1.2 反比例函数的图象与性质-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（湘教版）

57 1.2　反比例函数的图象与性质 1. 一般地,当k>0时,反比例函数y= k x 的图 象由分别在第 象限内的两支曲线 组成,它们与x 轴、y轴都 ,在每个 象限内,函数值y 随自变量x 的增大而 ;类似地,当k<0时,反比例函数y= k x 的图象由分别在第 象限内的两支 曲线组成,它们与x 轴、y轴都 ,在 每个象限内,函数值y随自变量x的增大而 . 2. 用描点法画函数图象的步骤可以简单地说 成 、 、 . 3. 反比例函数y= k x (k为常数,k≠0)的图象 是由两支曲线组成的,这两支曲线称为 . 4. 反比例函数的图象既是 图形,又是 图形. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 画出反比例函数y= 8 x 与y=- 8 x 的 图象. 根据画反比例函数图象的步骤进行画图 即可. 解答: 解有所悟:(1) 列表时,自变量x 的取值要注意: ① 在取值范围内取值(x≠0);② 一定要有代表性 (兼顾正、负数);③ 大小要适度;④ 要尽量多取一 些数值.(2) 连线时,须用光滑的曲线连接各点并延 伸,注意曲线的两支是分开的,延伸部分有逐渐靠 近坐标轴的趋势,但永远不与坐标轴相交. 典例2 已知反比例函数y= 3 x ,下列结论中,不 正确的是 ( ) A. 其图象经过点(-1,-3) B. 其图象分别位于第一、三象限 C. 当x<0时,y随x的增大而增大 D. 当x>1时,0<y<3 对于A,将点的坐标代入函数表达式验证 即可;对于B和C,由k=3>0,结合反比例函数 的图象与性质进行解题即可;对于D,可借助数 形结合思想进行解题. 解答: 解有所悟:解有关函数的图象与性质的题目时, 最简单的方法是先作出函数图象的简图,再借助数 形结合思想解题,同样,也可以借助相关结论直接 解题. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 58 [基础过关] 1. 若反比例函数的图象经过点(-1,3),则该 反比例函数的表达式为 ( ) A. y=- 3 x B. y= 3 x C. y=-3x D. y=3x 2. 若反比例函数y= 5-k x 的图象分布在第二、 四象限,则k的取值范围是 ( ) A. k<5 B. k>-5 C. k<-5 D. k>5 3. 已知反比例函数y=- 5 x ,下列结论中,不正 确的是 ( ) A. 若x<-5,则y>1 B. 图象经过点(-1,5) C. 图象在第二、四象限内 D. 在每一象限内,y随x的增大而增大 4. 若点P(3,2),Q(-2,a)都在反比例函数y= k x 的图象上,则a的值为 . 5. (教材P13习题1.2第6题变式)如图,函数 y= k x (k≠0,x>0)的图象上有一点A,AB 平行于x轴,交y轴于点B,△ABO 的面积 是1 2 ,则该函数的表达式为 . 第5题 6. 已知y是x的反比例函数,且当x=4时,y=3. (1) 求y关于x的函数表达式; (2) 当x=-32 时,求y的值. 7. (教材P12习题1.2第5题变式)已知正比例 函数y=2x的图象与反比例函数y= k x 的图 象的一个交点的横坐标为1. (1) 求当x=-2时,反比例函数y= k x 的对 应函数值; (2) 判断点A(-3,1),B 12 ,4 是否在反比 例函数y= k x 的图象上. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)八年级 59 [综合提升] 8. (教材P13习题1.2第7题变式)函数y= k x 和y=kx-k(k≠0)在同一平面直角坐标系 中的图象可能是 ( ) A. B. C. D. 9. 若A(m,y1),B(m+5,y2)两点在反比例 函数y= -5 x 的图象上,则下列说法中,正确 的是 ( ) A. 当m<-5时,y1>y2>0 B. 当-5<m<0时,y1>0>y2 C. 当0<m<5时,y2>0>y1 D. 当m>5时,y2>y1>0 10. (湖南中考)在一定条件下,乐器中弦的振 动频率f(赫兹)与弦长l(米)成反比例函 数关系,即f= k l (k为常数,k≠0).若某乐 器的弦长为0.9米,振动频率为200赫兹, 则k的值为 . 11. (北京中考)在平面直角坐标系中,若函数y= k x (k为常数,k≠0)的图象经过点(3,y1)和 (-3,y2),则y1+y2的值是 . 12. 如图,在平面直角坐标系中,正方形的中心 在原点O,且正方形的一组对边与x 轴平 行,若正方形的边长是2,则图中涂色部分 的面积是 . 第12题 第13题 13. 如图,曲线l1,l2分别为两条双曲线在第二 象限内的一支,曲线l1 对应的函数表达式 答案讲解 为y=- 6 x (x<0),过曲线l1上一 点A 作x 轴的垂线,交曲线l2 于 点B,交x 轴于点C,连接 AO,BO.若 S△AOB=1,则曲线l2 对应的函数表达式为 . 答案讲解 14. (东营中考)如图,一次函数y= mx+n(m≠0)的图象与反比例函 数y= k x (k≠0)的图象交于点 A(-3,a),B(1,3),且一次函数的图象与 x轴、y轴分别交于点C,D. (1) 求反比例函数和一次函数的表达式; (2) 根据图象直接写出关于x 的不等式 mx+n>kx 的解集; (3) 在第三象限的反比例函数图象上有一 点P,使得S△OCP =4S△OBD,求点 P 的 坐标. 第14题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 19 (2) t关于v的函数表达式为t=27000v (v>0) 预学训练 1. A 2. 1 3. -34 4. y是x的反比例函数.由xy+4=0,得y=- 4 x.∴ 比 例系数k=-4,自变量x的取值范围是x≠0. 5. (1) 根据三角形的面积公式,得y= 1 2×3×x= 3 2x , ∴ 不是反比例函数.(2) ∵ y+10x=100,∴ 两个变量之 间的函数表达式为 y=100-10x.∴ 不是反比例函数. 6. C 7. 3 8. y= 48 x (6≤x≤10) 9. (1) ∵ 函数y=(5m-3)x2-n+(n+m)是一次函数, ∴ 2-n=1,且5m-3≠0,解得n=1,且 m ≠ 35. (2) ∵ 函数y=(5m-3)x2-n+(n+m)是正比例函数, ∴ 2-n=1, n+m=0, 5m-3≠0, 解得 m=-1,n=1. (3) ∵ 函数y=(5m- 3)x2-n+(n+m)是反比例函数,∴ 2-n=-1, n+m=0, 5m-3≠0, 解 得 m=-3, n=3. 1.2 反比例函数的图象与性质 知识梳理 1. 一、三 不相交 减小 二、四 不相交 增大 2. 列表 描点 连线 3. 双曲线 4. 轴对称 中心 对称 典例演练 典例1 列表如下: x … -8-4-2-1 1 2 4 8 … y= 8 x … -1-2-4-8 8 4 2 1 … y=- 8 x … 1 2 4 8 -8-4-2-1 … 描点、连线,如图①②所示. 典例1图 典例2 C 预学训练 1. A 2. D 3. A 4. -3 5. y= 1 x (x>0) 6. (1) 设y= k x. 把x=4,y=3代入,得3= k 4 ,解得k= 12.∴ y= 12 x. (2) 当x=-32 时,y= 12 -32 =-8. 7. (1) 将x=1代入y=2x,得y=2.∴ 正比例函数与反 比例函数图象的交点坐标为(1,2).将(1,2)代入y= k x , 得k=2.∴ y= 2 x. 将x=-2代入y= 2 x ,得y= -1.(2) 当x=-3时,y=- 2 3 ;当x=12 时,y=4. ∴ 点A 不在反比例函数y= 2 x 的图象上,点B 在反比例 函数y= 2 x 的图象上. 8. D 9. B 10. 180 11. 0 12. 1 13. y=- 4 x (x<0) 解析:设曲线l2 对应的函数表达式 为y= k x (k<0,x<0).由条件可知S△OAC= 1 2AC · OC=12×|-6|=3.∴ S△OBC = 1 2|k|=S△OAC - S△OBA=3-1=2.∴ k=-4.∴ 曲线l2 对应的函数表达 式为y=- 4 x (x<0). 14. (1) ∵ 一次函数y=mx+n(m≠0)的图象与反比例 函数y= k x (k≠0)的图象交于点A(-3,a),B(1,3), ∴ k=1×3=-3×a.∴ k=3,a=-1.∴ 反比例函数的 表达式为y= 3 x.∵ 一次函数y=mx+n(m≠0)的图象 过点A(-3,-1),B(1,3),∴ -3m+n=-1, m+n=3, 解得 m=1, n=2. ∴ 一次函数的表达式为y=x+2.(2) 由图象可 知,关于x的不等式mx+n>kx 的解集为-3<x<0或 x>1.(3) 在一次函数y=x+2中,当x=0时,y=2;当 y=0时,x=-2.∴ C(-2,0),D(0,2).∴ S△OBD= 1 2× 2×1=1.∴ S△OCP =4S△OBD =4.设点 P 的坐标为 m,3m .∴ 1 2×2× -3 m =4 ,解得m=-34.∴ 点P 的 坐标为 -34 ,-4 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈