专题5 中点模型与角平分线模型-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（湘教版）

38 专题五　中点模型与角平分线模型 中点与角平分线分别是线段与角中具有特殊位置的点和线,与中点有关的重要知识点有三 角形的中位线、直角三角形斜边上的中线、线段的垂直平分线,还有一种重要的辅助线作法——— 倍长中线法;角平分线与利用角平分线为对称轴构造全等三角形、等腰三角形的三线合一有密切 联系,中点与角平分线为题目提供了很多隐性条件,通过借助现有的知识及恰当的辅助线可把隐 性条件转化为显性条件,从而顺利解决问题. 类型一 中点模型 (一) 中位线模型 ⦾ 两中点+连接第三边=中位线 1. 如图,在矩形ABCD 中,R,P 分别是DC, BC 上的点,E,F 分别是AP,RP 的中点.当 点P 从点B 沿BC 向点C 移动而点R 不动 时,下列结论中,成立的是 ( ) A. 线段EF 的长逐渐增大 B. 线段EF 的长逐渐减小 C. 线段EF 的长不改变 D. 线段EF 的长先增大后减小 第1题 第2题 2. 如图,在△ABC 中,BA=BC=5,AC=6, D,E 分别是BC,AB 边上的动点,连接DE, F,M 分别是CD,DE 的中点,则FM 长度 的最小值为 ( ) A. 12 5 B. 9 5 C. 3 D. 5 2 第3题 3. 如图,在四边形ABCD 中, E,F 分别是边AB,AD 的 中点,BC=5,CD=3,EF= 2,∠AFE=45°,则∠ADC= . ⦾ 已知一中点+再取一中点=中位线 4. 如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,点D,E 分 别在BC,AC 边上,且AE=4,BD=6,分别 连接AD,BE,M,N 分别是AD,BE 的中 点,连接MN,则线段MN 的长是 ( ) A. 5 B. 3 C. 32 D. 13 第4题 第5题 5. 如图,在▱ABCD 中,E 是CD 的中点,F 是 AE 的中点,CF 交BE 于点G.若BE=3,则 GE= . 6. 如图,在四边形ABCD 中,AD=BC,E,F 分别是边DC,AB 的中点,FE 的延长线分 别与AD,BC 的延长线交于点H,G.求证: ∠AHF=∠BGF. 第6题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)八年级 拍 照 批 改 39 ⦾ 两中点+连线=中位线 第7题 7. 新考法 新定义题 将连 接四边形对边中点的线段 称为“中对线”.如图,四边 形ABCD 的对角线AC= BD=8,∠1=60°,E,F,G,H 分别为AB, BC,CD,AD 的中点,则该四边形“中对线” HF 的长为 . 8. 如图,在Rt△ABC 中,∠BAC=90°,E,F 分 别是BC,AC 的中点,延长BA 到点D,使 AD=12AB ,连接 DE,DF,DE 交AC 于 点P. (1) 求证:AP=FP; (2) 若BC=10,求DF 的长. 第8题 (二) 斜边上的中线 9. 如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,点D 在 BC 上,E 是AB 的中点,AD,CE 相交于点 F,且AD=DB.若∠B=20°,则∠DFE 的 度数为 ( ) A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 第9题 第11题 10. 在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,点D 在边 AB 上,连接CD,∠ADC=2∠A,AC=4, BC=5,则CD= . 11. 如图,∠ABC=∠ADC=90°,∠BAD= 45°,E,F 分别是AC,BD 的中点.若AC= 2,则EF 的长是 . (三) 倍长中线法 答案讲解 12. 新考法 探究题 综合与实践: [发现问题] 数学活动课上,王老 师提 出 如 下 问 题:如 图 ①,在 △ABC 中,AB=6,AC=4,求BC 边上的 中线AD 长度的取值范围. [探究方法] 第一小组经过交流与合作,得到 了如下的解决方法:① 延长AD 到点E,使 得DE=AD;② 连接BE,易证△ACD≌ △EBD,于是我们把AB,AC,2AD 集中到 同一个三角形△ABE 中;③ 利用三角形的 三边关系,可得 AE 长度的取值范围是 AB-BE<AE<AB+BE,从而得到AD 长度的取值范围. [总结方法] 解题时,条件中若出现“中点” “中线”字样,可以考虑通过倍长中线法构 造全等三角形,把分散的已知条件和所求 证的结论集中到同一个三角形中. [问题解决] (1) 如图①,AC 和BE 的位置关系是 ;AD 长度的取值范围是 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 40 (2) 如图②,在△ABC 中,D 是BC 的中 点,点E 在AB 边上,AD 与CE 相交于点 F.若EA=EF,求证:AB=CF. [问题拓展] (3) 如图③,在△ABC 中,∠BAC=90°, AD 平分∠BAC,E 为BC 边的中点,过点 E 作EF∥AD 交AC 于点F,交BA 的延长 线于点G,若S△ABC=15,CF=6,求AG 的长. 第12题 (四) 线段的垂直平分线 13. 如图,在△ABC 中,AB=5,BC=10,AC= 9,MN 为边BC 的垂直平分线,D 为直线 MN 上的一动点,则△ABD 的周长的最小 值为 ( ) A. 10 B. 12 C. 14 D. 15 第13题 第14题 14. 如图,在菱形ABCD 中,AB 的垂直平分线 交对角线AC 于点F,垂足为E,连接DF. 若∠BAD=70°,则∠CFD= . 15. 如图,在△ABC 中,AB 的垂直平分线分别 交AB,BC 于点D,E,AC 的垂直平分线分 别交AC,BC 于点F,G,连接AE,AG. (1) 若△AEG 的周长为10,求线段BC 的长; (2) 若∠BAC=104°,求∠EAG 的度数. 第15题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(湘教版)八年级 41 类型二 角平分线模型 (一) 通过角平分线和平行线得到等腰三角形 16. 如图,DE 是△ABC 的中位线,∠ABC 的 平分线交DE 于点F,AB=1,BC=1.6,则 EF 的长为 ( ) A. 0.2 B. 0.3 C. 0.6 D. 0.8 第16题 第17题 17. 如图,E 是△ABC 的内角∠ABC 和外角 ∠ACF 的两条平分线的交点,过点E 作 ME∥BC,交AB 于点M,交AC 于点N.若 BM -CN =9,则 线 段 MN 的 长 为 . (二) 过角平分线上的一点向角的两边作垂线 18. 如图,在四边形 ABCD 中,∠A=90°, AD=2,连接BD,BD⊥CD,垂足为D, ∠ADB=∠C,P 是边BC 上的一动点,则 DP 的长可能是 ( ) 第18题 A. 3 4 B. 1 C. 5 3 D. 2 (三) 利用角平分线构造全等三角形 答案讲解 19. 如 图,在△ABC 中,∠ABC 和 ∠ACB 的平分线相交于点P,且 AB=PC,∠PBC=2∠PCB,则 ∠A= . 第19题 20. 如图,在△ABC 中,AB=AC,∠A=100°, BD 平分∠ABC,若AD=5,BC=12,求 BD 的长. 第20题 (四) 利用角平分线构造等腰三角形 21. 如图,在△ABC 中,∠A=90°,AB=AC, BD 平分∠ABC,CE⊥BD 于点E.若EC= 4,则BD= . 第21题 22. ★如图,在△ABC 中,∠ABC=3∠C,∠1= ∠2,BE⊥AE.求证:AC-AB=2BE. 第22题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 13 ∴ △ABQ≌△BCM.∴ BQ=CM.∴ CM=2BN. 第14题 专题五　中点模型与角平分线模型 1. C 2. A 3. 135° 4. D 5. 3 4 解析:取BE 的中点H,连接FH,CH.∵ F 是 AE 的中点,H 是BE 的中点,∴ FH 是△ABE 的中位 线.∴ FH∥AB,FH=12AB.∵ 四边形ABCD 是平行 四边形,∴ AB∥CD,AB=CD.∴ FH∥DC.∵ E 是CD 的中点,∴ EC=12CD.∴ FH=EC.∴ 四边形FHCE 是平行四边形.∴ GE=GH=12EH.∵ BE=3,H 是 BE 的中点,∴ EH=32.∴ GE=34. 6. 连接BD,取BD 的中点P,连接EP,FP.∵ E,F,P 分别是DC,AB,BD 的中点,∴ EP 是△BCD 的中位线, PF 是△ABD 的中位线.∴ PF=12AD ,PF∥AD,EP= 1 2BC ,EP ∥BC.∴ ∠AHF = ∠PFE,∠BGF = ∠PEF.∵ AD =BC,∴ PE =PF.∴ ∠PEF = ∠PFE.∴ ∠AHF=∠BGF. 7. 4 8. (1) 连接EF,AE.∵ E,F 分别为BC,AC 的中点, ∴ EF 是△ABC 的中位线.∴ EF∥AB,EF=12AB. 又 ∵ AD=12AB ,∴ EF=AD.又∵ EF∥AD,∴ 四边形 AEFD 是平行四边形.∴ AF 与DE 互相平分,∴ AP= FP.(2) 在Rt△ABC 中,∵ E 为BC 的中点,BC=10, ∴ AE=12BC=5. 又∵ 四边形AEFD 是平行四边形, ∴ DF=AE=5. 9. D 10. 41 2 解析:取AB 的中点E,连接CE.∵ ∠ACB= 90°,AC=4,BC=5,∴ AB= AC2+BC2= 42+52= 41.∵ E 是AB 的 中 点,∴ CE=AE= 12AB= 41 2 .∴ ∠A=∠ACE.∵ ∠BEC=∠A+∠ACE= 2∠A,∠ADC=2∠A.∴ ∠BEC=∠ADC.∴ ∠CDE= ∠CED.∴ CD=CE= 412 . 11. 2 2 解析:连接BE,DE.∵ ∠ABC=∠ADC=90°, E 是AC 的中点,∴ BE=AE=12AC ,DE=AE= 1 2AC.∵ AC=2,∴ BE=DE=1.∵ BE=AE, ∴ ∠ABE=∠BAE.∴ ∠BEC=2∠BAE.同理可得 ∠DEC=2∠DAC,∴ ∠BED=∠BEC+∠DEC= 2∠BAD=90°.∴ BD= BE2+ED2= 2.∵ F 是BD 的中点,∴ EF=12BD= 2 2. 12. (1) AC∥BE;1<AD<5.(2) 延长AD 至点H,使 AD=DH,连接CH,如图①所示.∵ D 是BC 的中点, ∴ BD =CD.又 ∵ ∠ADB = ∠HDC,AD =DH, ∴ △ABD≌ △HCD.∴ AB =CH,∠BAD = ∠H. ∵ EA=EF,∴ ∠EAF=∠EFA.∴ ∠EFA=∠H. ∵ ∠EFA=∠CFH,∴ ∠CFH=∠H.∴ CF=CH. ∴ AB=CF.(3) 延长FE 至点M,使 EF=EM,连接 BM,如图②所示.∵ E 为BC 边的中点,∴ BE=CE.又 ∵ ∠CEF=∠BEM,EF=EM,∴ △BEM≌△CEF. ∴ ∠M=∠CFE,BM=CF=6.∵ ∠BAC=90°,AD 平 分∠BAC,∴ ∠BAD=∠CAD=45°.∵ EF∥AD, ∴ ∠G= ∠BAD = 45°,∠CFE = ∠CAD = 45°. ∴ ∠CFE=∠G.∴ ∠G=∠M.∴ BG=BM.∵ BM= 6,∴ BG=6.∵ ∠CFE=∠AFG=∠G,∴ AG=AF. ∴ AB=6-AG.∵ AC=AF+CF=AG+6,∠BAC= 90°,△ABC 的面积=12AB ·AC=12 (6-AG)(6+ AG)=15,∴ AG=6. 第12题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 14 13. C 14. 70° 15. (1) ∵ DE 垂直平分AB,GF 垂直平分AC,∴ EA= EB,GA=GC.∵ △AEG 的周长为10,∴ AE+EG+ AG=10.∴ BC=BE+EG+GC=AE+EG+AG= 10.(2) ∵ ∠BAC=104°,∴ ∠B+∠C=180°-104°= 76°.∵ EA=EB,GA=GC,∴ ∠EAB=∠B,∠GAC= ∠C.∴ ∠EAB+∠GAC=∠B+∠C=76°.∴ ∠EAG= ∠BAC-(∠EAB+∠GAC)=104°-76°=28°. 16. B 17. 9 18. D 19. 60° 解析:作△PBC 关于BC 的轴对称图形△DBC, ∴ △PBC≌△DBC.∴ ∠DBC=∠PBC,∠PCB= ∠DCB,CD =PC.∵ CP 是 ∠ACB 的 平 分 线, ∴ ∠BCA=2∠PCB.∵ ∠PBC=2∠PCB,∴ ∠DBC= ∠BCA.∴ BD∥AC.延长BD 到点E,使BE=AC,连接 CE.∴ 四边形ABEC 是平行四边形.∴ AB=CE.设 ∠PCB=α,∴ ∠BCD = ∠ACP =α.∴ ∠PBC= ∠DBC=∠BCA=2α,∠ACD=3α.∵ BP 平分∠ABC, ∴ ∠ABP=∠PBC=2α.∴ ∠ABD=6α.∵ 四边形 ABEC 是 平 行 四 边 形,∴ ∠ACE = ∠ABE =6α. ∴ ∠DCE=3α.∵ ∠CDE=∠DBC+∠DCB=3α, ∴ ∠DCE=∠CDE.∴ CE=ED.∵ AB=CE,AB= PC,∴ CE=PC.∴ PC=ED.∵ CD=PC,∴ CE= ED=CD.∴ △CDE 是等边三角形.∴ ∠E=60°.∵ 四 边形ABEC 是平行四边形,∴ ∠A=∠E=60°. 20. 在BC上截取BE=BA,延长BD 至点F,使BF= BC,连接 DE,CF.∵ BD 平分∠ABC,∴ ∠ABD= ∠EBD.在 △ABD 和 △EBD 中, AB=EB, ∠ABD=∠EBD, BD=BD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABD≌△EBD.∴ AD=ED,∠DEB=∠A= 100°.∴ ∠DEC =80°.∵ AB =AC,∴ ∠ABC = ∠ACB=180°-100°2 =40°.∴ ∠ABD = ∠EBD = 1 2∠ABC=20°.∵ BC=BF,∠CBF=20°,∴ ∠F= ∠FCB=12 (180°-∠CBF)=80°.∴ ∠FCD=80°- 40°=40°.∴ ∠FCD=∠ECD.∵ ∠DEC=80°,∠F= 80°,∴ ∠F = ∠DEC.在 △DCF 和 △DCE 中, ∠F=∠DEC, ∠FCD=∠ECD, CD=CD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DCF≌△DCE.∴ DF=DE= AD.∴ BC=BF=BD+DF=BD+AD.∴ BD=BC- AD.∵ AD=5, BC=12,∴ BD=7. 21. 8 解析:延长 BA,CE 交于点F.∵ CE⊥BE, ∴ ∠CED=90°.∵ ∠BAC=90°,∴ ∠ABD+∠ADB= 90°.∵ ∠CED =90°,∴ ∠CDE + ∠ACF =90°. ∵ ∠ADB=∠EDC,∴ ∠ABD=∠ACF.在△ABD 和 △ACF 中, ∠BAD=∠CAF=90°, AB=AC, ∠ABD=∠ACF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABD ≌ △ACF.∴ BD=CF.∵ BD 平分∠ABC,∴ ∠FBE= ∠CBE.在△BEF 和△BEC 中, ∠FBE=∠CBE, BE=BE, ∠BEF=∠BEC=90°, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BEF≌△BEC.∴ EF=EC.∴ EC= 12CF. ∴ EC=12BD.∵ EC=4,∴ BD=8. 22. 如 图,延 长 BE 交 AC 于 点 M.∵ BE ⊥AE, ∴ ∠AEB=∠AEM=90°.在△ABE 中,∵ ∠1+∠3+ ∠AEB=180°,∴ ∠3=90°-∠1.同理,∠4=90°- ∠2.∵ ∠1=∠2,∴ ∠3=∠4.∴ AB=AM.∴ AC- AB=AC-AM =CM.∵ ∠4 是 △BCM 的 外 角, ∴ ∠4=∠5+∠C.∵ ∠3=∠4,∴ ∠ABC=∠3+ ∠5=∠4+∠5.∵ ∠ABC=3∠C,∴ 3∠C=∠4+ ∠5=2∠5+∠C.∴ ∠5=∠C.∴ CM=BM.∵ AB= AM,BE⊥AE,∴ BM=2BE.∴ AC-AB=BM=2BE. 第22题 利用图形归一法证明线段差问题 如果三条线段在同一条直线上,那么我们很容易得出 三条线段之间的数量关系.如果三条线段不在同一条直线 上,那么需要通过构造等量关系把三条线段转移到同一条 直线上.本题中出现了角平分线AE,并且BE⊥AE,这个 图形恰好是等腰三角形三线合一的一部分,故延长BE 交 AC于点M,构造等腰三角形,从而解决问题. 专题六　四边形中的折叠问题 1. B 2. B 折叠问题的解题方法 (1) 图形沿着某条直线折叠时,观察哪些量变了, 哪些量没有变;(2) 观察折叠前后哪些角、边相等,线段 和角之间分别有怎样的数量关系;(3) 知道折叠前后特 殊点、角和线的对应关系;(4) 运用全等三角形、勾股定 理等相关知识解决问题. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈