专题8 一次函数的实际应用-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（湘教版）

16 5. (1) 由题意,得点A1,A2,A3,…的横坐标分别为0= 12-1,3=22-1,8=32-1,15=42-1,…,纵坐标分别为 1,-1,1,-1,…,则当n=2k+1(k是自然数)时,点An 的纵坐标为1,当n=2k(k是自然数)时,点An 的纵坐标 为-1.∴ 按这样的规律运动下去,第13次运动后,点 A13的横坐标为132-1=168,纵坐标为1,即点A13 的坐 标为(168,1).(2) ∵ 2n(n为正整数)是偶数,∴ 点A2n 的横坐标为(2n)2-1=4n2-1,纵坐标为-1,即点A2n 的坐标为(4n2-1,-1). 6. C 7. 60 4n2-2n+1 解析:观察题图的结构,发现这些数 围成多层正方形,从内到外每条边上的自然数依次多 2个,每个正方形内包含边上的自然数的个数(即每条边 上自然数个数的平方数)都在第四象限的角平分线上(正 方形右下角的自然数).其规律为点(n,-n)对应的数为 (2n+1)2,而且每条边上有(2n+1)个自然数.点(1,4)在 第四层正方形的边上,该层正方形的每条边有2×4+1= 9(个)自然数,右下角的点(4,-4)表示的数是81,∴ 点 (1,4)表示的是第四层从右下角开始按顺时针方向数(从 81倒数)第22个数,即为81-22+1=60.点(n,n)对应的 数是第n层正方形右上角的数,是从右下角开始按顺时 针方向数[从(2n+1)2 倒数]第(6n+1)个数,即为(2n+ 1)2-(6n+1)+1=4n2-2n+1. 规律探究型问题的解题策略 规律探究型问题也是归纳猜想型问题,这类题型 的主要特点是给出一组具有某种特定关系的数、式、图 形,或是给出与图形有关的操作变化过程,或某一具体 的问题情境,要求通过观察、分析、推理,探究其中蕴含 的规律,进而归纳或猜想出一般结论.它是由特殊到一 般的过程,主要考查学生的分析、归纳、抽象与概括能 力.解题的一般步骤为具体问题→观察特例→建立联 系→猜想规律→表示规律→验证规律→运用规律.常 见类型有数式规律探究、系列坐标点的规律探究、图形 类规律探究、数形结合型规律探究等.本题属于系列坐 标点的规律探究. 8. (1) 由题意,得点P1(1,1),P2(-1,1),P3(-1,-2), P4(3,-2),P5(3,3),P6(-3,3),P7(-3,-4),P8(5, -4),∴ x1+x2+x3+x4=1-1-1+3=2,y5+y6+ y7+y8=3+3-4-4=-2.(2) ∵ x1+x2+x3+x4= 2,x5+x6+x7+x8=3-3-3+5=2,…,∴ 可以发现从 点P1开始,每连续4个点为一个循环,其横坐标的和为 2.∴ x1+x2+…+x2023+x2024=2×(2024÷4)= 1012. 9. (1) (16,3) (32,0) (2) (2n,3) (2n+1,0) 10. (1) (16,16).(2) 由 题 图 知,点 A1(-2,2), A2(-22,-22),A3(23,-23),A4(24,24),….通过观察 发现,从点A1开始,每连续4次旋转,对应点回到原来的象 限,点An 的横、纵坐标的绝对值都是|2n|.∵ 2024÷4= 506,∴ 点A2024 在第一象限,其坐标为(22024, 22024). (3) 根据(2)中的规律,点A4n+1 在第二象限,横、纵坐标 都是|24n+1|,∴ 点A4n+1的坐标为(-24n+1,24n+1). 11. (2,1) 专题八　一次函数的实际应用 1. B 函数图象信息题中,因未准确分析图象信息而致错 在函数图象信息题中,首先需要关注的是平面直 角坐标系的横轴与纵轴分别表示的量,然后分析图象 中每个关键点所表示的实际意义,当同一平面直角坐 标系中涉及多条图象时,应先区分每条图象所表示的 不同对象.在解题的过程中,往往因不能准确分析图象 表示的实际问题而出错. 2. A 3. (1) 70;300.(2) 由题图可知,点E,F 的坐标分别为 5 2 ,0 ,(4,180).设线段EF 所在直线对应的函数表达 式为y=kx+b,则 5 2k+b=0 , 4k+b=180, 解得 k=120,b=-300. ∴ 线段 EF 所在直线对应的函数表达式为y=120x-300.(3) 两 车出发5 8h 或25 13h 时,乙车距B 地的距离是甲车距B 地 距离的3倍. 4. (1) 150.(2) ∵ (45-30)×150=2250(米),∴ 妈妈原 来的速度为2250÷45=50(米/分).∴ 妈妈按原来的速 度回家需要3000÷50=60(分).∵ 60-50=10(分), ∴ 与按原速返回相比,现在妈妈提前10分钟到家.(3) 由 (2)易知,点B 的纵坐标为3000-2250=750,∴ 点B 的 坐标为(45,750).设线段AC 对应的函数表达式为y= kx+b(30≤x≤50).把A(30,3000)和C(50,0)代入,得 30k+b=3000, 50k+b=0, 解得 k=-150 , b=7500. ∴ 线段AC 对应的函 数表达式为y=-150x+7500(30≤x≤50).设线段BD 对应的函数表达式为y=mx+n(0≤x≤45).把D(0, 3000),B (45,750)代 入,得 n=3000, 45m+n=750, 解 得 m=-50, n=3000. ∴ 线 段 BD 对 应 的 函 数 表 达 式 为y= -50x+3000(0≤x≤45).设线段OA 对应的函数表达式 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 17 为y=k1x(0≤x≤30).把A(30,3000)代入,得30k1= 3000,解得k1=100.∴ 线段OA 对应的函数表达式为 y=100x(0≤x≤30).当典典与妈妈相距1000米时,有以 下3种情况:① -50x+3000-100x=1000,解得x= 40 3 ;② 100x-(-50x+3000)=1000,解得x=803 ; ③ (-150x+7500)-(-50x+3000)=1000,解得x= 35.综上所述,典典出发403 分钟或80 3 分钟或35分钟时,与 妈妈相距1000米. 5. (1) 是 (2) -1609 6. (1) 设购进 A种 T恤衫x 件,购进B种 T恤衫 y件.根据题意,得 x+y=120, 45x+60y=6000, 解得 x=80 , y=40. ∴ 全 部售完获利(66-45)×80+(90-60)×40=1680+ 1200=2880(元).(2) ① 根据题意,得150-m≤2m,即 m≥50.∴ W=(66-45-5)m+(90-60-10)(150- m)=-4m+3000(50≤m≤150).② 该服装店第二次获 得的利润不能超过第一次.理由:由①可知,W=-4m+ 3000(50≤m≤150).∵ -4<0,∴ W 的值随m 的值的增 大而减小.∴ 当m=50时,W 取最大值,W最大=-4× 50+3000=2800.∵ 2800<2880,∴ 该服装店第二次获 得的利润不能超过第一次. 7. (1) 设l1 对应的函数表达式为y1=k1x.由题图,得 6000=40k1,解得k1=150,∴ l1 对应的函数表达式为 y1=150x.(2) ∵ 方案二中每件商品的销售提成比方案 一少30元,∴ 设l2 对应的函数表达式为y2=(150- 30)x+b.把(40,8400)代入,得8400=120×40+b,解得 b=3600,∴ 方案二中每月付给销售人员的底薪是 3600元.(3) 由(1)知,y1=150x.由(2)知,y2=120x+ 3600.令150x=120x+3600,解得x=120.∴ 当销售数 量为120件时,两种方案所得到的月工资相等.由题图可 得,当销售件数少于120时,选择方案二才能使月工资更 多;当销售件数等于120时,选择两种方案所得到的月工 资一样;当销售件数多于120时,选择方案一才能使月工 资更多. 用一次函数确定最佳方案的一般步骤 (1) 从数学的角度分析实际问题,建立函数模型 (往往有两个或两个以上的模型); (2) 先列出不等式(方程),求出自变量在不同值时 对应的函数值,再比较大小关系; (3) 结合实际需求,选择最佳方案. 8. (1) 设生产甲种礼盒x万套,生产乙种礼盒y万套.由 题意,得 x+y=80, 25x+28y=2150, 解得 x=30 , y=50. ∴ 生产甲种礼 盒30万套,生产乙种礼盒50万套.(2) 由题意可得, (30-25)×(30+a)+(38-28)×(50+b)=690.整理,得 a+2b=8.∵ a,b都为正整数,∴ a=2,b=3或a=4, b=2或a=6,b=1,即有三种生产方案.方案一:生产甲 种礼盒32万套,乙种礼盒53万套;方案二:生产甲种礼盒 34万套,生产乙种礼盒52万套;方案三:生产甲种礼盒 36万套,生产乙种礼盒51万套.(3) 由题意可得,W= 25(30+a)+28(50+b).由(2)知,a+2b=8,则b= 8-a 2 . 故W=25(30+a)+2850+8-a2 =11a+2262. ∵ 11>0,∴ W 的值随a的值的增大而增大.由(2)知a= 2,4,6,∴ 当a=2时,W 取得最小值,此时W=2284. ∴ 当a为2时,总成本W 有最小值,最小值为2284. 整合提优自主检测 一、 1. D 2. A 3. A 4. B 5. B 6. B 7. D 8. C 9. D 10. A 二、 11. 32 2 12. 4 13. y3<y1<y2 14. -2 15. 5 16. 4∶3 17. 3或214 18. 2 解析:连接AG 并延长AG 交CD 于点P,连接 PF.∵ 四边形ABCD 是正方形,∴ CD=BC=AB=4, ∠C=90°,AB∥CD.∴ ∠AEG=∠GDP.∵ E,F 分别为 边AB,BC 的中点,∴ AE=12AB=2 ,CF=12BC= 2.∵ G 为DE 的中点,∴ EG=DG.在△EAG 和△DPG 中, ∠AEG=∠PDG, EG=DG, ∠AGE=∠PGD, ∴ △EAG≌△DPG.∴ AG= PG,DP=AE=2.∴ G 为AP 的中点.∵ H 为AF 的中 点,∴ GH 是△APF 的中位线.∴ GH = 12PF. 在 Rt△FCP 中,CP=DC-DP=4-2=2,∴ PF= PC2+FC2=22.∴ GH=12PF=2. 三、 19. (1) 6.(2) 6. 20. 原式= 2x+2.∵ x-1≠0,x2+4x+4≠0,∴ x≠1, x≠-2.当x=0时,原式= 20+2=1. (取值答案不唯一) 21. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ AD=BC, AD∥BC.∵ DE=AF,∴ DE+AE=AF+AE. ∴ AD=EF.∴ EF=BC.又∵ EF∥BC,∴ 四边形 BCEF 是平行四边形.又∵ CE⊥AD,∴ ∠CEF= 90°.∴ 平行四边形BCEF 是矩形.(2) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形,AB=3,∴ AB=CD=3.∵ DF=5,CF= 4,∴ CD2+CF2=DF2.∴ △CDF 是直角三角形,且 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 48 专题八　一次函数的实际应用 一次函数的实际应用是初中数学中的重要内容,也是中考的必考内容,它是数学建模素养的 一个重要体现,常见问题有分段函数问题、表格信息问题、方案设计问题,解题的关键是根据实际 问题或表格建立一次函数模型,求出相关的表达式,进而利用表达式及性质,通过分析和设计方 案来解决实际问题. 类型一 分段函数及其应用 1. ★ 新考向 跨学科 某生物小组观察一植物 的生长情况,得到株高y(厘米)与观察天数 x之间的关系,并画出如图所示的图象(AC 是线段,射线CD 平行于x 轴).下列说法 中,错误的是 ( ) A. 该植物在50天后停止长高 B. 该植物的株高最高为15厘米 C. AC 所在直线对应的函数表达式为y= 1 5x+6 D. 第40天该植物的株高为14厘米 第1题 第2题 2. 同一条公路连接A,B,C 三地,B 地在A,C 两地之间.甲、乙两车分别从A 地、B 地同时 出发前往C地.甲车的速度始终保持不变,乙 车中途休息一段时间后继续行驶.如图所示 为甲、乙两车之间的距离y(km)与时间x(h) 的函数关系.下列结论中,正确的是 ( ) A. 甲车行驶8 3h 后与乙车相遇 B. A,C 两地相距220km C. 甲车的速度是70km/h D. 乙车中途休息36min 答案讲解 3. 一条公路上依次有A,B,C 三地, 甲车从A 地出发,沿公路经B 地到 C 地,乙车从C 地出发,沿公路驶向 B 地.甲、乙两车同时出发,匀速行驶,乙车 比甲车早2 7h 到达目的地.甲、乙两车之间的 距离y(km)与两车行驶的时间x(h)之间的 函数关系如图所示. (1) 甲车行驶的速度是 km/h,并在 图中括号内填上正确的数; (2) 求图中线段EF 所在直线对应的函数表 达式(不要求写出自变量的取值范围); (3) 请直接写出两车出发多长时间时,乙车 距B 地的距离是甲车距B 地距离的3倍. 第3题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)八年级 拍 照 批 改 49 4. 某天早晨,典典从家跑步去体育场锻炼,同 时妈妈从体育场晨练完回家,途中两人相 遇,典典跑到体育场后发现要下雨了,立即 按原路返回,遇到妈妈后两人一起回到家 (典典和妈妈始终在同一条笔直的路上行 进).典典、妈妈两人离家的距离y(米)与典 典出发的时间x(分)之间的函数关系如图所 示.请结合图象信息,解答下列问题: (1) 典典返回时的速度是 米/分. (2) 与按原速返回相比,现在妈妈提前多长 时间到家? (3) 典典出发多长时间时,与妈妈相距 1000米? 第4题 类型二 利用表格信息解决实际问题 5. 世界上多数国家采用摄氏温标来预报天气, 但美国、巴哈马等国家仍然采用华氏温标. 某学生查阅资料,得到下表中的数据: 摄氏温度x/℃ 0 10 20 30 40 50 华氏温度y/℉ 32 50 68 86 104 122 (1) 两种温度的对应关系 (填“是” 或“不是”)一次函数; (2) 请你根据数据推算,0℉时的摄氏温度 为 ℃. 答案讲解 6. (青岛中考)某服装店经销A,B两 种T恤衫,T恤衫的进价和售价如 下表所示: 种 类 A B 进价/(元/件) 45 60 售价/(元/件) 66 90 (1) 第一次进货时,该服装店用6000元购进 A,B两种T恤衫共120件,全部售完获利多 少元? (2) 受市场因素影响,第二次进货时,A种T 恤衫的进价每件上涨了5元,B种T恤衫的 进价每件上涨了10元,但两种T恤衫的售 价不变.该服装店计划购进A,B两种T恤 衫共150件,且B种T恤衫的购进量不超过 A种T恤衫购进量的2倍.设此次购进A种 T恤衫m 件,两种T恤衫全部售完可获利 W 元. ① 请求出W 与m 之间的函数表达式. ② 该服装店第二次获得的利润能否超过第 一次? 请说明理由. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 50 类型三 方案设计问题 7. ★某公司每月给销售人员支付工资有两种方 案.方案一:没有底薪,只有销售提成;方案 二:底薪加销售提成.设x(件)是销售商品的 数量,y(元)是销售人员的月工资.如图,l1 为方案一的函数图象,l2 为方案二的函数图 象.已知方案二中每件商品的销售提成比方 案一少30元.根据图中信息解答下列问题 (注:销售提成是指从销售每件商品得到的 销售额中提取一定数量的费用): (1) 求l1对应的函数表达式. (2) 方案二中每月付给销售人员的底薪是多 少元? (3) 小李是该公司的销售人员,他选择哪种 方案才能使月工资更多? 第7题 答案讲解 8. 某工厂准备在春节前生产甲、乙两 种新年礼盒共80万套,两种礼盒的 成本和售价如下表所示. 种 类 甲 乙 成本/(元/套) 25 28 售价/(元/套) 30 38 (1) 该工厂计划筹集资金2150万元,且全部 用于生产甲、乙两种礼盒,则这两种礼盒各 生产多少万套? (2) 经过市场调查,该工厂决定在原计划的 基础上多生产甲种礼盒a万套,多生产乙种 礼盒b万套(a,b都为正整数),且两种礼盒 售完后所获得的总利润恰好为690万元,请 问:该工厂有几种生产方案? 请写出所有可 行的生产方案. (3) 在(2)的情况下,设实际生产两种礼盒的 总成本为W 万元,请写出W 与a之间的函 数表达式,并判断当a为多少时,总成本W 有最小值,最小值为多少. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)八年级