专题7 平面直角坐标系中的规律探究题-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（湘教版）

15 3. B 4. 5 5. (1) ∵ 四边形 ABCD 为矩形,∴ AD∥BC,AB∥ CD.∴ ∠BAC=∠DCA.由折叠的性质,可知∠EAC= 1 2∠BAC ,∠FCA= 12 ∠DCA ,∴ ∠EAC=∠FCA. ∴ AE∥CF.又∵ AF∥EC,∴ 四边形AECF 为平行四边 形.(2) 在Rt△ABC中,AB=6,AC=10,由勾股定理,得 BC= AC2-AB2=8.由折叠的性质,可知∠AME= ∠ABC=90°,EM=BE,AM=AB=6.∴ CM=AC- AM=10-6=4.设EC=x,则EM=BE=8-x.在 Rt△CEM 中,由勾股定理,得ME2+CM2=EC2,即(8- x)2+42=x2,解得x=5.由(1),得四边形AECF 为平行 四边形,∴ S▱AECF=EC·AB=5×6=30. 6. 等边三角形;△BMP 是等边三角形.理由:∵ 四边形 ABCD 为矩形,∴ ∠BAD=∠ABC=90°.由折叠的性 质,可知∠NBM =∠ABM,∠BNM =∠BAD=90°, ∴ ∠BNP=90°.∵ △ABN 是等边三角形,∴ ∠ABN= 60°.∴ ∠NBM=∠ABM=12∠ABN=30°.∵ ∠NBP= ∠ABP-∠ABN=30°,∠BNM=∠BNP=90°,∴ 易得 ∠BPM=∠MBP=∠BMP=60°.∴ △BMP 是等边三 角形. 7. A 8. 22-2 解析:∵ 四边形ABCD 是菱形,AB=2, ∠A=45°,∴ BC=AB=2,∠C=∠A=45°.∵ BC'⊥ CD,∴ ∠BHC=90°.∴ 易得CH= 2.∵ 把△BCE 沿 BE 折叠得到△BC'E,∴ ∠C'=∠C=45°,C'E=CE.设 CE=C'E=x.∵ ∠C'HE=90°,∴ 易得EH= 2 2x. ∵ CE+EH=CH,∴ x+ 22x= 2 ,解得x=22- 2.∴ CE=22-2. 9. (1) 如图所示.(2) ∵ 四边形ABCD 是菱形,∠A= 45°,∴ AD=CD,∠A=∠C=45°,∠ADC=135°.由折叠 的性质,可知 AE=DE= 12AD ,GE⊥AD,∠A= ∠GDA=45°,DF=FC= 12CD ,HF⊥CD,∠C= ∠CDH=45°.∴ ∠OED=∠OFD=90°.∵ ∠EOF+ ∠OED+∠OFD+∠ADC=360°,∴ ∠EOF=360°- 90°-90°-135°=45°.(3) 四边形DGOH 是菱形.理由: ∵ ∠ADC=135°,∠ADG= ∠CDH =45°,∴ 易 得 ∠GDC= ∠ADH =90°,即 GD ⊥CD,DH ⊥AD. 又∵ GE⊥AD,HF⊥CD,∴ GE∥DH,GD∥HF.∴ 四 边形DGOH 是平行四边形.∵ AE=DE=12AD ,DF= FC=12CD ,AD=CD,∴ DE=DF.又∵ ∠ADG= ∠CDH=45°,∠DEG=∠DFH =90°.∴ △DEG≌ △DFH.∴ DG=DH.∴ 四边形DGOH 是菱形. 第9题 10. D 11. 12 12. (1) ∵ AD⊥BC,∴ ∠ADB=∠ADC=90°.由折叠 的性质可知,AG=AD=AF,∠AGH=∠AFH=90°, ∠BAG = ∠BAD,∠CAF = ∠CAD,∴ ∠BAG + ∠CAF=∠BAD+∠CAD=∠BAC=45°.∴ ∠GAF= ∠BAG+∠CAF+∠BAC=90°.∴ 易得四边形AFHG 是正方形.(2) ∵ 四边形AFHG 是正方形,∴ ∠BHC= 90°.又∵ GH=HF=AD,BH=6,CH=8,∴ 设AD 的 长为x,则 GB=BD=x-6,CD=CF=x-8.在 Rt△BCH 中,由勾股定理,得BC= BH2+CH2=10,即 BD+CD=(x-6)+(x-8)=10,解得x=12.∴ AD= 12,BD=6.∴ AB= AD2+BD2= 122+62=65. 13. (1) ∵ 四边形ABCD 是正方形,∴ AB=BC=CD= AD,∠A=∠ABC=90°.∵ E,F 分别是正方形ABCD 的边AB,AD 的中点,∴ BE=12AB ,AF=12AD. ∴ BE=AF.在△ABF和△BCE 中, AB=BC, ∠A=∠CBE=90°, AF=BE, ∴ △ABF≌△BCE.∴ BF=CE.(2) 连接BG.由折叠的 性质,可知BQ=AB,∠BQF=∠A=90°,∴ BC=BQ, ∠BQG=∠BCG=90°.在 Rt△BQG 和 Rt△BCG 中, BG=BG, BQ=BC, ∴ Rt△BQG≌Rt△BCG.∴ QG =CG. ∵ AD=DC=AB=4,FQ=AF=FD=12AD=2 ,∴ 设 CG=x,则 DG=DC-CG=4-x,FG=FQ+QG= AF+CG=2+x.在 Rt△DFG 中,根据勾股定理,得 DF2+DG2=FG2,即22+(4-x)2=(2+x)2,解得x= 4 3.∴ QG=CG=43.∴ FG=2+x=2+43= 10 3. 专题七　平面直角坐标系中的规律探究题 1. D 2. (2891,-3) 3. (43,44) 4. (1) (0,1);(1,0);(6,0).(2) 通过观察发现点A4(2, 0),A8(4,0),A12(6,0),…,∴ 点A4n 的坐标为(2n, 0).(3) ∵ 100正好是4的倍数,∴ 蚂蚁从点A100 到点 A101的移动方向与从点A4 到点A5 的移动方向相同,即 为向上. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 16 5. (1) 由题意,得点A1,A2,A3,…的横坐标分别为0= 12-1,3=22-1,8=32-1,15=42-1,…,纵坐标分别为 1,-1,1,-1,…,则当n=2k+1(k是自然数)时,点An 的纵坐标为1,当n=2k(k是自然数)时,点An 的纵坐标 为-1.∴ 按这样的规律运动下去,第13次运动后,点 A13的横坐标为132-1=168,纵坐标为1,即点A13 的坐 标为(168,1).(2) ∵ 2n(n为正整数)是偶数,∴ 点A2n 的横坐标为(2n)2-1=4n2-1,纵坐标为-1,即点A2n 的坐标为(4n2-1,-1). 6. C 7. 60 4n2-2n+1 解析:观察题图的结构,发现这些数 围成多层正方形,从内到外每条边上的自然数依次多 2个,每个正方形内包含边上的自然数的个数(即每条边 上自然数个数的平方数)都在第四象限的角平分线上(正 方形右下角的自然数).其规律为点(n,-n)对应的数为 (2n+1)2,而且每条边上有(2n+1)个自然数.点(1,4)在 第四层正方形的边上,该层正方形的每条边有2×4+1= 9(个)自然数,右下角的点(4,-4)表示的数是81,∴ 点 (1,4)表示的是第四层从右下角开始按顺时针方向数(从 81倒数)第22个数,即为81-22+1=60.点(n,n)对应的 数是第n层正方形右上角的数,是从右下角开始按顺时 针方向数[从(2n+1)2 倒数]第(6n+1)个数,即为(2n+ 1)2-(6n+1)+1=4n2-2n+1. 规律探究型问题的解题策略 规律探究型问题也是归纳猜想型问题,这类题型 的主要特点是给出一组具有某种特定关系的数、式、图 形,或是给出与图形有关的操作变化过程,或某一具体 的问题情境,要求通过观察、分析、推理,探究其中蕴含 的规律,进而归纳或猜想出一般结论.它是由特殊到一 般的过程,主要考查学生的分析、归纳、抽象与概括能 力.解题的一般步骤为具体问题→观察特例→建立联 系→猜想规律→表示规律→验证规律→运用规律.常 见类型有数式规律探究、系列坐标点的规律探究、图形 类规律探究、数形结合型规律探究等.本题属于系列坐 标点的规律探究. 8. (1) 由题意,得点P1(1,1),P2(-1,1),P3(-1,-2), P4(3,-2),P5(3,3),P6(-3,3),P7(-3,-4),P8(5, -4),∴ x1+x2+x3+x4=1-1-1+3=2,y5+y6+ y7+y8=3+3-4-4=-2.(2) ∵ x1+x2+x3+x4= 2,x5+x6+x7+x8=3-3-3+5=2,…,∴ 可以发现从 点P1开始,每连续4个点为一个循环,其横坐标的和为 2.∴ x1+x2+…+x2023+x2024=2×(2024÷4)= 1012. 9. (1) (16,3) (32,0) (2) (2n,3) (2n+1,0) 10. (1) (16,16).(2) 由 题 图 知,点 A1(-2,2), A2(-22,-22),A3(23,-23),A4(24,24),….通过观察 发现,从点A1开始,每连续4次旋转,对应点回到原来的象 限,点An 的横、纵坐标的绝对值都是|2n|.∵ 2024÷4= 506,∴ 点A2024 在第一象限,其坐标为(22024, 22024). (3) 根据(2)中的规律,点A4n+1 在第二象限,横、纵坐标 都是|24n+1|,∴ 点A4n+1的坐标为(-24n+1,24n+1). 11. (2,1) 专题八　一次函数的实际应用 1. B 函数图象信息题中,因未准确分析图象信息而致错 在函数图象信息题中,首先需要关注的是平面直 角坐标系的横轴与纵轴分别表示的量,然后分析图象 中每个关键点所表示的实际意义,当同一平面直角坐 标系中涉及多条图象时,应先区分每条图象所表示的 不同对象.在解题的过程中,往往因不能准确分析图象 表示的实际问题而出错. 2. A 3. (1) 70;300.(2) 由题图可知,点E,F 的坐标分别为 5 2 ,0 ,(4,180).设线段EF 所在直线对应的函数表达 式为y=kx+b,则 5 2k+b=0 , 4k+b=180, 解得 k=120,b=-300. ∴ 线段 EF 所在直线对应的函数表达式为y=120x-300.(3) 两 车出发5 8h 或25 13h 时,乙车距B 地的距离是甲车距B 地 距离的3倍. 4. (1) 150.(2) ∵ (45-30)×150=2250(米),∴ 妈妈原 来的速度为2250÷45=50(米/分).∴ 妈妈按原来的速 度回家需要3000÷50=60(分).∵ 60-50=10(分), ∴ 与按原速返回相比,现在妈妈提前10分钟到家.(3) 由 (2)易知,点B 的纵坐标为3000-2250=750,∴ 点B 的 坐标为(45,750).设线段AC 对应的函数表达式为y= kx+b(30≤x≤50).把A(30,3000)和C(50,0)代入,得 30k+b=3000, 50k+b=0, 解得 k=-150 , b=7500. ∴ 线段AC 对应的函 数表达式为y=-150x+7500(30≤x≤50).设线段BD 对应的函数表达式为y=mx+n(0≤x≤45).把D(0, 3000),B (45,750)代 入,得 n=3000, 45m+n=750, 解 得 m=-50, n=3000. ∴ 线 段 BD 对 应 的 函 数 表 达 式 为y= -50x+3000(0≤x≤45).设线段OA 对应的函数表达式 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 45 专题七　平面直角坐标系中的规律探究题 平面直角坐标系中的规律探究题,就是根据平面直角坐标系中某些点的坐标特征,归纳推导 出这类点的坐标所满足的条件,进而计算出同类点的坐标.解答此类题的关键是建立点的位置与 点的坐标之间的联系,以及点的横、纵坐标之间的联系.此类题具有很强的探究性,对思维能力要 求较高,在各类考试中属于中高难度题型. 类型一 沿坐标轴运动的点的坐标规律探究 1. 如图,在平面直角坐标系中,原点O(0,0)第 一次跳动到点A1(0,1),第二次从点A1 跳 动到点A2(1,2),第三次从点A2 跳动到点 A3(-1,3),第四次从点A3 跳动到点A4 (-1,4),依次类推,点A30的坐标为 ( ) 第1题 A. (10,29) B. (10,30) C. (-10,31) D. (-10,30) 2. (绥化中考)如图,有点A1(1, - 3),A2(3, -3),A3(4,0),A4(6,0),A5(7,3),A6 (9,3),A7(10,0),A8(11,- 3),…,依照 此规律,点A2024的坐标为 . 第2题 3. 如图,在平面直角坐标系中,有一点A(-1, 0),点A向上平移1个单位长度至点A1(-1, 1),再向右平移1个单位长度至点A2(0,1), 接着向上平移1个单位长度至点A3(0,2),再 向右平移1个单位长度至点A4(1,2),…,照 此规律平移下去,点A88的坐标为 . 第3题 4. 如图,在平面直角坐标系中,一只蚂蚁从原 点O 出发,按向上、向右、向下、向右的方向 依次不断移动,每次移动1个单位长度. (1) 填写下列各点的坐标:A1 , A3 ,A12 ; (2) 写出点A4n 的坐标(n是正整数); (3) 指出蚂蚁从点A100 到点A101 的移动 方向. 第4题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 拍 照 批 改 46 5. 如图,在平面直角坐标系中,一个动点进行 折线运动,第1次从点A(-1,-1)运动到 点A1(0,1),第2次运动到点A2(3,-1),第 3次运动到点A3(8,1),第4次运动到点A4 (15,-1)……按这样的规律一直运动下 去.求: (1) 第13次运动后,点A13的坐标; (2) 第2n(n为正整数)次运动后,点A2n 的 坐标. 第5题 类型二 绕原点呈“回”字形运动的点的坐 标规律探究 6. 如 图,在 单 位 长 度 为 1 的 方 格 纸 上, △A1A2A3,△A3A4A5,△A5A6A7……都 是斜边在x 轴上,斜边长分别为2,4,6,… 的等腰直角三角形,若△A1A2A3的顶点坐 标分别为A1(2,0),A2(1,-1),A3(0,0), 则依图中所示规律,点A2024的坐标为 ( ) 第6题 A. (1010,0) B. (1012,0) C. (2,1012) D. (2,1010) 7. ★如图,在平面直角坐标系中,按一定的次序 排列自然数,每个点的坐标都对应着一个自 然数(点的横、纵坐标均为整数).例如点(0, 0)对应的自然数是1,点(1,2)对应的自然数 是14.按照此规律,点(1,4)对应的自然数为 ,点(n,n)对应的自然数(n为正整 数)为 . 第7题 答案讲解 8. 如图,在平面直角坐标系中,设点M 从点P0(1,0)向上运动1个单位长 度至点P1(1,1),然后向左运动2 个单位长度至点P2,再向下运动3个单位长 度至点P3,接着向右运动4个单位长度至点 P4,再向上运动5个单位长度至点P5,…, 如此继续运动下去,设点Pn(xn,yn),n=1, 2,3,…. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)八年级 47 (1) 分别求x1+x2+x3+x4和y5+y6+y7+ y8的值; (2) 求x1+x2+…+x2023+x2024的值. 第8题 类型三 图形变换中点的坐标规律探究 9. 如图,在平面直角坐标系中,第 一 次 将 △OAB 变 换 成 △OA1B1,第 二 次 将 △OA1B1 变 换 成 △OA2B2,第 三 次 将 △OA2B2变换成△OA3B3. (1) 观察每次变换前后的三角形的变化规 律,若将△OA3B3 变换成△OA4B4,则点 A4 的坐标为 ,点B4 的坐标为 ; (2) 若按(1)中找到的规律将△OAB 进行n 次变换,得到△OAnBn,则点An 的坐标为 ,点Bn 的坐标为 . 第9题 答案讲解 10. 如 图,在 平 面 直 角 坐 标 系 中, △OAB 是 等 腰 直 角 三 角 形, ∠OBA=90°,点B 的坐标为(1, 0),每一次将△OAB 绕点O 按逆时针方向 旋转90°,同时每条边扩大为原来的2倍, 第一次旋转得到△OA1B1,第二次旋转得 到△OA2B2,…,以此类推. (1) 点A4的坐标为 ; (2) 求点A2024的坐标; (3) 求点A4n+1的坐标. 第10题 类型四 新定义中点的坐标规律探究 答案讲解 11. 新考法 新定义题 任取一个正 整数,若是奇数,则将该数先乘3 再加上1;若是偶数,则将该数除 以2.反复进行上述两种运算,经过有限次 运算后,必进入循环圈1→4→2→1,这就是 “冰雹猜想”.在平面直角坐标系中,将点 (x,y)中的x,y分别按照“冰雹猜想”同步 进行运算得到新的点的横、纵坐标,其中x, y均为正整数.例如,点(6,3)经过第1次运 算得到点(3,10),经过第2次运算得到 点(10,5),以此类推.点(1,4)经过2024次 运算得到点 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优