第一章 因式分解（复习讲义）数学鲁教版五四制八年级上册

第一章 因式分解（复习讲义） 1.了解因式分解的意义，体会数学知识之间的整体联系（整式乘法与因式分解）。 2.能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过两次）进行因式分解（指数为正整数）。 3.理解并利用因式分解的知识解决问题。 知识点 重点归纳 常见易错点 因式分解的概念 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也可称为分解因式。 因式分解是整式乘法的逆过程 公因式 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式 系数：取各项系数的最大公约数 字母：取各项都含有的字母 指数：取相同字母的最低次数。 提公因式法 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。这种因式分解的方法叫做提公因式法。 提公因式后，不要漏掉项为1的项。 当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“-”号，使括号内第一项的系数成为正数。在提出“-”号时，多项式的各项都要变号 公式法 运用乘法公式进行因式分解的方法叫做公式法。主要有平方差公式和完全平方公式。 a²-b²=（a+b）（a-b） a²+2ab+b²=（a+b）² a²-2ab+b²=（a-b）² 完全平方式 形如a²±2ab+b²的式子称为完全平方式 求中间项的系数时有两个 因式分解的步骤 当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，再进一步因式分解。 因式分解的结果要每一项都不能再分解。 题型一 因式分解与整式乘法的关系 【例1】下列从左到右的变形中是因式分解的有(　　) ①x²–y²–1＝(x＋y)(x–y)–1；②x³＋x＝x(x²＋1)； ③(x–y)²＝x²–2xy＋y²；④x²–9y²＝(x＋3y)(x–3y)． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是(　　) A．am+bm+c=m(a+b)+c B．24x²y=3x·8xy C．x²–1=(x+1)(x–1) D．(2x+1)²=4x²+4x+1 【变式1-2】下列多项式的分解因式，正确的是(　　) A．12xyz–9x2y2=3xyz(4–3xyz) B．3a2y–3ay+6y=3y(a2–a+2) C．–x³+xy–xz=–x(x2+y–z) D．a2b+5ab–b=b(a2+5a) 题型二 寻找多项式的公因式 【例2】找出3x2–6xy的公因式. 【变式2-1】找出–6x2y–8xy2的公因式. 【变式2-2】找出(m+n)2+(m+n)的公因式. 【变式2-3】找出4(m+n)2+2(m+n)的公因式. 题型三 利用提公因式法分解因式 【例3】分解因式3a3c2＋12ab3c. 【变式3-1】分解因式2(b＋c)–3a(b＋c). 【变式3-2】分解因式3a（b+c）＋12a（b+c）. 【变式3-3】分解因式(a＋b)(a–b)–a–B． 题型四 利用平方差公式进行因式分解 【例4】分解因式9a2-4 【变式4-1】分解因式(a＋b)2–4a2 【变式4-2】9(m＋n)2–(m–n)2 【变式4-3】分解因式x4-y4 题型五 利用完全平方公式进行因式分解 【例5】分解因式x2–12xy+36y2 【变式5-1】分解因式-x2–12xy-36y2 【变式5-2】分解因式4–12(x–y)+9(x–y)2 题型六 综合运用提公因式法，公式法进行因式分解 【例6】分解因式a3b-ab 【变式6-1】因式分解：3ax2+6axy+3ay2 【变式6-2】因式分解：（x2+1）2-4x2 【变式6-3】（2024威海中考）因式分解：（x+2）（x+4）+1= . 题型七 利用因式分解进行简便运算 【例7】简便运算（1）992＋99； （2）1012–992； （3）1002–2×100×99+992. 【变式7-1】计算. 【变式7-2】简便运算53.52×4–46.52×4. 题型八 利用因式分解求整式的值 【例8】已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值． 【变式8-1】若a+b=3，a–b=7，则b2–a2的值为 . 【变式8-2】已知4m+n=40，2m–3n=5，求(m+2n)2–(3m–n)2的值. 【变式8-3】已知a–b＝3，求a(a–2b)＋b2的值. 题型九 利用因式分解进行证明 【例9】求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2–(2n–1)2一定能被8整除. 【变式9-1】利用因式分解说明：257-512能被120整除. 题型十 利用因式分解解决实际问题 【例10】（2024广州中考）如图，把，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则．当，，，时，的值为______． 【变式10-1】如图所示，长方形的长为，宽为，长方形的两边长之差为，面积为，求的值． 题型十一 阅读材料题：因式分解的其它方法 【例11】阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替即换元，不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式第一步 第二步 第三步 第四步 请根据上述材料回答下列问题： 小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的____； A．提取公因式法        平方差公式法        完全平方公式法 老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：____； 请你用换元法对多项式进行因式分解． 【变式11-1】先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等． 分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法． ，分组分解法： 解：原式 原式． 拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法． 如分解因式：． 解：原式． 请你仿照以上方法，探索并解决下列问题： 分解因式： 分解因式：． 【变式11-2】何老师安排喜欢探究问题的佳佳解决某个问题前，先让佳佳看了一个有解答过程的例题． 例：若，求和的值． 解：， ， ， ，，，． 为什么要对进行拆项呢聪明的佳佳理解了例题的解题方法，很快解决了下面的两个问题相信你也能很好地解决下面的两个问题，请写出你的解题过程． 解决问题： 若，求的值． 已知，，是三边均不相等的的三边长，满足，是中最短边的长，且为整数，那么可能是哪几个数 基础巩固通关测 1.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有（ ） A．x2+x=x2(1+) B．(x+1)2=x2+2x+1 C．x2–4=(x+2)(x–2) D．2x+4y+6z=2（x+2y）+6z 2.多项式15m3n2+5m2n–20m2n3的公因式是(　　) A．5mn B．5m2n2 C．5m2n D．5mn2 3.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(　　) A．a2＋(–b)2 B．5m2–20mn C．–x2–y2 D．–x2＋9 4.如果x2–6x+N是一个完全平方式，那么N是( ) A．11 B．9 C．–11 D．–9 5.（2024枣庄中考）因式分解：x2y+2xy= . 6.（2024北京中考）分解因式：x3-25x= . 7.把下列各式分解因式： （1）m2–3m （2）–x3y3–x2y2–xy （3）16a2–9b2 （4）(a+2b)2–(a–b)2 （5）(a+b)2–12(a+b)+36. 8.简便计算 （1）1.992+1.99×0.01 （2）2552–452 9.已知a+b=5，ab=3，求a2b+ab2的值. 10.把3x2–6xy+x分解因式.小亮的解法是这样的： 解：原式 =x(3x–6y). 他的解法正确吗？如果不正确，请给出正确的解法。 11.n为整数时，(2n+1)2–25能否被4整除？并说明理由。 12.阅读下列材料： 材料、将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把 因式分解成 材料、因式分解： 解：将“”看成一个整体，令，则原式再将“”还原，得： 原式 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请解答下列问题： 根据材料，把分解因式． 结合材料和材料，完成下面小题： 分解因式：； 分解因式： 能力提升进阶练 1.下列多项式的分解因式，正确的是(　　) A．12xyz–9x2y2=3xyz(4–3xyz) B．3a2y–3ay+6y=3y(a2–a+2) C．–x2+xy–xz=–x(x2+y–z) D．a2b+5ab–b=b(a2+5a) 2.（2024广西）如果a+b=3，ab=1，那么a3b+2a2b2+ab3的值为（ ） A．0 B．1 C．4 D．9 3.因式分解：2a3-8ab2=____________（2024齐齐哈尔中考） 4.如果x2–mx+16是一个完全平方式，那么m的值为________. 5.若9a2(x–y)2–3a(y–x)3＝M·(3a＋x–y)，则M等于_____________. 6.把下列各式分解因式： （1）12xyz–9x2y2 （2）(x–y)2+y(y–x) (3)2x2–8 (4)–a4+16 （5）ax2+2axy+ay2 7.计算 （1）(–2)101+(–2)100 （2）2.34×13.2+0.66×13.2-26.4 8.先因式分解再求值：(2x+1)2–(2x+1)(2x–1)，其中x= 2 . 9.已知x2–y2＝–2，x＋y＝1，求x–y，x，y的值． 10.把-x2+xy–xz分解因式.小红的解法是这样的： 解：原式 = – x(x+y–z). 她的解法正确吗？如果不正确，请给出正确的解法。 11.△ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC的形状，并说明理由． 12.阅读下列材料：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及 的值． 解：设另一个因式是， 根据题意，得， 展开，得， 所以，解得 所以，另一个因式是， 的值是． 请你仿照以上做法解答下题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 因式分解（复习讲义） 1.了解因式分解的意义，体会数学知识之间的整体联系（整式乘法与因式分解）。 2.能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过两次）进行因式分解（指数为正整数）。 3.理解并利用因式分解的知识解决问题。 知识点 重点归纳 常见易错点 因式分解的概念 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也可称为分解因式。 因式分解是整式乘法的逆过程 公因式 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式 系数：取各项系数的最大公约数 字母：取各项都含有的字母 指数：取相同字母的最低次数。 提公因式法 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。这种因式分解的方法叫做提公因式法。 提公因式后，不要漏掉项为1的项。 当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“-”号，使括号内第一项的系数成为正数。在提出“-”号时，多项式的各项都要变号 公式法 运用乘法公式进行因式分解的方法叫做公式法。主要有平方差公式和完全平方公式。 a²-b²=（a+b）（a-b） a²+2ab+b²=（a+b）² a²-2ab+b²=（a-b）² 完全平方式 形如a²±2ab+b²的式子称为完全平方式 求中间项的系数时有两个 因式分解的步骤 当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，再进一步因式分解。 因式分解的结果要每一项都不能再分解。 题型一 因式分解与整式乘法的关系 【例1】下列从左到右的变形中是因式分解的有(　　) ①x²–y²–1＝(x＋y)(x–y)–1；②x³＋x＝x(x²＋1)； ③(x–y)²＝x²–2xy＋y²；④x²–9y²＝(x＋3y)(x–3y)． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．因此①③不是，②④是。 【变式1-1】在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是(　　) A.am+bm+c=m(a+b)+c B.24x²y=3x ·8xy C.x²–1=(x+1)(x–1) D.(2x+1)²=4x²+4x+1 【答案】C 【解析】A最后不是积的运算，B因式分解的对象应是多项式，C是因式分解，D是整式乘法。 【变式1-2】下列多项式的分解因式，正确的是(　　) A．12xyz–9x2y2=3xyz(4–3xyz) B．3a2y–3ay+6y=3y(a2–a+2) C．–x³+xy–xz=–x(x2+y–z) D．a2b+5ab–b=b(a2+5a) 【答案】B 【解析】可根据因式分解和整式乘法的关系，计算等式右边，看是否和左边相等。 题型二 寻找多项式的公因式 【例2】找出 3x2–6xy的公因式 【答案】3x 【解析】系数取3和6的最大公约数3，字母取相同的字母x,.指数取相同字母的最低次数，x的最低次数是1.所以公因式为3x 【变式2-1】找出–6 x 2 y–8 xy 2 的公因式 【答案】2xy 【解析】系数取6和8的最大公约数2，字母取相同的字母x和y,.指数取相同字母的最低次数，x的最低次数是1.y的最低次数也是1，所以公因式为2xy 【变式2-2】找出(m+n) 2 +(m+n)的公因式 【答案】m+n 【解析】把m+n看成一个整体，次数取最低次数1，所以公因式为m+n 【变式2-3】找出4 (m+n) 2 +2(m+n)的公因式 【答案】2（m+n） 【解析】系数取4和2的最大公约数2，字母取（m+n）次数取最低次数1，所以公因式为2（m+n） 题型三 利用提公因式法分解因式 【例3】分解因式3a3c2＋12ab3c 【答案】3a3c2＋12ab3c=3ac·a2c＋3ac·4b3 =3ac(a2c＋4b3) 【解析】第一步:找出公因式3ac； 第二步:提取公因式 。 【变式3-1】分解因式2(b＋c)–3a(b＋c) 【答案】2(b＋c)–3a(b＋c)=（b+c）（2-3a） 【解析】第一步:找出公因式（b+c）； 第二步:提取公因式 。 【变式3-2】分解因式3a（b+c）＋12a（b+c） 【答案】3a（b+c）＋12ab（b+c）=3a（b+c）（1+4b） 【解析】第一步:找出公因式3a（b+c）； 第二步:提取公因式 。 【变式3-3】分解因式(a＋b)(a–b)–a–b. 【答案】(a＋b)(a–b)–a–b=(a＋b)(a–b)–（a+b） =（a+b）（a-b-1） 【解析】先把-a-b写成-（a+b），再找出公因式a+b，最后提取公因式 。 题型四 利用平方差公式进行因式分解 【例4】分解因式9a2-4 【答案】9a2-4=（3a）2-22=（3a+2）（3a-2） 【解析】利用平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）因式分解，先转化成平方差公式的形式 【变式4-1】分解因式(a＋b)2–4a2 【答案】(a＋b)2–4a2＝(a＋b–2a)(a＋b＋2a)=(b–a)(3a＋b) 【解析】结果注意合并同类项 【变式4-2】9(m＋n)2–(m–n)2 【答案】9(m＋n)2–(m–n)2＝(3m＋3n–m＋n)(3m＋3n＋m–n) ＝(2m＋4n)(4m＋2n) ＝4(m＋2n)(2m＋n) 【解析】若用平方差公式分解后的结果中有公因式，一定要再用提公因式法继续分解. 【变式4-3】分解因式x4-y4 【答案】x4-y4=＝(x2)2–(y2)2=＝(x2+y2)(x2–y2)＝(x2+y2)(x+y)(x–y) 【解析】分解因式后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解，直到不能分解为止 题型五 利用完全平方公式进行因式分解 【例5】分解因式x2–12xy+36y2 【答案】x2–12xy+36y2=x2–2·x·6y+(6y)2=(x–6y)2; 【解析】利用完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2因式分解，先转化成完全平方公式的形式 【变式5-1】分解因式-x2–12xy-36y2 【答案】-x2–12xy-36y2=-（x2+12xy+36y2）=-(x+6y)2; 【解析】平方项都是负数时，可以先把负号提出来。 【变式5-2】分解因式4–12(x–y)+9(x–y)2 【答案】4–12(x–y)+9(x–y)2=22–2×2×3(x–y)+［3(x–y)］2 =［2–3(x–y)］2 =(2–3x+3y)2. 题型六 综合运用提公因式法，公式法进行因式分解 【例6】分解因式a3b-ab 【答案】a3b-ab=ab(a2–1)＝ab(a+1)(a–1) 【解析】一般先用提公因式法，再用公式法进行因式分解。 【变式6-1】因式分解：3ax2+6axy+3ay2 【答案】3ax2+6axy+3ay2=3a（x2+2xy+y2） =3a（x+y）2 【变式6-2】因式分解：（x2+1）2-4x2 【答案】（x2+1）2-4x2=（x2+1+2x）（x2+1-2x） =（x+1）2（x-1）2 【变式6-3】（2024威海中考）因式分解：（x+2）（x+4）+1= 【答案】（x+2）（x+4）+1=x2+4x+2x+8+1 =x2+6x+9 =（x+3）2 【解析】不能直接运用提公因式或公式法，可以先用整式乘法展开，再合并同类项。 题型七 利用因式分解进行简便运算 【例7】简便运算（1）992＋99 （2）1012–992 （3）1002–2×100×99+992 【答案】（1）992＋99=99×（99+1）=99×100=9900 （2）1012–992＝(101＋99)(101–99)＝400 （3）1002–2×100×99+992＝（100-99）2=1 【解析】较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化 【变式7-1】计算 【答案】 【变式7-2】简便运算53.52×4–46.52×4 【答案】53.52×4–46.52×4＝4×(53.52–46.52)＝ 4× (53.5＋46.5)(53.5–46.5)＝4×100×7=2800 题型八 利用因式分解求整式的值 【例8】已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值． 【答案】∵a＋b＝7，ab＝4， ∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28. 【解析】将所求代数式进行因式分解，再整体代入求值 【变式8-1】若a+b=3，a–b=7，则b2–a2的值为 . 【答案】∵a+b=3，a–b=7 ∴b2–a2=（b+a）（b-a）=-（a+b）（a-b）=-3×7=-21 【变式8-2】已知4m+n=40，2m–3n=5．求(m+2n)2–(3m–n)2的值 【答案】(m+2n)2–(3m–n)2=(m+2n+3m–n)(m+2n–3m+n)=(4m+n)(3n–2m)= –(4m+n)(2m–3n) 当4m+n=40，2m–3n=5时 原式=–40×5=–200． 【变式8-3】已知a–b＝3，求a(a–2b)＋b2的值。 【答案】原式＝a2–2ab＋b2＝(a–b)2. 当a–b＝3时，原式＝32＝9. 题型九 利用因式分解进行证明 【例9】求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2–(2n–1)2一定能被8整除 【答案】原式=(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1)=4n•2=8n， ∵n为整数， ∴8n被8整除， 即多项式(2n+1)2–(2n–1)2一定能被8整除． 【变式9-1】利用因式分解说明：257-512能被120整除 【答案】∵257-512=514-512=512（52-1）=512×24=511×120 ∴257-512能被120整除 题型十 利用因式分解解决实际问题 【例10】（2024广州中考）如图，把，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则．当，，，时，的值为______． 【答案】， 当，，，时， ， 故答案为：220． 【变式10-1】如图所示，长方形的长为，宽为，长方形的两边长之差为，面积为，求的值． 【答案】两边长之差为，面积为， ，， ． 题型十一 阅读材料题：因式分解的其它方法 【例11】阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替即换元，不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式第一步 第二步 第三步 第四步 请根据上述材料回答下列问题： 小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的____； A.提取公因式法        平方差公式法        完全平方公式法 老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：____； 请你用换元法对多项式进行因式分解． 【答案】  ；   ； 设， 原式， ，   解析：本题考查了因式分解换元法，公式法，也是阅读材料问题 【变式11-1】先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等． 分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法． ，分组分解法： 解：原式 原式． 拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法． 如分解因式：． 解：原式． 请你仿照以上方法，探索并解决下列问题： 分解因式： 分解因式：． 【答案】原式． 原式 ．  解析：本题考查配方法，平方差公式和提公因式法进行因式分解 【变式11-2】何老师安排喜欢探究问题的佳佳解决某个问题前，先让佳佳看了一个有解答过程的例题． 例：若，求和的值． 解：， ， ， ，，，． 为什么要对进行拆项呢聪明的佳佳理解了例题的解题方法，很快解决了下面的两个问题相信你也能很好地解决下面的两个问题，请写出你的解题过程． 解决问题： 若，求的值． 已知，，是三边均不相等的的三边长，满足，是中最短边的长，且为整数，那么可能是哪几个数 【答案】， ， ， ，， ，． 故． ， ， ，， ，． ，，是的三边长， ． 又，，均不相等且为最短边的长， ． 为整数， 可能为，，． 基础巩固通关测 1.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有（ ） A、x2+x=x2(1+) B、(x+1)2=x2+2x+1 C、x2–4=(x+2)(x–2) D、2x+4y+6z=2（x+2y）+6z 【答案】C 2.多项式15m3n2+5m2n–20m2n3的公因式是(　　) A．5mn B．5m2n2 C．5m2n D．5mn2 【答案】C 3.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(　　) A．a2＋(–b)2 B．5m2–20mn C．–x2–y2 D．–x2＋9 【答案】D 4.如果x2–6x+N是一个完全平方式，那么N是( ) A . 11 B. 9 C. –11 D. –9 【答案】B 5.因式分解：x2y+2xy= （2024枣庄中考） 【答案】xy（x+2） 6.分解因式：x3-25x= （2024北京中考） 【答案】x（x+5）（x-5） 7.把下列各式分解因式： （1）m2–3m （2）–x3y3–x2y2–xy （3）16a2–9b2 （4）(a+2b)2–(a–b)2 （5）(a+b)2–12(a+b)+36. 【答案】（1）m（m-3）（2）-xy（x2y2+xy+1）（3）（4a+3b）（4a-3b） （4）3b（2a+b） （5）（a+b-6）2 8.简便计算 （1）1.992+1.99×0.01 （2）2552–452 【答案】（1）3.98 （2）63000 9.已知a+b=5，ab=3，求a2b+ab2的值. 【答案】a2b+ab2=ab（a+b）=15 10.把3x2–6xy+x分解因式.小亮的解法是这样的： 解：原式 =x(3x–6y). 他的解法正确吗？如果不正确，请给出正确的解法。 【答案】不正确。原式 =x(3x–6y+1） 11.n为整数时，(2n+1)2–25能否被4整除？并说明理由。 【答案】因为(2n+1)2–25=（2n+1+5）（2n+1-5）=（2n+6）（2n-4）=4（n+3）（n-2） 所以(2n+1)2–25能被4整除 12.阅读下列材料： 材料、将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成 材料、因式分解： 解：将“”看成一个整体，令，则原式再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请解答下列问题： 根据材料，把分解因式． 结合材料和材料，完成下面小题： 分解因式：； 分解因式： 【答案】解：； 令， 则原式， 所以； 令， 则原式 ， 所以原式 ．  能力提升进阶练 1.下列多项式的分解因式，正确的是(　　) A．12xyz–9x2y2=3xyz(4–3xyz) B．3a2y–3ay+6y=3y(a2–a+2) C．–x2+xy–xz=–x(x2+y–z) D．a2b+5ab–b=b(a2+5a) 【答案】B 2.如果a+b=3，ab=1，那么a3b+2a2b2+ab3的值为（ ）（2024广西） A．0 B．1 C．4 D．9 【答案】a3b+2a2b2+ab3=ab（a2+2ab+b2）=ab（a+b）2=9，所以答案是D 3.因式分解：2a3-8ab2=____________（2024齐齐哈尔中考） 【答案】2a（a+2b）（a-2b） 4.如果x2–mx+16是一个完全平方式，那么m的值为________. 【答案】±8 5.若9a2(x–y)2–3a(y–x)3＝M·(3a＋x–y)，则M等于_____________. 【答案】3a(x–y)2 6.把下列各式分解因式： （1）12xyz–9x2y2 （2）(x–y)2+y(y–x) (3)2x2–8 (4)–a4+16 （5）ax2+2axy+ay2 【答案】（1）3xy（4z-3xy）（2）（x-y）（x-2y）（3）2（x+2）（x-2） （4）（4+a2）（2+a）（2-a） （5）a（x+y）2 7.计算 （1）(–2)101+(–2)100 （2）2.34×13.2+0.66×13.2-26.4 【答案】（1）-2100 （2）13.2 8.先因式分解再求值：(2x+1)2–(2x+1)(2x–1)，其中x= 2 . 【答案】(2x+1)2–(2x+1)(2x–1)=2（2x+1） 当x=2时，原式=10 9.已知x2–y2＝–2，x＋y＝1，求x–y，x，y的值． 【答案】x2–y2=（x＋y）（x-y）=1×（x-y）=-2 ∴x-y=-2 又∵x+y=1 ∴x=-0.5，y=1.5 10.把 -x2+xy–xz分解因式.小红的解法是这样的： 解：原式 = – x(x+y–z). 她的解法正确吗？如果不正确，请给出正确的解法。 【答案】不正确。原式 = – x(x-y+z) 11. △ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC的形状，并说明理由． 【答案】∵a＋2ab＝c＋2bc ∴a（1+2b）=c（1+2b） ∵1+2b≠0 ∴a=c ∴△ABC是等腰三角形 12.阅读下列材料：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及 的值． 解：设另一个因式是， 根据题意，得， 展开，得， 所以，解得 所以，另一个因式是， 的值是． 请你仿照以上做法解答下题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】设另一个因式是， 根据题意，得． 展开，得． 所以，，解得：， 所以，另一个因式是，的值是．  1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$