2.4 一元二次方程根与系数的关系-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（湘教版）

75 * 2.4　一元二次方程根与系数的关系 1. 当Δ≥0时,设一元二次方程ax2+bx+c= 0(a≠0)的两个根为x1,x2,则x1+x2= ,x1x2= .这个关系通常 被称为韦达定理. 2. 当Δ≥0时,一元二次方程的根与系数之间 具有如下关系:两根的 等于一次项 系数与二次项系数的比的 ,两根的 积等于常数项与 的比. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 不解方程,求下面方程的两根之和与两 根之积. (1) (x+1)(x-2)=2; (2) 3x2+7x=6. 先将上述方程整理为一元二次方程的一 般形式,再利用根与系数的关系求解即可. 解答: 解有所悟:求一元二次方程的两个根的和或积时, 要把方程化为一般形式,先用根的判别式确定方程 有无实数根,再利用根与系数的关系进行计算. 典例2 已知x1,x2 是方程2x2-3x-5=0的 两个根,不解方程,求下列代数式的值: (1) x21+x22; (2) |x1-x2|; (3) x1 x2+ x2 x1. x21+x22=(x1+x2)2-2x1x2;|x1-x2|2= (x1+x2)2-4x1x2; x1 x2+ x2 x1= x21+x22 x1x2 . 然后把 x1+x2和x1x2的值整体代入求解即可. 解答: 解有所悟:求关于一元二次方程两个根的代数式的 值,只需先将代数式转化为含有x1+x2,x1x2的形 式,然后将x1+x2,x1x2的值整体代入求解即可. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. (教材P48练习第1题变式)若x1,x2 是方 程x2-6x-7=0的两个根,则 ( ) A. x1+x2=6 B. x1+x2=-6 C. x1x2= 7 6 D. x1x2=7 2. (教材P48习题2.4第3题变式)已知关于x 的方程x2+mx+3=0的一个根为x=1,则 实数m 的值为 ( ) A. 4 B. -4 C. 3 D. -3 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 76 3. (教材P48习题2.4第5题变式)若关于x 的一元二次方程x2+2x+p=0的两个根为 x1,x2,且 1 x1+ 1 x2=3 ,则p的值为 . 4. (眉山中考)已知方程x2-3x-4=0的根为 x1,x2,则(x1+2)·(x2+2)的 值 为 . 5. (教材P47例2变式)关于x 的一元二次方 程x2-7x+m=0有一个根是x=4,求m 的值及方程的另一个根. [综合提升] 6. (乐山中考)若关于x 的一元二次方程x2- 8x+m=0的两个根为x1,x2,且x1=3x2, 则m 的值为 ( ) A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 答案讲解 7. (泸州中考)若一个菱形的两条对角 线长分别是关于x的一元二次方程 x2-10x+m=0的两个实数根,且 其面积为11,则该菱形的边长为 ( ) A. 3 B. 23 C. 14 D. 214 答案讲解 8. (绥化中考)小影与小冬一起写作 业,解一道一元二次方程时,小影在 化简过程中写错了常数项,因而得 到方程的两个根分别是x1=6和x2=1;小 冬在化简过程中写错了一次项的系数,因而 得到方程的两个根分别是x1=-2和x2= -5.原来的方程是 ( ) A. x2+6x+5=0 B. x2-7x+10=0 C. x2-5x+2=0 D. x2-6x-10=0 9. (泸州中考)已知x1,x2是一元二次方程x2- 3x-5=0的两个实数根,则(x1-x2)2+ 3x1x2的值是 . 答案讲解 10. 若一元二次方程2x2-4x-1=0 的两个根为m,n,则3m2-4m+ n2的值为 . 11. (遂宁中考)已知关于x的一元二次方程x2- (m+2)x+m-1=0. (1) 求证:无论m 取何值,方程都有两个不 相等的实数根; (2) 如果方程的两个实数根为x1,x2,且x21+ x22-x1x2=9,求m 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)八年级 23 (x-3)2=14.直接开平方,得x-3=± 14.∴ x1=3+ 14,x2=3- 14. 15. (1) 根据题意,得Δ=(-2)2-4(4-m)>0,解得 m>3.(2) ∵ m>3,∴ m-3>0.∴ 1-m2 |m-3|÷ m-1 2 · m-3 m+1= (1+m)(1-m) m-3 · 2 m-1 ·m-3 m+1=-2. * 2.4 一元二次方程根与系数的关系 知识梳理 1. -ba c a 2. 和 相反数 二次项系数 典例演练 典例1 (1) x2-x-4=0.∵ Δ=(-1)2-4×1× (-4)=17>0,∴ x1+x2=- b a =1 ,x1x2= c a = -4.(2) 3x2+7x-6=0.∵ Δ=72-4×3×(-6)= 121>0,∴ x1+x2=- b a=- 7 3 ,x1x2= c a=-2. 典例2 依题意,得x1+x2= 3 2 ,x1x2=- 5 2. (1) x21+ x22=(x1+x2)2-2x1x2= 3 2 2 -2× -52 =294. (2) |x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2= 3 2 2 -4× -52 =494,∴ |x1-x2|= 7 2. (3) x1 x2 + x2 x1 = x21+x22 x1x2 = 29 4 -52 =-2910. 预学训练 1. A 2. B 3. -23 4. 6 5. 设方程的另一个根为t.根据根与系数的关系,得4+ t=7,4t=m,解得t=3,m=12,即m 的值为12,方程的 另一个根为x=3. 6. C 7. C 解析:设菱形的两条对角线的长分别为a,b.∵ 菱 形的面积=两条对角线积的一半,∴ 1 2ab=11 ,即ab= 22.由 题 意,得 a +b =10,∴ 菱 形 的 边 长 = a 2 2 + b2 2 =12 a 2+b2=12 (a+b)2-2ab= 1 2 100-44= 1 2 56= 14. 8. B 解析:设原来的方程为ax2+bx+c=0(a≠0).由 题知,-ba =6+1=7 ,c a =-2× (-5)=10.∴ b= -7a,c=10a.∴ 原来的方程为ax2-7ax+10a=0,即 x2-7x+10=0. 9. 14 10. 6 解析:∵ 一元二次方程2x2-4x-1=0的两个根 为m,n,∴ 2m2-4m=1,m+n=--42 =2 ,mn= -12.∴ 3m2-4m+n2=2m2-4m+m2+n2=1+(m+ n)2-2mn=1+22-2× -12 =6. 11. (1) ∵ x2-(m+2)x+m-1=0,a=1,b=-(m+ 2),c=m-1,∴ Δ=b2-4ac=[-(m+2)]2-4×1× (m-1)=m2+4m+4-4m+4=m2+8.∵ m2≥0, ∴ Δ>0.∴ 无论m 取何值,方程都有两个不相等的实数 根.(2) ∵ 方程x2-(m+2)x+m-1=0的两个实数根 为x1,x2,∴ x1+x2=m+2,x1x2=m-1.∵ x21+x22- x1x2=9,即(x1+x2)2-3x1x2=9,∴ (m+2)2-3(m- 1)=9.整理,得m2+m-2=0.∴ (m+2)(m-1)=0,解 得m1=-2,m2=1.∴ m 的值为-2或1. 2.5 一元二次方程的应用 知识梳理 1. 检验 2. a(1+x)2 a(1-x)2 3. (1) 成本价 (3) 总成本 销售的商品件数 4. 已知量 面积 5. 速度 典例演练 典例1 (1) 当每件的售价降低x元时,每件的销售利润 为(10-x)元,每天可售出(3000+1000x)件.根据题意, 得(10-x)(3000+1000x)=40000.整理,得x2-7x+ 10=0,解得x1=2,x2=5.∵ 尽可能地让利顾客,∴ x= 5.∴ 当x为5时,该批发商场每天销售该款商品的利润 为40000元.(2) 该批发商场每天销售该款商品的利润不 能达到50000元.理由:当每件的售价降低x 元时,每件 的销售利润为(10-x)元,每天可售出(3000+1000x) 件.根据题意,得(10-x)(3000+1000x)=50000.整理, 得x2-7x+20=0.∵ Δ=(-7)2-4×1×20=-31<0, ∴ 该方程没有实数根.∴ 该批发商场每天销售该款商品 的利润不能达到50000元. 典例2 (1) 根据题意,得AP=tcm,CQ=2tcm,则 CP=(6-t)cm.由题意,得12×2t (6-t)=5,解得t1= 1,t2=5.∵ 2t≤8,∴ 0<t≤4.∴ t=1.∴ 当t的值为 1时,△PCQ 的面积为5cm2.(2) ∵ ∠ACB=90°,CP= (6-t)cm,CQ=2tcm,∴ CP2+CQ2=PQ2.∴ (6- t)2+(2t)2=62,解得t=125 或t=0(不合题意,舍去). ∴ 当t 的 值 为125 时,△PCQ 中 PQ 的 长 为6cm. (3) △PCQ 的面积不能等于10cm2.理由:若△PCQ 的 面积等于10cm2,则12× (6-t)×2t=10,化简得t2- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈