1.1 反比例函数-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（湘教版）

55 第1章　反比例函数 1.1　反比例函数 1. 一般地,如果两个变量y与x的关系可以表 示成 (k为常数,k≠0)的形式, 那么称y 是x 的反比例函数,其中x 是 ,常数k (k≠0)称为反比例函数的 . 2. 反比例函数三种不同形式的表达式: (1) (k为常数,k≠0); (2) (k为常数,k≠0); (3) (k为常数,k≠0). 3. 反比例函数的自变量取值范围是所有 .但是在实际问题中,应该根据具体情 况来确定该反比例函数的自变量取值范围. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 有下列式子:① y=2x;② y= 1 5x ;③ y= 1 x+1 ;④ y=6x-1.其中,y 是x 的反比例函数 的共有 ( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 若题干中的式子可以改写成y= k x ( k为 常数,k≠0)的形式,则y是x的反比例函数.除 此之外,也可以根据反比例函数三种不同形式 的表达式进行判断. 解答: 解有所悟:若一个函数化为y= A B 的形式后,分子 A 为非零实数,分母B 为自变量的一次单项式,则 这个函数为反比例函数,反之则不是. 典例2 分别写出下面函数的表达式,并写出自 变量的取值范围. (1) 一个体积V=150cm3的圆柱,其高h(cm) 关于底面积S(cm2)的函数; (2) 小明要把一篇27000字的调查报告录入电 脑,其录入的时间t(分)关于录入文字的平均速 度v(字/分)的函数. (1) 根据“圆柱的高= 圆柱的体积 圆柱的底面积 ”列 式,其中圆柱的底面积应大于0cm2.(2) 根据 “录入的时间= 录入的总字数 平均速度 ” 列式,其中平均 速度应大于0字/分. 解答: 解有所悟:根据实际问题确定函数表达式的一般步 骤:先找出等量关系,再用含变量的代数式分别表 示等式的左右两边.若此时的式子是用含自变量的 代数式表示函数的,则该式子即为所求;若不是,则 需转化.最后标出自变量的取值范围. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 56 [基础过关] 1. (教材P3练习第1题变式)下列属于反比例 函数的是 ( ) A. y= 5 x B. y=x2 C. y=- x 2 D. y=x+1 2. 若x 和y 成反比例关系,且当x 的值为2 时,y的值为3,则当x 的值为6时,y 的值 为 . 3. 将反比例函数y=- 3 4x 改写成y= k x 的形 式,则k的值为 . 4. 在式子xy+4=0中,y 是x 的反比例函数 吗? 若是,比例系数k等于多少? 自变量的 取值范围是多少? 若不是,请说明理由. 5. (教材P4习题1.1第5题变式)分别写出下 面函数的表达式,并判断其是不是反比例 函数. (1) 底边为3cm的三角形的面积y(cm2)随 底边上的高x(cm)的变化而变化; (2) 检修100m长的管道时,每天能完成 10m,剩下的未检修的管道长y(m)随检修 天数x的变化而变化. [综合提升] 6. (教材P4习题1.1第4题变式)若x与y成 反比例关系,当x 的值分别为2,3时,y 的 值如下表: x 2 3 y a 4 则表中a的值是 ( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 答案讲解 7. 若y 关于x 的函数y=(a+3)· x|a|-4是反比例函数,则a 的值为 . 第8题 8. (教材P3例题变式)如图,在矩 形ABCD 中,AB=6,BC=8,P 为边AD 上一动点,CE⊥BP 于 点E.若设BP=x,CE=y,则y 关于x 的函数表达式为 . 9. 已知函数y=(5m-3)x2-n+(n+m). 答案讲解 (1) 当m,n为何值时,该函数是一 次函数? (2) 当m,n为何值时,该函数为正 比例函数? (3) 当 m,n 为何值时,该函数为反比例 函数? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)八年级 18 ∠DCF=90°.∵ △CDF 的面积=12DF×CE= 1 2CF× CD,∴ CE=CF×CDDF = 4×3 5 = 12 5. 由(1)得,四边形 BCEF 是矩形,∴ BF=CE=125 ,∠FBC=90°.∴ BC= CF2-BF2= 42- 125 2 =165. 22. (1) ∵ △ABC 和△ADE 均为等边三角形,∴ AB= AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°.在△ABD 和 △ACE 中, AD=AE, ∠BAD=∠CAE, AB=AC, ∴ △ABD ≌ △ACE. ∴ BD=CE.(2) △AMN 是等边三角形.理由:∵ M,N 分别 为 BD,CE 的 中 点,BD =CE,∴ BM =CN. ∵ △ABD≌△ACE,∴ ∠ABM=∠ACN.在△ABM 和 △ACN 中, AB=AC, ∠ABM=∠ACN, BM=CN, ∴ △ABM ≌△ACN. ∴ AM=AN,∠BAM=∠CAN.∴ ∠MAN=∠BAC- ∠BAM+∠CAN=60°.∴ △AMN 是等边三角形. 23. (1) 设甲种粽子每个的进价为x元,则乙种粽子每个 的进价为(x+2)元.根据题意,得1000x = 1200 x+2 ,解得x= 10.经检验,x=10是原方程的根,且符合题意,此时x+ 2=12.∴ 甲种粽子每个的进价为10元,乙种粽子每个的 进价为12元.(2) ① ∵ 购进甲种粽子m 个,∴ 购进乙种 粽子(200-m)个.根据题意,得W=(12-10)m+(15- 12)(200-m)=2m+600-3m=-m+600,∴ W 与m 之 间的函数表达式为W=-m+600.∵ 甲种粽子的个数不 低于乙种粽子个数的2倍,∴ m≥2(200-m),解得m≥ 400 3 .∴ 400 3 ≤m<200 (m 为正整数).② 由①知,W= -m+600,∵ -1<0,m 为正整数,∴ 当m=134时,W 有最大值,最大值为466,此时200-134=66(个).∴ 购 进甲种粽子134个,乙种粽子66个时才能获得最大利润, 最大利润是466元. 函数应用题中未考虑自变量的实际意义而 导致最值问题出错 在函数的实际问题中,往往需要我们求相关量的 最值,这时我们需要结合实际问题考虑自变量的取值 范围,再结合函数的相关性质求解最值,如本题中,若 只考虑到m 的取值范围是4003 ≤m<200 ,而未结合实 际意义考虑m 的取值应为正整数,则会导致最大利润 求解错误. 24. (1) 联立两个函数表达式,得 y=- 3 4x+6 , y= 5 4x , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 x=3, y= 15 4. ∴ C 3,154 .(2) 在y=-34x+6中,令x=0, 解得y=6,令y=0,解得x=8.∴ A(8,0),B(0,6). ∴ OB=6.∵ S△BOC = 1 2BO×3= 1 2 ×6×3=9 , ∴ S△BCP= 1 2×BP× (yP-yC)= 1 2×BP× 6- 15 4 = 9,解得BP=8.∴ 易得P(8,6)或(-8,6).(3) 设点E 的 坐标为 m,54m ,点P 的坐标为(n,6).当四边形APEF 是正方形时,∠EPA=90°,① 当点P 在点E 的左侧时, 如图①,过点P 作MN⊥x 轴于点N,过点E 作EM⊥ MN 于 点 M,∴ ∠MEP+∠MPE=90°,∠NPA+ ∠MPE=90°.∴ ∠MEP=∠NPA.∵ PE=PA,∠M= ∠ANP=90°,∴ △EMP≌△PNA.∴ ME=PN=6, MP=AN,即m-n=6且54m-6=8-n ,解得m=809 , n=269.∴ 点E 的坐标为 809 ,100 9 .② 当点P 在点E 的 右侧时,如图②,同理可得△AMP≌△PNE.∴ NE= PM=6,NP=AM,即m+6=n且54m-6=n-8 ,解得 m=16,n=22.∴ 点E 的坐标为(16,20).综上,点E 的 坐标为 80 9 ,100 9 或(16,20). 第24题 3 预学储备 第1章　反比例函数 1.1 反比例函数 知识梳理 1. y= k x 自变量 比例系数 2. (1) y= k x (2) y= kx-1 (3) xy=k 3. 非零实数 典例演练 典例1 C 典例2 (1) h关于S的函数表达式为h=150S (S>0) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 19 (2) t关于v的函数表达式为t=27000v (v>0) 预学训练 1. A 2. 1 3. -34 4. y是x的反比例函数.由xy+4=0,得y=- 4 x.∴ 比 例系数k=-4,自变量x的取值范围是x≠0. 5. (1) 根据三角形的面积公式,得y= 1 2×3×x= 3 2x , ∴ 不是反比例函数.(2) ∵ y+10x=100,∴ 两个变量之 间的函数表达式为 y=100-10x.∴ 不是反比例函数. 6. C 7. 3 8. y= 48 x (6≤x≤10) 9. (1) ∵ 函数y=(5m-3)x2-n+(n+m)是一次函数, ∴ 2-n=1,且5m-3≠0,解得n=1,且 m ≠ 35. (2) ∵ 函数y=(5m-3)x2-n+(n+m)是正比例函数, ∴ 2-n=1, n+m=0, 5m-3≠0, 解得 m=-1,n=1. (3) ∵ 函数y=(5m- 3)x2-n+(n+m)是反比例函数,∴ 2-n=-1, n+m=0, 5m-3≠0, 解 得 m=-3, n=3. 1.2 反比例函数的图象与性质 知识梳理 1. 一、三 不相交 减小 二、四 不相交 增大 2. 列表 描点 连线 3. 双曲线 4. 轴对称 中心 对称 典例演练 典例1 列表如下: x … -8-4-2-1 1 2 4 8 … y= 8 x … -1-2-4-8 8 4 2 1 … y=- 8 x … 1 2 4 8 -8-4-2-1 … 描点、连线,如图①②所示. 典例1图 典例2 C 预学训练 1. A 2. D 3. A 4. -3 5. y= 1 x (x>0) 6. (1) 设y= k x. 把x=4,y=3代入,得3= k 4 ,解得k= 12.∴ y= 12 x. (2) 当x=-32 时,y= 12 -32 =-8. 7. (1) 将x=1代入y=2x,得y=2.∴ 正比例函数与反 比例函数图象的交点坐标为(1,2).将(1,2)代入y= k x , 得k=2.∴ y= 2 x. 将x=-2代入y= 2 x ,得y= -1.(2) 当x=-3时,y=- 2 3 ;当x=12 时,y=4. ∴ 点A 不在反比例函数y= 2 x 的图象上,点B 在反比例 函数y= 2 x 的图象上. 8. D 9. B 10. 180 11. 0 12. 1 13. y=- 4 x (x<0) 解析:设曲线l2 对应的函数表达式 为y= k x (k<0,x<0).由条件可知S△OAC= 1 2AC · OC=12×|-6|=3.∴ S△OBC = 1 2|k|=S△OAC - S△OBA=3-1=2.∴ k=-4.∴ 曲线l2 对应的函数表达 式为y=- 4 x (x<0). 14. (1) ∵ 一次函数y=mx+n(m≠0)的图象与反比例 函数y= k x (k≠0)的图象交于点A(-3,a),B(1,3), ∴ k=1×3=-3×a.∴ k=3,a=-1.∴ 反比例函数的 表达式为y= 3 x.∵ 一次函数y=mx+n(m≠0)的图象 过点A(-3,-1),B(1,3),∴ -3m+n=-1, m+n=3, 解得 m=1, n=2. ∴ 一次函数的表达式为y=x+2.(2) 由图象可 知,关于x的不等式mx+n>kx 的解集为-3<x<0或 x>1.(3) 在一次函数y=x+2中,当x=0时,y=2;当 y=0时,x=-2.∴ C(-2,0),D(0,2).∴ S△OBD= 1 2× 2×1=1.∴ S△OCP =4S△OBD =4.设点 P 的坐标为 m,3m .∴ 1 2×2× -3 m =4 ,解得m=-34.∴ 点P 的 坐标为 -34 ,-4 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈