第2章 一元二次方程 预学检测-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（湘教版）

80 第2章预学检测 (满分:100分 时间:90分钟) 一、 选择题(每题3分,共30分) 1. 下列方程中,是关于x的一元二次方程的为 ( ) A. ax2+bx+c=0 B. x+y=1 C. x2+1x2=0 D. x2+x=4 2. 若x=2是关于x的一元二次方程x2-3mx+ 2=0的解,则m 的值为 ( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 3. 将一元二次方程(x+a)2=b化成一般形式 为x2-8x-5=0,则a,b的值分别是( ) A. -4,21 B. -4,11 C. 4,21 D. -8,69 4. 某市2022年年底森林覆盖率为63%,为贯 彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理 念,该市大力开展植树造林活动,2024年年 底森林覆盖率已达到69%,求这两年森林覆 盖率的年平均增长率.若设这两年森林覆盖 率的年平均增长率为x,则符合题意的方 程是 ( ) A. 0.63(1+x2)=0.69 B. 0.63(1+2x)=0.69 C. 0.63(1+x)2=0.69 D. 0.63(1+2x)2=0.69 5. 将一元二次方程(2x+3)(3x-5)=1化为 ax2+bx+c=0(a>0)的形式,其常数项是 ( ) A. 15 B. -15 C. 14 D. -16 6. 关于x的一元二次方程(k-1)x2+2x-2= 0有两个实数根,则k的取值范围是 ( ) A. k>12 B. k≥12 C. k>12 且k≠1 D. k≥12 且k≠1 7. (日照中考)已知实数x1,x2(x1≠x2)是关 于x的方程kx2+2kx+1=0(k≠0)的两个 根.若1x1+ 1 x2=2 ,则k的值为 ( ) A. 1 B. -1 C. 1 2 D. -12 8. 如图,将一块正方形空地划出部分区域(阴影 部分)进行绿化,剩余部分是面积为20m2的 矩形空地,则原正方形空地的边长是 ( ) A. 7m B. 8m C. 9m D. 10m 第8题 第10题 9. 2024年12月8日,在四川成都举行的国际 乒联混合团体世界杯比赛中,中国队成功卫 冕.本次一共有4x支队伍参赛,在第一轮比 赛中,组委会把4x支队伍平均分成4组,每 组组内以循环赛的形式展开角逐,即组内的 x支队伍相互之间都要比赛一场,第一轮一 共安排了24场比赛,则符合题意的方程为 ( ) A. 2x(x+1)=24 B. 2x(x-1)=24 C. 1 2x (x+1)=24 D. 1 2x (x-1)=24 答案讲解 10. 如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°, AC=12cm,BC=16cm,点P,Q 分别从A,B 两点同时出发,沿 AC,BC 向点C 匀速运动,其速度均为 2cm/s,当点P 到达点C 后,P,Q 两点均 停止运动.设运动时间为ts,则当△PCQ 的面积是△ABC 面积的一半时,t的值为 ( ) A. 1 B. 2 C. 12 D. 2或12 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)八年级 拍 照 批 改 81 二、 填空题(每题3分,共24分) 11. 写出一个二次项系数为1,且一个根为x= 0的一元二次方程: . 12. 已知y1=x2+1,y2=2x,当y1=y2 时,x 的值为 . 13. 已知n是方程x2-5x-3=0的一个根,则 n2-5n+2024的值为 . 14. 若关于x 的一元二次方程x2+4x-m=0 有两个不相等的实数根,则点P(m+5, -m-6)在第 象限. 15. 一元二次方程(2x-1)2=(3x-2)2的根是 . 16. 已知a,b是关于x的一元二次方程x2+3x- 5=0的两个根,则(a-b)2-(a+b)2的值 为 . 17. 已知一个两位数十位上的数字比个位上的 数字大2,两个数字的积比这个两位数小 34,则这个两位数为 . 答案讲解 18. 定 义 一 种 新 运 算:a ⊗b = a2-b(a≤0), -a+b(a>0). 例如:-2⊗4= (-2)2-4=0,2⊗3=-2+3=1.若x⊗ 1=-34 ,则x的值为 . 三、 解答题(共46分) 19. (6分)用适当的方法解下列方程: (1) (x-3)2=9; (2) x2-6x-4=0; (3) 3x(x-2)=2x-4. 20. (6分)已知关于x的一元二次方程x2-(k+ 4)x+4k=0(k≠0). (1) 求证:方程总有两个实数根; (2) 若x1,x2是该方程的两个根,且2x1+ 2x2=3x1x2,求k的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 82 21. (8分)(郴州中考)随着旅游旺季的到来,某 景区游客人次数逐月增加,2月份游客人次 数为1.6万,4月份游客人次数为2.5万. (1) 求这两个月中该景区游客人次数的月 平均增长率. (2) 预计5月份该景区游客人次数会继续 增长,但增长率不会超过前两个月的月平 均增长率.已知该景区5月1日至5月 21日已接待游客2.125万人次,则5月份 后10天(22日至31日)日均接待游客人次 数最多是多少万? 22. (8分)(东营中考)如图,老李想用长为70m 的栅栏,再借助房屋的外墙(足够长)围成 一个矩形羊圈ABCD,并在边BC 上装一 扇2m宽的门(装在EF 处,另用其他材料 制成). (1) 当羊圈的长和宽分别为多少米时,能围 成一个面积为640m2的羊圈? (2) 羊圈的面积能达到650m2 吗? 如果 能,请你给出设计方案;如果不能,请说明 理由. 第22题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)八年级 83 23. (8分)平安路上,多“盔”有你.在“交通安全 宣传月”期间,某商店销售一批头盔,进价 为每顶40元,售价为每顶68元,平均每周 可售出100顶.商店计划将头盔降价销售, 每顶的售价不高于58元,经调查发现:每 降价2元,平均每周可多售出40顶.若该商 店希望平均每周获得4000元的销售利润, 则每顶头盔应降价多少? 答案讲解 24. (10分)如图,在矩形ABCD 中, AB=16cm,AD=6cm.动点P, Q 分别从点A,C 同时出发,点P 以2cm/s的速度向点B 移动,点 Q 以 1cm/s的速度向点D 移动,当点P 到达点 B 时,两动点同时停止移动. (1) 两动点经过几秒时,四边形PBCQ 的 面积是矩形ABCD 面积的512 ? (2) 连接BQ,两动点经过几秒时,△BQP 是以BQ 为腰的等腰三角形? 第24题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 24 6t+10=0.∵ Δ=36-40=-4<0,∴ 方程无实数根. ∴ △PCQ 的面积不能等于10cm2. 预学训练 1. C 2. B 3. C 4. D 5. 56 6. 10% 7. (1) 设该商场投入资金的月平均增长率为x.依题意, 得20(1+x)2=24.2,解得x1=0.1=10%,x2=-2.1 (不合题意,舍去).∴ 该商场投入资金的月平均增长率为 10%.(2) 由题意得,24.2×(1+10%)=26.62(万元). ∴ 预计该商场七月份投入的资金将达到26.62万元. 8. A 9. 4 解析:设每箱应降价x 元,则每箱的销售利润为 (12-x)元,平均每天可售出(100+20x)箱.根据题意,得 (12-x)(100+20x)=1440.整理,得x2-7x+12=0,解 得x1=3,x2=4.∵ 为让利顾客,∴ 每箱应降价4元. 10. (1) (6-t)cm;(12-2t)cm.(2) ∵ AP=tcm,QB= 2tcm,PB=(6-t)cm,CQ=(12-2t)cm,由题意可得 S△DPQ=S矩形ABCD- 1 2S△APD- 1 2S△BPQ- 1 2S△DCQ=28 , ∴ AB×BC-12×AP×AD- 1 2×PB×BQ- 1 2× CQ×CD=28.∴ 12×6-12×12t- 1 2×2t× (6-t)- 1 2×6× (12-2t)=28.∴ t2-6t+8=0,解得t1=2,t2= 4.∴ 当t为2或4时,△DPQ 的面积等于28cm2. 第2章预学检测 一、 1. D 2. C 3. A 4. C 5. D 6. D 7. B 8. A 9. B 10. B 解析:由题意,得CP=(12-2t)cm,CQ=(16- 2t)cm.∵ △PCQ 的 面 积 是 △ABC 面 积 的 一 半, ∴ 1 2 (12-2t)(16-2t)=12× 1 2×12×16 ,解得t=2或 t=12(不合题意,舍去).∴ t的值为2. 二、 11. x2+x=0(答案不唯一) 12. 1 13. 2027 14. 四 15. x1= 3 5 ,x2=1 16. 20 17. 42或97 18. -12 或7 4 解析:∵ a⊗b= a2-b(a≤0), -a+b(a>0), x⊗ 1=-34 ,∴ ① 当x≤0时,x2-1=-34 ,解得x= -12 (正数舍去);② 当x>0时,-x+1=-34 ,解得 x=74. 综上所述,x的值是-12 或7 4. 三、 19. (1) x1=0,x2=6.(2) x1=3+ 13,x2=3- 13.(3) x1= 2 3 ,x2=2. 20. (1) 根据根的判别式,可得Δ=[-(k+4)]2-4×1× 4k=(k-4)2≥0.∴ 方程总有两个实数根.(2) 根据题 意,得x1+x2=k+4,x1x2=4k.∴ 2(k+4)=3×4k,解 得k=45. 21. (1) 设这两个月中该景区游客人次数的月平均增长 率为x.由题意,可得1.6(1+x)2=2.5,解得x1=25%, x2=- 9 4 (不合题意,舍去).∴ 这两个月中该景区游客 人次数的月平均增长率为25%.(2) 设5月份后10天日 均接待游客人次数是a万.由题意,可得2.125+10a≤ 2.5(1+25%),解得a≤0.1.∴ 5月份后10天日均接待 游客人次数最多是0.1万. 22. (1) 设矩形ABCD 的边AB 为xm,则边BC为(72- 2x)m.根据题意,得x(72-2x)=640,解得 x1=16,x2= 20.当x=16时,72-2x=72-32=40;当x=20时,72- 2x=72-40=32.∴ 当羊圈的长为40m,宽为16m或长 为32m,宽为20m时,能围成一个面积为640m2 的羊 圈.(2) 不能.理由:由(1)及题意,得x(72-2x)=650.化 简,得 x2-36x+325=0,Δ=(-36)2-4×325=-4< 0,∴ 一元二次方程没有实数根.∴ 羊圈的面积不能达到 650m2. 23. 设每顶头盔应降价x 元,则每顶头盔的销售利润为 (68-x-40)元,平均每周的销售量为 100+x2×40 顶.由 题意,得(68-x-40)· 100+x2×40 =4000,解得 x1=20,x2=3.∵ 每顶的售价不高于58元,∴ x2=3不 符合题意,舍去.∴ x=20.∴ 每顶头盔应降价20元. 24. (1) 设两动点经过xs,四边形PBCQ 的面积是矩形 ABCD 面积的 512. 由题意,得 1 2 (CQ+BP)·BC= 5 12AB ·AD,∴ 1 2× (x+16-2x)×6=512×16×6 ,解 得x=83.∴ 两动点经过8 3s 时,四边形PBCQ 的面积 是矩形ABCD 面积的512. (2) 设两动点经过ys时, △BQP 是以BQ 为腰的等腰三角形.由题意,易知0≤ y<8.① 当BP=BQ 时,BQ2=BC2+CQ2,即(16- 2y)2=62+y2.整理,得3y2-64y+220=0,解得y1= 32+2 91 3 (舍去),y2= 32-2 91 3 ;② 当BQ=QP 时, 过点 Q 作QH ⊥AB 于点 H.∵ BQ2=BC2+CQ2, PQ2=(PB-BH)2+HQ2,∴ 62+y2=(16-2y- y)2+62.∴ (16-3y)2=y2.∴ y3=4,y4=8(舍去). ∴ 当两动点经过32-2 91 3 s 或4s时,△BQP 是以BQ 为腰的等腰三角形. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈