整合提优自主检测-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（湘教版）

17 为y=k1x(0≤x≤30).把A(30,3000)代入,得30k1= 3000,解得k1=100.∴ 线段OA 对应的函数表达式为 y=100x(0≤x≤30).当典典与妈妈相距1000米时,有以 下3种情况:① -50x+3000-100x=1000,解得x= 40 3 ;② 100x-(-50x+3000)=1000,解得x=803 ; ③ (-150x+7500)-(-50x+3000)=1000,解得x= 35.综上所述,典典出发403 分钟或80 3 分钟或35分钟时,与 妈妈相距1000米. 5. (1) 是 (2) -1609 6. (1) 设购进 A种 T恤衫x 件,购进B种 T恤衫 y件.根据题意,得 x+y=120, 45x+60y=6000, 解得 x=80 , y=40. ∴ 全 部售完获利(66-45)×80+(90-60)×40=1680+ 1200=2880(元).(2) ① 根据题意,得150-m≤2m,即 m≥50.∴ W=(66-45-5)m+(90-60-10)(150- m)=-4m+3000(50≤m≤150).② 该服装店第二次获 得的利润不能超过第一次.理由:由①可知,W=-4m+ 3000(50≤m≤150).∵ -4<0,∴ W 的值随m 的值的增 大而减小.∴ 当m=50时,W 取最大值,W最大=-4× 50+3000=2800.∵ 2800<2880,∴ 该服装店第二次获 得的利润不能超过第一次. 7. (1) 设l1 对应的函数表达式为y1=k1x.由题图,得 6000=40k1,解得k1=150,∴ l1 对应的函数表达式为 y1=150x.(2) ∵ 方案二中每件商品的销售提成比方案 一少30元,∴ 设l2 对应的函数表达式为y2=(150- 30)x+b.把(40,8400)代入,得8400=120×40+b,解得 b=3600,∴ 方案二中每月付给销售人员的底薪是 3600元.(3) 由(1)知,y1=150x.由(2)知,y2=120x+ 3600.令150x=120x+3600,解得x=120.∴ 当销售数 量为120件时,两种方案所得到的月工资相等.由题图可 得,当销售件数少于120时,选择方案二才能使月工资更 多;当销售件数等于120时,选择两种方案所得到的月工 资一样;当销售件数多于120时,选择方案一才能使月工 资更多. 用一次函数确定最佳方案的一般步骤 (1) 从数学的角度分析实际问题,建立函数模型 (往往有两个或两个以上的模型); (2) 先列出不等式(方程),求出自变量在不同值时 对应的函数值,再比较大小关系; (3) 结合实际需求,选择最佳方案. 8. (1) 设生产甲种礼盒x万套,生产乙种礼盒y万套.由 题意,得 x+y=80, 25x+28y=2150, 解得 x=30 , y=50. ∴ 生产甲种礼 盒30万套,生产乙种礼盒50万套.(2) 由题意可得, (30-25)×(30+a)+(38-28)×(50+b)=690.整理,得 a+2b=8.∵ a,b都为正整数,∴ a=2,b=3或a=4, b=2或a=6,b=1,即有三种生产方案.方案一:生产甲 种礼盒32万套,乙种礼盒53万套;方案二:生产甲种礼盒 34万套,生产乙种礼盒52万套;方案三:生产甲种礼盒 36万套,生产乙种礼盒51万套.(3) 由题意可得,W= 25(30+a)+28(50+b).由(2)知,a+2b=8,则b= 8-a 2 . 故W=25(30+a)+2850+8-a2 =11a+2262. ∵ 11>0,∴ W 的值随a的值的增大而增大.由(2)知a= 2,4,6,∴ 当a=2时,W 取得最小值,此时W=2284. ∴ 当a为2时,总成本W 有最小值,最小值为2284. 整合提优自主检测 一、 1. D 2. A 3. A 4. B 5. B 6. B 7. D 8. C 9. D 10. A 二、 11. 32 2 12. 4 13. y3<y1<y2 14. -2 15. 5 16. 4∶3 17. 3或214 18. 2 解析:连接AG 并延长AG 交CD 于点P,连接 PF.∵ 四边形ABCD 是正方形,∴ CD=BC=AB=4, ∠C=90°,AB∥CD.∴ ∠AEG=∠GDP.∵ E,F 分别为 边AB,BC 的中点,∴ AE=12AB=2 ,CF=12BC= 2.∵ G 为DE 的中点,∴ EG=DG.在△EAG 和△DPG 中, ∠AEG=∠PDG, EG=DG, ∠AGE=∠PGD, ∴ △EAG≌△DPG.∴ AG= PG,DP=AE=2.∴ G 为AP 的中点.∵ H 为AF 的中 点,∴ GH 是△APF 的中位线.∴ GH = 12PF. 在 Rt△FCP 中,CP=DC-DP=4-2=2,∴ PF= PC2+FC2=22.∴ GH=12PF=2. 三、 19. (1) 6.(2) 6. 20. 原式= 2x+2.∵ x-1≠0,x2+4x+4≠0,∴ x≠1, x≠-2.当x=0时,原式= 20+2=1. (取值答案不唯一) 21. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ AD=BC, AD∥BC.∵ DE=AF,∴ DE+AE=AF+AE. ∴ AD=EF.∴ EF=BC.又∵ EF∥BC,∴ 四边形 BCEF 是平行四边形.又∵ CE⊥AD,∴ ∠CEF= 90°.∴ 平行四边形BCEF 是矩形.(2) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形,AB=3,∴ AB=CD=3.∵ DF=5,CF= 4,∴ CD2+CF2=DF2.∴ △CDF 是直角三角形,且 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 18 ∠DCF=90°.∵ △CDF 的面积=12DF×CE= 1 2CF× CD,∴ CE=CF×CDDF = 4×3 5 = 12 5. 由(1)得,四边形 BCEF 是矩形,∴ BF=CE=125 ,∠FBC=90°.∴ BC= CF2-BF2= 42- 125 2 =165. 22. (1) ∵ △ABC 和△ADE 均为等边三角形,∴ AB= AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°.在△ABD 和 △ACE 中, AD=AE, ∠BAD=∠CAE, AB=AC, ∴ △ABD ≌ △ACE. ∴ BD=CE.(2) △AMN 是等边三角形.理由:∵ M,N 分别 为 BD,CE 的 中 点,BD =CE,∴ BM =CN. ∵ △ABD≌△ACE,∴ ∠ABM=∠ACN.在△ABM 和 △ACN 中, AB=AC, ∠ABM=∠ACN, BM=CN, ∴ △ABM ≌△ACN. ∴ AM=AN,∠BAM=∠CAN.∴ ∠MAN=∠BAC- ∠BAM+∠CAN=60°.∴ △AMN 是等边三角形. 23. (1) 设甲种粽子每个的进价为x元,则乙种粽子每个 的进价为(x+2)元.根据题意,得1000x = 1200 x+2 ,解得x= 10.经检验,x=10是原方程的根,且符合题意,此时x+ 2=12.∴ 甲种粽子每个的进价为10元,乙种粽子每个的 进价为12元.(2) ① ∵ 购进甲种粽子m 个,∴ 购进乙种 粽子(200-m)个.根据题意,得W=(12-10)m+(15- 12)(200-m)=2m+600-3m=-m+600,∴ W 与m 之 间的函数表达式为W=-m+600.∵ 甲种粽子的个数不 低于乙种粽子个数的2倍,∴ m≥2(200-m),解得m≥ 400 3 .∴ 400 3 ≤m<200 (m 为正整数).② 由①知,W= -m+600,∵ -1<0,m 为正整数,∴ 当m=134时,W 有最大值,最大值为466,此时200-134=66(个).∴ 购 进甲种粽子134个,乙种粽子66个时才能获得最大利润, 最大利润是466元. 函数应用题中未考虑自变量的实际意义而 导致最值问题出错 在函数的实际问题中,往往需要我们求相关量的 最值,这时我们需要结合实际问题考虑自变量的取值 范围,再结合函数的相关性质求解最值,如本题中,若 只考虑到m 的取值范围是4003 ≤m<200 ,而未结合实 际意义考虑m 的取值应为正整数,则会导致最大利润 求解错误. 24. (1) 联立两个函数表达式,得 y=- 3 4x+6 , y= 5 4x , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 x=3, y= 15 4. ∴ C 3,154 .(2) 在y=-34x+6中,令x=0, 解得y=6,令y=0,解得x=8.∴ A(8,0),B(0,6). ∴ OB=6.∵ S△BOC = 1 2BO×3= 1 2 ×6×3=9 , ∴ S△BCP= 1 2×BP× (yP-yC)= 1 2×BP× 6- 15 4 = 9,解得BP=8.∴ 易得P(8,6)或(-8,6).(3) 设点E 的 坐标为 m,54m ,点P 的坐标为(n,6).当四边形APEF 是正方形时,∠EPA=90°,① 当点P 在点E 的左侧时, 如图①,过点P 作MN⊥x 轴于点N,过点E 作EM⊥ MN 于 点 M,∴ ∠MEP+∠MPE=90°,∠NPA+ ∠MPE=90°.∴ ∠MEP=∠NPA.∵ PE=PA,∠M= ∠ANP=90°,∴ △EMP≌△PNA.∴ ME=PN=6, MP=AN,即m-n=6且54m-6=8-n ,解得m=809 , n=269.∴ 点E 的坐标为 809 ,100 9 .② 当点P 在点E 的 右侧时,如图②,同理可得△AMP≌△PNE.∴ NE= PM=6,NP=AM,即m+6=n且54m-6=n-8 ,解得 m=16,n=22.∴ 点E 的坐标为(16,20).综上,点E 的 坐标为 80 9 ,100 9 或(16,20). 第24题 3 预学储备 第1章　反比例函数 1.1 反比例函数 知识梳理 1. y= k x 自变量 比例系数 2. (1) y= k x (2) y= kx-1 (3) xy=k 3. 非零实数 典例演练 典例1 C 典例2 (1) h关于S的函数表达式为h=150S (S>0) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 51 整合提优自主检测 (满分:100分 时间:90分钟) 一、 选择题(每题3分,共30分) 1. (淮安中考)下列实数中,比-2小的数是 ( ) A. -1 B. 0 C. 2 D. -3 2. 若点P(a,-2)与点Q(-3,b)关于x 轴对 称,则a-b的值为 ( ) A. -5 B. 5 C. -1 D. 1 3. 下列分式中,是最简分式的为 ( ) A. x x2-1 B. x2-1 x-1 C. 1-x x-1 D. 3x 2xy 4. 如图①,四边形ABCD 是矩形纸带,其中 AD∥BC,∠DEF=20°,将纸带沿EF 折叠 成图②,再沿BF 折叠成图③,则图③中 ∠CFE 的度数是 ( ) 第4题 A. 110° B. 120° C. 140° D. 150° 5. 方程思想 如图,在四边形ABCD 中,AD∥ BC,∠A=90°,AB=BC=2AD=4,边CD 的垂直平分线分别交AB,CD 于点E,F,则 AE 的长为 ( ) 第5题 A. 13 B. 7 2 C. 7 D. 21 4 6. 如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=6, BC=8,N 是BC 边上一点,M 为AB 边上 的动点,D,E 分别为CN,MN 的中点,则 DE 长度的最小值是 ( ) A. 2 B. 12 5 C. 3 D. 24 5 第6题 第7题 7. 一列动车从甲地开往乙地后停止,一列普通 列车从乙地开往甲地,两车均匀速行驶并同 时出发,设普通列车行驶的时间为x(h),两 车之间的距离为y(km),如图所示的折线表 示y 与x 之间的函数关系,则两车的速度 相差 ( ) A. 150 3 km /h B. 250 3 km /h C. 350 3 km /h D. 500 3 km /h 8. 如图,在菱形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O,P 是AC 上的任意一点,PE⊥ AB 于点E,PF⊥BC 于点F,若AC=8, BD=6,则PE+PF 的值为 ( ) A. 12 5 B. 5 C. 24 5 D. 10 第8题 第9题 9. 如图,BD 为△ABC 的角平分线,且BD= BC,E 为BD 的延长线上的一点,BE=BA, 过点E 作EF⊥AB,垂足为F,有下列结论: ① △ABD≌△EBC;② ∠BCE+∠BCD= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 拍 照 批 改 52 180°;③ ∠BCD=∠BAE;④ AD=EF= EC;⑤ BA+BD=2BF.其中,正确的结论是 ( ) A. ①②③④ B. ①②③④⑤ C. ①②③ D. ①②③⑤ 答案讲解 10. 归纳思想 如 图,△A1A2A3, △A4A5A6, △A7A8A9, …, △A3n-2A3n-1A3n(n为正整数)均 为等边三角形,它们的边长依次是2,4, 6,…,2n,顶点A3,A6,A9,…,A3n 均在 y轴上,点O 是所有等边三角形的中心, 点A2024的坐标为 ( ) 第10题 A. 675,-67533 B. 0,67533 C. -675,-67533 D. 675,67533 二、 填空题(每题3分,共24分) 11. 计算 8- 12+ (4-π)0-1-1 的结果为 . 12. 将点P(-1,3)向右平移n个单位长度得 到点Q,若点Q 的横坐标和纵坐标相等,则 n= . 13. 已知一次函数y=2x-2的图象经过点(a, y1),(a+1,y2),(a-2,y3),则y1,y2,y3 的大小关系是 . 14. 已知a-b=2,2a2+a-4=0,则 1a+1+ 2 b= . 15. (资阳中考)小王前往离家2000m的公司 参会,先以v0m/min的速度步行一段时间 后,再改骑共享单车直达会议地点,到达时 距会议开始还有14min,小王离家的距离 s(m)与他从家出发所用的时间t(min)之 间的函数图象如图所示.若小王全程以 v0m/min的速度步行,则他到达时距会议 开始还有 min. 第15题 第16题 16. 如图,在△ABC 中,S△ABC=21,∠BAC 的 平分线AD 交BC 于点D,E 为AD 的中 点.连接BE,F 为BE 上一点,且BF= 2EF.若S△DEF=2,则AB∶AC= . 17. 如图,在△ABC 中,AB=21cm,AC= 12cm,∠A=60°,点P 从点B 出发,以每 秒3cm的速度向点A 运动,点Q 从点A 同时出发,以每秒2cm的速度向点C 运 动,其中一个动点到达端点时,另一个动点 也随之停止运动.设运动时间为ts,当 △APQ 为直角三角形时,t= . 第17题 第18题 答案讲解 18. 如图,在正方形ABCD 中,AB= 4,E,F 分别为边AB,BC 的中点, 连接AF,DE,G,H 分别为DE, AF 的中 点,连 接 GH,则 GH 的 长 为 . 三、 解答题(共46分) 19. (6分)计算: (1) (π-3.14)0+ (-2)2-3-27; 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)八年级 53 (2) 9+ (-4)2 × 214 + 3-64- (-1)2025. 20. (6分)新考法 开放题 先化简 1+ 3x-1 ÷ x2+4x+4 2x-2 ,再从-2,1,0,2中选取一个合 适的数作为x的值代入求值. 21. (8分)如图,在▱ABCD 中,CE⊥AD 于点 E,延长DA 至点F,使得DE=AF,连接 BF,CF. (1) 求证:四边形BCEF 是矩形; (2) 若 AB=3,CF=4,DF=5,求 BC 的长. 第21题 22. (8分)模型思想 如图,△ABC 和△ADE 均为等边三角形,A,D,C 三点在同一条直 线上,连接BD,CE,M,N 分别为BD,CE 的中点,顺次连接AM,MN,NA. (1) 求证:BD=CE; (2) 判断△AMN 的形状,并说明理由. 第22题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 54 23. ★(8分)新考向 传统文化 (遂宁中考)端 午节吃粽子是中华民族的传统习俗.为了 满足人们的需求,某超市计划在端午节前 购进甲、乙两种粽子用于销售.经了解,每 个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价 多2元,用1000元购进甲种粽子的个数与 用1200元购进乙种粽子的个数相同. (1) 甲、乙两种粽子每个的进价分别为多 少元? (2) 该超市计划购进这两种粽子共200个 (两种都有),其中甲种粽子的个数不低于 乙种粽子个数的2倍,若甲、乙两种粽子的 售价分别为12元/个、15元/个,设购进甲 种粽子m 个,两种粽子全部售完时获得的 利润为W 元. ① 求W 与m 之间的函数表达式,并求出m 的取值范围; ② 超市应如何进货才能获得最大利润,最 大利润是多少元? 答案讲解 24. (10分)分类讨论思想 如图①, 一次函数y=- 3 4x+6 的图象与 x轴、y 轴分别交于点A,B,与直线y= 5 4x 相交于点C,过点B 作x轴的平行线l, P 是直线l上的一个动点. (1) 求点C 的坐标; (2) 若S△BOC=S△BCP,求点P 的坐标; (3) 如图②,若E 是直线y= 5 4x 上的一个 动点,当△APE 是以∠APE 为直角的等 腰直角三角形时,求点E 的坐标. 第24题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)八年级