2.3 一元二次方程根的判别式-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（湘教版）

72 2.3　一元二次方程根的判别式 1. 我们把b2-4ac叫作一元二次方程ax2+bx+ c=0(a≠0)的根的 ,记作“ ”, 即 . 2. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根 的情况可根据Δ=b2-4ac来判断: (1) 当Δ>0时,原方程有两个 的实 数根,其根为x1= ,x2= ; (2) 当Δ=0时,原方程有两个 的实 数根,其根为x1=x2= ; (3) 当 时,原方程没有实数根. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 下列一元二次方程中,没有实数根的是 ( ) A. x2-2x-3=0 B. x2+3x+2=0 C. x2-2x+1=0 D. x2+2x+3=0 利用根的判别式b2-4ac<0进行判断即 可得到没有实数根的一元二次方程. 解答: 解有所悟:利用根的判别式与0的大小关系,可不解 一元二次方程,直接判断一元二次方程的根的情况. 典例2(1) 已知关于x 的一元二次方程(m- 2)x2+2x+1=0. ① 若该方程有两个相等的实数根,则m 的值为 ; ② 若该方程有两个不相等的实数根,则m 的取 值范围是 ; ③ 若该方程没有实数根,则m 的取值范围是 . (2) 已知关于x的方程(m-2)x2+2x+1=0. ① 若该方程有实数根,则m 的取值范围是 ; ② 若该方程有两个实数根,则m 的取值范围是 . (1) 该方程为一元二次方程,二次项系数 不为零.当方程有两个不相等的实数根时,Δ> 0;当方程有两个相等的实数根时,Δ=0;当方程 没有实数根时,Δ<0.(2) ① 当m-2=0,即m= 2时,原方程为一元一次方程,有一个实数根;当 m-2≠0时,由根的判别式的意义得到Δ≥0, 然后综合两种情况得到m 的取值范围.② 当方 程有两个实数根时,方程一定为一元二次方程, 由根的判别式的意义得到m-2≠0且Δ≥0,据 此即可求解. 解答: 解有所悟:当不确定方程ax2+bx+c=0中的a是 否为零时,需要分类讨论,原方程可能是一元一次 方程,也可能是一元二次方程.若已知方程有两个根, 则该方程一定是一元二次方程,此时要注意a≠0. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)八年级 拍 照 批 改 73 [基础过关] 1. 一元二次方程x2-5x+2=0的根的判别式 的值是 ( ) A. 33 B. 23 C. 17 D. 17 2. (吉林中考)下列方程中,有两个相等的实数 根的是 ( ) A. (x-2)2=-1 B. (x-2)2=0 C. (x-2)2=1 D. (x-2)2=2 3. (北京中考)若关于x 的一元二次方程x2- 4x+c=0有两个相等的实数根,则实数c的 值为 ( ) A. -16 B. -4 C. 4 D. 16 4. (教材P45练习第1题变式)(自贡中考)关 于x的方程x2+mx-2=0的根的情况是 ( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. (绵阳中考)已知关于x 的一元二次方程 x2-2(k-1)x+k2+2=0有实数根,则k 的取值范围是 ( ) A. k>-12 B. k<-12 C. k≥-12 D. k≤-12 6. (南通中考)已知关于x的一元二次方程x2- 2x+k=0有两个不相等的实数根,请写出 一个满足题意的k的值: . 7. 关于x的一元二次方程x2+3x+k=0有两 个不相等的实数根,则k 的取值范围是 . 8. (教材P45习题2.3第2题变式)不解方程, 利用判别式判断下列方程的根的情况: (1) 2x-5=3x2; (2) (x+2)(x+3)=-1; (3) 4x2-x+3=7x; (4) 3(x2+2)=4x. 9. 已知关于x的方程mx2-6x+92=0 有两个 不相等的实数根,求自然数 m 的值并解 方程. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 74 [综合提升] 10. (上海中考)以下一元二次方程有两个相等 的实数根的是 ( ) A. x2-6x=0 B. x2-9=0 C. x2-6x+6=0 D. x2-6x+9=0 11. 关于x的一元二次方程(m-2)x2+4x+2=0 有两个实数根,则m 的取值范围是 ( ) A. m≤4 B. m≥4 C. m≥-4且m≠2 D. m≤4且m≠2 答案讲解 12. (宿迁中考)规定:对于任意实数 a,b,c,有[a,b]★c=ac+b,其中 等式右边是通常的乘法和加法运 算,如:[2,3]★1=2×1+3=5.若关于x 的方程[x,x+1]★(mx)=0有两个不相 等的实数根,则m 的取值范围是 ( ) A. m<14 B. m>14 C. m<-14 D. m<14 且m≠0 答案讲解 13. 定义:关于x 的方程cx2+bx+ a=0是方程ax2+bx+c=0(a≠ c≠0)的“倒方程”.有下列四个结 论:① 若x=-2是x2+2x+c=0的“倒 方程”的一个解,则c=-34 ;② 一元二次方 程ax2+bx+c=0与它的“倒方程”一定有 公共解;③ 若一元二次方程ax2-2x+c= 0无解,则它的“倒方程”也无解;④ 若ac< 0,则ax2+bx+c=0与它的“倒方程”都有 两个不相等的实数根.其中,正确的有 (填序号). 14. (荆州中考)已知关于x 的一元二次方程 kx2-(2k+4)x+k-6=0有两个不相等 的实数根. (1) 求k的取值范围; (2) 当k=1时,用配方法解方程. 答案讲解 15. 关于x的方程x2-2x+4-m=0 有两个不相等的实数根. (1) 求m 的取值范围; (2) 化简:1-m 2 |m-3|÷ m-1 2 ·m-3 m+1. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)八年级 22 为±2或3或±1.(2) 由题意,得m2-1=2且m-3≠ 0,解得m=-3. 2.2 一元二次方程的解法 知识梳理 1. 解 根 2. 开平方 3. (2) 一元一次方程 (3) 一元 一次方程 4. 配方 配方法 5. (1) ax2+bx+c=0 (a≠0) (2) 二次项系数 1 右边 (3) 一次项系数一 半的平方 (4) 完全平方式 (5) 非负数 负数 6. x= -b± b2-4ac 2a (b2-4ac≥0) 求根公式 一元二次方 程的求根公式 公式法 7. (1) 一般形式 (2) b2-4ac (3) b2-4ac≥0 ① a≠0 ② b2-4ac≥0 8. 因式分 解 9. (1) 零 (2) 乘积 10. 降次 a(x-x1)(x-x2) 典例演练 典例1 (1) x1=3,x2=-1.(2) x1=2+ 7,x2=2- 7.(3) x1= 3+ 11 2 ,x2= 3- 11 2 . (4) x1=-2, x2= 5 3. 典例2 (1) 2x2+16x+20=2(x2+8x+16)-12= 2(x+4)2-12.∵ (x+4)2≥0,∴ 2(x+4)2-12≥ -12.∴ 多项式2x2+16x+20的最小值是-12. (2) -x2+12x-25=-(x2-12x+36)+11=-(x- 6)2+11.∵ -(x-6)2≤0,∴ -(x-6)2+11≤11.∴ 多 项式-x2+12x-25有最大值,最大值为11. 预学训练 1. C 2. D 3. B 4. x1=1+5,x2=1-5 5. (x+ 4)2=9 6. (1) x1=2,x2=-6.(2) x1=-3,x2=1.(3) x1= 5-2,x2=-5-2.(4) x1= 5+ 41 2 ,x2= 5- 41 2 . 7. A 8. A 9. D 10. -4 11. x=3或x=-1 解析:当x>1时,min{x,1}= 1.∴ x2-2=1,即x2=3,解得x1= 3,x2=-3(舍 去).当x<1时,min{x,1}=x.∴ x2-2=x,即x2-x- 2=0,解得x1=-1,x2=2(舍去).∴ 方程的解为x= 3或x=-1. 12. 根据题意,得x2-13x+12=4x2+18.整理,得 3x2+13x+6=0.∵ 132-4×3×6=97>0,∴ x= -13± 97 2×3 ,即 x1= -13+ 97 6 ,x2= -13- 97 6 . ∴ 当x 为-13+ 976 或-13- 97 6 时,代数式x2- 13x+12的值与代数式4x2+18的值相等. 13. (1) a2-6a+4=a2-6a+9-9+4=(a-3)2-5. ∵ 无论a取何值,(a-3)2 都大于或等于0,∴ 代数式 (a-3)2-5大于或等于-5.∴ 代数式a2-6a+4的最 小值为-5.(2) -a2-8a-8=-(a2+8a+16-16)- 8=-(a+4)2+16-8=-(a+4)2+8.∵ 无论a取何 值,-(a+4)2 都小于或等于0,∴ 代数式-(a+4)2+ 8小于或等于8.∴ 代数式-a2-8a-8的最大值为8. 2.3 一元二次方程根的判别式 知识梳理 1. 判别 式 Δ Δ=b2-4ac 2. (1) 不 相 等 -b+ b2-4ac 2a -b- b2-4ac 2a (2) 相等 -b2a (3) Δ<0 典例演练 典例1 D 典例2 (1) ① 3 ② m<3且m≠2 ③ m>3 (2) ① m≤3 ② m≤3且m≠2 预学训练 1. C 2. B 3. C 4. A 5. D 解析:∵ 关于x的一元二次方程x2-2(k-1)x+ k2+2=0有实数根,∴ Δ=[-2(k-1)]2-4×1×(k2+ 2)=4k2-8k+4-4k2-8=-8k-4≥0,解得k≤-12. 6. -1(答案不唯一) 7. k<94 8. (1) 原方程可变形为3x2-2x+5=0.∴ a=3,b= -2,c=5.∴ b2-4ac=(-2)2-4×3×5=-56<0. ∴ 原方程没有实数根.(2) 原方程可变形为x2+5x+7= 0.∴ a=1,b=5,c=7.∴ b2-4ac=52-4×1×7=-3< 0.∴ 原方程没有实数根.(3) 方程化成一般形式为4x2- 8x+3=0.∵ Δ=(-8)2-4×4×3=16>0,∴ 方程有两 个不相等的实数根.(4) 方程化成一般形式为3x2-4x+ 6=0.∵ Δ=(-4)2-4×3×6=-56<0,∴ 方程没有实 数根. 9. 根据题意,得m≠0且Δ=(-6)2-4m×92>0 ,解得 m<2且m≠0.∴ 自然数m 为1.当m=1时,原方程为 x2-6x+92=0.∵ Δ=(-6)2-4×1×92=18 ,∴ x= 6±32 2×1 =3± 32 2 .∴ x1=3+ 32 2 ,x2=3- 32 2 . 10. D 11. D 12. D 13. ③④ 14. (1) ∵ 关于x的一元二次方程kx2-(2k+4)x+k- 6=0有两个不相等的实数根,∴ Δ=[-(2k+4)]2- 4k(k-6)>0,且k≠0,解得k>-25 且k≠0.(2) 当k= 1时,原方程为x2-(2×1+4)x+1-6=0,即x2-6x- 5=0.移项,得x2-6x=5.配方,得x2-6x+9=5+9,即 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 23 (x-3)2=14.直接开平方,得x-3=± 14.∴ x1=3+ 14,x2=3- 14. 15. (1) 根据题意,得Δ=(-2)2-4(4-m)>0,解得 m>3.(2) ∵ m>3,∴ m-3>0.∴ 1-m2 |m-3|÷ m-1 2 · m-3 m+1= (1+m)(1-m) m-3 · 2 m-1 ·m-3 m+1=-2. * 2.4 一元二次方程根与系数的关系 知识梳理 1. -ba c a 2. 和 相反数 二次项系数 典例演练 典例1 (1) x2-x-4=0.∵ Δ=(-1)2-4×1× (-4)=17>0,∴ x1+x2=- b a =1 ,x1x2= c a = -4.(2) 3x2+7x-6=0.∵ Δ=72-4×3×(-6)= 121>0,∴ x1+x2=- b a=- 7 3 ,x1x2= c a=-2. 典例2 依题意,得x1+x2= 3 2 ,x1x2=- 5 2. (1) x21+ x22=(x1+x2)2-2x1x2= 3 2 2 -2× -52 =294. (2) |x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2= 3 2 2 -4× -52 =494,∴ |x1-x2|= 7 2. (3) x1 x2 + x2 x1 = x21+x22 x1x2 = 29 4 -52 =-2910. 预学训练 1. A 2. B 3. -23 4. 6 5. 设方程的另一个根为t.根据根与系数的关系,得4+ t=7,4t=m,解得t=3,m=12,即m 的值为12,方程的 另一个根为x=3. 6. C 7. C 解析:设菱形的两条对角线的长分别为a,b.∵ 菱 形的面积=两条对角线积的一半,∴ 1 2ab=11 ,即ab= 22.由 题 意,得 a +b =10,∴ 菱 形 的 边 长 = a 2 2 + b2 2 =12 a 2+b2=12 (a+b)2-2ab= 1 2 100-44= 1 2 56= 14. 8. B 解析:设原来的方程为ax2+bx+c=0(a≠0).由 题知,-ba =6+1=7 ,c a =-2× (-5)=10.∴ b= -7a,c=10a.∴ 原来的方程为ax2-7ax+10a=0,即 x2-7x+10=0. 9. 14 10. 6 解析:∵ 一元二次方程2x2-4x-1=0的两个根 为m,n,∴ 2m2-4m=1,m+n=--42 =2 ,mn= -12.∴ 3m2-4m+n2=2m2-4m+m2+n2=1+(m+ n)2-2mn=1+22-2× -12 =6. 11. (1) ∵ x2-(m+2)x+m-1=0,a=1,b=-(m+ 2),c=m-1,∴ Δ=b2-4ac=[-(m+2)]2-4×1× (m-1)=m2+4m+4-4m+4=m2+8.∵ m2≥0, ∴ Δ>0.∴ 无论m 取何值,方程都有两个不相等的实数 根.(2) ∵ 方程x2-(m+2)x+m-1=0的两个实数根 为x1,x2,∴ x1+x2=m+2,x1x2=m-1.∵ x21+x22- x1x2=9,即(x1+x2)2-3x1x2=9,∴ (m+2)2-3(m- 1)=9.整理,得m2+m-2=0.∴ (m+2)(m-1)=0,解 得m1=-2,m2=1.∴ m 的值为-2或1. 2.5 一元二次方程的应用 知识梳理 1. 检验 2. a(1+x)2 a(1-x)2 3. (1) 成本价 (3) 总成本 销售的商品件数 4. 已知量 面积 5. 速度 典例演练 典例1 (1) 当每件的售价降低x元时,每件的销售利润 为(10-x)元,每天可售出(3000+1000x)件.根据题意, 得(10-x)(3000+1000x)=40000.整理,得x2-7x+ 10=0,解得x1=2,x2=5.∵ 尽可能地让利顾客,∴ x= 5.∴ 当x为5时,该批发商场每天销售该款商品的利润 为40000元.(2) 该批发商场每天销售该款商品的利润不 能达到50000元.理由:当每件的售价降低x 元时,每件 的销售利润为(10-x)元,每天可售出(3000+1000x) 件.根据题意,得(10-x)(3000+1000x)=50000.整理, 得x2-7x+20=0.∵ Δ=(-7)2-4×1×20=-31<0, ∴ 该方程没有实数根.∴ 该批发商场每天销售该款商品 的利润不能达到50000元. 典例2 (1) 根据题意,得AP=tcm,CQ=2tcm,则 CP=(6-t)cm.由题意,得12×2t (6-t)=5,解得t1= 1,t2=5.∵ 2t≤8,∴ 0<t≤4.∴ t=1.∴ 当t的值为 1时,△PCQ 的面积为5cm2.(2) ∵ ∠ACB=90°,CP= (6-t)cm,CQ=2tcm,∴ CP2+CQ2=PQ2.∴ (6- t)2+(2t)2=62,解得t=125 或t=0(不合题意,舍去). ∴ 当t 的 值 为125 时,△PCQ 中 PQ 的 长 为6cm. (3) △PCQ 的面积不能等于10cm2.理由:若△PCQ 的 面积等于10cm2,则12× (6-t)×2t=10,化简得t2- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈