专题6 四边形中的折叠问题-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（湘教版）

14 13. C 14. 70° 15. (1) ∵ DE 垂直平分AB,GF 垂直平分AC,∴ EA= EB,GA=GC.∵ △AEG 的周长为10,∴ AE+EG+ AG=10.∴ BC=BE+EG+GC=AE+EG+AG= 10.(2) ∵ ∠BAC=104°,∴ ∠B+∠C=180°-104°= 76°.∵ EA=EB,GA=GC,∴ ∠EAB=∠B,∠GAC= ∠C.∴ ∠EAB+∠GAC=∠B+∠C=76°.∴ ∠EAG= ∠BAC-(∠EAB+∠GAC)=104°-76°=28°. 16. B 17. 9 18. D 19. 60° 解析:作△PBC 关于BC 的轴对称图形△DBC, ∴ △PBC≌△DBC.∴ ∠DBC=∠PBC,∠PCB= ∠DCB,CD =PC.∵ CP 是 ∠ACB 的 平 分 线, ∴ ∠BCA=2∠PCB.∵ ∠PBC=2∠PCB,∴ ∠DBC= ∠BCA.∴ BD∥AC.延长BD 到点E,使BE=AC,连接 CE.∴ 四边形ABEC 是平行四边形.∴ AB=CE.设 ∠PCB=α,∴ ∠BCD = ∠ACP =α.∴ ∠PBC= ∠DBC=∠BCA=2α,∠ACD=3α.∵ BP 平分∠ABC, ∴ ∠ABP=∠PBC=2α.∴ ∠ABD=6α.∵ 四边形 ABEC 是 平 行 四 边 形,∴ ∠ACE = ∠ABE =6α. ∴ ∠DCE=3α.∵ ∠CDE=∠DBC+∠DCB=3α, ∴ ∠DCE=∠CDE.∴ CE=ED.∵ AB=CE,AB= PC,∴ CE=PC.∴ PC=ED.∵ CD=PC,∴ CE= ED=CD.∴ △CDE 是等边三角形.∴ ∠E=60°.∵ 四 边形ABEC 是平行四边形,∴ ∠A=∠E=60°. 20. 在BC上截取BE=BA,延长BD 至点F,使BF= BC,连接 DE,CF.∵ BD 平分∠ABC,∴ ∠ABD= ∠EBD.在 △ABD 和 △EBD 中, AB=EB, ∠ABD=∠EBD, BD=BD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABD≌△EBD.∴ AD=ED,∠DEB=∠A= 100°.∴ ∠DEC =80°.∵ AB =AC,∴ ∠ABC = ∠ACB=180°-100°2 =40°.∴ ∠ABD = ∠EBD = 1 2∠ABC=20°.∵ BC=BF,∠CBF=20°,∴ ∠F= ∠FCB=12 (180°-∠CBF)=80°.∴ ∠FCD=80°- 40°=40°.∴ ∠FCD=∠ECD.∵ ∠DEC=80°,∠F= 80°,∴ ∠F = ∠DEC.在 △DCF 和 △DCE 中, ∠F=∠DEC, ∠FCD=∠ECD, CD=CD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DCF≌△DCE.∴ DF=DE= AD.∴ BC=BF=BD+DF=BD+AD.∴ BD=BC- AD.∵ AD=5, BC=12,∴ BD=7. 21. 8 解析:延长 BA,CE 交于点F.∵ CE⊥BE, ∴ ∠CED=90°.∵ ∠BAC=90°,∴ ∠ABD+∠ADB= 90°.∵ ∠CED =90°,∴ ∠CDE + ∠ACF =90°. ∵ ∠ADB=∠EDC,∴ ∠ABD=∠ACF.在△ABD 和 △ACF 中, ∠BAD=∠CAF=90°, AB=AC, ∠ABD=∠ACF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABD ≌ △ACF.∴ BD=CF.∵ BD 平分∠ABC,∴ ∠FBE= ∠CBE.在△BEF 和△BEC 中, ∠FBE=∠CBE, BE=BE, ∠BEF=∠BEC=90°, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BEF≌△BEC.∴ EF=EC.∴ EC= 12CF. ∴ EC=12BD.∵ EC=4,∴ BD=8. 22. 如 图,延 长 BE 交 AC 于 点 M.∵ BE ⊥AE, ∴ ∠AEB=∠AEM=90°.在△ABE 中,∵ ∠1+∠3+ ∠AEB=180°,∴ ∠3=90°-∠1.同理,∠4=90°- ∠2.∵ ∠1=∠2,∴ ∠3=∠4.∴ AB=AM.∴ AC- AB=AC-AM =CM.∵ ∠4 是 △BCM 的 外 角, ∴ ∠4=∠5+∠C.∵ ∠3=∠4,∴ ∠ABC=∠3+ ∠5=∠4+∠5.∵ ∠ABC=3∠C,∴ 3∠C=∠4+ ∠5=2∠5+∠C.∴ ∠5=∠C.∴ CM=BM.∵ AB= AM,BE⊥AE,∴ BM=2BE.∴ AC-AB=BM=2BE. 第22题 利用图形归一法证明线段差问题 如果三条线段在同一条直线上,那么我们很容易得出 三条线段之间的数量关系.如果三条线段不在同一条直线 上,那么需要通过构造等量关系把三条线段转移到同一条 直线上.本题中出现了角平分线AE,并且BE⊥AE,这个 图形恰好是等腰三角形三线合一的一部分,故延长BE 交 AC于点M,构造等腰三角形,从而解决问题. 专题六　四边形中的折叠问题 1. B 2. B 折叠问题的解题方法 (1) 图形沿着某条直线折叠时,观察哪些量变了, 哪些量没有变;(2) 观察折叠前后哪些角、边相等,线段 和角之间分别有怎样的数量关系;(3) 知道折叠前后特 殊点、角和线的对应关系;(4) 运用全等三角形、勾股定 理等相关知识解决问题. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 15 3. B 4. 5 5. (1) ∵ 四边形 ABCD 为矩形,∴ AD∥BC,AB∥ CD.∴ ∠BAC=∠DCA.由折叠的性质,可知∠EAC= 1 2∠BAC ,∠FCA= 12 ∠DCA ,∴ ∠EAC=∠FCA. ∴ AE∥CF.又∵ AF∥EC,∴ 四边形AECF 为平行四边 形.(2) 在Rt△ABC中,AB=6,AC=10,由勾股定理,得 BC= AC2-AB2=8.由折叠的性质,可知∠AME= ∠ABC=90°,EM=BE,AM=AB=6.∴ CM=AC- AM=10-6=4.设EC=x,则EM=BE=8-x.在 Rt△CEM 中,由勾股定理,得ME2+CM2=EC2,即(8- x)2+42=x2,解得x=5.由(1),得四边形AECF 为平行 四边形,∴ S▱AECF=EC·AB=5×6=30. 6. 等边三角形;△BMP 是等边三角形.理由:∵ 四边形 ABCD 为矩形,∴ ∠BAD=∠ABC=90°.由折叠的性 质,可知∠NBM =∠ABM,∠BNM =∠BAD=90°, ∴ ∠BNP=90°.∵ △ABN 是等边三角形,∴ ∠ABN= 60°.∴ ∠NBM=∠ABM=12∠ABN=30°.∵ ∠NBP= ∠ABP-∠ABN=30°,∠BNM=∠BNP=90°,∴ 易得 ∠BPM=∠MBP=∠BMP=60°.∴ △BMP 是等边三 角形. 7. A 8. 22-2 解析:∵ 四边形ABCD 是菱形,AB=2, ∠A=45°,∴ BC=AB=2,∠C=∠A=45°.∵ BC'⊥ CD,∴ ∠BHC=90°.∴ 易得CH= 2.∵ 把△BCE 沿 BE 折叠得到△BC'E,∴ ∠C'=∠C=45°,C'E=CE.设 CE=C'E=x.∵ ∠C'HE=90°,∴ 易得EH= 2 2x. ∵ CE+EH=CH,∴ x+ 22x= 2 ,解得x=22- 2.∴ CE=22-2. 9. (1) 如图所示.(2) ∵ 四边形ABCD 是菱形,∠A= 45°,∴ AD=CD,∠A=∠C=45°,∠ADC=135°.由折叠 的性质,可知 AE=DE= 12AD ,GE⊥AD,∠A= ∠GDA=45°,DF=FC= 12CD ,HF⊥CD,∠C= ∠CDH=45°.∴ ∠OED=∠OFD=90°.∵ ∠EOF+ ∠OED+∠OFD+∠ADC=360°,∴ ∠EOF=360°- 90°-90°-135°=45°.(3) 四边形DGOH 是菱形.理由: ∵ ∠ADC=135°,∠ADG= ∠CDH =45°,∴ 易 得 ∠GDC= ∠ADH =90°,即 GD ⊥CD,DH ⊥AD. 又∵ GE⊥AD,HF⊥CD,∴ GE∥DH,GD∥HF.∴ 四 边形DGOH 是平行四边形.∵ AE=DE=12AD ,DF= FC=12CD ,AD=CD,∴ DE=DF.又∵ ∠ADG= ∠CDH=45°,∠DEG=∠DFH =90°.∴ △DEG≌ △DFH.∴ DG=DH.∴ 四边形DGOH 是菱形. 第9题 10. D 11. 12 12. (1) ∵ AD⊥BC,∴ ∠ADB=∠ADC=90°.由折叠 的性质可知,AG=AD=AF,∠AGH=∠AFH=90°, ∠BAG = ∠BAD,∠CAF = ∠CAD,∴ ∠BAG + ∠CAF=∠BAD+∠CAD=∠BAC=45°.∴ ∠GAF= ∠BAG+∠CAF+∠BAC=90°.∴ 易得四边形AFHG 是正方形.(2) ∵ 四边形AFHG 是正方形,∴ ∠BHC= 90°.又∵ GH=HF=AD,BH=6,CH=8,∴ 设AD 的 长为x,则 GB=BD=x-6,CD=CF=x-8.在 Rt△BCH 中,由勾股定理,得BC= BH2+CH2=10,即 BD+CD=(x-6)+(x-8)=10,解得x=12.∴ AD= 12,BD=6.∴ AB= AD2+BD2= 122+62=65. 13. (1) ∵ 四边形ABCD 是正方形,∴ AB=BC=CD= AD,∠A=∠ABC=90°.∵ E,F 分别是正方形ABCD 的边AB,AD 的中点,∴ BE=12AB ,AF=12AD. ∴ BE=AF.在△ABF和△BCE 中, AB=BC, ∠A=∠CBE=90°, AF=BE, ∴ △ABF≌△BCE.∴ BF=CE.(2) 连接BG.由折叠的 性质,可知BQ=AB,∠BQF=∠A=90°,∴ BC=BQ, ∠BQG=∠BCG=90°.在 Rt△BQG 和 Rt△BCG 中, BG=BG, BQ=BC, ∴ Rt△BQG≌Rt△BCG.∴ QG =CG. ∵ AD=DC=AB=4,FQ=AF=FD=12AD=2 ,∴ 设 CG=x,则 DG=DC-CG=4-x,FG=FQ+QG= AF+CG=2+x.在 Rt△DFG 中,根据勾股定理,得 DF2+DG2=FG2,即22+(4-x)2=(2+x)2,解得x= 4 3.∴ QG=CG=43.∴ FG=2+x=2+43= 10 3. 专题七　平面直角坐标系中的规律探究题 1. D 2. (2891,-3) 3. (43,44) 4. (1) (0,1);(1,0);(6,0).(2) 通过观察发现点A4(2, 0),A8(4,0),A12(6,0),…,∴ 点A4n 的坐标为(2n, 0).(3) ∵ 100正好是4的倍数,∴ 蚂蚁从点A100 到点 A101的移动方向与从点A4 到点A5 的移动方向相同,即 为向上. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 42 专题六　四边形中的折叠问题 折叠问题是将一个图形沿着一条直线折叠进而求角或边,解决折叠问题的几个关键点:(1) 折叠前后位置的图形全等;(2) 折痕两边的图形关于折痕对称;(3) 折叠前后对应点的连线被折 痕垂直平分.而解决折叠中的动点问题需“动中求静”,在变化中找到不变的性质,通过点的运动 来探索图形的性质及变化,解题中渗透空间观念与合情推理,在点的运动过程中观察图形的变化 情况,理解图形不同位置的情况,进行计算和推理. 类型一 矩形中的折叠问题 1. 如图,在矩形纸片ABCD 中,AB=4cm, BC=6cm.现将其沿AE 折叠,使得点B 落 在边AD 上的点B1处,折痕与边BC 交于点 E,则CE 的长为 ( ) A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm 第1题 第2题 2. ★如图,在矩形ABCD 中,AB=9,BC=3, 将矩形沿AC 折叠,使点B 落在点B'处,则 重叠部分△AFC 的面积为 ( ) A. 7 B. 7.5 C. 6 D. 6.5 3. 有一张矩形纸片ABCD,已知AB=3,AD= 2,小明按如图所示的步骤折叠纸片,则线段 DG 的长为 ( ) 第3题 A. 3 B. 2 C. 2 D. 1 第4题 4. 方程思想 如图,将矩形纸 片ABCD 沿AE 折叠,使点 D 落在点F 处.已知BC= 10cm,AB=8cm,则EF 的长 为 cm. 5. 如图,AC 为矩形ABCD 的对角线,将矩形 ABCD 分别沿AE,CF 折叠,使点B 落在 AC 上的点 M 处,点 D 落在AC 上的点 N 处. (1) 求证:四边形AECF 为平行四边形; (2) 若AB=6,AC=10,求四边形AECF 的 面积. 第5题 答案讲解 6. 新考法 操作实践题 操作:第一 步:如图①,对折矩形纸片ABCD, 使AD 与BC 重合,得到折痕EF, 把纸片展开. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)八年级 拍 照 批 改 43 第二步:如图②,再一次折叠纸片,使点A 落 在EF 上的点N 处,并使折痕经过点B,得 到折痕BM,同时得到线段BN.连接AN, 易知△ABN 的形状是 . 论证:如图③,若延长MN 交BC 于点P,试 判定△BMP 的形状,并说明理由. 第6题 类型二 菱形中的折叠问题 7. 对角线长分别为6和8的菱形ABCD 如图 所示,O 为对角线的交点,过点O 折叠菱形, 使点B,C 分别落在点B',C'处,MN 是折 痕.若B'M=1.5,则CN 的长为 ( ) A. 3.5 B. 4.5 C. 5.5 D. 6.5 第7题 第8题 答案讲解 8. 如图,在菱形ABCD 中,AB=2, ∠A=45°,E 是CD 边上的动点,把 △BCE 沿BE 折叠得到△BC'E, 点C 的对应点为C',当BC'⊥CD 时,CE 的 长为 . 9. 如图①,四边形ABCD 是一张菱形纸片,其 中∠A=45°,把点A 与点C 分别折向点D, 折痕分别为EG 和FH,两条折痕的延长线 交于点O. (1) 请在图②中将图形补画完整. (2) 求∠EOF 的度数. (3) 四边形DGOH 是菱形吗? 请说明理由. 第9题 类型三 正方形中的折叠问题 10. 如图,将正方形纸片ABCD 的∠B 和∠D 折叠,使两个直角的顶点重合于对角线BD 上的点P 处,折痕分别为EF,GH.若点P 沿BD 从点B 向点D 移动,则涂色部分的 周长 ( ) 第10题 A. 先变大,后变小 B. 先变小,后变大 C. 在点P 在BD 的中点处 时最大 D. 保持不变 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 44 11. 如图,在正方形ABCD 中,AB=12,E 是 CD 上一点,且DE=3,F 是AD 上一动点, 连接EF.若将正方形ABCD 沿EF 折叠 后,点D 落在点D'处,则点D'到点B 的最 短距离为 . 第11题 12. 如图,在△ABC 中,∠BAC=45°,AD⊥BC 于点D,将△ACD 沿AC 折叠得到△ACF, 将△ABD 沿AB 折叠得到△ABG,延长 FC 和GB 相交于点H. (1) 求证:四边形AFHG 是正方形; (2) 若BH=6,CH=8,求AB 的长. 第12题 答案讲解 13. 如图,E,F 分别是正方形ABCD 的边AB,AD 的中点,连接EC, BF,将正方形 ABCD 沿BF 折 叠,使点A 落在点Q 处,延长FQ 交DC 于 点G. (1) 求证:BF=CE; (2) 若AB=4,求FG 的长. 第13题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)八年级