2.1 一元二次方程-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（湘教版）

21 二、 11. -53 12. y=- 3 x 13. 1 14. m>-2 15. -2 16. y= 80 x 17. 丙 18. 有效 解析:设药物燃烧时y与x之间的函数表达式 为y=kx.将(8,6)代入y=kx,得8k=6,解得k= 3 4. ∴ 药物燃烧时y 与x 之间的函数表达式为y= 3 4x. 令 y=3,得x=4,即点燃4min后每立方米空气中含药量达 到3mg.设药物燃尽后y 与x 之间的函数表达式为y= n x . 将(8,6)代入y= n x ,得n=6×8=48.∴ y= 48 x. 令 y=3,得x=16,即点燃16min后每立方米空气中含药量 达到3mg.∵ 16-4=12(min),12>10,∴ 此次灭蚊 有效. 三、 19. a-2+1a ÷(a-1) 2 |a| = (a-1)2 a · |a|(a-1)2= |a| a .∵ a是反比例函数y= a x 的比例系数,且该反比例 函数图象的两支分别位于第二、四象限,∴ a<0. ∴ |a|=-a.∴ 原式=-1. 20. 将R=6,I=6代入I=UR ,得U=36.∴ I与R 之间 的函数表达式为I=36R (R>0).又∵ 电路中的电流不超 过12A,∴ 36 R≤12.∴ R≥3.∴ 电路中电阻R 的取值范 围是R≥3. 21. (1) 将(1,3)代入y= k x ,得k=3.∴ y= 3 x. (2) b> c>a.理由:∵ 点(-3,a),32 ,b ,(3,c)都在该反比例 函数的图象上,∴ 将(-3,a),32 ,b ,(3,c)分别代入 y= 3 x ,得a=-1,b=2,c=1.∴ b>c>a. 22. (1) 设波长λ关于频率f的函数表达式为λ= k f (k≠ 0).把(10,30)代入,得k10=30 ,解得k=300.∴ λ= 300 f . (2) 当f=75时,λ= 300 75=4.∴ 当f=75时,电磁波 的波长为4m. 23. (1) 把A(2,4)代入 y= k x ,得 k=8.∴ 反比例函数 的表达式为 y= 8 x. 把B(n,-2)代入 y= 8 x ,得n= -4.∴ B(-4,-2).∵ 点A(2,4),B(-4,-2)在一次函 数 y=ax+b 的图象上,∴ 4=2a+b, -2=-4a+b, 解得 a=1 , b=2. ∴ 一次函数的表达式为 y=x+2.(2) m>4或m<-8. 24. (1) 2;1.5.(2) ① 如图所示.② 不断减小.(3) 如 图.由函数图象知,当x≥2或x=0时,12x+2≥- 3 2x+ 6,即当x≥0时,不等式 12x+2≥- 3 2x+6 的解集为 x≥ 2或x=0. 第24题 第2章　一元二次方程 2.1 一元二次方程 知识梳理 1. (1) 整式 整式 未知数 (2) 一 (3) 2 2. 0 二 次多项式 ax2+bx+c=0(a,b,c是已知数,a≠0) 二 次项系数 一次项系数 常数项 典例演练 典例1 B 典例2 (1) x2+x-24=0,它的二次项系数为1,一次项 系数为1,常数项为-24.(2) x2-4x=0,它的二次项系 数为1,一次项系数为-4,常数项为0.(3) 3x2-4=0,它 的二次项系数为3,一次项系数为0,常数项为-4. (4) 5x2-14x-19=0,它的二次项系数为5,一次项系数 为-14,常数项为-19. 预学训练 1. C 2. D 3. C 4. 2x2-5x+3=0 5. 3或-1 6. 160(1+x)2=250 7. (1) 由题知,方程(3x-2)(x+1)=8x-3可化为 3x2-7x+1=0,∴ 此方程的一般形式为3x2-7x+1=0. (2) 由(1)中所得方程的一般形式可知,此方程的二次项 系数、一次项系数和常数项分别为3,-7,1. 8. A 9. A 10. 4 解析:根据题意可知,方程(m+4)x|m|-2-2x+ 3m=0是一元二次方程,∴ m+4≠0, |m|-2=2, 解得m=4. 11. (32-x)(20-x)=540 12. (1) ① 由题意,得m2-1=1,解得m=± 2.∴ 当 m=±2时,该方程是一元一次方程.② 由题意,得m- 3=0,解得m=3.∴ 当m= 3时,该方程是一元一次 方程.③ 由题意,得 m2-1=0,解得 m=±1.∴ 当 m=±1时,该方程是一元一次方程.综上所述,m 的值 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 22 为±2或3或±1.(2) 由题意,得m2-1=2且m-3≠ 0,解得m=-3. 2.2 一元二次方程的解法 知识梳理 1. 解 根 2. 开平方 3. (2) 一元一次方程 (3) 一元 一次方程 4. 配方 配方法 5. (1) ax2+bx+c=0 (a≠0) (2) 二次项系数 1 右边 (3) 一次项系数一 半的平方 (4) 完全平方式 (5) 非负数 负数 6. x= -b± b2-4ac 2a (b2-4ac≥0) 求根公式 一元二次方 程的求根公式 公式法 7. (1) 一般形式 (2) b2-4ac (3) b2-4ac≥0 ① a≠0 ② b2-4ac≥0 8. 因式分 解 9. (1) 零 (2) 乘积 10. 降次 a(x-x1)(x-x2) 典例演练 典例1 (1) x1=3,x2=-1.(2) x1=2+ 7,x2=2- 7.(3) x1= 3+ 11 2 ,x2= 3- 11 2 . (4) x1=-2, x2= 5 3. 典例2 (1) 2x2+16x+20=2(x2+8x+16)-12= 2(x+4)2-12.∵ (x+4)2≥0,∴ 2(x+4)2-12≥ -12.∴ 多项式2x2+16x+20的最小值是-12. (2) -x2+12x-25=-(x2-12x+36)+11=-(x- 6)2+11.∵ -(x-6)2≤0,∴ -(x-6)2+11≤11.∴ 多 项式-x2+12x-25有最大值,最大值为11. 预学训练 1. C 2. D 3. B 4. x1=1+5,x2=1-5 5. (x+ 4)2=9 6. (1) x1=2,x2=-6.(2) x1=-3,x2=1.(3) x1= 5-2,x2=-5-2.(4) x1= 5+ 41 2 ,x2= 5- 41 2 . 7. A 8. A 9. D 10. -4 11. x=3或x=-1 解析:当x>1时,min{x,1}= 1.∴ x2-2=1,即x2=3,解得x1= 3,x2=-3(舍 去).当x<1时,min{x,1}=x.∴ x2-2=x,即x2-x- 2=0,解得x1=-1,x2=2(舍去).∴ 方程的解为x= 3或x=-1. 12. 根据题意,得x2-13x+12=4x2+18.整理,得 3x2+13x+6=0.∵ 132-4×3×6=97>0,∴ x= -13± 97 2×3 ,即 x1= -13+ 97 6 ,x2= -13- 97 6 . ∴ 当x 为-13+ 976 或-13- 97 6 时,代数式x2- 13x+12的值与代数式4x2+18的值相等. 13. (1) a2-6a+4=a2-6a+9-9+4=(a-3)2-5. ∵ 无论a取何值,(a-3)2 都大于或等于0,∴ 代数式 (a-3)2-5大于或等于-5.∴ 代数式a2-6a+4的最 小值为-5.(2) -a2-8a-8=-(a2+8a+16-16)- 8=-(a+4)2+16-8=-(a+4)2+8.∵ 无论a取何 值,-(a+4)2 都小于或等于0,∴ 代数式-(a+4)2+ 8小于或等于8.∴ 代数式-a2-8a-8的最大值为8. 2.3 一元二次方程根的判别式 知识梳理 1. 判别 式 Δ Δ=b2-4ac 2. (1) 不 相 等 -b+ b2-4ac 2a -b- b2-4ac 2a (2) 相等 -b2a (3) Δ<0 典例演练 典例1 D 典例2 (1) ① 3 ② m<3且m≠2 ③ m>3 (2) ① m≤3 ② m≤3且m≠2 预学训练 1. C 2. B 3. C 4. A 5. D 解析:∵ 关于x的一元二次方程x2-2(k-1)x+ k2+2=0有实数根,∴ Δ=[-2(k-1)]2-4×1×(k2+ 2)=4k2-8k+4-4k2-8=-8k-4≥0,解得k≤-12. 6. -1(答案不唯一) 7. k<94 8. (1) 原方程可变形为3x2-2x+5=0.∴ a=3,b= -2,c=5.∴ b2-4ac=(-2)2-4×3×5=-56<0. ∴ 原方程没有实数根.(2) 原方程可变形为x2+5x+7= 0.∴ a=1,b=5,c=7.∴ b2-4ac=52-4×1×7=-3< 0.∴ 原方程没有实数根.(3) 方程化成一般形式为4x2- 8x+3=0.∵ Δ=(-8)2-4×4×3=16>0,∴ 方程有两 个不相等的实数根.(4) 方程化成一般形式为3x2-4x+ 6=0.∵ Δ=(-4)2-4×3×6=-56<0,∴ 方程没有实 数根. 9. 根据题意,得m≠0且Δ=(-6)2-4m×92>0 ,解得 m<2且m≠0.∴ 自然数m 为1.当m=1时,原方程为 x2-6x+92=0.∵ Δ=(-6)2-4×1×92=18 ,∴ x= 6±32 2×1 =3± 32 2 .∴ x1=3+ 32 2 ,x2=3- 32 2 . 10. D 11. D 12. D 13. ③④ 14. (1) ∵ 关于x的一元二次方程kx2-(2k+4)x+k- 6=0有两个不相等的实数根,∴ Δ=[-(2k+4)]2- 4k(k-6)>0,且k≠0,解得k>-25 且k≠0.(2) 当k= 1时,原方程为x2-(2×1+4)x+1-6=0,即x2-6x- 5=0.移项,得x2-6x=5.配方,得x2-6x+9=5+9,即 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 67 第2章　一元二次方程 2.1　一元二次方程 1. 一元二次方程必须同时满足三个条件: (1) 方 程,即 等 号 两 边 都 是 ,如果方程中有分母,那么分母中 没有 ; (2) 只含有 个未知数; (3) 未知数的最高次数是 . 2. 如果一个方程通过整理可以使右边为 ,而左边是只含有一个未知数的 ,那么这样的方程叫作一元二次方 程,它的一般形式是 ,其 中a,b,c 分别叫作 、 、 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 若方程(m-2)x|m|-2x=3是关于x 的一元二次方程,则m 的值为 ( ) A. 2 B. -2 C. ±2 D. 1 利用定义“如果一个方程通过整理可以使 右边为0,而左边是只含有一个未知数的二次多 项式,那么这样的方程叫作一元二次方程”进行 判定即可. 解答: 解有所悟:确定一元二次方程中字母的值时,不仅 要考虑未知数的最高次数是2,还要考虑二次项的 系数不等于0. 典例2 把下列方程化成一元二次方程的一般形 式(a>0),并写出二次项系数、一次项系数和常 数项. (1) (x+4)(x-3)=12; (2) (x+2)2-2x(x-2)=4x+4; (3) 3x(x+2)=2(3x+2); (4) 4(x-5)2=9(x-3)2. 对已知方程通过去括号、移项、合并同类 项等步骤将方程整理成ax2+bx+c=0的形 式,即可得解. 解答: 解有所悟:一元二次方程化为一般形式ax2+bx+ c=0(a≠0)后,若没有出现一次项bx,则b=0;若 没有出现常数项c,则c=0. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. 下列式子中,是一元二次方程的为 ( ) A. x2+2 B. ax2+bx+c=0 C. x2-1=0 D. 2x=1 2. 已知一个一元二次方程的二次项系数是3, 常数项是1,则这个方程可能是 ( ) A. 3x+1=0 B. x2+3=0 C. 3x2-1=0 D. 3x2+6x+1=0 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 68 3. 将方程4x(x+2)=25化成ax2+bx+c=0 的形式,则a,b,c的值分别为 ( ) A. 4,8,25 B. 4,2,-25 C. 4,8,-25 D. 1,2,25 4. 将一元二次方程2x2=5x-3化成一般形式 为 . 5. 若x|m-1|-x-5=0是关于x的一元二次方 程,则m 的值为 . 6. (教材P28习题2.1第2题变式)某商场1月 份的营业额为160万元,3月份的营业额为 250万元,如果该商场2,3两个月营业额的 月平均增长率相同,设月平均增长率为x,根 据题意,可列方程为 . 7. 已知一元二次方程(3x-2)(x+1)=8x-3. (1) 将方程化成一般形式; (2) 写出二次项系数、一次项系数和常数项. [综合提升] 8. 将一元二次方程2x2+1=5x化为一般形式 后,常数项是1,则二次项系数和一次项系数 分别是 ( ) A. 2,-5 B. 2,5 C. 2,1 D. 2x2,-5x 9. 已知关于x的一元二次方程(k-2)x2+3x+ k2-4=0的常数项为0,则k的值为 ( ) A. -2 B. 2 C. 2或-2 D. 4或-2 10. 若关于x的方程(m+4)x|m|-2-2x+3m= 0是一元二次方程,则m 的值为 . 答案讲解 11. (教材P29习题2.1第6题变式) 如图,在长为32m、宽为20m的 矩形地面上修筑同样宽的道路(涂 色部分),余下部分铺草坪,要使草坪的面 积为540m2,设道路的宽为xm,则可列方 程为 . 第11题 答案讲解 12. 已知关于x的方程(m-3)xm 2-1- x=3. (1) 当m 为何值时,该方程是关于 x的一元一次方程? (2) 当m 为何值时,该方程是关于x 的一 元二次方程? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)八年级