个三角形全等的一般思路 【理解应用】 例1　如图，AC⊥BC,BD⊥AD,垂足分别为C、D，AC=BD. 求证：BC=AD. 探究与应用 分析：如果能证明Rt△ABC和Rt△ABD，就可以得出BC=AD. 由题意可知，Rt△ABC和Rt△BCD具备“斜边、直角边”的条件. A B C D 证明： ∵ AC⊥BC， BD⊥AD， ∴∠C与∠D都是直角. AB=BA, AC=BD . 在 Rt△ABC 和Rt△BAD 中， ∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL). ∴ BC﹦AD. 【理解应用】 【变式】 如图，已知∠ACB=∠ADB=90°，要使△ABC≌△BAD，还需增加一个什么条件？把增加的条件填在横线上，并在后面相应的括号内填上判定它们全等的理由: 探究与应用 A B C D (1)　　　　(　　　　);　(2)　　　　(　　　　);  (3)　　　　 (　　　　); 　(4)　　　 　(　　　　).  AD=BC HL BD=AC HL ∠BAD= ∠ABC AAS ∠DBA= ∠CAB AAS 探究与应用 【理解应用】 例2：如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？ 解：在Rt△ABC和Rt△DEF中, BC=EF, AC=DF . ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL). ∴∠B=∠DEF (全等三角形对应角相等). ∵ ∠DEF+∠F=90°, ∴∠B+∠F=90°. 变式　 探究与应用 【理解应用】 A F C E D B 如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF. 求证：BF=DE. 证明: ∵ BF⊥AC,DE⊥AC, ∴∠BFA=∠DEC=90 °. ∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF. 即AF=CE. 在Rt△ABF和Rt△CDE中， AB=CD, AF=CE. ∴ Rt△ABF≌Rt△CDE(HL). ∴BF=DE. 　 (1)两直角三角形两条直角边对应相等,这两个直角三角形全等,根据　 ;  探究与应用 【总结归纳】 (2)两直角三角形斜边和一个锐角对应相等,这两个直角三角形全等,根据　 　;  (3)两直角三角形一个锐角和一条直角边对应相等,这两个直角三角形全等,根据　 　;  (4)两直角三角形全等的特殊条件是　　 和　　 对应相等.  SAS　 AAS AAS或ASA 斜边 直角边　 【拓展】 例4　如图，已知∠ADC=∠AEB=90°，AB=AC，BE=CD，AB交DC于点M，AC交BE于点N. 求证: △ADM≌△AEN. 探究与应用 分析：要证明△ADM≌△AEN，我们容易寻找到的条件是∠ADC=∠AEB=90°，其他条件都是未知的。考虑到AD=AE，∠DAM=∠EAN都可通过△ADC≌△AEB得到,故可考虑先证明△ADC≌△AEB.寻找未知的等边或等角时，常考虑转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明. [答案:同学们展示] 【小结】 课堂小结与检测 任意三角形全等的判定 SSS SAS 直角三角形全等的判定 HL ASA AAS 【检测】 课堂小结与检测 D 1.判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ） A.两条直角边对应相等 B.斜边和一锐角对应相等 C.斜边和一条直角边对应相等 D.两个锐角对应相等 【检测】 课堂小结与检测 2.如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△ADC （填“全等”或“不全等”），根据 （用简写法）. HL 全等 【检测】 课堂小结与检测 3.如图所示,在四边形ABCD中，CB=CD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAC=35°，则∠BCD=　 　度.  110 【检测】 课堂小结与检测 4．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF. 求证：Rt△ABE≌Rt△CBF. AB＝CB， AE＝CF， ∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)． 证明：∵∠ABC＝90°， ∴∠CBF＝∠ABE＝90°. 在Rt△ABE和Rt△CBF中 (1)已知两边 (2)已知两角 (3)已知一边一角 $$