2.5 一元二次方程的应用-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（湘教版）

23 (x-3)2=14.直接开平方,得x-3=± 14.∴ x1=3+ 14,x2=3- 14. 15. (1) 根据题意,得Δ=(-2)2-4(4-m)>0,解得 m>3.(2) ∵ m>3,∴ m-3>0.∴ 1-m2 |m-3|÷ m-1 2 · m-3 m+1= (1+m)(1-m) m-3 · 2 m-1 ·m-3 m+1=-2. * 2.4 一元二次方程根与系数的关系 知识梳理 1. -ba c a 2. 和 相反数 二次项系数 典例演练 典例1 (1) x2-x-4=0.∵ Δ=(-1)2-4×1× (-4)=17>0,∴ x1+x2=- b a =1 ,x1x2= c a = -4.(2) 3x2+7x-6=0.∵ Δ=72-4×3×(-6)= 121>0,∴ x1+x2=- b a=- 7 3 ,x1x2= c a=-2. 典例2 依题意,得x1+x2= 3 2 ,x1x2=- 5 2. (1) x21+ x22=(x1+x2)2-2x1x2= 3 2 2 -2× -52 =294. (2) |x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2= 3 2 2 -4× -52 =494,∴ |x1-x2|= 7 2. (3) x1 x2 + x2 x1 = x21+x22 x1x2 = 29 4 -52 =-2910. 预学训练 1. A 2. B 3. -23 4. 6 5. 设方程的另一个根为t.根据根与系数的关系,得4+ t=7,4t=m,解得t=3,m=12,即m 的值为12,方程的 另一个根为x=3. 6. C 7. C 解析:设菱形的两条对角线的长分别为a,b.∵ 菱 形的面积=两条对角线积的一半,∴ 1 2ab=11 ,即ab= 22.由 题 意,得 a +b =10,∴ 菱 形 的 边 长 = a 2 2 + b2 2 =12 a 2+b2=12 (a+b)2-2ab= 1 2 100-44= 1 2 56= 14. 8. B 解析:设原来的方程为ax2+bx+c=0(a≠0).由 题知,-ba =6+1=7 ,c a =-2× (-5)=10.∴ b= -7a,c=10a.∴ 原来的方程为ax2-7ax+10a=0,即 x2-7x+10=0. 9. 14 10. 6 解析:∵ 一元二次方程2x2-4x-1=0的两个根 为m,n,∴ 2m2-4m=1,m+n=--42 =2 ,mn= -12.∴ 3m2-4m+n2=2m2-4m+m2+n2=1+(m+ n)2-2mn=1+22-2× -12 =6. 11. (1) ∵ x2-(m+2)x+m-1=0,a=1,b=-(m+ 2),c=m-1,∴ Δ=b2-4ac=[-(m+2)]2-4×1× (m-1)=m2+4m+4-4m+4=m2+8.∵ m2≥0, ∴ Δ>0.∴ 无论m 取何值,方程都有两个不相等的实数 根.(2) ∵ 方程x2-(m+2)x+m-1=0的两个实数根 为x1,x2,∴ x1+x2=m+2,x1x2=m-1.∵ x21+x22- x1x2=9,即(x1+x2)2-3x1x2=9,∴ (m+2)2-3(m- 1)=9.整理,得m2+m-2=0.∴ (m+2)(m-1)=0,解 得m1=-2,m2=1.∴ m 的值为-2或1. 2.5 一元二次方程的应用 知识梳理 1. 检验 2. a(1+x)2 a(1-x)2 3. (1) 成本价 (3) 总成本 销售的商品件数 4. 已知量 面积 5. 速度 典例演练 典例1 (1) 当每件的售价降低x元时,每件的销售利润 为(10-x)元,每天可售出(3000+1000x)件.根据题意, 得(10-x)(3000+1000x)=40000.整理,得x2-7x+ 10=0,解得x1=2,x2=5.∵ 尽可能地让利顾客,∴ x= 5.∴ 当x为5时,该批发商场每天销售该款商品的利润 为40000元.(2) 该批发商场每天销售该款商品的利润不 能达到50000元.理由:当每件的售价降低x 元时,每件 的销售利润为(10-x)元,每天可售出(3000+1000x) 件.根据题意,得(10-x)(3000+1000x)=50000.整理, 得x2-7x+20=0.∵ Δ=(-7)2-4×1×20=-31<0, ∴ 该方程没有实数根.∴ 该批发商场每天销售该款商品 的利润不能达到50000元. 典例2 (1) 根据题意,得AP=tcm,CQ=2tcm,则 CP=(6-t)cm.由题意,得12×2t (6-t)=5,解得t1= 1,t2=5.∵ 2t≤8,∴ 0<t≤4.∴ t=1.∴ 当t的值为 1时,△PCQ 的面积为5cm2.(2) ∵ ∠ACB=90°,CP= (6-t)cm,CQ=2tcm,∴ CP2+CQ2=PQ2.∴ (6- t)2+(2t)2=62,解得t=125 或t=0(不合题意,舍去). ∴ 当t 的 值 为125 时,△PCQ 中 PQ 的 长 为6cm. (3) △PCQ 的面积不能等于10cm2.理由:若△PCQ 的 面积等于10cm2,则12× (6-t)×2t=10,化简得t2- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 24 6t+10=0.∵ Δ=36-40=-4<0,∴ 方程无实数根. ∴ △PCQ 的面积不能等于10cm2. 预学训练 1. C 2. B 3. C 4. D 5. 56 6. 10% 7. (1) 设该商场投入资金的月平均增长率为x.依题意, 得20(1+x)2=24.2,解得x1=0.1=10%,x2=-2.1 (不合题意,舍去).∴ 该商场投入资金的月平均增长率为 10%.(2) 由题意得,24.2×(1+10%)=26.62(万元). ∴ 预计该商场七月份投入的资金将达到26.62万元. 8. A 9. 4 解析:设每箱应降价x 元,则每箱的销售利润为 (12-x)元,平均每天可售出(100+20x)箱.根据题意,得 (12-x)(100+20x)=1440.整理,得x2-7x+12=0,解 得x1=3,x2=4.∵ 为让利顾客,∴ 每箱应降价4元. 10. (1) (6-t)cm;(12-2t)cm.(2) ∵ AP=tcm,QB= 2tcm,PB=(6-t)cm,CQ=(12-2t)cm,由题意可得 S△DPQ=S矩形ABCD- 1 2S△APD- 1 2S△BPQ- 1 2S△DCQ=28 , ∴ AB×BC-12×AP×AD- 1 2×PB×BQ- 1 2× CQ×CD=28.∴ 12×6-12×12t- 1 2×2t× (6-t)- 1 2×6× (12-2t)=28.∴ t2-6t+8=0,解得t1=2,t2= 4.∴ 当t为2或4时,△DPQ 的面积等于28cm2. 第2章预学检测 一、 1. D 2. C 3. A 4. C 5. D 6. D 7. B 8. A 9. B 10. B 解析:由题意,得CP=(12-2t)cm,CQ=(16- 2t)cm.∵ △PCQ 的 面 积 是 △ABC 面 积 的 一 半, ∴ 1 2 (12-2t)(16-2t)=12× 1 2×12×16 ,解得t=2或 t=12(不合题意,舍去).∴ t的值为2. 二、 11. x2+x=0(答案不唯一) 12. 1 13. 2027 14. 四 15. x1= 3 5 ,x2=1 16. 20 17. 42或97 18. -12 或7 4 解析:∵ a⊗b= a2-b(a≤0), -a+b(a>0), x⊗ 1=-34 ,∴ ① 当x≤0时,x2-1=-34 ,解得x= -12 (正数舍去);② 当x>0时,-x+1=-34 ,解得 x=74. 综上所述,x的值是-12 或7 4. 三、 19. (1) x1=0,x2=6.(2) x1=3+ 13,x2=3- 13.(3) x1= 2 3 ,x2=2. 20. (1) 根据根的判别式,可得Δ=[-(k+4)]2-4×1× 4k=(k-4)2≥0.∴ 方程总有两个实数根.(2) 根据题 意,得x1+x2=k+4,x1x2=4k.∴ 2(k+4)=3×4k,解 得k=45. 21. (1) 设这两个月中该景区游客人次数的月平均增长 率为x.由题意,可得1.6(1+x)2=2.5,解得x1=25%, x2=- 9 4 (不合题意,舍去).∴ 这两个月中该景区游客 人次数的月平均增长率为25%.(2) 设5月份后10天日 均接待游客人次数是a万.由题意,可得2.125+10a≤ 2.5(1+25%),解得a≤0.1.∴ 5月份后10天日均接待 游客人次数最多是0.1万. 22. (1) 设矩形ABCD 的边AB 为xm,则边BC为(72- 2x)m.根据题意,得x(72-2x)=640,解得 x1=16,x2= 20.当x=16时,72-2x=72-32=40;当x=20时,72- 2x=72-40=32.∴ 当羊圈的长为40m,宽为16m或长 为32m,宽为20m时,能围成一个面积为640m2 的羊 圈.(2) 不能.理由:由(1)及题意,得x(72-2x)=650.化 简,得 x2-36x+325=0,Δ=(-36)2-4×325=-4< 0,∴ 一元二次方程没有实数根.∴ 羊圈的面积不能达到 650m2. 23. 设每顶头盔应降价x 元,则每顶头盔的销售利润为 (68-x-40)元,平均每周的销售量为 100+x2×40 顶.由 题意,得(68-x-40)· 100+x2×40 =4000,解得 x1=20,x2=3.∵ 每顶的售价不高于58元,∴ x2=3不 符合题意,舍去.∴ x=20.∴ 每顶头盔应降价20元. 24. (1) 设两动点经过xs,四边形PBCQ 的面积是矩形 ABCD 面积的 512. 由题意,得 1 2 (CQ+BP)·BC= 5 12AB ·AD,∴ 1 2× (x+16-2x)×6=512×16×6 ,解 得x=83.∴ 两动点经过8 3s 时,四边形PBCQ 的面积 是矩形ABCD 面积的512. (2) 设两动点经过ys时, △BQP 是以BQ 为腰的等腰三角形.由题意,易知0≤ y<8.① 当BP=BQ 时,BQ2=BC2+CQ2,即(16- 2y)2=62+y2.整理,得3y2-64y+220=0,解得y1= 32+2 91 3 (舍去),y2= 32-2 91 3 ;② 当BQ=QP 时, 过点 Q 作QH ⊥AB 于点 H.∵ BQ2=BC2+CQ2, PQ2=(PB-BH)2+HQ2,∴ 62+y2=(16-2y- y)2+62.∴ (16-3y)2=y2.∴ y3=4,y4=8(舍去). ∴ 当两动点经过32-2 91 3 s 或4s时,△BQP 是以BQ 为腰的等腰三角形. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 77 2.5　一元二次方程的应用 1. 运用一元二次方程模型解决实际问题的步 骤:① 分析数量关系,并设未知数;② 建立 一元二次方程模型;③ 解一元二次方程; ④ 得到一元二次方程的根;⑤ 根据实际问 题进行 ;⑥ 得到实际问题的解. 2. 平均变化率中的数量关系:若增长的基数为 a,平均每次的增长率为x,则第二次增长后 的数量为 .当问题变为下降(或 减少)率是x 时,则第二次减少后的数量为 . 3. 与营销有关的基本关系: (1) 每件商品的利润=销售价- ; (2) 利润率= 利润 进价×100%; (3) 总利润=总售价- ,或总利润= 每件商品的利润× . 4. 面积问题属于几何图形的应用题,解决问题 的关键是将不规则图形通过分割或组合、平 移转化成规则图形,找出未知量与 的内在联系,根据 公式列出一元二 次方程. 5. 动点问题:动点问题中需要明确动点的运动速 度、运动时间、运动路径等数量,进而结合“路 程= ×时间”等数量关系解决问题. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 某大型批发商场平均每天可售出某款商 品3000件,售出1件该款商品的利润是10元. 经调查发现,若该款商品的批发价每降低1元, 则每天可多售出1000件.为了使每天获得的利 润更多,该批发商场决定降价x 元销售该款 商品. (1) 当x 为多少时,该批发商场在尽可能地让 利顾客的情况下,每天销售该款商品的利润为 40000元? (2) 若按照这种降价促销的策略,该批发商场 每天销售该款商品的利润能达到50000元吗? 若能,请求出x的值;若不能,请说明理由. (1) 当每件的售价降低x 元时,每件的销 售利润为(10-x)元,每天可售出(3000+ 1000x)件,利用总利润=每件的销售利润×日 销售量,可得出关于x 的一元二次方程,求解 后,还需考虑尽可能让利顾客,从而得出结论; (2) 当每件的售价降低x 元时,每件的销售利 润为(10-x)元,每天可售出(3000+1000x)件, 利用总利润=每件的销售利润×日销售量,可 得出关于x 的一元二次方程,根据根的判别式 判断方程根的情况,从而判断该批发商场每天 销售该款商品的利润能否达到50000元. 解答: 解有所悟:根据题意,将题目中的各个量表示出来, 可以直观地理顺它们之间的关系,便于从中找出等 量关系,列出方程. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 78 典例2 如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°, AC=6cm,BC=8cm,点P 从点A 出发,以每 秒1cm的速度沿AC 运动;同时点Q 从点C 出 发,以每秒2cm的速度沿CB 运动,当点Q 到 达点B 时,点P 同时停止运动.设运动时间为 ts. (1) 当t为何值时,△PCQ 的面积为5cm2? (2) 当t为何值时,△PCQ 中PQ 的长为6cm? (3) △PCQ 的面积能否等于10cm2? 若能,求 出运动时间;若不能,请说明理由. 典例2图 (1) 分别用含t的代数式表示出线段CP 和线段CQ 的长,再利用三角形的面积公式列 方程求解即可;(2) 根据题意列方程即可得到 结论;(3) 先由题意列出关于t的一元二次方 程,再由根的判别式可得出答案. 解答: 解有所悟:对于此类几何图形中的动点问题,常用 含运动时间t的代数式表示其中线段的长度,一般 通过三角形的面积、勾股定理列一元二次方程,从 而找出符合题意的时间点. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. (教材P49例1变式)(牡丹江中考)一种药 品的原价为每盒48元,经过两次降价后每 盒27元,两次降价的百分率相同,则每次降 价的百分率为 ( ) A. 20% B. 22% C. 25% D. 28% 2. 我国古代著作《四元玉鉴》中记载了“买椽多 少”问题,其大意如下:现请人代买一批椽, 这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运 费是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运 费恰好等于一株椽的价钱.根据题意可列方 程为3x(x-1)=6210,其中x表示 ( ) A. 剩余椽的数量 B. 这批椽的数量 C. 剩余椽的运费 D. 每株椽的价钱 3. 如图,小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围 成一个一边靠墙(墙长5.5m)的矩形鸭舍, 其面积为15m2,在鸭舍侧面的中间位置装 一扇1m宽的门(由其他材料制成),则BC 的长为 ( ) A. 5m或6m B. 2.5m或3m C. 5m D. 3m 第3题 第4题 4. (教材P53习题2.5第4题变式)如图所示为 某月的月历表,在此月历表上可以用一个矩 形圈出9(即3×3)个位置相邻的数(如6,7, 8,13,14,15,20,21,22).若圈出的9个数中, 最大数与最小数的积为192,则这9个数的 和为 ( ) A. 32 B. 126 C. 135 D. 144 5. 两个连续正整数的平方和为113,则这两个 数的积是 . 6. (重庆中考A卷)随着经济复苏,某公司近两 年的总收入逐年递增.该公司2021年缴税 40万元,2023年缴税48.4万元.该公司这 两年缴税的年平均增长率是 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)八年级 79 7. (西藏中考)某商场开展了家电惠民补贴活 动.四月份投入资金20万元,六月份投入资 金24.2万元,现假定每月投入资金的增长 率相同. (1) 求该商场投入资金的月平均增长率; (2) 按照这个增长率,预计该商场七月份投 入的资金将达到多少万元. [综合提升] 答案讲解 8. 如图,在长为100m、宽为50m的矩 形空地上修建四条宽度相等的小 路,若余下的部分全部种上花卉,且 种花卉的面积是3600m2,则小路的宽是 ( ) 第8题 A. 5m B. 70m C. 5m或70m D. 10m 答案讲解 9. (教材P53习题2.5第2题变式)某 超市销售一种饮料,平均每天可售 出100箱,每箱的利润是12元,为 扩大销量,增加利润,该超市准备适当降价, 据测算,每箱每降价1元,平均每天可多售出 20箱.为让利顾客,若要使每天销售该种饮 料获得的利润为1440元,则每箱应降价 元. 答案讲解 10. (教材P52例4变式)如图,在矩形 ABCD 中,AB=6cm,BC=12cm, 点P从点A 出发,沿AB以1cm/s 的速度向点B 匀速移动,同时点Q 从点B 出发,沿BC 以2cm/s的速度向点C 匀速 移动.设移动时间为ts. (1) PB= ,QC= ; (2) 当t为何值时,△DPQ 的面积等于 28cm2? 第10题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备