1.3 反比例函数的应用-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（湘教版）

60 1.3　反比例函数的应用 1. 反比例函数在实际问题中有着广泛的应用, 通常先确定反比例函数的 .在实际 问题中,自变量的取值范围通常取 值,其图象在第 象限. 2. 反比例函数在物理等学科中有着广泛的应 用,如:(1) 压力(F)、压强(p)、受力面积 (S)三者之间的数量关系,当压力F 一定时, 压强p是关于受力面积S 的反比例函数,其 函数表达式为 ;(2) 质量(m)、体积 (V)、密度(ρ)三者之间的数量关系,当质量 m 一定时,体积V 是关于密度ρ的反比例函 数,其函数表达式为 ;(3) 电流(I)、 电压(U)、电阻(R)三者之间的数量关系,当 电压U 一定时,电流I是关于电阻R 的反比 例函数,其函数表达式为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 密闭容器内有一定质量的气体,当容器 的体积V(m3)变化时,气体的密度ρ(kg/m3)随 之变化.已知密度ρ与体积V 是反比例函数关 系,它的图象如图所示. (1) 求ρ关于V 的函数表达式; (2) 当V=10时,求该气体的密度; (3) 如果该容器最多只能装20m3的气体,那么 该容器能装气体的最小密度是多少? 典例1图 (1) 根据题意可知,该函数图象经过点A (4,2.5),用 待 定 系 数 法 可 求 函 数 表 达 式. (2) 求当V=10时,ρ的值.(3) 求当V≤20时, ρ的最小值. 解答: 解有所悟:反比例函数的图象能够反映两个变量之 间的关系,可以根据图象上点的坐标求出两个变量 之间的数量关系,进而解决一些生活中的实际问题. 典例2 方方驾驶小汽车从A地到B地,行驶里 程为480千米,设小汽车的行驶时间为t小时, 平均行驶速度为v千米/时,且全程速度不超过 120千米/时. (1) 求v关于t的函数表达式; (2) 方方上午8时驾驶小汽车从A地出发,需 在当天12时48分至14时(含12时48分和14 时)间到达B地,求小汽车的平均行驶速度v的 取值范围. (1) 先根据“速度×时间=路程”列出等 式,再将等式转化为函数表达式,注意自变量的 取值范围.(2) 先确定t的取值范围,再根据反 比例函数的增减性确定v的取值范围. 解答: 解有所悟:用反比例函数解决实际问题的一般步 骤:(1) 审清题意;(2) 设出函数表达式;(3) 确定 函数表达式及自变量的取值范围;(4) 用函数表达 式解决实际问题. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)八年级 拍 照 批 改 61 [基础过关] 1. 若某杠杆的阻力和阻力臂分别为1000N和 0.4m,则该杠杆的动力F(N)和动力臂 l(m)之间的函数图象大致是 ( ) A. B. C. D. 第2题 2. (教材P15例题变式)已知蓄 电池的电压为定值,使用某 蓄电池时,电流I(A)与电阻 R(Ω)是反比例函数关系,它 的图象如图所示,则当电阻为6Ω时,电流为 ( ) A. 4A B. 6A C. 8A D. 12A 3. (常州中考)若矩形的面积是10,相邻两边的 长分别为x,y,则y与x之间的函数表达式 为 . 4. (山西中考)机器狗是一种模拟真实犬只形 态和部分行为的机器装置,其最快移动速度 v(m/s)是载重后总质量m(kg)的反比例函 数.已知一款机器狗载重后总质量是60kg 时,它的最快移动速度是6m/s;当其载重后 总质量是90kg时,它的最快移动速度是 m/s. 5. 如图,根据小孔成像的科学原理,当像距(小 孔到像的距离)和物高(蜡烛火焰的高度)不 变时,火焰的像高y(cm)是关于物距(小孔 到蜡烛的距离)x(cm)的反比例函数,且当 x=4时,y=3. (1) 求y关于x的函数表达式; (2) 若火焰的像高为2cm,求小孔到蜡烛的 距离. 第5题 答案讲解 6. 如图,有一根长为100cm的匀质木 杆,用细绳绑在木杆的中点O 处并 将其吊起来.在点O 的左侧30cm 处挂一个重10N的物体,在点O 的右侧 Lcm处用一个弹簧测力计向下拉,使木杆处 于水平状态.弹簧测力计的示数F(N)与相 应的L(cm)的部分对应数据如下表: L/cm … 10 15 20 25 … F/N … 30 20 15 a … (1) 表中a的值为 . (2) 写出F 与L 之间的函数表达式. (3) 保持木杆处于水平状态,移动弹簧测力 计到什么位置时,其示数F 最小? 最小值是 多少? 第6题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 62 [综合提升] 7. (河北中考)节能环保已成为人们的共识.淇 淇家计划购买500千瓦·时电,若平均每天 用电x千瓦·时,则能使用y 天.下列说法 中,错误的是 ( ) A. 若x=5,则y=100 B. 若y=125,则x=4 C. 若x减小,则y也减小 D. 若x减小一半,则y增大一倍 答案讲解 8. 密闭容器内有一定质量的气体,当 容器的体积V(m3)变化时,气体的 密度ρ(kg/m3)随之变化.已知密度 ρ与体积V 是反比例函数关系,它的图象如 图所示,则下列说法中,正确的是 ( ) 第8题 A. 函数表达式为ρ= 7 V B. 容器内气体密度ρ随着气 体的体积V 的增大而增大 C. 当ρ≤8时,V≥1.25 D. 当ρ=4时,V=3 9. (教材P23复习题1第13题变式)如图,一块 砖的A,B,C三个面的面积之比是5∶3∶1. 若把A,B,C 三个面分别向下放在地上,地 面所受压强分别为p1,p2,p3,压强的计算 公式为p= F S ,其中p 是压强,F 是压力,S 是受力面积,则p1,p2,p3 的大小关系为 (用“<”连接). 第9题 第10题 10. (温州中考)在温度不变的条件下,通过一 次又一次地对汽缸顶部的活塞加压,加压 后气体对汽缸壁所产生的压强p(kPa)与 汽缸内气体的体积V(mL)成反比例关系, p关于V 的函数图象如图所示.若压强由 75kPa增加到100kPa,则气体的体积压缩 了 mL. 答案讲解 11. 某草莓种植基地在气温较低时,用 装有恒温系统的大棚种植草莓.某 天恒温系统从开启到关闭及关闭 后,大棚内温度y(℃)与时间x(h)之间的 函数关系如图所示,其中BC 段是恒温阶 段,CD 段是某反比例函数图象的一部分. (1) 求CD 段所对应的反比例函数的表达 式,并写出自变量x的取值范围; (2) 大棚里种植的草莓在温度为15℃到 20℃的条件下最适合生长,若这天恒温系 统开启前的温度是10℃,则一天内最适合 草莓生长的时间有多长? 第11题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)八年级 20 1.3 反比例函数的应用 知识梳理 1. 表达式 正 一 2. (1) p= F S (2) V=m ρ (3) I=UR 典例演练 典例1 (1) 设ρ关于V 的函数表达式为ρ= k V (k≠ 0).将(4,2.5)代入,得2.5=k4 ,解得k=10.∴ ρ关于V 的函数表达式为ρ= 10 V. (2) 当V=10时,ρ= 10 10=1. ∴ 该气体的密度是1kg/m3.(3) 当V=20时,ρ= 10 20= 0.5.∵ 10>0,∴ 在第一象限内,ρ 随V 的增大而减 小.∴ 当V≤20时,ρ≥0.5.∴ 该容器能装气体的最小密 度是0.5kg/m3 典例2 (1) 根据题意,得vt=480.∴ v=480t .∵ 480> 0,∴ 当v≤120时,t≥4.∴ v=480t (t≥4).(2) ∵ 8时至 12时48分的时长为4.8小时,8时至14时的时长为6小 时,∴ 4.8≤t≤6.∴ 将t=6代入v=480t 中,得v=80;将 t=4.8代入v=480t 中,得v=100.∵ 480>0,∴ 在第一 象限内,v随t的增大而减小.∴ 80≤v≤100. 预学训练 1. B 2. C 3. y= 10 x 4. 4 5. (1) 根据题意,设y= k x. 把x=4,y=3代入,得k= 4×3=12.∴ y 关于x 的函数表达式为y= 12 x. (2) 把 y=2代入y= 12 x ,得x=6.∴ 小孔到蜡烛的距离为 6cm. 6. (1) 12.(2) ∵ FL=300,∴ F 与L之间的函数表达式 为F=300L . 当L=10时,F=30010=30 ;当L=15时,F= 300 15=20 ;当L=20时,F=30020=15 ;当L=25时,F= 300 25=12. 猜想正确,∴ F 与L 之间的函数表达式为F= 300 L . (3) ∵ F 是L 的反比例函数,300>0,∴ F 随L 的 增大而减小.∴ 当移动弹簧测力计到木杆最右端,即当 L=50时,其示数F 最小,最小值为30050=6. 7. C 8. C 9. p1<p2<p3 10. 20 解析:设这个反比例函数的表达式为V=kp. ∵ 当V=100时,p=60,∴ k=pV=100×60=6000. ∴ V=6000p . 当p=75时,V= 6000 75 =80 ;当p=100时, V=6000100=60.∴ 80-60=20(mL),即气体的体积压缩 了20mL. 11. (1) 设CD 段所对应的反比例函数的表达式为y= k x (k≠0).由条件可得k=24×10=240.∴ y= 240 x . 当y= 20时,20=240x ,解得x=12,即a=12.∴ CD 段所对应的 反比例函数的表达式为y= 240 x ,自变量x的取值范围为 12≤x≤24.(2) 设直线AB 对应的函数表达式为y= mx+n(0≤x≤2).由 条 件 可 得 n=10, 2m+n=20, 解 得 m=5, n=10. ∴ 直线AB 对应的函数表达式为y=5x+10.当 y=15时,15=5x+10,解得x=1.当y=15时,15= 240 x , 解得x=16.∵ 16-1=15(h),∴ 一天内最适合草莓生长 的时间有15h. 第1章预学检测 一、 1. B 2. B 3. D 4. A 5. B 6. B 7. A 8. A 9. C 解析:∵ 点E(4,2)在反比例函数y= k x 的图象 上,∴ 2=k4.∴ k=8.∴ 反比例函数的表达式为y= 8 x.∵ E(4,2),∴ 易得AD=DE=2,OD=4.∴ OA= OD-AD=2.∵ 点B 在反比例函数的图象上,当x= 2时,y= 8 2=4 ,∴ B(2,4). 10. C 解析:过点B 作BE⊥x轴,垂足为E.根据反比例 函数图象关于原点成中心对称,故①正确.∵ 点A 与点B 关于原点对称,∴ OA=OB.在△OBE 和△OAC 中, ∠OEB=∠OCA, ∠EOB=∠COA, OB=OA, ∴ △OBE≌△OAC.∴ OE=OC. ∵ EB∥y 轴,∴ 易得OD 是△CEB 的中位线.∴ D 是 BC 的中点.故②正确.在每个象限内,y随x 的增大而减 小,故③错误.∵ 易知S△BOD= 1 2S△BOC= 1 2S△AOC= 1 2×2× 1 2= 1 2 ,故④正确.综上所述,正确的是①②④, 共3个. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈